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两角和与差的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式


考点 5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式,二倍角公式
1. (15 盐城市盐都区时杨中学届高三上学期 1 月调考)若 cos(? ? ) ?
的值是______. 【考点】二倍角的余弦,三角函数的化简求值. 【答案】 ?

π 3

1 n ( i s , 则2 3

? ) ?

/>π 6

7 9 π 3 1 , 3

【分析】∵ cos(? ? ) ? ∴ sin(2? ? ) ? cos(

π 6

π π 2π π ? 2? ? ) ? cos(2? ? ) ? 2 cos 2 (? ? ) ? 1 2 6 3 3

? 2? (

1 7 ) ?1 ? ? . 3 9

2

2.

(15 泰州一模)在平面直角坐标系 xOy 中,角 α 的终边经过点 P(3,4).

(1)求 sin(α+

π )的值; 4

(2)若 P 关于 x 轴的对称点为 Q,求 OP ? OQ 的值. 【考点】 平面向量数量积的运算;两角和的正弦函数. 【解】(1)∵角 α 的终边经过点 P(3,4),∴ sin ? ? ∴ sin ? ?

??? ? ????

4 3 , cos ? ? …(4 分) 5 5

π? π π 4 2 3 2 7 ? ? ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? ? ? ? 2 .…(7 分) 4? 4 4 5 2 5 2 10 ?

(2)∵P(3,4)关于 x 轴的对称点为 Q,

(3, ? 4) ∴Q .…(9 分)
∴ OP ? (3, 4), OQ ? (3, ?4) , ∴ OP ? OQ ? 3? 3 ? 4 ? (?4) ? ?7 .

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

…(14 分)

3.(2015 高考冲刺压轴卷(江苏)试卷一)函数 f ( x) ? sin x cos x 的最小正周期为________.
【考点】二倍角公式及三角函数的周期. 【答案】 π 【分析】 f ( x) ? sin x cos x ?

1 2π sin 2 x ? T ? ? π. 2 2
2015 届高三上学期 10 月调考数学试卷 ) 函数

4 . ( 江苏省淮安市淮阴区南陈集中学
y=4sin2xcos2x 的最小正周期是________. 【考点】二倍角公式及三角函数的周期.

【答案】

π 2 2π 2π π ? ? . w 4 2

【分析】y=4sin2xcos2x=2sin4x,∴ T ?

5. (徐州市 2014 届高考信息卷) 已知正三棱柱 ABC ? A1 B 1 C1 的底面边长与侧棱长相等. 蚂
蚁甲从 A 点沿表面经过棱 BB1 , CC1 爬到点 A1 ,蚂蚁乙从 B 点沿表面经过棱 CC1 爬到点

A1 . 如 图 , 设 ?PAB ? ? , ?QBC ? ? , 若 两 只 蚂 蚁 各 自 爬 过 的 路 程 最 短 , 则
. 【考点】正三棱柱的侧面展开图;两角和的正切公式.

? ?? ?

第 5 题图 Zl062

? 4 【分析】通 过 其 侧 面 展 开 图 可 知
【答案】

第 5 题图

Zl063 tan ? ? tan ? 1 1 π ? 1 ,故 ? ? ? ? . tan ? ? , tan ? ? ,所以 tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? 3 2 4

6. (2015 苏州市高三上调考)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,点 A,B,C 均在单位圆
上,已知点 A 在第一象限且横坐标是

(1)设∠COA= ? ,求 sin2 ? 的值; (2)若△ AOB 为正三角形,求点 B 的坐标.

3 ,点 B 在第二象限,点 C(1,0) . 5

JSY37 第 6 题图 【考点】二倍角的正弦;任意角的三角函数的定义. 【解】 (1)由题意, cos ? ? ∴ sin2? ? 2sin? cos? ?

3 4 , sin ? ? , 5 5

24 . 25

(2)∵△AOB 为正三角形, ∴ cos(? ? 60? ) ?

3? 4 3 4?3 3 , sin(? ? 60? , ) ? 10 10

∴B(

3? 4 3 4?3 3 , ) . 10 10
π 6 4 π ,则 sin(2 ?+ ) 5 12

7. (2015 江苏省南京市高三考前综合)设 α 是锐角,且 cos(?+ )=
的值为 .

【考点】考查同角三角函数,倍角三角函数,和角三角函数; 【答案】

17 2 50
π π 2π π 4 <?+ < (+ = ) ,所以 , 因 为 c o s? 6 6 3 6 5

【分析】因为 α 是锐角,所以

s i n? (+

π 3 = ) . 6 5


π π π 24 sin2(?+ )=2sin(?+ )cos(?+ )= 6 6 6 25 π π 7 cos2(?+ )= 1-2sin 2 (?+ )= . 6 6 25 π π π π π π π sin(2?+ )=sin[2(?+ )- ]=sin2(?+ )cos -cos2(?+ )sin 12 6 4 6 4 6 4

?

24 2 7 2 17 2 ? ? ? ? . 25 2 25 2 50

8. (2015 江苏省南京市高三考前综合)三角形 ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,

b,c,面积为 S. → → (1)若 AB · AC ≤ 2 3 S,求 A 的取值范围; (2)若 tanA∶tanB∶tanC=1∶2∶3,且 c=1,求 b. 【考点】考查数量积? 三角形面积公式? 两角和正切公式及简单的三角不等式. 【解】 (1)由题意知, AB ? AC =bccosA,S=

??? ? ??? ?

1 bcsinA, 2

所以 bccosA≤ 3 bcsinA,即 cosA≤ 3 sinA, (或也可根据 cosA 的正负,转化为关于 tanA 的不等式) .

π )≥0. 6 π π 5π π 5π π 因为 A 为三角形内角,则 A- ∈(- , ),所以 0≤A- < ,从而 A∈[ , 6 6 6 6 6 6
即 3 sinA-cosA≥0,2sin(A- π). (2)设 tanA=m,tanB=2m,tanC=3m,由题意知,m>0. 因为 tanC=-tan(A+B)=-

tan A ? tan B 3m ,则 3m=- , 1 ? tan A ? tan B 1 ? 2m 2

解得 m=1,则 tanB=2,tanC=3,从而 sinB=

2 5 3 10 ,sinC= , 5 10

所以

AC sin B 2 2 2 2 ,则 AC= . ? ? AB sin C 3 3

9. ( 15


江苏模拟(三) )设 ?,? ? ? ?,?? ,且 sin(? ? ? ) ? 5 , tan ? ? 1 .则 cos ? 的值 2 2 13 .

【答案】 ? 16 65 【分析】 cos ? ? cos(? ? ? ? ? ) ? cos(? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? )sin ? ,由

sin ? ?

2 可 得 sin? ? 4 , 由 t a n? ? 1 知 ? ? ( 0 , π ) 所 以 cos? ? 3 , 由 2 2 ? 5 2 5 1 ? tan 2 2

2 tan

?

π ?? ? ) sin( ? ? ? )? 5 , 所以 sin?> sin( 故 ? ? ? ? ( , π ) ,得 cos(? ? ? ) ? ? 12 , 所以 13 13 2
cos? = ? 16 . 65

10. (15 南通市直调考)已知在△ ABC 中,sin(A+B)=2sin(A-B) .

(1)若 B=

π ,求 A; 6

(2)若 tanA=2,求 tanB 的值. 【考点】两角和与差的正弦函数. 【解】 (1)由条件 sin(A+B)=2sin(A-B) ,B= 得 sin(A+

π , 6

π π )=2sin(A- ) . 6 6



3 1 3 1 sin A ? cos A ? 2( sin A ? cos A) . 2 2 2 2

化简,得 sinA= 3 cosA. ∴tanA= 3 .又 A∈(0,π) ,∴A=

π . 3

(2)∵sin(A+B)=2sin(A-B) . ∴sinAcosB+cosAsinB=2(sinAcosB-cosAsinB) . 化简,得 3cos AsinB=sinAcosB. 又 cosAcosB≠0, ∴tanA=3tanB.又 tanA=2,∴tanB=

2 . 3 π 3 ) =- , 则 cos2α= 4 4


11. (15 连云港赣榆海头 9 月调研) 已知 α 为锐角, tan (α-
【考点】两角和与差的正切函数;二倍角的余弦. 【答案】 【分析】 解得:tanα=

24 25
∵tan(α-

π tan ? ? 1 3 )= =- , 4 1 ? tan ? 4

1 ; 7

1 1? cos 2 ? ? sin 2 ? 1 ? tan 2 ? 49 = 24 . ∴cos2α= = = 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 1 ? 1 25 49

12. (15 连云港赣榆海头 9 月调研)如图,以 Ox 为始边分别作角 α 与 ? (0<α< ? <π) ,
它们的终边分别与单位圆相交于点 P、Q,已知点 P 的坐标为( (1)求 sin2α 的值; (2)若 ? ? ? =

3 4 , ) . 5 5

π ,求 cos(α+ ? )的值. 2

第 12 题图 cqn004 【考点】单位圆,两角和余弦公式,诱导公式. 【解】 (1)由三角函数的定义得, cosα=

3 4 ,sinα= ; 5 5 4 3 24 × = . 5 5 25

∴sin2α=2sinαcosα=2× (2)∵ ? ? ? = ∴sin ? =sin(

π , 2

π 3 +α)=cosα= . 2 5 π 4 cos ? =cos( +α)=-sinα=- , 2 5
∴cos(α+ ? )=cosαcos ? -sinαsin ? =

3 4 4 3 24 ×(- )- × = ? . 5 5 5 5 25

13. (2015 江苏省南京市高三考前综合) 在以 C 为钝角的△ABC 中, BC=3,BA· BC ? 12 ,
当角 A 最大时,△ABC 面积为__________. 【考点】向量的数量积运算;两角和正切公式.基本不等式. 【答案】3

??? ? ??? ?

AB C ? B AB ?C 【分析】 过 A 作 AD⊥BC, 垂足为 D, 则B

?? ?? ? ? ?? ?? ?

B B DB o c sC ? B D?

? 3 ? 1 2



4 1 ? 3 3 y y ≤ , ? 所以 BD=4, 又 BC=3, 所以 CD=1. 设 AD=y(y>0), 则 tan∠BAC= 4 4 4 1? 2 y ? y y
且仅当 y=

4 ,即 y=2 时取“=”,由正切函数的单调性知此时∠BAC 也最大.所以 y

S△ABC ?

1 BC ? AD ? 3 . 2

第 13 题图 JSY47

14. (15 南京师大附中高三上学期 12 月月考数学试卷)已知 sinα=
cos(α+

? ? )=_________. 2

3 ? ? ,α∈( ? , ),则 5 2 2

【考点】两角和与差的余弦函数,同角三角函数间的基本关系. 【答案】 ?

2 10

3 ? ? ,α∈( ? , ), 5 2 2 4 2 ∴ cos? ? 1 ? sin ? ? 5
【分析】∵sinα= 则 cos(? ?

5 ? ? ? ? 2 . ?) ? cos[? ? (? ? )] ? ? cos(? ? ) ? ? cos ? cos ? sin ? sin ? ? 4 4 4 4 4 10

15. (15 南京市湖滨中学高三上学期 10 月学情检测数学试卷)若 tanα=2,则
sin2α= . 【考点】二倍角的正弦;同角三角函数间的基本关系. 【答案】

4 5

【分析】∵tanα=2,∴sin2α=2sinαcosα=

2sin ? cos ? 2 tan ? 4 = = . 2 2 2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? 5

16.

(15 南通市如东县栟茶高级中学高三上学期第二次学情调研) △ABC 中,若

sin(π-A)=

3 12 ,tan(π+B)= ,则 cosC=________. 5 5 16 65 3 , 5

【考点】两角和与差的正弦函数. 【答案】

【分析】由题意可得 sin(π-A)= ∴ cos A ? ? 1 ? sin A ? ?
2

4 , 5

又可得 tan(π+B)=tanB= ∴sinB=

12 5

12 5 ,cosB= . 13 13

4 时,cosC=-cos(A+B) 5 16 =sinAsinB-cosAcosB= . 65 4 3? 当 cosA= ? 时,A∈( ,π), 5 4 12 ? ? 由 tanB= >1 可得 B∈( , ), 5 4 2
当 cosA= 此时两角之和就大于 π 了,应舍去.


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