kl800.com省心范文网

1.2解三角形应用举例第1课时距离、高度问题140906


课题:§1.2 应用举例(第一课时 测量距离问题) 课时: 3 课时
课标解读:1、能将实际问题转化为解三角形问题。 (难点) 2、能够用正弦定理、余弦定理等知识和方法节与距离高度有关的实际应用问 题。 (重点) ●教学过程 一、复习旧知 复习提问 1、什么是正弦定理、余弦定理。 2、定理的图形语言、符号语言、文字语言的表述。 3、定理的变形公式有哪些? 4、它们分别可

以解决哪些类型的三角形。 二、课题导入 引用主编寄语的话:数学是有用的,与社会、生产、生活、科学技术联系密切。正弦 定理、余弦定理有哪些实际应用呢----引出本节课题:今天我们开始学习正弦定理、余弦 定理在科学实践中的重要应用,首先研究如何测量距离。 知识 1 基线的概念 1、 设置情境:每周一升国旗时,你知道我们学校旗杆的高度是多少吗?能直接测 量吗?如何求出旗杆的高度呢?---学生思考并提出解决问题的方案,在地面上选一条基 线。 2、基线的定义:在测量上,根据需要适当确定的线段叫做基线。 3、基线的性质:在测量过程中,要根据实际需要选取合适的基线长度,使测量具有较 高的精确度,一般来说,基线越长,测量的精确度越高。 (学生完成填空。 ) 4、练习:测量从一个可到达的点 A 到一个不可到达的点 B 之间的距离问题时(如图) , 选取了可到达的一点 C 做出 ? ABC,其中基线为 ( ) A。 AB B、AC C、BC D、 ? ABC C

A 三、主题:实际生活中如何利用正、余弦定理求距离问题 (类型一)求两点间可视但不可到达的距离问题: [例题讲解]
1

B

例 1、如图,设 A、B 两点在河的两岸,要测 量两点之间的距离, 测量者在 A 的同侧所在的河岸 边 选 定 一 点 C , 测 出 AC 的 距 离 是 1 2 0 m , ? BAC= 45 ? , ? ACB= 75 ? 。求 A、B 两点的距离(精 确到 0.1m) 启发提问: ? ABC 中,根据已知的边和对应角,运用哪个定理比较适当? 分析:这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题,题目 条件告诉了边 AB 的对角,AC 为已知边,再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知 角算出 AC 的对角,应用正弦定理算出 AB 边。 解:根据正弦定理,得
AB sin ?ACB

= AB = = = =


AC sin ?ABC
AC sin ?ACB sin ?ABC

120 sin ?ACB sin ?ABC

120sin 75? sin(180? ? 45? ? 75?)
55 sin 75? =20(3) sin 60?

20 3 3

答:A、B 两点间的距离为米 小结:1)解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意,正确做出图形,把实际问 题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角,通过建立数学模型来求解 举一反三: 1如图,设 A、B 两点在河的两岸,一测量者在A的同侧,在A所在的河岸边选定一 点C,测出AC的距离为50m, ? ACB= 45 ? , ? BAC=105 ? ,求 A、B 两点的距离。 B


2



2海上有 A、B 两个小岛相距 10 海里,从 A 岛望 C 岛和 B 岛成 60 的视角,从 B 岛望 C 岛和 A 岛成 75 的视角,问:B、C 间的距离。 (类型二)求不可到达两点之间的距离问题: 例2、2013 年 12 月 26 日上午,日本首相安倍晋三参拜了靖国神社.这是安倍两次 出任首相以来首次参拜,引起周边国家的强烈谴责,我军为了加强防范外敌入侵加强军 事演习.在某次军事演习中红方为了准确分析战场形势,在两个相距为
?

?

3a 的军事基地 2

C 和 D 测得蓝方两只精锐部队分别在 A 处和 B 处,且

A B

?ADB ? 30?



?BDC ? 30?



?DCA ? 60?



?ACB ? 45? ,如图所示,求蓝方这两只精锐部队的距离.
思路探索:可将AB放在 ? ABC 中来求,为此应先求处AC和 BC,再用余弦定理求AB。 解:在△ BDC 中, ?DBC ? 180 ? 30 ? 105 ? 45 ,
? ? ? ?

D

C

所以,由正弦定理得: BC ?

DC sin 30? 6 ? a. ? sin 45 4
? ? ? ?

在△ ADC 中, ?DAC ? 180 ? 60 ? 60 ? 60 , 所以, AC ? DC ?

3 a. 2

因此,在△ ACB 中由余弦定理得:

AB ? AC2 ? BC2 ? 2 AC ? BC cos45?
? ( ? 3 2 6 2 3 6 2 a) ? ( a) ? 2 ? a? a? 2 4 2 4 2

6 a. 4

例 3、如图,A、B 两点都在河的对岸(不可到达) ,设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。 分析:这是例 1 的变式题,研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构
3

造三角形,所以需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边 既可求出另两边的方法,分别求出 AC 和 BC,再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。

解:测量者可以在河岸边选定两点 C、D,测得 CD=a,并且在 C、D 两点分别测得 ? BCA= ? ,

? ACD= ? , ? CDB= ? , ? BDA = ? ,在 ? ADC 和 ? BDC 中,应用正弦定理得
AC = BC =
a sin(? ? ? ) sin[180? ? ( ? ? ? ? ? )] a sin ? sin[180? ? (? ? ? ? ? )]

= =

a sin(? ? ? ) sin(? ? ? ? ? ) a sin ? sin(? ? ? ? ? )

计算出 AC 和 BC 后,再在 ? ABC 中,应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离 AB =
AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cos ?

变式训练: 若在河岸选取相距 40 米的 C、 D 两点, 测得 ? BCA=60 ? , ? ACD=30 ? , ? CDB=45 ? ,

? BDA =60 ? ,求 AB 间的距离
解:AB=20 6 评注:在研究三角形时,灵活根据两个定理可以寻找到多种解决问题的方案,但有些过程 较繁复,如何找到最优的方法,最主要的还是分析两个定理的特点,结合题目条件来选择 最佳的计算方式。 四:当堂训练 1、海上有 A、B、C 三个小岛,已知 A、B 之间相距 8 海里,A、C 之间相距 5 海里,在 A 岛 测得 B 岛和 C 岛的视角为 60 ? ,问:B 岛与 C 岛相距多少海里? 2、课本第 14 页练习第 1、2 题 五、课堂小结 解斜三角形应用题的一般步骤:
4

(1)分析:理解题意,分清已知与未知,画出示意图 (2)建模:根据已知条件与求解目标,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中, 建立一个解斜三角形的数学模型 (3)求解:利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形,求得数学模型的解 (4)检验:检验上述所求的解是否符合实际意义,从而得出实际问题的解 六:布置作业:课本第

23 页练习第 9、10、11 题

5