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26.1.5


二次函数y=a(x-h)2+k 的图象和性质

2 请说出二次函数y=ax? +k与y=ax? 的平移关系。
y=a(x-h)2与y=ax? 的平移关系 将抛物线y=ax? 沿y轴方向平移k个单位,得抛物线 y =ax? +k 上加下减

将抛物线y=ax? 沿x轴方向平移h个单位,得抛物线
y=a(x-h)2 左加右减 3 请说出二次函数y=2(x-3)2与抛物线 y=2x2 +3 如何 由y=2x2 平移而来 拋物线y=2x2向右平移3个单位得y=2(x-3)2 拋物线y=2x2向上平移3个单位得y=2x2 +3

说出平移方式,并指出其顶点与对称轴。 c>0 上移 y=ax2 c<0 下移 左加 y=ax2 右减 y=a(x-h)2 y=ax2+c

1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1的图像.指出它的开口 例3.画出函数 2

方向、顶点与对称轴、 解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …

1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 …

再描点画图.

画图

解: 先列表
x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 …
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 … 2

-5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 … 直线x=-1
1
y -5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 x -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1
2

再描点、连线 (1)抛物线
1 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2

的开口方向、对称轴、顶点? 1 2 抛物线 y ? ? ( x ? 1) ? 1 2 的开口向下,

对称轴是直线x=-1,

顶点是(-1, -1).

1 (2)抛物线 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 2 1 y ? ? x2 2

有什么关系?

1

y x

-5 -4 -3 -2 -1 o 1 2 3 4 5 -1 1 -2 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 平移方法1: 2 -3 -4 1 2向下平移 1 2 y?? x y ? ? x ?1 -5 2 1个单位 2 -6 -7 向左平移 y ? ? 1 ( x ? 1) 2 ? 1 -8 2 1个单位 -9 -10

平移方法2:

x=-1

1 1 2 向左平移 1 2 向下平移 y ? ? ( x ? 1) 2 ? 1 y?? x y ? ? ( x ? 1) 2 2 1个单位 2 1个单位

一般地,抛物线y=a(x-h)2+k 与y=ax2形状相同,位置不同.把抛物线 y=ax2向上(下)向右(左)平移,可以得到 抛物线y=a(x -h)2+k.平移的方向、距 离要根据h、k的值来决定.
平移方法: y=ax2向左(右)平移 y=a(x-h)2 向上(下)平y=a(x-h)2+k |h|个单位 移|k|个单位 y=ax2 向上(下)平 y=ax2+k 向左(右)平 y=a(x-h)2+k 移|h|个单位 移|k|个单位

各种形式的二次函数的关系
左 右 平 移

y = a( x - h )2 + k

上 下 平 移

y = ax2 + k
上下平移

y = a(x - h )2
左右平移

y=

ax2

结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k 与y = ax2形状相同,位置不同。

如何平移:
3 y ? ( x ? 1) 2 4

3 2 y ? ( x ? 1) ? 2 4

3 y ? ( x ? 3) 2 ? 3 4

3 y ? ( x ? 5) 2 ? 2 4

2+k有如下 抛物线y=a(x-h)

特点:

(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向上; (2)对称轴是直线x=h;
(3)顶点是(h,k).

1.完成下列表格: 二次函数 y=2(x+3)2+5 开口方向 向上 对称轴 顶点坐标

直线x=-3 (-3, 5 ) 直线x=1 ( 1 , -2 )

y=-3(x-1)2-2
y = 4(x-3)2+7

向下
向上 向下

直线x=3
直线x=2

( 3 , 7)
( 2 , -6 )

y=-5(2-x)2-6

2.请回答抛物线y = 4(x-3)2+7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =-4(x-3)2+7能够由抛物线y=-4x2平移得到 吗?

1.对称轴是直线x=-2的抛物线是(
A.

C
2

)

牛刀小试

C.

y ? 2x ? 2 2 1 2 y ? ? ( x ? 2) ? 2 D. y ? ?5( x ? 2) ? 6
2

y ? ?2 x ? 2
2

B.

2.抛物线 A.

y ? 2( x ? m) ? n
2

的顶点坐标是( C

)

(m,n) (?m,n)

B.

(m,-n)
(?m,-n)
2

C.

D.

3. 抛物线 y

? ?5( x ? m ? n) ? n ? m 的对称

轴 直线x=n-m .

灵活变通
若二次函数
(-2,3)

1 2 ,则平移后的函数解析式为 y ? ( x ? 2) ? 3 . 2

1 2 y? x 2

经过平移变换后顶点坐标为

在平面直角坐标系中,如果抛物线 y ? 2 x2 不动,

而把x轴、y轴分别向上、向右平移2个单位,那么在
新坐标系下抛物线的解析式是 y ? 2( x ? 2)
2

?.2

(1)与抛物线y=2x2的形状相同,且顶点 是(-2,3) 的抛物线是________ (2)顶点是(2,-3) ,且过(-1,2)的抛物 线是______ (3)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于y轴对称 后的抛物线是______

(4)将抛物线y=-2(x-3)2+2关于x轴对称 后的抛物线是______

(5)抛物线y=a(x+2)2-3经过点(0,0), 则a= 。 (6)抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平 移2个单位得到的抛物线是 。 (7)抛物线y=2(x+m)2+n的顶点是 。

二次函数y=a(x-m)2+2m,无论m为何实 数,图象的顶点必在( )上 A)直线y=-2x上 C)y轴上 B)x轴上 D)直线y=2x上

对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b 为常 数,点( 3 ,y1) 点( 5 ,y2)试比较y1,y2,的大小

二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象和性质
抛物线 顶点坐标 对称轴 开口方向 最值

y=a(x-h)2+k(a>0)

y=a(x+h)2+k(a<0)

( h ,k )

( -h , k )

直线 x = h
向上

直线x ? ?h
向下

当x=h时,最小值为k

当x ? ?h时,最大值为 k

例4.要修建一个圆形喷水池,在池中 心竖直安装一根水管.在水管的顶端 安装一个喷水头,使喷出的抛物线形 水柱在与池中心的水平距离为1m处 达到最高,高度为3m,水柱落地处离 池中心3m,水管应多长? y 解:如图建立直角坐标系, B(1,3) 点(1,3)是图中这段抛物线的顶点. 3 因此可 设这段抛物线对应的函数是 A 2 y=a(x-1)2+3 (0≤x≤3) ∵这段抛物线经过点(3,0) 2+3 解得: a=- 3 1 ∴ 0=a(3-1) 4 因此抛物线的解析式为: 2 1 O 3 2+3 (0≤x≤3) y=-4 (x-1) 当x=0时,y=2.25 答:水管长应为2.25m.

C(3,0) x 3

一个运动员推铅球,铅球出手点在A处, 出手时球离地面 1 2 m
3

,铅球运行所经

过的路线是抛物线,已知铅球在运动员前 4m处达到最高点,最高点高为3m,你 能算出该运动员的成绩吗?

3米
2 1 3

4米


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