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2013年北京市西城区高三二模文科数学试题及答案


北京市西城区 2013 年高三二模试卷

高三数学(文科)
第Ⅰ卷(选择题
共 40 分)

2013.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题 目要求的一项. 1.复数 i ? (1 ? i) ? (A) 1 ? i (B) ?1 ?

i (C) 1 ? i (D) ?1 ? i

2.已知向量 a ? ( ? 3,1) , b ? ( 3, ? ) .若 a 与 b 共线,则实数 ? ? (A) ?1 (B) 1 (C) ?3 (D) 3

3.给定函数:① y ? x ;② y ? 2 ;③ y ? cos x ;④ y ? ? x ,其中奇函数是
2
x

3

(A)①

(B)②

(C)③

(D)④

4.若双曲线 x ?
2

y2 k

? 1 的离心率是 2 ,则实数 k ?
(B) ?3 (C)
1 3

(A) 3

(D) ?

1 3

5.如图所示的程序框图表示求算式“ 2 ? 3 ? 5 ? 9 ? 17 ” 之值, 则判断框内可以填入 (A) k ? 10 (B) k ? 16 (C) k ? 22 (D) k ? 34

第 1 页 共 11 页

6.对于直线 m , n 和平面 ? , ? ,使 m ? ? 成立的一个充分条件是 (A) m ? n , n ∥ ? (C) m ? ? , n ? ? , n ? ? (B) m ∥ ? , ? ? ? (D) m ? n , n ? ? , ? ? ?

7.已知函数 f ( x ) ? e ? | x | .若关于 x 的方程 f ( x ) ? k 有两个不同的实根,则实数 k 的取
| x|

值范围是 (A) (0,1) (B) (1, ?? ) (C) ( ?1, 0) (D) ( ?? , ?1)

8.已知集合 {1, 2, 3, 4, 5} 的非空子集 A 具有性质 P :当 a ? A 时,必有 6 ? a ? A .则具有性 质 P 的集合 A 的个数是 (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

第 2 页 共 11 页

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.已知直线 l1 : x ? 3 y ? 1 ? 0 , l2 : 2 x ? my ? 1 ? 0 .若 l1 ∥ l2 ,则实数 m ? ______.

10.右图是甲,乙两组各 6 名同学身高(单位: cm )数据 的茎叶图.记甲,乙两组数据的平均数依次为 x甲 和 x 乙 , 则 x甲 ______ x 乙 . (填入: ? ”“ ? ” “ , ,或“ ? ” )

11.在△ ABC 中, BC ? 2 , AC ?

7 ,B ?

? 3

,则 AB ? ______;△ ABC 的面积是______.

12.设 a , b 随机取自集合 {1, 2, 3} ,则直线 ax ? by ? 3 ? 0 与圆 x ? y ? 1 有公共点的概率是
2 2

______.

13. 已知命题 p : 函数 y ? (c ? 1) x ? 1 在 R 上单调递增; 命题 q : 不等式 x ? x ? c ? 0 的解集是 ? . 若
2

p 且 q 为真命题,则实数 c 的取值范围是______.
??? ??? ? ? ?0 ? OP ? OA ? 1, ? 14.在直角坐标系 xOy 中,已知两定点 A(1, 0) , B (1,1) .动点 P ( x, y ) 满足 ? 则点 ??? ??? ? ? ?0 ? OP ? OB ? 2. ?

P 构成的区域的面积是______;点 Q ( x ? y , x ? y ) 构成的区域的面积是______.

第 3 页 共 11 页

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分) 已知等比数列 {an } 的各项均为正数, a2 ? 8 , a3 ? a4 ? 48 . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log 4 an .证明: {bn } 为等差数列,并求 {bn } 的前 n 项和 S n .

16. (本小题满分 13 分) 如图,在直角坐标系 xOy 中,角 ? 的顶点是原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边交单位圆于点

? ? ? 且 将角 ? 的终边按逆时针方向旋转 , 交单位圆于点 B . A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) . 记 A , ? ?? , ) . 6 2 3 1 (Ⅰ)若 x1 ? ,求 x 2 ; 3
(Ⅱ)分别过 A, B 作 x 轴的垂线,垂足依次为 C , D .记△ AOC 的面积为 S 1 ,△ BOD 的面积为 S 2 .若 S1 ? 2 S 2 ,求角 ? 的值.

17. (本小题满分 14 分) 如图 1,在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 底面 ABCD ,面 ABCD 为正方形, E 为侧棱 PD 上 一点, F 为 AB 上一点.该四棱锥的正(主)视图和侧(左)视图如图 2 所示. (Ⅰ)求四面体 PBFC 的体积; (Ⅱ)证明: AE ∥平面 PFC ; (Ⅲ)证明:平面 PFC ? 平面 PCD .

第 4 页 共 11 页

18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ?

2 3

x 3 ? 2 x 2 ? (2 ? a ) x ? 1 ,其中 a ? 0 .

(Ⅰ)若 a ? 2 ,求曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值.

19. (本小题满分 14 分) 如图,椭圆 C : x ?
2

y2 m

? 1 (0 ? m ? 1) 的左顶点为 A , M 是椭圆 C 上异于点 A 的任意一点,

点 P 与点 A 关于点 M 对称. (Ⅰ)若点 P 的坐标为 ( ,

9 4 3 5 5

) ,求 m 的值;

(Ⅱ)若椭圆 C 上存在点 M ,使得 OP ? OM ,求 m 的取值范围.

20. (本小题满分 13 分) 已知集合 S n ? {( x1 , x2 , ? , xn ) | x1 , x2 , ? , xn 是正整数 1, 2, 3, ? , n 的一个排列 } ( n ? 2) ,函数

?1, x ? 0, g ( x) ? ? ? ?1, x ? 0.

b 对于 ( a1 , a2 , … an ) ? S n , 定义: i ? g ( ai ? a1 ) ? g ( ai ? a2 ) ? ? ? g ( ai ? ai ?1 ), i ? {2, 3, ? , n} , b1 ? 0 ,称 bi 为 a i 的满意指数.排列 b1 , b2 ,? , bn 为排列 a1 , a2 , ? , an 的生成列.
(Ⅰ)当 n ? 6 时,写出排列 3, 5,1, 4, 6, 2 的生成列;

? ? ? (Ⅱ)证明:若 a1 , a2 , ? , an 和 a1 , a2 , ? , an 为 S n 中两个不同排列,则它们的生成列也不同;
(Ⅲ)对于 S n 中的排列 a1 , a2 , ? , an ,进行如下操作:将排列 a1 , a2 , ? , an 从左至右第一个满意 指数为负数的项调至首项,其它各项顺序不变,得到一个新的排列.证明:新的排列的各项满意指 数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 2 .

第 5 页 共 11 页

北京市西城区 2013 年高三二模试卷

高三数学(文科)参考答案及评分标准
2013.5 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. A; 2.A; 3.D; 4.B; 5.C; 6.C; 7.B; 8.B.

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. ?6 ; 10. ? ; 13. (1, ?? ) ; 11. 3 ,

3 3 2



12.

5 9



14. 2 , 4 .

注:11、14 题第一空 2 分,第二空 3 分.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.若考生的解法与本解答不同,正确者可参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:设等比数列 {an } 的公比为 q ,依题意 q ? 0 . 因为 a2 ? 8 , a3 ? a4 ? 48 , 两式相除得 q ? q ? 6 ? 0 ,
2

??????1 分

??????3 分 ??????4 分

解得 q ? 2 , 舍去 q ? ?3 . 所以 a1 ?

a2 q

?4.
n ?1

??????6 分

所以数列 {an } 的通项公式为 an ? a1 ? q (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得 bn ? log 4 an ? 因为 bn ?1 ? bn ?

? 2 n ?1 .

??????7 分 ??????9 分

n ?1 2 1 2




n?2 2

?

n ?1 2

?

所以数列 {bn } 是首项为 1 ,公差为 d ? 所以 S n ? nb1 ?

1 2

的等差数列.

??????11 分

n ( n ? 1) 2

d?

n 2 ? 3n 4



??????13 分

第 6 页 共 11 页

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:由三角函数定义,得 x1 ? cos ? , x2 ? cos(? ? 因为 ? ? ? , ) , cos ? ?

? 3

).

??????2 分

? ? 6 2

1 3



所以 sin ? ? 1 ? cos ? ?
2

2 2 3



??????3 分

所以 x2 ? cos(? ?

? 3

)?

1 2

cos ? ?

3 2

sin ? ?

1? 2 6 6



??????5 分

(Ⅱ)解:依题意得 y1 ? sin ? , y2 ? sin(? ? 所以 S1 ?

? 3

).
??????7 分

1 2 1

x1 y1 ?

1 2

cos ? ? sin ? ? 1

1 4 ?

sin 2? ,

? 1 2? [ ? cos(? ? )] ? sin(? ? ) ? ? sin(2? ? ) . ?????9 分 2 2 3 3 4 3 2? 依题意得 sin 2? ? ?2 sin(2? ? ), 3 S2 ? | x2 | y 2 ?
整理得 cos 2? ? 0 . 因为 ??????11 分

? 6

?? ? ? 2

? 2

, 所以

? 3 ? 4

? 2? ? ? ,
??????13 分

所以 2? ?

, 即 ? ?



17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:由左视图可得 F 为 AB 的中点, 所以 △ BFC 的面积为 S ? 因为 PA ? 平面 ABCD , 所以四面体 PBFC 的体积为

1 ? 1 ? 2 ? 1 .??????1 分 2
??????2 分

VP ? BFC ?

1 S ?BFC ? PA 3 1 2 ? ?1 ? 2 ? . 3 3

??????3 分 ??????4 分 ??????5 分

(Ⅱ)证明:取 PC 中点 Q ,连结 EQ , FQ . 由正(主)视图可得 E 为 PD 的中点,所以 EQ ∥ CD , EQ ? 又因为 AF ∥ CD , AF ?

1 CD . ??????6 分 2

1 CD , 所以 AF ∥ EQ , AF ? EQ . 2
第 7 页 共 11 页

所以四边形 AFQE 为平行四边形,所以 AE ∥ FQ . 因为 AE ? 平面 PFC , FQ ? 平面 PFC , 所以 直线 AE ∥平面 PFC . (Ⅲ)证明:因为 PA ? 平面 ABCD ,所以 PA ? CD . 因为面 ABCD 为正方形,所以 AD ? CD . 所以 CD ? 平面 PAD . 因为 AE ? 平面 PAD ,所以 CD ? AE . 因为 PA ? AD , E 为 PD 中点,所以 AE ? PD . 所以 AE ? 平面 PCD . 因为 AE ∥ FQ ,所以 FQ ? 平面 PCD . 因为 FQ ? 平面 PFC , 所以 平面 PFC ? 平面 PCD .

??????8 分

??????9 分

??????11 分

??????12 分 ??????13 分 ??????14 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: f ( x ) 的定义域为 R , 且 f ?( x ) ? 2 x ? 4 x ? 2 ? a .
2

??????2 分

当 a ? 2 时, f (1) ? ?

1 3

, f ?(1) ? ?2 ,

所以曲线 y ? f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? 即 6x ? 3y ? 5 ? 0 . (Ⅱ)解:方程 f ?( x ) ? 0 的判别式 ? ? 8a ? 0 , 令 f ?( x ) ? 0 ,得 x1 ? 1 ?

1 3

? ?2( x ? 1) ,
??????4 分 ??????5 分

2a 2

,或 x2 ? 1 ?

2a 2



??????6 分

f ( x ) 和 f ?( x ) 的情况如下:
x
f ?( x) f ( x)
( ?? , x1 )
x1

( x1 , x2 )
?


x2

( x2 , ? ?)

?


0

0

?


故 f ( x ) 的单调增区间为 ( ?? , 1 ?

2a 2

(1 ), ?

2a 2

单调减区间为 (1 ? , ?? ) ;

2a 2

,1 ?

2a 2

).

??????9 分

第 8 页 共 11 页

① 当 0 ? a ? 2 时, x2 ? 2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2, 3) 上单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值是 f (2) ?

7 3

? 2a .

??????10 分

② 当 2 ? a ? 8 时, x1 ? 2 ? x2 ? 3 ,此时 f ( x ) 在区间 (2, x2 ) 上单调递减,在区间 ( x2 , 3) 上 单调递增, 所以 f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值是 f ( x2 ) ?

5 3

?a?

a 2a 3



??????12 分

③ 当 a ? 8 时, x1 ? 2 ? 3 ? x2 ,此时 f ( x ) 在区间 (2, 3) 上单调递减, 所以 f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值是 f (3) ? 7 ? 3a . 综上,当 0 ? a ? 2 时, f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值是 ??????13 分

7 3

? 2 a ;当 2 ? a ? 8 时, f ( x ) 在

区间 [2, 3] 上的最小值是

5 3

?a?

a 2a 3

;当 a ? 8 时, f ( x ) 在区间 [2, 3] 上的最小值是 7 ? 3a .

19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:依题意, M 是线段 AP 的中点, 因为 A( ?1, 0) , P ( ,

9 4 3 5 5

),

所以 点 M 的坐标为 ( ,

2 2 3 5

5

) . ??????2 分

由点 M 在椭圆 C 上, 所以

4 25

?

12


解得 m ?

25m 4

?1,

??????4 分 ??????6 分
2 y0

7
2

(Ⅱ)解:设 M ( x0 , y0 ) ,则 x0 ?

m

? 1 ,且 ?1 ? x0 ? 1 .



??????7 分

因为 M 是线段 AP 的中点, 所以 P (2 x0 ? 1, 2 y0 ) . 因为 OP ? OM , ??????8 分

第 9 页 共 11 页

所以 x0 (2 x0 ? 1) ? 2 y0 ? 0 .
2


2 2 x0 ? x0 2 2 x0 ? 2

??????9 分

由 ①,② 消去 y 0 ,整理得 m ?



??????11 分

所以 m ? 1 ?

1 6 2( x0 ? 2) ? ?8 x0 ? 2

?

1 2

?

3 4



??????13 分

当且仅当 x0 ? ?2 ? 3 时,上式等号成立.

所以 m 的取值范围是 (0,

1 2

?

3 4

].

??????14 分

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:当 n ? 6 时,排列 3, 5,1, 4, 6, 2 的生成列为 0,1, ?2,1, 4, 3 . ??????3 分

? ? ? ? ? (Ⅱ)证明:设 a1 , a2 , ? , an 的生成列是 b1 , b2 , ? , bn ; a1 , a2 , ? , an 的生成列是与 b1?, b2 , ? , bn . ? ? ? ? ? 从右往左数,设排列 a1 , a2 , ? , an 与 a1 , a2 , ? , an 第一个不同的项为 a k 与 a k ,即: an ? an , ? ? ? an ?1 ? an ?1 , ? , ak ?1 ? ak ?1 , ak ? ak . ? ? ? ? 显然 bn ? bn , bn ?1 ? bn ?1 , ? , bk ?1 ? bk ?1 ,下面证明: bk ? bk .
??????5 分

由满意指数的定义知, a i 的满意指数为排列 a1 , a2 , ? , an 中前 i ? 1 项中比 a i 小的项的个数减 去比 a i 大的项的个数. 由于排列 a1 , a2 , ? , an 的前 k 项各不相同, 设这 k 项中有 l 项比 a k 小, 则有 k ? l ? 1 项比 a k 大, 从而 bk ? l ? ( k ? l ? 1) ? 2l ? k ? 1 .

? ? ? ? ? ? 同理,设排列 a1 , a2 , ? , an 中有 l ? 项比 a k 小,则有 k ? l ? ? 1 项比 a k 大,从而 bk ? 2l ? ? k ? 1 . ? ? ? ? 因为 a1 , a2 , ? , ak 与 a1 , a2 , ? , ak 是 k 个不同数的两个不同排列,且 ak ? ak ,

? 所以 l ? l ? , 从而 bk ? bk .
? ? ? 所以排列 a1 , a2 , ? , an 和 a1 , a2 , ? , an 的生成列也不同.
??????8 分

(Ⅲ)证明:设排列 a1 , a2 , ? , an 的生成列为 b1 , b2 ,? , bn ,且 a k 为 a1 , a2 , ? , an 中从左至右第一个 满意指数为负数的项,所以 b1 ? 0, b2 ? 0, ? , bk ?1 ? 0, bk ? ?1 .
第 10 页 共 11 页

??????9 分

依题意进行操作,排列 a1 , a2 , ? , an 变为排列 ak , a1 , a2 , ? ak ?1 , ak ?1 , ? , an ,设该排列的生成

? ? 列为 b1?, b2 , ? , bn . ? ? 所以 (b1? ? b2 ? ? ? bn ) ? (b1 ? b2 ? ? ? bn )

??????10 分

? [ g ( a1 ? ak ) ? g ( a2 ? ak ) ? ? ? g ( ak ?1 ? ak )] ? [ g ( ak ? a1 ) ? g ( ak ? a2 ) ? ? ? g (a k ? a k ?1 )]
? ? [g (a ? 1 ) ? g (ka ? 2 a ) ? 2 a ? k ? g k a ?k 1a ) ] ( ?

? ?2bk ? 2 .
所以,新排列的各项满意指数之和比原排列的各项满意指数之和至少增加 2 . ??????13 分

第 11 页 共 11 页


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