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北京市石景山区2014-2015学年高一下学期期末考试数学试题 Word版含答案


石景山区 2014—2015 学年第二学期期末考试试卷

高一数学
考生 须知 1. 本试卷为闭卷考试,满分为 100 分,考试时间为 120 分钟. 2. 本试卷共 8 页,各题答案均答在本题规定的位置.

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 4 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内. 1.下列结论正确的是 A.若 a ? b ,则 ac ? bc C.若 a ? c ? b ? c , c ? 0 ,则 a ? b ( ) B.若 a ? b ,则 a 2 ? b 2 D.若 a ? b ,则 a ? b

2.如图,矩形长为 6,宽为 4,在矩形内随机地撒 300 颗黄豆,数得落在椭圆内的黄豆数为 225 颗, 以此实验数据为依据可以估计出椭圆的面积约为( A. 16 B. 17 ) C. 18 ). D. 19

3.下面关于算法的说法正确的是 (

A.秦九韶算法是求两个数的最大公约数的方法 B.更相减损术是求多项式的值的方法 C.割圆术是采用正多边形面积逐渐逼近圆面积的算法计算圆周率 ? D.以上结论皆错

? x ? y ? 2 ? 0, ? 4 . 设 变 量 x , y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 8 ? 0, , 则 z ? 2 x? y的 最 大 值 为 ( ? x ? 1, ?
A. ? 5 B. ? 1 C. 1 D. 5 )



5. 已知△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5 :11:13 ,则△ ABC 是( A.等腰三角形 B.锐角三角形 C. 直角三角形 D.钝角三角形

6.某产品的广告费用 x (万元)与销售额 y (万元)的统计

x

4 38

2 20

3 31

5 51

? ?a ? ? 0 ,据此模 数据如右表,根据右表可得回归方程 y ? ? bx ? 中的 a
型预报广告费用为 6 万元时销售额为( )

y

-1-

A. 50

B. 60

C. 63

D. 59 )

7.设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c , a ? 4 , b ? 4 3 , A ? 30 ,则 B ? ( A. 60 B. 60 或 120 C. 30 D. 30 或 150

8.在等差数列 {an } 中,若 a4 ? a6 ? a8 ? a10 ? a12 ? 240 ,则 a9 ? a11 的值为( A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 开始 9.执行如图所示的程序框图,若“否”箭头分别指向①和②, 则输出的结果分别是 A. 55,53 C. 55, 49 B. 51, 49 S=1 D. 53,51 ① i=i+1 ② 10. 设 {an } 是公比为 q 的等比数列, | q |? 1 , 令 bn ? an ? 1(n ? 1, 2, S=S+i2 ( ) i=1

1 3





) ,若数列 {bn } 有连续四项
( )

S>50 是 是 输出 S

在集合 {?53, ?23,19,37,82} 中,则 q ?

3 A. ? 2 2 C. ? 3

4 B. ? 3 3 D. 2

结束

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分.把答案填在题中横线上.

11. 某高中为了解在校高中生对参加某项社会实践活动的意向, 拟采用分层抽样的方法从该校 三个年级的高中生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查.已知该校高一、高二、高三的人 数之比为 4∶5∶6,则应从高一年级抽取________名学生. 12.算式 40 ?

   ? 4? 中,在方框中填入两个正整数 ,使它们的乘积最大. ...        

13.已知△ABC 在正方形网格中的位置如右图所示, 则 cos ?ABC ? ____________.
-2-

14. 将数列 {an } 按如图所示的规律排成一个三角形表,并同时满足以下两个条件: ①各行的第一个数 a1 , a2 , a5 构成公差为 d 的等差数列; ②从第二行起,每行各数按从左到右的顺序构成 公比为 q 的等比数列. 若 a1 ? 1, a3 ? 4, a5 ? 3 ,则 d =_____________; 第 n 行的和 Tn =__________________________. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 48 分.写出必要的解题步骤及证明过程. 15.设△ ABC 的内角 A, B, C 所对的边为 a, b, c ,且有 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C . (Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b ? 2 , c ? 3 , D 为 AC 的中点,求 BD 的长.

a1 a2 a5 a6 a3 a7
??

a4 a8 a9

16.某超市从 2014 年甲、乙两种酸奶的日销售量(单位:箱)的数据中分别随机抽取 100 个, 整理得到数据分组及频率分布表 和频率分布直方图: ..... 分组 频率 0.030 0.025 0.020 频率 组距

(日销售量) (甲种酸奶) 0.10 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] 0.20 0.30 0.25 0.15

a
0.010

10 20

30 40

50

乙种酸奶日销售量

(Ⅰ)写出频率分布直方图中的 a 的值,并作出甲种酸奶日销售量的频率分布直方图;

-3-

答: a =________________;

10 20 30 40 50

甲种酸奶日销售量/箱
2 2

(Ⅱ)记甲种酸奶与乙种酸奶日销售量(单位:箱)的方差分别为 s1 , s2 , 试比较 s1 与 s2 的大小. (只需写出结论) . 答: s1 ______________ s2
2 2 2 2

17.已知等差数列 ?an ? 满足: a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 . ?an ? 的前 n 项和为 S n . (Ⅰ)求 an 及 Sn ; (Ⅱ)令 bn ?

4 ( n ? N* ),求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . an ? 1
2

-4-

18.某商区停车场临时停车按时段收费,收费标准为:每辆汽车一次停车不超过 1 小时收费 6 元,超过 1 小时的部分每小时收费 8 元(不足 1 小时的部分按 1 小时计算) .现有甲、乙二人在 该商区临时停车,两人停车都不超过 4 小时. (Ⅰ)设甲停车付费 a 元.依据题意,填写下表: 甲停车时长 (小时) 甲停车费 a (元)

(0,1]

(1, 2]

(2,3]

(3, 4]

(Ⅱ)若每人停车的时长在每个时段的可能性相同,求甲、乙二人停车付费之和为 36 元的概 率; (Ⅲ)若甲停车 1 小时以上且不超过 2 小时的概率为 甲停车付费恰为 6 元的概率.

1 5 ,停车付费多于 14 元的概率为 ,求 3 12

-5-

19.某机床厂 2011 年年初用 98 万元购进一台数控机床,并立即投入生产使用.计划第一年维 修、保养费用 12 万元,从第二年开始,每年所需维修、保养费用比上一年增加 4 万元;该机 床使用后,每年的总收入为 50 万元. 设使用 x 年后 数控机床的盈利额为 y 万元. . (Ⅰ)写出 y 与 x 之间的函数关系式; (Ⅱ)使用若干年后,对机床的处理方案有两种: 方案一:当年平均盈利额达到最大值时,以 30 万元价格处理该机床; 方案二:当盈利额达到最大值时,以 12 万元价格处理该机床; 请你研究一下哪种方案处理较为合理?并说明理由.

-6-

?a1 ? 2, ? 20.已知数列 {an } 满足 ? a2 ? 8, ( c 为常数, n ? N * ) . ?a ? a ? ca (n ? 2), n ? n ?1 n ?1
(Ⅰ)当 c ? 2 时,求 an ; (Ⅱ)当 c ? 1 时,求 a2014 的值; (Ⅲ)问:使 an?3 ? an 恒成立的常数 c 是否存在?并证明你的结论.

-7-

石景山区 2014—2015 学年第二学期期末考试试卷答案

高一数学
一、 选择题: 题号 答案 1 D 2 C 3 C 4 C 5 D 6 B 7 B 8 C 9 A 10 A

二、填空题: 11. 80 三、解答题: 15.解:(Ⅰ)因为 A ? B ? C ? ? ,所以 A ? C ? ? ? B , 12. 20,5 13.

3 5

14. d ? 1 , Tn ? n(2

2 n?1

?1)

A, B ? (0, ? ) ,所以 sin( A ? C ) ? sin B ? 0 ;
又 2sin B cos A ? sin A cos C ? cos A sin C ? sin( A ? C ) ? sin B 所以 cos A ? ……………………2 分 ……………………4 分 ……………………5 分

1 ? ,即 A ? 2 3

(Ⅱ) b ? 2 可得 AD ? 1 ,

在△ ABD 由余弦定理得: BD2 ? AB2 ? AD2 ? 2 AB ? AD cos A ? 7 ,

BD ? 7 .
16.解:(Ⅰ) a ? 0.015 ;

……………………8 分 ……………………2 分

……………………5 分 (Ⅱ) s1 ? s2 .
2 2

……………………8 分

17. (Ⅰ)设等差数列 ?an ? 的公差为 d, 因为 a3 ? 7 , a5 ? a7 ? 26 ,所以有

-8-

?a1 ? 2d ? 7 ,解得 a1 ? 3,d ? 2 , ? ?2a1 ? 10d ? 26
2 n ?1)=2n+1 ; Sn = 3n ? 所以 an ? 3 ? (
(Ⅱ) bn ? 所以 Tn = 1 ?

……………………2 分

n(n -1) ? 2 = n 2 ? 2n . 2

……………………4 分

4 4 1 1 1 ? = = ? , 2 an ? 1 (2n ? 1) ? 1 n(n ? 1) n n ? 1
2

……………………6 分

1 1 1 ? ? ? 2 2 3

?

1 1 1 n ? ? =1 ? . n n ?1 n ?1 n ?1

……………………8 分

18. (Ⅰ) 甲停车时长 (小时) 甲停车费 a (元)

(0,1]
6

(1, 2]
14

(2,3]
22

(3, 4]
30 ……………………2 分

(Ⅱ)解:甲停车付费 a 元,设乙停车付费 b 元,其中 a, b ? 6,14, 22,30 . 则甲、乙二人的停车费用构成的基本事件空间为:

(6,6),(6,14),(6, 22),(6,30),(14,6),(14,14),(14, 22),(14,30),(22,6),(22,14),(22, 22), (22,30),(30,6),(30,14),(30, 22),(30,30) ,共 16 种情形.
其中, (6,30),(14, 22),(22,14),(30,6) 这 4 种情形符合题意.

4 1 ? . ………………6 分 16 4 1 5 1 (Ⅲ) “甲临时停车付费恰为 6 元”为事件 A , 则 P ( A) ? 1 ? ( ? ) ? . 3 12 4
故“甲、乙二人停车付费之和为 36 元”的概率为 P ? 所以甲临时停车付费恰为 6 元的概率是 19.解: (Ⅰ) y ? 50 x ? [12 x ?

1 . 4

……………………8 分

x( x ? 1) ? 4] ? 98 ? ?2 x 2 ? 40 x ? 98 ( x ? 0 ) 2
……………………2 分

(Ⅱ)方案一:

y 98 98 ? ?2 x ? 40 ? ? 40 ? (2 x ? ) x x x

2x ?

y 98 98 98 ? 2 2x ? ? 28 ,所以 ? 40 ? (2 x ? ) ? 12 . x x x x

当且仅当 2 x ?

98 ,即 x ? 7 时等号成立; x
-9-

故到 2018 年,年平均盈利额达到最大值,工厂共获利 12 ? 7 ? 30 ? 114 (万元) ……………………5 分 方案二: y ? ?2x2 ? 40x ? 98 ? ?2( x ?10)2 ? 102 , 当 x ? 10 时, y 有最大值 102 ; 故到 2021 年,盈利额达到最大值,工厂共获利 102 ? 12 ? 114 (万元) .…………………7 分 盈利额达到的最大值相同,而方案一所用的时间较短,故方案一较为合理.……………8 分

20. (Ⅰ) c ? 2 时, an?1 ? an?1 ? 2an (n ? 2) ,? an?1 ? an ? an ? an?1 (n ? 2)

?an ? an?1 ? an?1 ? an?2 ?

? a2 ? a1 ? 6

?{an } 是以 2 为首项, 6 为公差的等差数列 ?an ? 6n ? 4
……………………2 分

(Ⅱ) c ? 1 时, an?1 ? an?1 ? an , (n ? 2) 即 an?1 ? an ? an?1

?an?2 ? an?1 ? an ? (an ? an?1 ) ? an ? ?an?1 , (n ? 2)
即对 n ? N * , an?3 ? ?an ,所以 an?6 ? an . 故 a2014 ? a335?6?4 ? a4 ? ?a1 ? ?2 . (Ⅲ)假设存在常数 c ,使 an?3 ? an 恒成立. 由 an?1 ? an?1 ? can (n ? 2) ??①: ……② ……………………5 分

an?2 ? an ? can?1 (n ? 1) ,又 an?2 ? an?1 ,代入上式得 an?1 ? an ? can?1 (n ? 1)
① ? ②得 an?1 ? an ? c(an ? an?1 ),(n ? 2) 即 (an?1 ? an )(1 ? c) ? 0,(n ? 2)

?an?1 ? an ? 0, n ? 2 或 c ? ?1 .
若 an?1 ? an ? 0, n ? 2 ,可得 a3 ? ca2 ? a1 ? 8c ? 2 ? a2 ? 8 ,则 c ? 而此时 a4 ?

5 , 4

5 a3 ? a2 ? 2 ? a3 ,不合题意. 4

若 c ? ?1 ,则 an?1 ? an?1 ? ?an (n ? 2) ,即 an?1 ? an ? an?1 ? 0,(n ? 2)

- 10 -

则有 an?2 ? an?1 ? an ? 0,(n ? N ) ……③
*

同时, an?3 ? an?2 ? an?1 ? 0,(n ? N ) ……④
*

④ ? ③可得: an?3 ? an 恒成立. 综上,存在常数 c ? ?1 ,使 an?3 ? an 恒成立 ……………………8 分

【若有不同解法,请酌情给分】

- 11 -


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