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6.1 任意角的概念和弧度制


第六章 三角函数 考纲要求 1.理解弧度的意义,掌握弧度和角度的互化. 2.理解任意角三角函数的定义,掌握三角函数在各象限的符号和同角三角函数间的基本关 系式. 3.掌握正弦函数、正弦型函数的图象和性质(定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性) , 了解余弦函数、正切函数的图象和性质.会用“五点法’ ’画正弦型函数的简图. 4.掌握和角公式与倍角公式,会用它们进行计算、化简和证明. 5.会求函数 y ? f (sin x) 的最值. 7.会根据已知条件求三角形的边、角及面积. 6.1 任意角的概念和弧度制 达标要求 1.角的概念推广以后,要注意角的正负(旋转方向) 、大小(旋转量) . 2.掌握终边相同的角的概念,能熟练地写出与各特殊角终边相同的角的集合.表示终边相 同的角的集合时,一要注意弧度制与角度制不能混用,二要注意标明 k ? Z . 3.要判断一个角所在的象限,首先要规定角的顶点在坐标原点,角的始边与 x 的正半轴重 合,然后再看这个角的终边. 4.理解弧度制的概念’ “1 弧度的角”的定义,是理解弧度制的关键.会熟练地进行角度 制和弧度制的互化,特别是特殊角的角度制和弧度制的互化. 基础回顾 一、任意角的概念 1.角的概念 在平面内, 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角. 角还可以看作是平面内一条射 线绕着它的端点旋转而成的图形. 射线的端点叫做角的顶点, 旋转开始位置的射线叫做 角的始边,旋转终止位置的射线叫做角的终边. 2.角的概念的推广 (1)正角:一条射线绕着端点,按逆时针方向旋转形成的角. (2)负角:一条射线绕着端点,按顺时针方向旋转形成的角. (3)零角:一条射线绕着端点没有旋转时,也把它看成一个角,叫做零角. 注:引入正角、负角的概念后,角的减法运算可以转化为角的加法运算,即

? ? ? ? ? ? (? ? ) .
二、象限角 在平面直角坐标系内讨论角时, 角的顶点与坐标原点重合, 角的始边与 x 轴的正半轴 重合,这时,角的终边落在第几象限,就说这个角是第几象限角. 注:角的终边落在坐标轴上,这时这个角不属于任何象限. 三、终边相同的角
? 与角 ? 终边相同的角构成的集合是 S ? x x ? ? ? k ? 360 , k ? Z .

?

?

四、弧度制 1. 1 弧度的角:把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫 1 弧度的角(6-1) . 2. 弧度制:用弧度作单位来度量角的制度(单位“弧度’ ’和 rad 常略去不写) .

?? ? ?1 ? 180 rad 角度制与弧度制的换算关系: ? 180 ? ?1rad ? ( ) ? ?
3.圆心角公式:在半径为 r 的圆中,长为 l 的弧所对的圆心角 ? ?

l r

4.弧度制建立的意义:在弧度制下,角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系,每一 个角都有唯一的实数(角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角 与之对应(图 6-2) .即

5.用弧度制表示的弧长公式: l ? 6.特殊角的度与弧度的对应表: 度 弧度

? r ;扇形面积公式 S ? lr ?

1 2

1 ? r2 . 2
270?
3? 2

0?
0

30?

45?

60?

90?

180?

360?
2?

? 6

? 4

? 3

? 2

?

7.函数型计算器在换算中的使用: (1)度数化为弧度数:如 81 ,按键顺序为: 81
?

2ndF

?

180

= .

(2)弧度数化为度数:如 2 .4 ,按键顺序为:2.4 ? 180 ? 2ndF EXP = . 典型例题 例题 1 下列命题中,真命题是 ( ) A.第二象限的角大于第一象限的角 B.第一象限角都是正角 C.终边相同的角一定相等 D.相等的角的终边一定相同 【分析】 根据象限角的概念进行辨析.值得注意的是,终边相同的角是在直角坐标系中定 义的,因此相等的角的终边一定相同.因此答案为 D。 例题 2 与角 ?

?
4

终边相同的角的集合,表示正确的是

( )

A. ? x x ? ?

? ?

?

? ? k ? 360? , k ? Z ? 4 ?

B. ? x x ? ?

? ?

?

? ? 2k? ? 4 ? ? ? 2k? , k ? Z ? 4 ?

? C. x x ? ?45 ? 2k? , k ? Z

?

?

D. ? x x ? ?

? ?

?

【分析】 表示终边相同的角的集合,角的单位度和弧度不能混用,同时要对 k ? Z 进

例题 3

行约定. 长度等于半径的弧所对的圆心角的弧度数是 长度等于半径的弦所对的圆心角的度数是

; 。

【分析】 正确理解弧度的定义,区分“弧”与“弦” 。笞案:1; 例题 4

? . 3
r a d,

已知一个扇形的半径为 3cm,弧长为 4.5cm,则扇形的圆心角等于 约等于 度(精确到 1 度) .

【分析】 根据圆心角的弧度制计算公式 ? ?

l 计算圆心角的弧度数, 再根据弧度与度 r

例题 5

? ? 若 ? 是第三象限角,则 是 2

的转化公式 1 rad ? (

180

)? ,借助计算器完成.答案: 1.5 ; 86? 。
( )

A.第一、二象限角 B.第二、四象限角 C.第一、三象限角 D.第三、四象限角若角 【分析】 根据象限角的范围,应用不等式性质推理得出所求角的范围. 【解析】 因为若 ? 是第三象限角,所以 ? ? 2k? ? ? ? 所以

?
2

? k? ?

?
2

?

3? ? k? (k ? Z ) , 4

3? ? 2k? (k ? Z ) , 2

所以答案选 B.


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