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2011《金版新学案》高三数学一轮复习 3-5 数列的综合应用课件 (文) 全国.重庆专版


第五节

数列的综合应用

? 数列应用问题的常见模型 ? (1)等差模型:一般地,如果增加(或减少) 的量是一个固定的具体量时,该模型是等 差模型,增加(或减少)的量就是公差.其 一般形式是:an+1-an=d(常数). ? (2)等比模型:一般地,如果增加(或减少) 的量是一个固定的百分数时,该模型是等 比模型. ? (3)混合模型:在一个问题中,同时涉及到 等差数列和等比数列的模型.

? (4)生长模型:如果某一个量,每一期以一 个固定的百分数增加(或减少),同时又以 一个固定的具体量增加(或减少)时,我们 称该模型为生长模型.如分期付款问题, 树木的生长与砍伐问题等. ? (5)递推模型:如果容易找到该数列任意一 项an与它的前一项an-1(或前n项)间的递推 关系式,那么我们可以用递推数列的知识 求解问题.

?

(1)认真阅读题干,明确所给条件 是组成等差数列还是等比数列或者是组成 一个递推关系式,确定出相应的数列模 型. ? (2)如果是等差数列、等比数列,应明确a1, an,n,d,q,Sn这些基本量,已知哪几个, 要求哪几个;如果是递推数列,应明确的 是Sn还是an或者是二者综合的,然后再确 定要求解的量.

? (3)现实生活中涉及到银行利率、存款利息、 企业股金、产品利润、人口增长、产值产 量等问题,常常考虑用数列的知识加以解 决. ? (4)利息=本金×利率×存期,当涉及到复 利问题时,常用等比数列模型解决问 题.当涉及到分期付款问题时,由于一般 采用复利计算利息的办法,所以也要借助 等比数列模型解决.

? 1.设{an}是递增等差数列,前三项的和 为12,前三项的积为48,则它的首项是 ? ( ) ? A.1 B.2 ? C.4 D.6

【解析】 设前三项依次为 a-d、a、a+d(d>0),依 题意,有
?(a-d)+a+(a+d)=12, ? ? ?(a-d)· (a+d)=48, a· ? ?a=4, ? 解得? ?d=2, ?

故首项为 a-d=2.

【答案】 B

? 2.有一种细菌和一种病毒,每个细菌在 每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身 分裂为2个,现在有一个这样的细菌和100 个这样的病毒,问细菌将病毒全部杀死至 少需要 ? ( ) ? A.6秒钟 B.7秒钟 ? C.8秒钟 D.9秒钟

? 【解析】 依题意1+21+22+…+2n-
1≥100,

? 则所求为7秒钟.
? 【答案】 B

?11 ? 3 3.已知函数 f(x)= ,其对称中心是? 2 ,0?,若 2x-11 ? ?

3 an= (n∈N*), 记数列{an}的前 n 项和为 Sn, 则使 Sn>0 2n-11 的 n 的最小值为 ( A.10 B.11 C.12 D.13 )

? ? ? ? ?

【解析】 由题意可知 是其对称中心, a1+a10=0,a2+a9=0,… 即a1+a2+…+a10=0,即S10=0, 而a11=f(11)>0,∴S11>0. 【答案】 B

? 4.若A、B、C成等差数列,则直线Ax+ By+C=0必过点________. ? 【解析】 ∵2B=A+C,∴A-2B+C= 0, ? ∴直线Ax+By+C=0必过点(1,-2). ? 【答案】 (1,-2)

? 5.在等差数列{an}中,满足3a4=7a7,且 a1>0,Sn是数列{an}前n项的和,若Sn取得 最大值,则n=________. ? 【解析】 设公差d,由题设 ? 3(a1+3d)=7(a1+6d),

4 所以 d=- a1<0. 33 解不等式 an>0,即
? 4 ? a1+(n-1)?-33a1?>0, ? ?

37 所以 n< 4 ,则 n≤9, 当 n≤9 时,an>0, 同理可得 n≥10 时,an<0. 故当 n=9 时,Sn 取得最大值.
【答案】 9

?

某公司按现有能力,每月收入为70万 元,公司分析部门测算,若不进行改革, 入世后因竞争加剧收入将逐月减少.分析 测算得入世第一个月收入将减少3万元, 以后逐月多减少2万元,如果进行改革,

即投入技术改造300万元,且入世后每月
再投入1万元进行员工培训,则测算得自

? 【思路点拨】 计算出改革前后的纯收入, 从而求得系数a,b.

【解析】 该公司入世后经过 n 个月,改革后的累计 纯收入为 Tn - 300 - n , 不 改 革 时 的 累 计 纯 收 入 为 70n -
? n(n-1) ? ? ? 3n+ ·?, 2 ? 2 ? ? ?90=a+b ? 又? ?170=2a+b ? ?a=80 ? ,∴? ?b=10 ?

.

? 由题意建立不等式80n+10-300-n>70n -3n-n(n-1), ? 即n2+11n-290>0,得n>12.4. ? ∵n∈N?,∴取n=13. ? 【答案】 入世后经过13个月,该公司改 革后的累计纯收入高于不改革时的累计纯 收入.

?

某县为了加快新农村建设,该县在 2008年新建住房40万平方米,其中有25万 平方米是中低价房,预计在今后的若干年 内,该县每年新建住房面积平均比上一年 增长8%.另外,每年新建住房中,中低价 房的面积均比上一年增加5万平方米,那 么,到哪一年底,

? (1)该县历年所建中低价房的累计面积(以 2008年为累计的第一年)将首次不少于475 万平方米? ? (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造 住房面积的比例首次大于85%?(参考数据: 1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)

? 【解析】 (1)设中低价房的面积形成的数 列为{an}, ? 由题意可知{an}是等差数列,其中a1=25, d=5, ? 则an=25+(n-1)·5=5n+20 ? Sn=25n+ ×5=2.5n2+22.5n, ? 令2.5n2+22.5n≥475, ? 即n2+9n-190≥0,而n是正整数,∴n≥10. ? ∴到2017年底,该县历年所建中低价房的 累计面积将首次不少于475万平方米.

? (2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意 可知{bn}是等比数列,其中b1=40,q= 1.08,则bn=40·(1.08)n-1. ? 由题意可知an>0.85bn, ? 即5n+20>40·(1.08)n-1·0.85. ? 当n=5时,a5<0.85b5, ? 当n=6时,a6>0.85b6, ? ∴满足上述不等式的最小正整数n为6. ? ∴到2013年底,当年建造的中低价房的面 积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.

?

与等比数列联系较大的是“增长 率”、“递减率”的概念,在经济上多涉 及利润、成本、效益的增减问题;在人口 数量的研究中也要研究增长率问题;金融 问题更多涉及复利的问题.这都与等比数 列有关.

?

1.某市2008年共有1万辆燃油型 公交车,有关部门计划于2009年投入128 辆电力型公交车,随后电力型公交车每年 的投入比上一年增加50%,试问: ? (1)该市在2015年应该投入多少辆电力型公 交车? ? (2)到哪一年底,电力型公交车的数量开始 超过该市公交车总量的 ?(lg 657=2.82, lg 2=0.30,lg 3=0.48) ? 【解析】 (1)该市逐年投入的电力型公交 车的数量组成等比数列{an},其中a1=128, q=1.5,

(2)记 Sn=a1+a2+…+an, Sn 1 依据题意,得 >3, 10 000+Sn 128(1-1.5n) 于是 Sn= >5 000(辆), 1-1.5 657 即 1.5 > 32 .
n

657 两边取常用对数,则 n· 1.5>lg , lg 32 lg 657-5lg 2 即 n> ≈7.3,又 n∈N*,因此 n≥8. lg 3-lg 2

所以到 2016 年底,电力型公交车的数量开始超过该 1 市公交车总量的3.

?

已知f(x)=logax(a>0且a≠1),设f(a1), f(a2),…,f(an)(n∈N?)是首项为4,公差 为2的等差数列. ? (1)设a为常数,求证:{an}成等比数列; ? (2)若bn=anf(an),{bn}的前n项和是Sn,当 a= 时,求Sn.

【解析】 (1)证明:f(an)=4+(n-1)×2=2n+2, 即 logaan=2n+2, 可得 an=a2n+2. a2n 2 2 an ∴ = - + = 2n =a (n≥2),为定值. an-1 a2(n 1) 2 a ∴{an}为等比数列. a2n
+2 +

(2)bn=anf(an)=a2n 2logaa2n 2=(2n+2)a2n 2. 当 a= 2时,bn=(2n+2)( 2)2n+2=(n+1)2n+2. Sn=2·3+3·4+4·5+…+(n+1)·n+2① 2 2 2 2 2Sn=2·4+3·5+4·6+…+n·n+2+(n+1)·n+3② 2 2 2 2 2 ①-②得 -Sn=2·3+24+25+…+2n+2-(n+1)·n+3 2 2 24(1-2n-1) + =16+ -(n+1)2n 3 1-2







? =16+2n+3-24-n·2n+3-2n+3 ? =-n·2n+3. ? ∴Sn=n·2n+3.

?

数列与函数的综合问题主要有以 下两类: ? (1)已知函数条件,解决数列问题.此类问 题一般利用函数的性质、图象研究数列问 题; ? (2)已知数列条件,解决函数问题.解决此 类问题一般要充分利用数列的范围、公式、 求和方法对式子化简变形.

?

2.已知曲线C:y=x2(x>0),过C 上的点A1(1,1)作曲线C的切线l1交x轴于点 B1,再过点B1作y轴的平行线交曲线C于点 A2,再过点A2作曲线C的切线l2交x轴于点 B2,再过点B2作y轴的平行线交曲线C于点 A3,…,依次作下去,记点An的横坐标为 an(n∈N*). ? (1)求数列{an}的通项公式; ? (2)设数列{an}的前n项和为Sn,求证: anSn≤1.

2 【解析】 (1)∵曲线 C 在点 An(an,an)处的切线 ln 的

斜率是 2an, ∴切线 ln 的方程是 y-a2=2an(x-an) n 由于点 Bn 的横坐标等于点 An+1 的横坐标 an+1, 1 ∴令 y=0,得 an+1=2an, 1 ∴数列{an}是首项为 1,公比为2的等比数列, ∴an= n-1. 2 1

1 1- n ? 2 1? (2)证明:∵Sn= =2?1-2n?, 1 ? ? 1- 2 1? 1? 1 1 ?1- n?令 t= n,则 0<t≤ , ∴anSn=4× n 2? 2? 2 2 12 ∴anSn=4t(1-t)=-4(t- ) +1, 2 1 12 当 t=2,即 n=1 时,-4(t-2) +1 有最大值 1, 即 anSn≤1.

? 函数、数列、不等式是高中重要的知识交 汇点,以数列为背景的不等式证明问题及 以函数为背景的数列构造问题在全国各省 市的高考试题中都扮演着重要的角色.函 数、数列、不等式的交汇问题具有命题操 作过程简单,构造技巧强的特点,因此一 直受到高考命题者的青睐.

1 . (2009 年 江 西 卷 ) 数 列 {an} 的 通 项 an = n
2

? ? 2nπ 2nπ ?cos -sin 3 ?,其前 3 ? ?

n 项和为 Sn,则 S30 为 ( )

A.470 C.495

B.490 D.510

【解析】

an=n

2

? ? 2nπ 2nπ 2nπ 2 ?cos ? cos 3 -sin 3 ?=n · 3 , ?
2

令 bn = a3n - 2 + a3n - 1 + a3n = (3n - 2) 1)
2

? 1? × ?-2? + (3n - ? ?

? 1? 5 ?- ?+(3n)2=9n- , × 2 2 ? ?

故 S30=a1+a2+…+a30 =b1+b2+…+b10
? 5 5? ?9- +9×10- ?×10 2 2? ?



2 【答案】 A

=470.

? 2.(2009年安徽卷)已知数列{an}的前n项 和Sn=2n2+2n,数列{bn}的前n项和Tn=2 -bn. ? (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; ? (2)设cn=a·bn,证明:当且仅当n≥3时, cn+1<cn.

? 【解析】 (1)a1=S1=4. ? 对于n≥2,有an=Sn-Sn-1=2n(n+1)-2(n -1)n=4n. ? 综上,{an}的通项公式an=4n. ? 将n=1代入Tn=2-bn,得b1=2-b1,故 T1=b1=1. ? (求bn解法1)对于n≥2,由Tn-1=2-bn-1, ? Tn=2-bn得bn=Tn-Tn-1=-(bn-bn-1), ? bn= bn-1,bn=21-n.

? ? ? ? ? ?

(求bn解法2)对于n≥2,由Tn=2-bn得 Tn=2-(Tn-Tn-1), 2Tn=2+Tn-1,Tn-2= (Tn-1-2), Tn-2=21-n(T1-2)=-21-n, Tn=2-21-n, bn=Tn-Tn-1=(2-21-n)-(2-22-n)=21- n. ? 综上,{bn}的通项公式bn=21-n.

(2)解法 1:由

cn+1 1 1 2 2 5-n ?1+ ?2. cn=an·n=n 2 ,得 b = n? cn 2?

?

?

1 4 当且仅当 n≥3 时,1+n≤3< 2,即 cn+1<cn. 解法 2:由 cn=a2·n=n225-n,得 nb cn+1-cn=24 n[(n+1)2-2n2]=24 n[-(n-1)2+2]. 当且仅当 n≥3 时,cn+1-cn<0,即 cn+1<cn.
- -


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