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2011届高考数学一轮复习精品题集分类汇编之平面向量


平面向量 必修 4 第 2 章 平面向量 §2.1 向量的概念及其表示 重难点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量, 掌握平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系. 考纲要求:①了解向量的实际背景. ②理解平面向量的概念及向量相等的含义. ③理解向量的几何表示. 经典例题:下列命题正确的是( ) A.a与b共线,b与c共线,则a与 c 也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线,则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 当堂练习: 1.下列各量中是向量的是 ( A.密度 B.体积 C.重力 D.质量 2 下列说法中正确的是 ( A. 平行向量就是向量所在的直线平行的向量 B. 长度相等的向量叫相等向量 C. 零向量的长度为零 D.共线向量是在一条直线上的向量 3.设 O 是正方形 ABCD 的中心,则向量 AO 、 OB 、 CO 、 OD 是 A.平行向量 C.相等的向量 4.下列结论中,正确的是 A. 零向量只有大小没有方向 C. | AB | =| BA | B.有相同终点的向量 D.模都相同的向量 ( B. 对任一向量 a ,| a |>0 总是成立的 D. | AB | 与线段 BA 的长度不相等 ( ) ) (

) )



5.若四边形 ABCD 是矩形,则下列命题中不正确的是 A. AB 与 CD 共线 C. AD 与 CB 是相反向量 B. AC 与 BD 相等 D. AB 与 CD 模相等

6.已知 O 是正方形 ABCD 对角线的交点,在以 O,A,B,C,D 这 5 点中任意一点为起点, 另一点为终点的所有向量中, (1)与 BC 相等的向量有 (2)与 OB 长度相等的向量有 (3)与 DA 共线的向量有 ; ; .
A E O D C B

7.在①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③共线向量一定

F

相等;④相等向量一定共线;⑤长度相等的向量是相等向量;⑥平行于同一个向量的两个向 量 是 共线 向量 中, 不 正确 的 命题 是 .并 对你 的判 断 举例 说 明 . 8.如图,O 是正方形 ABCD 对角线的交点,四边形 OAED,OCFB 都是正方形,在图中所 示的向量中: (1)与 AO 相等的向量有 (2)写出与 AO 共线的向有 (3)写出与 AO 的模相等的有 (4)向量 AO 与 CO 是否相等?答 ; ; ; .
E F A D C B

9.O 是正六边形 ABCDE 的中心,且 OA = a , OB = b , AB = c ,在以 A,B, C,D,E,O 为端点的向量中: (1)与 a 相等的向量有 (2)与 b 相等的向量有 (3)与 c 相等的向量有 10.在如图所示的向量 a , b , c , d , e 中(小正方形的边长为 1),是否存 ; ;

O

在: (1)是共线向量的有 ; (2)是相反向量的为 ; (3)相等向量的的 ; (4)模相等的向量 . 11.如图,△ABC 中,D,E,F 分别是边 BC,AB,CA 的中点,在以 A、B、C、D、E、F 为端点的有向线段中所表示的向量中, (1)与向量 FE 共线的有 (2)与向量 DF 的模相等的有 (3)与向量 ED 相等的有 . . .
B F A E D C

12.如图,中国象棋的半个棋盘上有一只“马”,开始下棋时,它位于 A 点,这只“马”第一步 有几种可能的走法?试在图中画出来. 若它位于图中的 P 点,这只“马”第一步有几种可能的 走法?它能否从点 A 走到与它相邻的 B?它能否从一交叉点出发,走到棋盘上的其它任何 一个交叉点?

必修 4 §2.2 向量的线性运算

第 2 章 平面向量

重难点: 灵活运用向量加法的三角形法则和平行四边形法则解决向量加法的问题, 利用交换 律和结合律进行向量运算; 灵活运用三角形法则和平行四边形法则作两个向量的差, 以及求 两个向量的差的问题; 理解实数与向量的积的定义掌握实数与向量的积的运算律体会两向量 共线的充要条件. 考纲要求:①掌握向量加法,减法的运算,并理解其几何意义. ②掌握向量数乘的运算及其意义。理解两个向量共线的含义. ③了解向量线性运算的性质及其几何意义. 经典例题:如图,已知点 D , E , F 分别是 ABC 三边 AB, BC , CA 的中点, 求证: EA + FB + DC = 0 . .

当堂练习: 1. a 、 b 为非零向量,且 | a + b |=| a | + | b | ,则 A. a 与 b 方向相同 C. a = B. a = b D. a 与 b 方向相反 ( )

b

2.设 ( AB + CD ) + ( BC + DA) = a ,而 b 是一非零向量,则下列各结论:① a // b ;②

a + b = a ;③ a + b = b ;④ a + b < a + b ,其中正确的是





A.①② B.③④ C.②④ D.①③ 3.3.在△ABC 中,D、E、F 分别 BC、CA、AB 的中点,点 M 是△ABC 的重心,则

MA + MB MC 等于
A. O B. 4 MD



) D. 4ME ( )

C. 4 MF

4.已知向量 a与b 反向,下列等式中成立的是 A. | a | | b |=| a b | B. | a + b |=| a b | C. | a | + | b |=| a b | D. | a | + | b |=| a + b | 5.若 a = b + c 化简 3( a + 2b ) 2(3b + c ) 2( a + b ) A. a B. b C. c

( D. 以上都不对



6.已知四边形 ABCD 是菱形,点 P 在对角线 AC 上(不包括端点 A、C),则 AP = ( )

A. λ ( AB + AD ).λ ∈ (0,1)

B.

λ ( AB + BC ).λ ∈ (0,

2 ) 2

C. λ ( AB AD ).λ ∈ (0,1)

λ ( AB BC ).λ ∈ (0,
D.

2 ) 2

7.已知 | OA |=| a |= 3 , | OB |=| b |= 3 ,∠AOB=60 ° ,则 | a + b |= __________。 8.当非零向量 a 和 b 满足条件 时,使得 a + b 平分 a 和 b 间的夹角。
C F E D B

9.如图,D、E、F 分别是 ABC 边 AB、BC、CA 上 中点,则等式: ① FD + DA AF = 0 ③ DE + DA BE = 0 10. 若向量 x 、 满足 ② FD + DE EF = 0 ④ AD + BE AF = 0
A



y

2 x + 3 y = a, 3 x 2 y = b a b , 、 为已知向量, x =__________; 则

y =___________.
11.一汽车向北行驶 3 km,然后向北偏东 60 ° 方向行驶 3 km,求汽车的位移.

12.如图在正六边形 ABCDEF 中,已知: AB = a , AF = b ,试用 a 、 b 表示向量 BC








,

CD , AD , BE .





必修 4 第 2 章 平面向量 §2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 重难点:对平面向量基本定理的理解与应用;掌握平面向量的坐标表示及其运算. 考纲要求:①了解平面向量的基本定理及其意义. ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. ③会用坐标表示平面向量的加法,减法于数乘运算. ④理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 经典例题:已知点 A( x, 0), B (2 x,1), C (2, x ), D (6, 2 x ) . 求实数 x 的值,使向量 AB 与 CD 共线; 当向量 AB 与 CD 共线时,点 A, B , C , D 是否在一条直线上?

当堂练习: 1.若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),则 c 等于 (



1 3 + A. 2 a 2 b

1 3 3 1 3 1 B. 2 a 2 b C. 2 a 2 b D. 2 a+ 2 b

2.若向量 a=(x-2,3)与向量 b=(1,y+2)相等,则 ( ) A.x=1,y=3 B.x=3,y=1 C.x=1,y=-5 D.x=5,y=-1 3.已知向量 a = (3,4), b = (sin α , cosα ), 且 a ∥ b ,则 tan α = ( )

3 A. 4
4.已知 表达式(


3 B. 4

4 C. 3

4 D. 3

ABCD 的两条对角线交于点 E,设 AB = e1 , AD = e2 ,用 e1 ,e2 来表示 ED 的 )

1 1 e1 e2 2 2 A.

1 1 e1 + e2 2 2 B.

1 1 e1 e 2 2 C. 2

1 1 e1 + e2 2 D. 2

7 1 5.已知两点 P1(-1,-6)、P2(3,0),点 P(- 3 ,y)分有向线段 P P2 所成

的比为λ,则λ、y的值为





1 A.- 4 ,8

1 1 B. 4 ,-8 C.- 4 ,-8
② e1 = (3,5)

1 D.4, 8
③ e1 = (2,3)

6 . 下 列 各 组 向 量 中 : ① e1 = (1,2)

e2 = (5,7)

e2 = (6,10)

1 3 e 2 = ( , ) 2 4 有一组能作为表示它们所在平面内所有向量的基底, 正确的判

断是 ( ) A.① B.①③ C.②③ D.①②③ 7.若向量 a =(2,m)与 b =(m,8)的方向相反,则 m 的值是 8.已知 a =(2,3), b =(-5,6),则| a + b |= ,| a - b |= , μ= . . . .

9.设 a =(2,9), b =(λ,6), c =(-1,μ),若 a + b = c ,则λ= 10. △ABC 的顶点 A(2, B(-4, 3), -2)和重心 G(2, -1), C 点坐标为 则 11.已知向量 e1、e2 不共线,

(1)若 AB =e1-e2, BC =2e1-8e2, CD =3e1+3e2,求证:A、B、D 三点共线. (2)若向量λe1-e2 与 e1-λe2 共线,求实数λ的值.

12.如果向量 AB =i-2j, BC =i+mj,其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量, 试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线.

必修 4 第 2 章 平面向量 §2.4 平面向量的数量积 重难点:理解平面向量的数量积的概念,对平面向量的数量积的重要性质的理解. 考纲要求:①理解平面向量数量积的含义及其物理意义. ②了解平面向量数量积于向量投影的关系. ③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算.

④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 经典例题:在 ABC 中,设 AB = (2,3), AC = (1, k ), 且 ABC 是直角三角形,求 k 的值.

当堂练习: 1.已知 a =(3,0), b =(-5,5)则 a 与 b 的夹角为 A.450 B、600 C、1350 D、1200 ( ) ( )

2.已知 a =(1,-2),b =(5,8), c =(2,3),则 a b c )的值为 ( A.34 B、(34,-68) C、-68 D、(-34,68)

3.已知 a =(2,3),b =(-4,7)则向量 a 在 b 方向上的投影为 A. 13
13 5 B、
65 5





C、

D、 65 )

4.已知 a =(3,-1),b =(1,2),向量 c 满足 a c =7,且 b ⊥ c ,则 c 的坐标是( A.(2,-1) B、(-2,1) C、(2,1) D、(-2,-1)

5.有下面四个关系式(1)0 0 = 0 ; (2) a b )c = a( b c ); ( (3)a b = b a ; (4)0 a =0,其中正确的个数是 A、4 B、3 C、2 D、1 ) ( )

6.已知 a =(m-2,m+3), b =(2m+1,m-2)且 a 与 b 的夹角大于 90°,则实数 m( A、m>2 或 m<-4/3 B、-4/3<m<2 C、m≠2 D、m≠2 且 m≠-4/3 。

7.已知点 A(1,0),B(3,1),C(2,0)则向量 BC 与 CA 的夹角是 8.已知 a =(1,-1), b =(-2,1),如果( λ a + b) ⊥ (a λ b) ,则实数 λ = 9.若| a |=2,| b |= 2 , a 与 b 的夹角为 45°,要使 k b - a 与 a 垂直,则 k=
10.已知 a + b =2 i -8 j , a — b =-8 i +16 j ,那么 a b =



11.已知 2 a + b =(-4,3), a -2 b =(3,4),求 a b 的值。

12.已知点 A(1,2)和 B(4,-1),试推断能否在 y 轴上找到一点 C,使 ∠ ACB=900?

若能,求点 C 的坐标;若不能,说明理由。

必修 4 第 2 章 平面向量 §2.5 平面向量的应用 重难点:通过向量在几何、物理学中的应用能提高解决实际问题的能力. 考纲要求:①会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. ②会用向量方法解决简单的力学问题于其他一些实际问题. 经典例题:如下图,无弹性的细绳 OA, OB 的一端分别固定在 A, B 处,同质量的细绳 OC 下 端系着一个称盘,且使得 OB ⊥ OC ,试分析 OA, OB, OC 三根绳子受力的大小,判断哪根 绳受力最大?

当堂练习: 1. 已知 A、 C 为三个不共线的点, 为△ABC 所在平面内一点, PA + PB + PC + AB , B、 P 若 则点 P 与△ABC 的位置关系是 ( ) A、点 P 在△ABC 内部 B、点 P 在△ABC 外部 C、点 P 在直线 AB 上 D、点 P 在 AC 边上 2.已知三点 A(1,2),B(4,1),C(0,-1)则△ABC 的形状为 ( ) A、正三角形 B、钝角三角形 C、等腰直角三角形 D、等腰锐角三角形 3.当两人提起重量为|G|的旅行包时,夹角为 θ ,两人用力都为|F|,若|F|=|G|,则 θ 的值为 ( ) A、300 B、600 C、900 D、1200 4.某人顺风匀速行走速度大小为 a,方向与风速相同,此时风速大小为 v,则此人实际感到 的风速为 ( ) A、v-a B、a-v C、v+a D、v 5. 一艘船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶, 船的实际航行方向与水流方向成 300 角, 则水流速度为 km/h。 6.两个粒子 a,b 从同一粒子源发射出来,在某一时刻,以粒子源为原点,它们的位移分别

为 Sa=(3,-4),Sb=(4,3),(1)此时粒子 b 相对于粒子 a 的位移 (2)求 S 在 Sa 方向上的投影 。



7. 如图, P 是线段 AB 上的一点, AP︰PB= m ︰ n , O 是直线 AB 外一点, OA = a , 点 且 点 设

OB = b ,试用 m, n, a, b 的运算式表示向量 OP .
A

a
O

P

b

B

8.如图,△ABC 中,D,E 分别是 BC,AC 的中点,设 AD 与 BE 相交于 G,求证:AG︰ GD=BG︰GE=2︰1.
A E G B D C

1 OG = (OA + OB + OC ) 3 , 求证: 是△ABC 重心 G (即 9. 如图, O 是△ABC 外任一点, 若
三条边上中线的交点).
A

G B O C

10.一只渔船在航行中遇险,发出求救警报,在遇险地西南方向 10mile 处有一只货船收到 警报立即侦察,发现遇险渔船沿南偏东 750,以 9mile/h 的速度向前航行,货船以 21mile/h 的速度前往营救,并在最短时间内与渔船靠近,求货的位移。 北

A 450 750 C B



必修 4 §2.6 平面向量单元测试

第 2 章 平面向量

1.在矩形 ABCD 中,O 是对角线的交点,若 BC = 5e1 , DC = 3e2则OC =





1 1 1 1 (5e1 + 3e2 ) (5e1 3e2 ) (3e2 5e1 ) (5e 2 3e1 ) A. 2 B. 2 C. 2 D. 2
2.对于菱形 ABCD,给出下列各式: ① AB = BC ② | AB |=| BC | ④ | AC | + | BD | = 4 | AB | 2
2 2

③ | AB CD |=| AD + BC |

其中正确的个数为 ( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3.在 ( ABCD 中,设 AB = a, AD = b, AC = c, BD = d ,则下列等式中不正确的是 ) A. a + b = c B. a b = d C. b a = d ( D. c a = b )

4.已知向量 a与b 反向,下列等式中成立的是 A. | a | | b |=| a b | B. | a + b |=| a b | C. | a | + | b |=| a b | D. | a | + | b |=| a + b |

5.已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),则第四个 点的坐标为( ) A.(1,5)或(5,-5) B.(1,5)或(-3,-5) C.(5,-5)或(-3,-5) D.(1,5)或(-3,-5)或(5,-5) 6.与向量 d = (12,5) 平行的单位向量为 ( )

12 ,5) A. 13 (

(
B.

12 5 12 5 12 5 , ) ( , ) ( , ) 13 13 C. 13 13 或 13 13


D.

12 5 ,± ) 13 13
( )

7.若 | a b |= A.10 3

41 20 3 , | a |= 4, | b |= 5 ,则 a与b 的数量积为
B.-10 3 C.10 2 D.10

8.若将向量 a = (2,1) 围绕原点按逆时针旋转 4 得到向量 b ,则 b 的坐标为
( 2 3 2 , ) 2 2

π

(



A.

2 3 2 , ) 2 B. 2 (

(
C.

3 2 2 , ) 2 2

3 2 2 , ) 2 2 D. (

9.设 k∈R,下列向量中,与向量 Q = (1,1) 一定不平行的向量是 A. b = (k , k )
2 2





B. c = (k ,k ) D. e = (k 1, k 1)
2 2

C. d = (k + 1, k + 1)

1 (3a )i( b) = 36 5 ,则 a与b 的夹角为 10.已知 | a |= 10, | b |= 12 ,且
A.60° B.120° C.135° D.150°





11.非零向量 a, b满足 | a |=| b |=| a + b | ,则 a, b 的夹角为

.

12.在四边形 ABCD 中,若 AB = a, AD = b, 且 | a + b |=| a b | ,则四边形 ABCD 的形状是 13.已知 a = (3,2) , b = (2,1) ,若 λ a + b与a + λ b 平行,则λ= .

2 π 14.已知 e 为单位向量,| a | =4, a与e 的夹角为 3 ,则 a在e 方向上的投影为
15.已知非零向量 a, b 满足 | a + b |=| a b | ,求证: a ⊥ b

.

16.已知在△ABC 中, AB = (2,3) , AC = (1, k ), 且△ABC 中∠C 为直角,求 k 的值.

17、设 e1 ,e2 是两个不共线的向量, AB = 2e1 + k e2 , CB = e1 + 3e2 , CD = 2e1 e2 ,若 A、 B、D 三点共线,求 k 的值.

18.已知 | a |= 2 | b |= 3 , a与b 的夹角为 60o, c = 5a + 3b , d = 3a + k b ,当当实数 k 为何值 时,⑴ c ∥ d ⑵c ⊥ d

19.如图,ABCD 为正方形,P 是对角线 DB 上一点,PECF 为矩形, 求证:①PA=EF; ②PA⊥EF.

20.如图,矩形 ABCD 内接于半径为 r 的圆 O,点 P 是圆周上任意一点, 求证:PA2+PB2+PC2+PD2=8r2.

参考答案 第 2 章 平面向量 §2.1 向量的概念及其表示 经典例题: 解:由于零向量与任一向量都共线,所以 A 不正确;由于数学中研究的向量是自由向量, 所以两个相等的非零向量可以在同一直线上, 而此时就构不成四边形, 根本不可能是一个平 行四边形的四个顶点,所以 B 不正确;向量的平行只要方向相同或相反即可,与起点是否 相同无关,所以D不正确;对于 C,其条件以否定形式给出,所以可从其逆否命题来入手考 虑,假若a与b不都是非零向量,即a与b至少有一个是零向量,而由零向量与任一向量都 共线,可有a与b共线,不符合已知条件,所以有a与b都是非零向量,所以应选 C. 当堂练习: 1.C; 2.C; 3.D; 4.C; 5.B; 6. (1) AD (2) OA, OC, OD, BO, AO, CO, DO (3) AD, BC , CB. ;

7.①②③⑤; 8.(1) BF (2) DE , CO, BF (3) AE , DE , DO, BO, CO, BF , CF (4)不相 等; 9. (1) DO, CB 10. (1) a, d (2) EO, DC (3) OC, ED ; (4) a, d , c ; (3) FB, AF ;

(2) a, d

(3)不存在

11. (1) BD, DB, DC , CD, BC , CB

(2) AE , EA, EC , CE

12. 3 种,8 种,可以(转化为相邻两个中的互跳);

§2.2 向量的线性运算 经典例题: 证明:连结 DE , EF , FD .因为 D , E , F 分别是 ABC 三边的中点,所以四边形 ADEF 为 平行四边形.由向量加法的平行四边形法则,得 ED + EF = EA (1),同理在平行四边形

BEFD 中, FD + FE = FB (2),在平行四边形 CFDE 在中, DF + DE = DC (3)
将(1)(2) (3)相加,得

EA + FB + DC = ED + EF + FD + FE + DE + DF
= ( EF + FE ) + ( ED + DE ) + ( FD + DF )

=0

当堂练习: 1.C; 2.D; 3.A; 4.C; 5.D; 6.A; 7. 3; 8. | a | =| b | ; 9. ③,④; 10. (1)a, d 不存在 (4) a, d , c ; (2)a, d (3)

11. 北偏东 30°方向,大小为 3 3 km. 12. BC = AO = AB + BO = AB + AF = a + b ;

CD = AF = b ;

AD = 2 BC = 2 a + b ;

( )

BE = 2 AF = 2b

§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 经典例题: 解 (1) AB = ( x,1) , CD = (4, x ) .∵ AB // CD ,∴ x = 4, x = ±2 .
2

(2)由已知得 BC = (2 2 x, x 1) .

∴ 当 x = 2 时, BC = ( 2,1) , AB = (2,1) ,∴ AB 和 BC 不平行,此时 A, B , C , D 不在一
条直线上; 当 x = 2 时, BC = (6, 3) , AB = ( 2,1) ∴ AB // BC ,此时 A, B , C 三点共线. 又∵ AB // CD ,∴ A, B , C , D 四点在一条直线上. 综上 当 x = 2 时, A, B , C , D 四点在一条直线上.

当堂练习: 1.B; 2.B; 3.A; 4.B; 5.D; 6.A; 7. -4; 8. 3 10 , 58 ; 9. -3,15; 10. (8,-4); 11.解析:(1) BD = BC + CD =2e1-8e2+3(e1+e2)=5e1-5e2=5 AB ∴ BD 与 AB 共线 又直线 BD 与 AB 有公共点 B, ∴A、B、D 三点共线 (2)∵λe1-e2 与 e1-λe2 共线 ∴存在实数 k,使λe1-e2=k(e1-λe2),化简得(λ-k)e1+(kλ-1)e2=0 ∵e1、e2 不共线, ∴由平面向量的基本定理可知:λ-k=0且kλ-1=0 解得λ=±1,故λ=±1. 12.解法一:∵A、B、C 三点共线即 AB 、 BC 共线

∴存在实数λ使得 AB =λ BC 即 i-2j=λ(i+mj)

λ = 1 λm = 2 于是

∴m=-2 即 m=-2 时,A、B、C 三点共线.

解法二:依题意知:i=(1,0),j=(0,1) 则 AB =(1,0)-2(0,1)=(1,-2), 而 AB 、 BC 共线

BC =(1,0)+m(0,1)=(1,m)

∴1×m-1×(-2)=0 ∴m=-2

故当 m=-2 时,A、B、C 三点共线. §2.4 平面向量的数量积 经典例题: 解:若 ∠A = 90 , 则 AB ⊥ AC ,于是 2 × 1 + 3 × k = 0
0

解得

k =

2 3;

0 若 ∠B = 90 , 则 AB ⊥ BC ,又 BC = AC AB = ( 1, k 3),

故得

2 × ( 1) + 3 × (k 3) = 0 ,
k= 11 3 ;
0

解得

若 ∠C = 90 , 则 AC ⊥ BC ,故

1 × ( 1) + k (k 3) = 0 ,
k= 3 ± 13 2 11 3 ± 13 2 2 .所求 k 的值为 3 或 3 或 .

解得

当堂练习:

1± 5 2 ; 9.2; 10. - 63; 1.C; 2.B; 3.C; 4.A; 5.D; 6.B; 7. 450; 8.
11. a =(-1,2)

b =(-2,-1)

a b =0 CB = (4,1 y)
,即-4+(y-2)(-1-y)=0 y2-y+2=0,此方程无实数解,所

12. 令 C(0,y),则 AC =(-1,y-2)

因为 ∠ ACB=900,所以 AC CB =0

以这样的点不存在. §2.5 平面向量的应用 经典例题: 解 : 设 OA, OB, OC 三 根 绳 子 所 受 力 分 别 是 a, b, c , 则 a + b + c = 0 , a , b 的 合 力 为

c ' = a + b,| c ' |=| c | , 如上右图, 在平行四边形 OB ' C ' A ' 中, 因为 OB ' ⊥ OC ', B ' C ' = OA ' ,
所以 | OA ' |>| OB ' |,| OA ' |>| OC ' | .即 | a |>| b |,| a |>| c | ,所以细绳 OA 受力最大. 当堂练习: 1.D; 2.C; 3.D; 4.A; 5. 5 3 km/h; 6. 粒子 b 相对于粒子 a 的位移为(1,7), S 在 Sa 方向上的投影 为-5;

m n b+ a m+n ; 7. OP = m + n
1

8. OP = 2 9.略;

a+

n m+n

(a - b)

;

13 10.| BC |=14,cos∠ABC= 14
§2.6 平面向量单元测试 1.A; 2.C; 3.B; 4.C; 5.D; 6.C; 7.A; 8.B; 9.C; 10.B; 11. 120°; 12. 矩形
2

13、

±1
2

14.

2

15.证:

∵ a+b = ab a+b = a+b a+b = ab

(

) (
2

)

2

a + 2ab + b = a 2ab + b ab = 0

2

2

2

2

又 ∵ a, b为非零向量
16.解:

∴a ⊥ b

∵ BC = AC AB = (1, k ) (2,3) = (1, k 3)

∵ ∠C为RT∠ AC ⊥ BC AC BC = 0 (1, k ) (1, k 3) = 0

1 + k 2 3k = 0 k =

3 ± 13 2

17.

∵ BD = CD CB = 2e1 e2 e1 + 3e2 = e1 4e2

(

)

若 A,B,D 三点共线,则 AB与BD 共线,

∴设 AB = λ BD


2e1 + k e2 = λ e1 4λ e2
2e1 = λ e1 k e2 = 4λ e2

e 与e2不共线 可得: 由于 1
故λ

= 2, k = 8
k= 9 5
⑵若 c ⊥ d 得

18.⑴若 c ∥ d 得

k =

29 14

19.解以 D 为原点 DC 为 x 轴正方向建立直角坐标系 则 A(0,1), C:(1,0) B:(1,1)

设DP = r , 则P (
∴ PA = (

2 2 r, r) 2 2

2 2 r ,1 r) 2 2

∵ E点为(1,
∴| PA |= (
故 PA

2 2 r ), F : ( r ,0) ∴ EF = ( 2 r 1, 2 r ) 2 2 2 2
2 2 2 2 r ) + (1 r) 2 2
∴| EF |= (1 2 2 2 2 r ) + ( r) 2 2

= EF

而 PA EF = 0 PA ⊥ EF
20.证:∵ BD

= PD PB, AC = PC PA

∴| BD |2 = ( PD PB ) 2 =| PD |2 2 PB PD + | PB |2 | AC |2 = ( PC PA) 2 =| PC |2 2 PC PA+ | PA |2 BD, AC为直径, 故 PD ⊥ PB, PA ⊥ PC PD PB = PA PC = 0

∴| BD |2 + | AC |2 =| PA |2 + | PB |2 + | PC |2 + | PD |2
即 4r
2

+ 4r 2 = PA2 + PB 2 + PC 2 + PD 2 = 8r 2


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