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高中数学解题方法谈:立体几何妙解


拙解凭力 妙解靠智

立体几何客观题重在考查空间想象、推理与计算等逻辑思维,解答应尽量避免“小题大做”,选择合 理的答题途径,熟记相关结论不失为好方法,正所谓“拙解凭力,妙解靠智”! 点 G 例 1 在三棱柱 ABC ? A′B′C ′ 中, E,F,H,K 分别为 AC ′,CB′,A′B,B′C ′ 的中点, 为 △ ABC ′ 中取一点作为P,使得该棱柱恰有 2 条棱与平面 PEF 平行,则P为( 的重心,从 K,H,G,B ). ′ (A)K (B)H (C)G (D) B

拙解:如图 1,若选 B′ ,连结 A′,C,EF 是 △ A′B′C 的中位线,则 EF ∥ A′B′ ,三棱柱各棱中,仅有 AB ∥面 CEF (即 B′EF ),排除(D). 如图 2,若选 K ,设N是 A′C ′ 的中点,连结 F,K 和 E,N ,则 EFKN 为平行四边形,三棱柱各棱中, 有 5 条棱即 AA′,BB′,CC ′,AB,A′B′ 都与面 EFKN(即平面 EFK)平行,排除(A). 如图 3,若选H,连结 B,C ′ ,则已有 A′C ′ ∥ HF,AB ∥ EF,A′B′ ∥ EF 等,也不止 2 条棱与面 EFH 平行,排除(B).只能选(C). 点评:这是 2005 年湖北卷第 10 题.有一定的难度,在选择题中再设计了“选择”,有的考生因为选 择的层次较多,把选择题所暗示有关信息抛弃了,干脆当成普通题来解,使得小题变成了实实在在的大题! 其实,抓住 △ ABC 的重心 G ,是破解本题的关键. 妙解:三棱柱一共有 9 条棱,要从中仅仅选出 2 条棱与平面 PEF 平行,显然 3 条侧棱是不可能的,因 为它们在“平行”上是“整体捆绑”的.于是K点可以排除.符合条件的 2 条棱只能在上下底棱中,而且 应在同一个侧面上,应该就是棱 AB,A′B′ ,它们都平行于平面 PEF 内的直线 EF .由于 B′ 在棱 A′B′ 上, B′ 被排除.又 EH 平行于 BC ,点 H 被排除.只能选(C). 点评:面对着众多的选择对象,往往有两种选择方式:一是随便拿一个来检验,不对时再换一个;二是考 虑“可能性最大”的那一个来检验.后一种办法靠直觉思维,并非“信手拈来”.直觉是建立在积累之上所 养成的习惯,积淀既深便是一种“自然行为”. 例 2 将半径都为 l 的 4 个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为( ).

(A)

3+2 6 3

(B) 2 +

2 6 3

(C) 4 +

2 6 3

(D)

4 3+2 6 3

说明:这是 2005 年全国卷Ⅱ第 12 题.背景简单:四个小球外切并与正四面体相内切;选择支数据都有

2 6 .估计计算量会比较大,有人用“重型计算武器”奉献了如下的解法: 3

拙解:正四面体的高最小时,即四个小钢球与正四面体的各个面相切.首先求出一个小球的球心 O1 到另三

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个小球球心所在平面 O2O3O4 的距离 OO1 =

2 6 (如图 4). 3

然后再求出 最上面的小球的球心 O1 到 正四面体的顶 点 A 的距离 O1 A (如 图 5),设 AB = x , 则

BO′ =

3 6 x,O1 A = x ? 1 = O1 B , 3 3
2 2 2 1 2

? 6 ? x2 1 2 6 由 O1 B = O′O + O′B ,得 ? x ? 1? = 1 + ,即 x 2 ? x=0. ? 3 ? 3 3 3 ? ?

x = 2 6,O1 A = 3 .
由题意可知三个球心到正四面体底面的距离为 1,正四面体的高的最小值为 3 + 1 +

2 6 2 6 = 4+ . 3 3

点评:这个结果虽然正确,但所付出的代价太大.一个才 5 分的选择题,按这个解法要花十几分钟的时间, 的确是“小题大做”.有更好的解法吗?答案是肯定的! 妙解:“容器四面体”中的四个小球,以球心为顶点构成了一个棱长为 2 的“球心正四面体”,这个 四面体的高是“单位正四面体”高的 2 倍,即

2 6 .“球心正四面体”的底面到“容器正四面体”底面的 3

距离为小球半径 1,而“球心正四面体”顶点到“容器正四面体”顶点的距离为 3(小球半径的 3 倍),于 是“容器正四面体”的高为 3 + 1 +

2 6 2 6 = 4+ . 3 3 6 ,二是要知道正四面体 3

要做到“不动一笔”需要两个基础:一是要牢记“单位正四面体”的高为

的中心把高线分成 1∶3.对于后者,作正四面体的外接球和内切球,则两个球的球心与正四面体的中心重 合,而中心到顶点的距离是中心到底面距离的 3 倍. 事实上,设球心为O,底面积为S,内切球与外接球半径分别为 r,R,则

1 1 V = S ( R + r ) = 4 × Sr,R = 3r . 3 3
再解:“球心正四面体”与“容器正四面体”是同中心的“相似形”,这个公共的中心以 1∶3 的比例分割了“球心正四面体”的高线,那么,这个公共的中心应以 1:3 的比例分割“容器正四面体” 的高线.既然球心正四面体的高线向下面的底面延长了 1 个小球半径,那么,对应的高线应该向上面的顶 点延长 3 个小球半径.于是容器正四面体的高线比球心正四面体的高线共延长出 4 个小球半径. 点评:想的更比算的好!“妙解”是在三维空间(立体)中想问题,而“再解”却简化到一维空间(直线) 内想问题,确实是“没有最好,只有更好!”

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