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必修2《直线与方程》检测(带答案)


必修 2《直线与方程》检测 (时间:120 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1.若直线 x=2015 的倾斜角为 α,则 α( A.等于 0° B.等于 180° ) ) 满分:150 分)

C.等于 90° D.不存在

2.点(0,5)到直线 y=2x 的距离为( A.1 B. 5 C.2 D.2

3.一直线过点(0,3),(-3,0),则此直线的倾斜角为( A.45° B.135° C.-45° D.-135°

)

4.过点(-1,3)且垂直于直线 x-2y+3=0 的直线方程为( A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0

)

C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0 )

5.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程为( A.4x+2y=5 B.4x-2y=5 C.x+2y=5 D.x-2y=5

6.已知集合 A={(x,y)|y=x+1},B={(x,y)|y=2x-1},则 A∩B=( A.? B.(2,3) C.{(2,3)} D.R

)

7.已知 A(-2,2),B(2,-2),C(8,4),D(4,8),则下面四个结论: ①AB∥CD;②AB⊥CD;③AC=BD;④AC⊥BD. 其中正确的个数是( A.1 个 B.2 个 ) C.3 个 D.4 个 )

8.已知直线 l:ax+y-2-a=0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等,则 a 的值是( A.1 B .-1 C.-2 或-1 D.-2 或 1

9.已知点 A(-3,8),B(2,2),点 P 是 x 轴上的点,则当|AP|+|PB|最小时点 P 的坐标是( A.(1,0) ?1 ? B.?2,0? ? ? ?1 ? C.?3,0? ? ? ?1 ? D.?4,0? ? ?

)

10.已知直线 mx+4y-2=0 和 2x-5y+n=0 互相垂直,且垂足为(1,p),则 m-n+p 的值 是( ) D.-4

A.24 B.20 C.0

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 1 1 11.若三点 A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 a+b的值等于________. 12.直线 x-2y+1=0 关于直线 x=1 对称的直线方程是____________. 13.经过点(-5,2)且在坐标轴上的截距相等的直线方程是________________.

14.经过两直线 l1:x-2y+4=0 和 l2:x+y-2=0 的交点 P,且与直线 l3:3x-4y+5=0 垂直的直线 l 的方程是__________. 三、解答题(共 80 分) 15.(12 分) 求经过点 A(3,0)且与直线 2x+y-5=0 垂直的直线方程。 16.(12 分)已知在 Rt△ABC 中,∠B 为直角,AB=a,BC=b.建立适当的坐标系.证明:斜 边 AC 的中点 M 到三个顶点的距离相等. 17.(14 分)求证:不论 m 为什么实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 都通过一定点. 18.(14 分)在直线 l:3x-y-1=0 上存在一点 P,使得:P 到点 A(4,1)和点 B(3,4)的距离之和 最小.求此时的距离之和. 19.(14 分)光线从点 Q(2,0)发出,射到直线 l:x+y=4 上的点 E,经 l 反射到 y 轴上的点 F, 再经 y 轴反射又回到点 Q,求直线 EF 的方程. 20.(14 分)在平面直角坐标系中,已知矩形 ABCD 的长为 2,宽为 1,AB,AD 边分别在 x 轴,y 轴的正半轴上,点 A 与坐标原点重合(如图).将矩形折叠,使点 A 落在线段 DC 上. (1)若折痕所在直线的斜率为 k,试求折痕所在直线的方程; (2)当-2+ 3≤k≤0 时,求折痕长的最大值. 参考答案:1.C 6.C 2.B 3.A 4.A 5.B 7.B 8.D

解析:解方程组可得交点(2,3),A∩B={(2,3)},

9. A 解析: 作 B(2,2)关于 x 轴的对称点 B1(2, -2), 连接 AB1 交 x 轴于 P, 点 P 即为所求. 由 直线 AB1 的方程: 10.B 1 11.2 y-8 x+3 = ,得 2x+y-2=0.令 y=0,则 x=1.则点 P 的坐标为(1,0). -2-8 2+3 12.x+2y-3=0 2 13.y=-5x 或 x+y+3=0

14.4x+3y-6=0

?x-2y+4=0, 解析:方法一:解方程组? 得交点 P(0,2).∵直线 l3 的斜 ?x+y-2=0

3 4 4 率为4,∴直线 l 的斜率为-3.∴直线 l 的方程为 y-2=-3(x-0),即 4x+3y-6=0. 4 方法二:设所求直线 l 的方程为 x-2y+4+λ(x+y-2)=0.由该直线的斜率为-3,求得 λ 的 值 11,即可以得到 l 的方程为 4x+3y-6=0. 15.x-2y-3=0

16.证明:取边 BA 所在的直线为 x 轴,边 BC 所在的直线为 y 轴,建立直角坐标系,如图 D66,三个顶点坐标分别为 A(a,0),B(0,0),C(0,b),

图 D66 ? a b? 由中点坐标公式,得斜边 AC 的中点 M 的坐标为?2,2?. ? ? ∵|MA|= |MC|= b? 1 ? a?2 ? ?a-2? +?0-2?2= a2+b2, |MB|= ? ? ? ? 2 a? ? b? 1 ? ?0-2?2+?b-2?2= a2+b2, ? ? ? ? 2 a? ? b? 1 ? ?0-2?2+?0-2?2= a2+b2, ? ? ? ? 2

∴|MA|=|MB|=|MC|.

1 17.证法一:取 m=1,得直线方程 y=-4;再取 m=2,得直线方程 x=9. 从而得两条直线的交点为(9,-4). 又当 x=9,y=-4 时,有 9(m-1)+(-4)(2m-1)=m-5, 即点(9,-4)在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 上. 故直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 都通过定点(9,-4). 证法二:∵(m-1)x+(2m-1)y=m-5, ∴m(x+2y-1)-(x+y-5)=0.

则直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 都通过直线 x+2y-1=0 与 x+y-5=0 的交点. ?x+2y-1=0, ?x=9, 由方程组? 解得? 即过(9,-4). ?x+y-5=0, ?y=-4, ∴直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 通过定点(9,-4). 证法三:∵(m-1)x+(2m-1)y=m-5, ∴m(x+2y-1)=x+y-5.

由 m 为任意实数,知:关于 m 的一元一次方程 m(x+2y-1)=x+y-5 的解集为 R, ?x+2y-1=0, ?x=9, ∴? 解得? ∴直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 都通过定点(9,-4). ?x+y-5=0, ?y=-4. 18.解:设点 B 关于直线 3x-y-1=0 的对称点为 B′(a,b),如图 D67,

图 D67



b-4 a+3 b+4 1 =-3,且 3· 2 - 2 -1=0. a-3

3 24 ?3 24? 解得 a=5,b= 5 ,∴B′?5, 5 ?. ? ? ? 3?2 ? 24?2 ?4-5? +?1- 5 ? = 26. ? ? ? ?

当|PA|+|PB|最小时,

|PA|+|PB|=|AB′|=

19.解:设 Q 关于 y 轴的对称点为 Q1,则 Q1 的坐标为(-2,0). ?m+2 n? 设 Q 关于直线 l 的对称点为 Q2(m,n),则 QQ2 中点为 G? ,2?,点 G 在直线 l 上. ? 2 ? m+2 n ∴ 2 +2=4, ① 又∵QQ2⊥l,∴ n =1. m-2 ②

由①②,得 Q2(4,2). 1 ∴kEF=kQ1Q2=3.

由物理学知识可知,点 Q1,Q2 在直线 EF 上, 1 ∴直线 EF 的方程为 y=3(x+2),即 x-3y+2=0.

1 20.解:(1) ①当 k=0 时,此时点 A 与点 D 重合, 折痕所在的直线方程 y=2. ②当 k≠0 时,将矩形折叠后点 A 落在线段 DC 上的点记为 G(a,1), 所以点 A 与点 G 关于折痕所在的直线对称, 故点 G 坐标为 G(-k,1), ? k 1? 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标(线段 OG 的中点)为 M?-2,2?, ? ? k? 1 k2 1 ? 折痕所在的直线方程 y-2=k?x+2?,即 y=kx+ 2 +2. ? ? k2 1 由①②,得折痕所在的直线方程为 y=kx+ 2 +2. (2)当 k=0 时,折痕的长为 2; k2 1? k2+1? ? ? ?, 当-2+ 3≤k<0 时,折痕直线交 BC 于点 M?2,2k+ 2 +2?,交 y 轴于点 N?0, ? ? 2 ? ?
2 k2 1?? ?k +1 ? ∵|MN|2=22+? ?2k+ 2 +2??2=4+4k2≤4+4×(7-4 - ? ?? ? 2

1 有 kOG· k=-1? a· k=-1? a=-k,

3)=32-16

3,

∴折痕长度的最大值为 32-16

3=2( 6- 2).

而 2( 6- 2)>2 ,故折痕长度的最大值为 2( 6- 2).


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