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北京市2016届高三数学一轮专题突破训练《函数》(理)及答案


北京市 2016 届高三数学理一轮复习专题突破训练 函 数
一、选择题 1、(2015 年北京高考)如图,函数 f ( x) 的图象为折线 ACB,则不等式 f ( x) ? log2 ?x ? 1?的解集是
y 2 C

A -1

O

B 2

x

A. C.

?x ?1 ? x ? 0? ?x ?1 ? x ? 1?
B. y ? ( x ?1)2

B. D.

?x ?1 ? x ? 1? ?x ?1 ? x ? 2?


2、(2014 年北京高考)下列函数中,在区间 (0, ??) 上为增函数的是(

A. y ? x ? 1

C. y ? 2? x

D. y ? log0.5 ( x ? 1)
x

3、(2013 年北京高考))函数 f(x)的图象向右平移 1 个单位长度,所得图象与曲线 y=e 关于 y 轴 对称,则 f(x)=( ). x+1 x-1 -x+1 -x-1 A.e B.e C.e D.e 4 、 ( 朝 阳 区 2015 届 高 三 一 模 ) 设 均 为 实 数 , 且



5、(东城区 2015 届高三二模)设 a ? log 4 ? , b ? log 1 ? , c ? ? ,则 a , b , c 的大小关系是
4
4

(A) a ? c ? b (C) c ? b ? a

(B) b ? c ? a (D) c ? a ? b

6、(东城区 2015 届高三二模)定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) .当 x ? [?3,?1) 时,

f ( x) ? ?( x ? 2) 2 ,当 x ? [?1,3) 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? ? ? f (2015) ?
(A) 336 (B) 355
3 0.3

7、(海淀区 2015 届高三二模)(2)设 a ? 0.2 , b ? log2 0.3, c ? 2 ,则( (A) b ? c ? a ( B) c ? b ? a ( C) a ? b ? c



(D) b ? a ? c

8、(大兴区 2015 届高三上学期期末)下列函数中,既是偶函数,又在 (0, ??) 上是单调减函数的是

(A) y ? x 2 (C) y ? ln x ? 1

1

(B) y ? cos x (D) y ? ?2 x

9、(丰台区2015届高三上学期期末)已知函数 y ? logb ( x ? a)(b ? 0且b ? 1)的图象如图所示, 那么函数 y ? a ? sin bx 的图象可能是

10、(石景山区 2015 届高三上学期期末)下列函数中,在 (0, ? ?) 上单调递减的是( A. f ( x) ? ln x B. f ( x) ? ( x ? 1)
2



C. f ( x) ? x
1 3

3

D. f ( x ) ?
1

1 x ?1

1 ? 1 ?5 11、(北京四中 2015 届高三上学期期中)设 a ? 4 , b ? log 3 , c ? ? ? ,则 7 ?3?
(A) a ? b ? c (C) a ? c ? b 12、(朝阳区 2015 届高三二模)已知函数 ( B) b ? a ? c ( D) b ? c ? a ,若对任意 ,都



成立,则实数 m 的取值范围是(

).

13、(东城区 2015 届高三一模)已知函数 f ( x) ? 2mx ? 2(4 ? m) x ? 1 , g ( x) ? mx ,若对于任意
2

实数 x , f ( x ) 与 g ( x) 的值至少有一个为正数,则实数 m 的取值范围是 (A) (0, 2) (C) (2,8) (B) (0,8) (D) (??, 0)
x ? ?2 , x > 0, 那么该函数是 ?x ? ?-2 , x < 0,

14、(通州区 2015 届高三一模)已知函数 f ? x ? ? ? A.奇函数,且在定义域内单调递减

B.奇函数,且在定义域内单调递增

C.非奇非偶函数,且在 ? 0, ?? ? 上单调递增 D.偶函数,且在 ? 0, ?? ? 上单调递增 15、(延庆县 2015 届高三一模)下列函数是奇函数,并且在定义域上是增函数的是( A. y ? ? )

1 x

B. y ? ln | x |

C. y ? sin x

D. y ? ?

? x ? 1, x ? 0 ? x ? 1, x ? 0

二、填空题 1、(2015 年北京高考)设函数 f ( x) ? ? ①若 a ? 1 ,则 f ( x) 的最小值为

?

2 x ? a, x ? 1 ?4?x ? a ??x ? 2a ?, x ? 1
; .

②若 f ( x) 恰有 2 个零点,则实数 a 的取值范围是

2 、 ( 房 山 区 2015 届 高 三 一 模 ) 已 知 函 数 y ? f ( x) 是 R 上 的 偶 函 数 , 对 ?x ? R , 都 有

f ( x ? 4 ) ? f ( x )? f ( 2 ) 成立.当 x1 , x2 ?[0, 2] ,且 x1 ? x2 时,都有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,给出下 x1 ? x2

列命题: (1) f (2) ? 0 ; (2)直线 x ? ?4 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴; (3)函数 y ? f ( x) 在 [?4, 4] 上有四个零点;(4) f ? 2015? ? f ?1? .其中所有正确命题的序号为 ____ . 3、 (丰台区 2015 届高三一模) 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数, 当 x≥0 时, f ( x ) ? x ? 2 x ,
2

如果函数 g ( x) ? f ( x) ? m ( m∈R) 恰有 4 个零点,则 m 的取值范围是____. 4、(石景山区 2015 届高三一模)已知集合 M ? {( x, y )| y ? f ( x )} ,若对于任意 ( x1, y1 ) ? M ,都 存在 ( x2 , y2 ) ? M ,使得 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 成立,则称集合 M 是“垂直对点集”.给出下列四个集合: ① M ? {( x , y )| y ?

1 }; x
x

② M ? {( x, y)| y ? log2 x} ; ④ M ? {( x, y )| y ? sin x ? 1} .

③ M ? {( x, y)| y ? e ? 2} ;

其中是“垂直对点集”的序号是



5、(昌平区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? ln(1 ? x) ? ln(1 ? x) ,有如下结论: ① ?x ? ? ?1,1? ,有 f (? x) ? f ( x) ;② ?x ? ? ?1,1? ,有 f (? x) ? ? f ( x) ; ③ ?x1 , x2 ? ? ?1,1? ,有

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0; x1 ? x2
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )? . 2 2
.(写出所有正确结论的序号)

④ ?x1 , x2 ? ? 0,1? ,有 f ( 其中正确结论的序号是

6、(东城区 2015 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) 是 R 上的奇函数,且 f ( x ? 2) 为偶函数.若

f (1) ? 1 ,则 f (8) ? f (9) ?

?2 x ? 3, x ? 0, ? x ? 0,是奇函数, 7、 (朝阳区 2015 届高三上学期期中) 若 f ( x) ? ?0, 则 a +b 的值是_______. ?ax ? b , x ? 0 ?
8、(海淀区 2015 届高三上学期期中)已知函数 y ? 2 是
x?a

的图象关于 y 轴对称,则实数 a 的值

( ?2 ) 的图象关于点 (2, 0) 9、 (东城区 2015 届高三一模) 已知函数 f ( x) 是 R 上的减函数, 且 y ?f x
成中心对称.若 u , v 满足不等式组 ?

? f (u) ? f (v ? 1) ? 0, 2 2 则 u ? v 的最小值为 ? f (u ? v ? 1) ? 0,



10、(海淀区 2015 届高三一模)设 f ( x ) ? ? 两个零点,则 a 的取值范围是

? x 3 , x ? a, ? 若存在实数 b ,使得函数 g ( x) ? f ( x) ? b 有 2 ? ? x , x ? a.
.

ì 1 ? ? 0 x≤ ? 2x , ≤ 2 11 . 已 知 函 数 f ( x) = ? , 定 义 f1 ( x) = f ( x) , f n ( x) = f ( f n- 1 ( x)) , í ? 1 ? 2 - 2 x, < x ≤ 1 ? ? 2 ? ?
* ( n ≥ 2 , n ? N ). 把满足 f n ( x) = x( x ? [0,1]) 的 x 的个数称为函数 f ( x) 的 “ n - 周期点” . 则

f ( x) 的 2 - 周期点是

; n - 周期点是



?2 x ? a , x ? 0, ? 12、已知函数 f ( x) ? ? 2 有三个不同的零点,则实数 a 的取值范围是_____. ? ? x ? 3ax ? a, x ? 0
13、已知函数 f ( x) 的定义域是 D,若对于任意 x1 , x2 ? D ,当 x1 ? x2 时,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则称函

数 f ( x) 在 D 上为非减函数 . 设函数 f ( x) 在 [0, 1] 上为非减函数,且满足以下三个条件:①

x 1 4 f (0) ? 0 ; ② f ( ) ? f ( x) ; ③ f (1 ? x) ? 1 ? f ( x) .则 f ( ) ? 5 2 5

, f(

1 )? 2013

.

14、定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的函数 f ( x ) ,如果对于任意给定的等比数列 {an } ,{ f (an )} 仍是等 比数列, 则称 f ( x ) 为 “等比函数” 。 现有定义在 (??,0) ? (0, ??) 上的如下函数: ① f ( x) ? 2x ;
x ② f ( x) ? log2 x ;③ f ( x) ? x2 ;④ f ( x ) ? ln 2 ,则其中是“等比函数”的 f ( x ) 的序号





15、函数 f ? x ? 的定义域为 A ,若 x1 , x 2 ? A 且 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? 时总有 x1 ? x 2 ,则称 f ? x ? 为单函数. 例如,函数 f ? x ? ? x ? 1? x ? R ? 是单函数.下列命题: ①函数 f ? x ? ? x ? 2 x? x ? R ? 是单函数;
2

②函数 f ? x ? ? ?

?log 2 x, x ? 2, 是单函数; ?2 ? x , x ? 2

③若 f ? x ? 为单函数, x1 , x 2 ? A 且 x1 ? x 2 ,则 f ? x1 ? ? f ? x 2 ? ; ④函数 f ? x ? 在定义域内某个区间 D 上具有单调性,则 f ? x ? 一定是单函数. 其中的真命题是_________(写出所有真命题的编号). 三、解答题 1、(大兴区 2015 届高三上学期期末)已知 f ( x) ? 3x 2 ? e x ,函数 f ( x) 的零点从小到大依次为 xi ,

i ? 1, 2, ? ? ? .
(Ⅰ)若 xi ?[m, m ? 1) ( m ? Z ),试写出所有的 m 值; (Ⅱ)若 g ( x) ?
1 3 e 2 , a1 ? g (0) , an ?1 ? g (an ) ,求证: a1 ? a2 ? ??? ? an ? x2 ;
x
x

(Ⅲ)若 h( x) ? ?

1 3

e 2 , b1 ? h(0) , bn ?1 ? h(bn ) ,试把数列{bn }的前 2 n 项及 x1 按从小到大的顺

序排列。(只要求写出结果).

参考答案 一、选择题

1、C 解析:

如图? x ? 1时, f ( x) ? log2 ?x ? 1? 注意 log2 ?x ? 1? 定义域不包括-1

? f ( x) ? log2 ?x ? 1? 解集为 ?? 1,1?

? ? ? 上为增函数,符合题意. 2、A. y ? x ? 1 在 ? ?1,
1) 上为减函数,不合题意. B. y ? ( x ? 1)2 在 (0 ,

C. y ? 2? x 为 (?? ,? ?) 上的减函数,不合题意. D. y ? log0.5 ( x ? 1) 为 (?1,? ?) 上的减函数,不合题意. 故选 A. 3、答案:D -x -x 解析:依题意,f(x)向右平移 1 个单位之后得到的函数应为 y=e ,于是 f(x)相当于 y=e -x-1 向左平移 1 个单位的结果,∴f(x)=e ,故选 D. 4、答案:A

5、D 12、D

6、A 7、D 8、D 9、B 13、B 14、B 15、D

10、D 11、C

二、填空题 1、 ? , 1? ? ?2, ? ??
x 解 析 : ( 1 ) 若 函 数 h( x) ? 2 ? a 在 x ? 1 时 与 x 轴 有 一 个 交 点 所 以 a ? 0 , 并 且 当 x ? 1 时

?1 ? ?2 ?

h(1) ? 2 ? a ? 0 所以 0 ? a ? 2 , 函数 g ( x) ? 4( x ? a)(x ? 2a) 有一个交点所以 2a ? 1 且 a ? 1 所以

1 ? a ? 1 ( 2 )若函数 h( x) ? 2 x ? a 与函数没有交点 , g ( x) ? 4( x ? a)(x ? 2a) 有两个交点当 2 a ? 0 , h( x ) 与 x 轴 无 交 点 , g ( x ) 无 交 点 , 所 以 不 满 足 题 意 , 当 时 a ? 2 , g ( x ) 的 两 个 交 点

?1 ? x1 ? a, x2 ? 2a 都是满足题意的,综上 a 的取值范围是 ? , 1? ? ?2, ? ?? ?2 ?
2、(1)(2)(4) 6、1 3、 (?1, 0) 4、③④ 5、② ③ ④

7、-1

8、0 10、 (??,0) ? (1, ??)

1 9、 2

11. 4 , 2 n

12. 13.

4 ? a ?1 9
1 1 , 2 32
① 若 f ( x) ? x ? 2x , 则 由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 得 x12 ? 2x1 ? x22 ? 2x2 , 即
2

14. ③④ 15. 答 案 ③

( x1 ? x2 )( x1 ? x2 ? 2) ? 0 , 解 得 x1 ? x2 , 或 x1? x2?2 ?0, 所 以 ① 不 是 单 函 数 .② 若

?log x, x ? 2, f ?x ? ? ? 2 则由函数图象可知当 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,时, x1 ? x2 ,所以②不是单函数.③ ?2 ? x , x ? 2

根据单函数的定义可知,③正确.④在在定义域内某个区间 D 上具有单调性,单在整个定义域上 不一定单调,所以④不一定正确,比如②函数.所以真命题为③. 三、解答题 1、解:(Ⅰ) f ( ?1) ? 3 ?

1 ? 0 , f (0) ? ?1 ? 0 , f (1) ? 3 ? e ? 0 , e

f (3) ? 33 ? e3 ? 0 , f (4) ? 48 ? e4 ? 0
所以 m ? ?1,0,3 (Ⅱ) g ( x) ?
1 3
x

????3 分

e 2 , g( x)在 R 上单调递增,当 0 ? x ? 1 时,
1

0 ? g ( x) ? g (1) ?

e2 3

?1,

????1 分

2 由(Ⅰ)知, 0 ? x2 ? 1 , f ( x2 ) ? 3x2 ? ex2 ? 0 ,

即 g ( x2 ) ?

1 3

e 2 ? x2

x2

????2 分

所以 0 ? g (0) ? g ( x2 ) ? x2 ? g (1) ? 1



下面用数学归纳法证明 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ? x2 由式①知, 0 ? a1 ? x2 ,所以 0 ? g (0) ? g (a1 ) ? g ( x2 ) , 即 0 ? a1 ? a2 ? x2 ,所以,当 n ? 1, 2 时,命题成立 假设 n ? k (k ? 2) 时命题成立,即

0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? x2
当 n ? k ? 1 时,由式②得



0 ? g (0) ? g (a1 ) ? g (a2 ) ? g (a3 ) ? ? ? g (ak ) ? g ( x2 )
即 0 ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ? ak ?1 ? x2 当 n ? k ? 1 时,命题也成立, 所以 a1 ? a2 ? ??? ? an ? x2 ?7 分 (Ⅲ) h( x) ? ?
1 3 e2 , h ( x)在 R 上单调递减,由于 ?1 ? x1 ? 0 ,所以
x

?1 ? h(0) ? ?

1 ? h( x1 ) ? x1 ? 0 ,即 ?1 ? b1 ? x1 ? 0 ,可推出 3

?1 ? h(0) ? h( x1 ) ? h(b1 ) ? 0 ,即 ?1 ? b1 ? x1 ? b2 ? 0
进而可得 ?1 ? h(0) ? h(b2 ) ? h( x1 ) ? h(b1 ) ? 0 , 即 ?1 ? b1 ? b3 ? x1 ? b2 ? 0 ,又可得

?1 ? h(0) ? h(b2 ) ? h( x1 ) ? h(b3 ) ? h(b1 ) ? 0
即 ?1 ? b1 ? b3 ? x1 ? b4 ? b2 ? 0 ,所以用数学归纳法易证

b1 ? b3 ? ? ? b2n?1 ? x1 ? b2n ? ? ? b4 ? b2

????3 分


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