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北师大版高中(选修4-4


目录:数学选修 4-4,4-5 数学选修 4-4 数学选修 4-4 数学选修 4-4
坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 [基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组] [基础训练 A 组] [综合训练 B 组] [提高训练 C 组]

数学选修 4-5 不等式选讲 数学选修 4-5 不等式选讲 数学选修 4-5

不等式选讲

新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

数学选修 4-4

坐标系与参数方程

[基础训练 A 组]
一、选择题 1.若直线的参数方程为 ? A.

? x ? 1 ? 2t (t为参数) ,则直线的斜率为( ? y ? 2 ? 3t
C.



2 3

B. ?

2 3

3 2

D. ?

3 2


2.下列在曲线 ?

? x ? sin 2? (? 为参数) 上的点是( ? y ? cos ? ? sin ?
B. ( ?

A. ( , ? 2)

1 2

3 1 , ) 4 2

C. (2, 3)

D. (1, 3) ) D. y ? x ? 2(0 ? y ? 1)

? x ? 2 ? sin 2 ? ? (? 为参数) 化为普通方程为( 3.将参数方程 ? 2 ? ? y ? sin ?
A. y ? x ? 2
2

B. y ? x ? 2

C. y ? x ? 2(2 ? x ? 3) )

4.化极坐标方程 ? cos ? ? ? ? 0 为直角坐标方程为( A. x ? y ? 0或y ? 1
2 2

B. x ? 1

C. x ? y ? 0或x ? 1
2 2

D. y ? 1

5.点 M 的直角坐标是 (?1, 3) ,则点 M 的极坐标为( A. (2,



?
3

)

B. (2, ?

?
3

)

C. (2,

2? ) 3

D. (2, 2k? ? )

?
3

), (k ? Z )

6.极坐标方程 ? cos ? ? 2sin 2? 表示的曲线为( A.一条射线和一个圆 B.两条直线

C.一条直线和一个圆

D.一个圆

二、填空题 1.直线 ?

? x ? 3 ? 4t (t为参数) 的斜率为______________________。 ? y ? 4 ? 5t

t ?t ? ?x ? e ? e (t为参数) 的普通方程为__________________。 2.参数方程 ? t ?t ? ? y ? 2(e ? e )

3.已知直线 l1 : ?

? x ? 1 ? 3t (t为参数) 与直线 l2 : 2 x ? 4 y ? 5 相交于点 B ,又点 A(1, 2) , ? y ? 2 ? 4t

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》
则 AB ? _______________。

1 ? x ? 2? t ? ? 2 (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 4 截得的弦长为______________。 4.直线 ? ? y ? ?1 ? 1 t ? ? 2
5.直线 x cos ? ? y sin ? ? 0 的极坐标方程为____________________。 三、解答题 1.已知点 P( x, y) 是圆 x 2 ? y 2 ? 2 y 上的动点, (1)求 2 x ? y 的取值范围;

(2)若 x ? y ? a ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

2.求直线 l1 : ? 距离。

? ?x ? 1? t (t为参数) 和直线 l2 : x ? y ? 2 3 ? 0 的交点 P 的坐标,及点 P 与 Q(1, ?5) 的 ? ? y ? ?5 ? 3t

3.在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上找一点,使这一点到直线 x ? 2 y ? 12 ? 0 的距离的最小值。 16 12

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

数学选修 4-4

坐标系与参数方程

[综合训练 B 组]
一、选择题 1.直线 l 的参数方程为 ? 是( ) B. 2 t1 C. 2 t1 D.

?x ? a ? t (t为参数) , l 上的点 P1 对应的参数是 t1 ,则点 P1 与 P(a, b) 之间的距离 ?y ? b ? t

A. t1

2 t1 2


1 ? ?x ? t ? 2.参数方程为 ? t (t为参数) 表示的曲线是( ? ?y ? 2
A.一条直线 B.两条直线 C.一条射线

D.两条射线

1 ? x ? 1 ? t ? 2 ? 3.直线 ? (t为参数) 和圆 x2 ? y 2 ? 16 交于 A, B 两点,则 AB 的中点坐标为( ? y ? ?3 3 ? 3 t ? ? 2
A. (3, ?3) B. (? 3,3) C. ( 3, ?3) ) D. (3, ? 3)



4.圆 ? ? 5cos? ? 5 3sin ? 的圆心坐标是( A. ( ?5, ?

4? ) 3

B. (?5,

?
3

)

C. (5,

?
3

)

D. ( ?5,

5? ) 3


5.与参数方程为 ?

? ?x ? t ? ? y ? 2 1? t

(t为参数) 等价的普通方程为(
y2 ? 1(0 ? x ? 1) B. x ? 4
2

y2 ?1 A. x ? 4
2

C. x ?
2

y2 ? 1(0 ? y ? 2) 4

D. x ?
2

y2 ? 1(0 ? x ? 1, 0 ? y ? 2) 4


6.直线 ?

? x ? ?2 ? t (t为参数) 被圆 ( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 所截得的弦长为( ? y ? 1? t
B. 40

A. 98

1 4

C. 82

D. 93 ? 4 3

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

二、填空题

1 ? ?x ? 1? 1.曲线的参数方程是 ? t (t为参数,t ? 0) ,则它的普通方程为__________________。 ? y ? 1? t2 ?
2.直线 ?

? x ? 3 ? at (t为参数) 过定点_____________。 ? y ? ?1 ? 4t

3.点 P(x,y)是椭圆 2 x2 ? 3 y 2 ? 12 上的一个动点,则 x ? 2 y 的最大值为___________。 4.曲线的极坐标方程为 ? ? tan ? ?
2 2

1 ,则曲线的直角坐标方程为________________。 cos ?

5.设 y ? tx(t为参数) 则圆 x ? y ? 4 y ? 0 的参数方程为__________________________。 三、解答题 1.参数方程 ?

? x ? cos ? (sin ? ? cos ? ) (? 为参数) 表示什么曲线? ? y ? sin ? (sin ? ? cos ? )

2.点 P 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上,求点 P 到直线 3x ? 4 y ? 24 的最大距离和最小距离。 16 9

3.已知直线 l 经过点 P(1,1) ,倾斜角 ? ? (1)写出直线 l 的参数方程。

?
6



(2)设 l 与圆 x ? y ? 4 相交与两点 A, B ,求点 P 到 A, B 两点的距离之积。
2 2

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

数学选修 4-4

坐标系与参数方程.

[提高训练 C 组]
一、选择题 1.把方程 xy ? 1 化为以 t 参数的参数方程是(
1 ? ?x ? t 2 A. ? 1 ? y ? t?2 ?



? x ? sin t ? B. ? 1 y? ? sin t ?

? x ? cos t ? C. ? 1 y? ? cos t ?

? x ? tan t ? D. ? 1 y? ? tan t ?


2.曲线 ?

? x ? ?2 ? 5t (t为参数) 与坐标轴的交点是( y ? 1 ? 2 t ?
2 5 1 2 ( , 0) B. (0, )、 1 5 1 2

( , 0) A. (0, )、
3.直线 ? A.

(8, 0) C. (0, ?4)、

(8, 0) D. (0, )、


5 9

? x ? 1 ? 2t (t为参数) 被圆 x2 ? y 2 ? 9 截得的弦长为( y ? 2 ? t ?
12 5
B.

12 5 5

C.

9 5 5

D.

9 10 5

4.若点 P(3, m) 在以点 F 为焦点的抛物线 ? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

? x ? 4t 2 ? y ? 4t

(t为参数) 上,则 PF 等于(



5.极坐标方程 ? cos 2? ? 0 表示的曲线为( A.极点 B.极轴 C.一条直线

) D.两条相交直线 )

6.在极坐标系中与圆 ? ? 4sin ? 相切的一条直线的方程为( A. ? cos ? ? 2 B. ? sin ? ? 2 C. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

D. ? ? 4 sin(? ?

?
3

)

二、填空题

? x ? 2 pt 2 1.已知曲线 ? (t为参数,p为正常数) 上的两点 M , N 对应的参数分别为 t1和t2, , 且t1 ? t2 ? 0 , ? y ? 2 pt
那么 MN =_______________。

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》
2.直线 ?

? ? x ? ?2 ? 2t ? ? y ? 3 ? 2t

(t为参数) 上与点 A(?2,3) 的距离等于 2 的点的坐标是_______。

3.圆的参数方程为 ?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? (? 为参数) ,则此圆的半径为_______________。 ? y ? 4sin ? ? 3cos ?

4.极坐标方程分别为 ? ? cos ? 与 ? ? sin ? 的两个圆的圆心距为_____________。 5.直线 ?

? x ? t cos ? ? x ? 4 ? 2cos ? 与圆 ? 相切,则 ? ? _______________。 ? y ? t sin ? ? y ? 2sin ?

三、解答题

1 t ? x ? (e ? e ? t ) cos ? ? ? 2 1.分别在下列两种情况下,把参数方程 ? 化为普通方程: 1 t ? t ? y ? (e ? e ) sin ? ? ? 2
(1) ? 为参数, t 为常数; (2) t 为参数, ? 为常数;

2.过点 P (

10 , 0) 作倾斜角为 ? 的直线与曲线 x2 ? 12 y2 ? 1 交于点 M , N , 2

求 PM ? PN 的值及相应的 ? 的值。

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B 3.C 4.C 5.C 6.C

坐标系与参数方程 [基础训练 A 组]

k?

y ? 2 ?3t 3 ? ?? x ? 1 2t 2 3 1 时, y ? 4 2

转化为普通方程: y 2 ? 1 ? x ,当 x ? ?

转化为普通方程: y ? x ? 2 ,但是 x ? [2,3], y ?[0,1]

? ( ? cos ? ? 1) ? 0, ? ? x 2 ? y 2 ? 0, 或? cos ? ? x ? 1
(2, 2k? ? 2? ), (k ? Z ) 都是极坐标 3

? cos? ? 4sin ? cos? ,cos? ? 0, 或? ? 4sin ? ,即? 2 ? 4? sin ?
则 ? ? k? ?

?
2

, 或 x2 ? y 2 ? 4 y

二、填空题 1. ?

5 4
2 2

k?

y?4 ?5 t 5 ? ?? x ?3 4 t 4

2.

x y ? ? 1, ( x ? 2) 4 16

y ? ? x ? et ? e ? t x ? ? 2et ? y y ? ? 2 ?? ? (x ? ) x (? ? ) ?y t ?t 2 2 ? ? e ?e ? x ? y ? 2e? t ?2 ? ? 2

4

3.

5 2

将?

? x ? 1 ? 3t 1 5 5 代入 2 x ? 4 y ? 5 得 t ? ,则 B ( , 0) ,而 A(1, 2) ,得 AB ? 2 2 2 ? y ? 2 ? 4t

4. 14

直线为 x ? y ? 1 ? 0 ,圆心到直线的距离 d ? 得弦长为 14

2 2 14 1 2 ,弦长的一半为 22 ? ( , ? ) ? 2 2 2 2

5. ? ?

?
2

??

? c o s? c o? s? ? s i? n s? ? in

0 ,? ? cos ? ? ( ,取 ? ) ?? 0?

?
2

三、解答题 1.解: (1)设圆的参数方程为 ?

? x ? cos ? , ? y ? 1 ? sin ?

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

2x ? y ? 2cos? ? sin ? ? 1 ? 5 sin(? ? ? ) ?1 ?? 5 ?1 ? 2x ? y ? 5 ? 1
(2) x ? y ? a ? cos ? ? sin ? ? 1 ? a ? 0

? a ? ?(cos ? ? sin ? ) ? 1 ? ? 2 sin(? ? ) ? 1 4 ? a ? ? 2 ?1
2.解:将 ?

?

? ?x ? 1? t 代入 x ? y ? 2 3 ? 0 得 t ? 2 3 , ? ? y ? ?5 ? 3t
2 2

得 P(1 ? 2 3,1) ,而 Q(1, ?5) ,得 PQ ? (2 3) ? 6 ? 4 3 3.解:设椭圆的参数方程为 ?

4 cos ? ? 4 3 sin ? ? 12 ? ? x ? 4 cos ? ,d ? 5 ? ? y ? 2 3 sin ?

?

4 5 4 5 ? cos? ? 3 sin ? ? 3 ? 2cos(? ? ) ? 3 5 5 3

当 cos(? ?

?
3

) ? 1 时, d min ?

4 5 ,此时所求点为 (2, ?3) 。 5

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.C 2.D 3.D 距离为 t1 ? t1 ?
2 2

坐标系与参数方程 [综合训练 B 组]

2 t1

y ? 2 表示一条平行于 x 轴的直线,而 x ? 2, 或x ? ?2 ,所以表示两条射线
t ?t 1 3 2 (1 ? t )2 ? (?3 3 ? t ) ? 16 ,得 t 2 ? 8t ? 8 ? 0 , t1 ? t2 ? 8, 1 2 ? 4 2 2 2

1 ? x ? 1? ? 4 ? ? 2 ? ?x ? 3 ?? 中点为 ? ?y ? ? 3 ? y ? ?3 3 ? 3 ? 4 ? ? ? 2
4.A 圆心为 ( , ?

5 2

5 3 ) 2

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》
5.D

x2 ? t,

y2 y2 ? 1 ? t ? 1 ? x2 , x2 ? ? 1, 而t ? 0, 0 ? 1 ? t ? 1, 得0 ? y ? 2 4 4

6.C

? 2 x ? ?2 ? 2t ? ? x ? ?2 ? t ? ? 2 ,把直线 ? x ? ?2 ? t 代入 ?? ? ? ? y ? 1? t ? y ? 1? t ? y ? 1 ? 2t ? 2 ? ? 2

( x ? 3)2 ? ( y ? 1)2 ? 25 得 (?5 ? t )2 ? (2 ? t )2 ? 25, t 2 ? 7t ? 2 ? 0
t1 ? t2 ? (t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ? 41 ,弦长为 2 t1 ? t2 ? 82
二、填空题 1. y ?

x( x ? 2) ( x ? 1) ( x ? 1) 2

1 1 1? x ? ,t ? , 而 y ? 1? t 2 , t 1? x
即 y ? 1? (

1 2 x( x ? 2) ) ? ( x ? 1) 1? x ( x ? 1) 2

2. (3, ?1) 3. 22

y ?1 4 ? , ?( y ? 1)a ? 4 x ? 12 ? 0 对于任何 a 都成立,则 x ? 3, 且y ? ?1 x?3 a
椭圆为

x2 y 2 ? ? 1 ,设 P( 6 cos? , 2sin ? ) , 6 4

x ? 2 y ? 6 cos? ? 4sin ? ? 22 sin(? ? ? ) ? 22
4. x ? y
2

? ? t a n??

1 s i? n ? ,? c 2o s? ? 2 cos ? c o? s

s? i n 2? ,

2

c?o ?s ?

? sxi n? y , 即
2

4t ? x? ? ? 1? t2 5. ? 2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?

x2 ? (tx)2 ? 4tx ? 0 ,当 x ? 0 时, y ? 0 ;当 x ? 0 时, x ?

4t ; 1? t2

4t ? x? ? 4t ? 1? t2 而 y ? tx ,即 y ? ,得 ? 2 1? t2 ? y ? 4t ? 1? t2 ?
2

三、解答题 1.解:显然

y y2 1 1 ? tan ? ,则 2 ? 1 ? , cos 2 ? ? 2 2 y x x cos ? ?1 x2

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》 1 1 2 tan ? x ? cos 2 ? ? sin ? cos ? ? sin 2? ? cos 2 ? ? ? ? cos 2 ? 2 2 2 1 ? tan ? y y 2 ?1 1 1 y2 y x ? x 即x? ? ? , x (1 ? ) ? ?1 2 2 2 2 y y y 2 x x 1? 2 1? 2 1? 2 x x x
得x?

y2 y ? ? 1 ,即 x2 ? y 2 ? x ? y ? 0 x x 12cos ? ? 12sin ? ? 24 5

2.解:设 P(4cos ? ,3sin ? ) ,则 d ?

12 2 cos(? ? ) ? 24 4 即d ? , 5
当 cos(? ? 当 cos(? ?

?

?
?
4 4

) ? ?1 时, d max ? ) ? 1 时, d min

12 (2 ? 2) ; 5 12 ? (2 ? 2) 。 5

? ? ? 3 x ? 1 ? t cos x ? 1? t ? ? ? ? 6 2 3.解: (1)直线的参数方程为 ? ,即 ? ? y ? 1 ? t sin ? ? y ? 1? 1 t ? ? 6 ? ? 2 ? 3 x ? 1? t ? ? 2 代入 x 2 ? y 2 ? 4 (2)把直线 ? ? y ? 1? 1 t ? ? 2
得 (1 ?

3 2 1 t ) ? (1 ? t )2 ? 4, t 2 ? ( 3 ? 1)t ? 2 ? 0 2 2

t1t2 ? ?2 ,则点 P 到 A, B 两点的距离之积为 2

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-4
一、选择题 1.D 2.B

坐标系与参数方程 [提高训练 C 组]

xy ? 1 , x 取非零实数,而 A,B,C 中的 x 的范围有各自的限制
当 x ? 0 时, t ?

2 1 1 ,而 y ? 1 ? 2t ,即 y ? ,得与 y 轴的交点为 (0, ) ; 5 5 5

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》 1 1 1 当 y ? 0 时, t ? ,而 x ? ?2 ? 5t ,即 x ? ,得与 x 轴的交点为 ( , 0) 2 2 2

3.B

? x ? 1 ? 5t ? ? x ? 1 ? 2t ? ? ?? ? ?y ? 2 ? t ? y ? 1 ? 5t ? ? ?

2 ? x ? 1 ? 2t 5 ,把直线 ? 代入 1 ?y ? 2 ?t 5

x2 ? y 2 ? 9 得 (1 ? 2t )2 ? (2 ? t )2 ? 9,5t 2 ? 8t ? 4 ? 0
12 8 16 12 5 t1 ? t2 ? (t1 ? t2 )2 ? 4t1t2 ? (? )2 ? ? ,弦长为 5 t1 ? t2 ? 5 5 5 5
4.C 5.D 6.A 抛物线为 y 2 ? 4 x ,准线为 x ? ?1 , PF 为 P(3, m) 到准线 x ? ?1 的距离,即为 4

? cos 2? ? 0, cos 2? ? 0, ? ? k? ?

?
4

,为两条相交直线

? ? 4sin ? 的普通方程为 x2 ? ( y ? 2)2 ? 4 , ? cos? ? 2 的普通方程为 x ? 2
圆 x ? ( y ? 2) ? 4 与直线 x ? 2 显然相切
2 2

二、填空题 1. 4 p t1 显然线段 MN 垂直于抛物线的对称轴。即 x 轴, MN ? 2 p t1 ? t2 ? 2 p 2t1

2. (?3, 4) ,或 (?1, 2)

2 2 1 (? 2t )2 ? ( 2t ) 2 ? ( 2) ,2t ? ,t ? ? 2 2

3. 5

由?

? x ? 3sin ? ? 4cos ? 2 2 得 x ? y ? 25 y ? 4sin ? ? 3cos ? ?
1 2 1 2

4. 5.

2 2

圆心分别为 ( , 0) 和 (0, )
2 2 直线为 y ? x tan ? ,圆为 ( x ? 4) ? y ? 4 ,作出图形,相切时,

? 5? ,或 6 6

易知倾斜角为 三、解答题

? 5? ,或 6 6

1.解: (1)当 t ? 0 时, y ? 0, x ? cos ? ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 当 t ? 0 时, cos ? ?

x 1 t ?t (e ? e ) 2

,sin ? ?

y 1 t ?t (e ? e ) 2

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》
而 x 2 ? y 2 ? 1,即

x2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

?

y2 1 t (e ? e ? t ) 2 4

?1

(2)当 ? ? k? , k ? Z 时, y ? 0 , x ? ?

1 t (e ? e?t ) ,即 x ? 1, 且y ? 0 ; 2 ? 1 t ?t 当 ? ? k? ? , k ? Z 时, x ? 0 , y ? ? (e ? e ) ,即 x ? 0 ; 2 2

2x 2x 2y ? t ?t ? t e ?e ? 2e ? ? ? ? k? ? ? cos ? cos ? sin ? , k ? Z 时,得 ? 当? ? ,即 ? 2 ?e t ? e ? t ? 2 y ? 2e ? t ? 2 x ? 2 y ? ? sin ? cos ? sin ? ? ?
得 2e ? 2e
t ?t

?(

2x 2y 2x 2y ? )( ? ) cos ? sin ? cos ? sin ?



x2 y2 ? ?1。 cos 2 ? sin 2 ?

? 10 ? t cos ? ?x ? 2.解:设直线为 ? (t为参数) ,代入曲线并整理得 2 ? y ? t sin ? ?
(1 ? sin 2 ? )t 2 ? ( 10 cos ? )t ? 3 ?0 2

3 2 则 PM ? PN ? t1t2 ? 1 ? sin 2 ? ? 3 ? 2 所以当 sin ? ? 1 时,即 ? ? , PM ? PN 的最小值为 ,此时 ? ? 。 2 4 2

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

数学选修 4-5

不等式选讲

[基础训练 A 组]
一、选择题 1.下列各式中,最小值等于 2 的是( A. )

x y ? y x

B.

x2 ? 5 x ?4
2

C. tan ? ?

1 tan ?
y

D. 2 ? 2
x

?x

2.若 x, y ? R 且满足 x ? 3 y ? 2 ,则 3 ? 27 ? 1 的最小值是(
x



A. 3 3 9

B. 1 ? 2 2

C. 6

D. 7 )

3.设 x ? 0, y ? 0, A ? A. A ? B

x? y x y ? , B? ,则 A, B 的大小关系是( 1? x ? y 1? x 1? y
C. A ? B D. A ? B )

B. A ? B

4.若 x, y, a ? R? ,且 x ? A.

y ? a x ? y 恒成立,则 a 的最小值是(
C. 1 D.

2 2

B. 2

1 2

5.函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为( A. 2 B. 2 C. 4

) D. 6 )

6.不等式 3 ? 5 ? 2 x ? 9 的解集为( A. [?2,1)

[4,7)

B. (?2,1]

(4,7]

C. (?2, ?1] [4,7)

D. (?2,1] [4,7)

二、填空题 1.若 a ? b ? 0 ,则 a ?

1 的最小值是_____________。 b( a ? b)
a b b?m a?n , , , 按由小到大的顺序排列为 b a a?m b?n

2.若 a ? b ? 0, m ? 0, n ? 0 ,则

2 2 3.已知 x, y ? 0 ,且 x ? y ? 1,则 x ? y 的最大值等于_____________。

4.设 A ?

1 1 1 ? 10 ? 10 ? 10 2 2 ?1 2 ? 2

?

1 ,则 A 与 1 的大小关系是_____________。 2 ?1
11

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》
5.函数 f ( x) ? 3 x ? 三、解答题 1.已知 a ? b ? c ? 1 ,求证: a ? b ? c ?
2 2 2

12 ( x ? 0) 的最小值为_____________。 x2

1 3

2.解不等式 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 3 ? 2 2 ? 0

3.求证: a ? b ? ab ? a ? b ? 1
2 2

4.证明: 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

数学选修 4-5

不等式选讲

[综合训练 B 组]
一、选择题 1.设 a ? b ? c, n ? N ,且 A. 2 B. 3

1 1 n ? ? 恒成立,则 n 的最大值是( a?b b?c a?c
D. 6



C. 4

2. 若 x ? (??,1) ,则函数 y ? A.最小值 1 B.最大值 1

x2 ? 2 x ? 2 有( 2x ? 2
C.最大值 ?1

) D.最小值 ?1 )

3.设 P ? 2 , Q ? 7 ? 3 , R ? 6 ? 2 ,则 P, Q, R 的大小顺序是( A. P ? Q ? R B. P ? R ? Q
3 3

C. Q ? P ? R
2 2

D. Q ? R ? P )

4.设不等的两个正数 a , b 满足 a ? b ? a ? b ,则 a ? b 的取值范围是( A. (1, ??) B. (1, )

4 3

C. [1, ]

4 3

D. (0,1)

5.设 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ? 1 ,若 M ? ( ? 1)( ? 1)( ? 1) ,则必有( A. 0 ? M ?

1 a

1 b

1 c



1 8

B.

1 ? M ? 1 C. 1 ? M ? 8 8

D. M ? 8

? 6.若 a, b ? R ,且 a ? b, M ?

a b ? , N ? a ? b ,则 M 与 N 的大小关系是 b a
D. M ? N

A. M ? N

B. M ? N

C. M ? N

二、填空题 1.设 x ? 0 ,则函数 y ? 3 ? 3 x ?

1 的最大值是__________。 x

2.比较大小: log3 4 ______ log6 7 3.若实数 x, y, z 满足 x ? 2 y ? 3z ? a(a为常数) ,则 x ? y ? z 的最小值为
2 2 2

4.若 a, b, c, d 是正数,且满足 a ? b ? c ? d ? 4 ,用 M 表示

a ? b ? c, a ? b ? d , a ? c ? d , b ? c ? d 中的最大者,则 M 的最小值为__________。

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》
5.若 x ? 1, y ? 1, z ? 1, xyz ? 10 ,且 xlg x ? ylg y ? z lg z ? 10 ,则 x ? y ? z ? _____ 。

三、解答题 1.如果关于 x 的不等式 x ? 3 ? x ? 4 ? a 的解集不是空集,求参数 a 的取值范围。

2.求证:

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c ? 3 3

3.当 n ? 3, n ? N 时,求证: 2 ? 2(n ? 1)
n

4.已知实数 a, b, c 满足 a ? b ? c ,且有 a ? b ? c ? 1, a ? b ? c ? 1
2 2 2

求证: 1 ? a ? b ?

4 3

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

数学选修 4-5

不等式选讲

[提高训练 C 组]
一、选择题 1.若 log x y ? ?2 ,则 x ? y 的最小值是( A. )

33 2 2

B.

23 3 3

C.

3 2

3

D.

2 3

2

2. a, b, c ? R ? ,设 S ?

a b c d ? ? ? , a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b
) C. 2 ? S ? 3 D. 3 ? S ? 4 )

则下列判断中正确的是( A. 0 ? S ? 1

B. 1 ? S ? 2

3.若 x ? 1 ,则函数 y ? x ? A. 16 B. 8 C. 4

1 16 x ? 的最小值为( x x2 ? 1
D.非上述情况

4.设 b ? a ? 0 ,且 P ?

2 1 1 ? a 2 b2

,Q ?

2 1 1 ? a b

, M ? ab , N ?

a?b a 2 ? b2 ,R ? , 2 2

则它们的大小关系是( A. P ? Q ? M ? N ? R C. P ? M ? N ? Q ? R

) B. Q ? P ? M ? N ? R D. P ? Q ? M ? R ? N

二、填空题 1.函数 y ?

3x ( x ? 0) 的值域是 x ? x ?1
2

.

2.若 a, b, c ? R ,且 a ? b ? c ? 1 ,则 a ? b ? c 的最大值是 3.已知 ?1 ? a, b, c ? 1 ,比较 ab ? bc ? ca 与 ?1 的大小关系为 4.若 a ? 0 ,则 a ? .

?

1 1 ? a 2 ? 2 的最大值为 a a

.

5.若 x, y, z 是正数,且满足 xyz ( x ? y ? z ) ? 1 ,则 ( x ? y)( y ? z ) 的最小值为______。

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

三、解答题 1. 设 a, b, c ? R ? ,且 a ? b ? c ,求证: a 3 ? b 3 ? c 3
2 2 2

2.已知 a ? b ? c ? d ,求证:

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b?c c ?d a ?d

? 3.已知 a, b, c ? R ,比较 a ? b ? c 与 a b ? b c ? c a 的大小。
3 3 3 2 2 2

4.求函数 y ? 3 x ? 5 ? 4 6 ? x 的最大值。

5.已知 x, y, z ? R ,且 x ? y ? z ? 8, x ? y ? z ? 24
2 2 2

求证:

4 4 4 ? x ? 3, ? y ? 3, ? z ? 3 3 3 3

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

新课程高中数学训练题组参考答案
数学选修 4-5
一、选择题 1.D 2.D 3.B

不等式选讲 [基础训练 A 组]

2x ? 0, 2? x ? 0,? 2x ? 2? x ? 2 2x 2? x ? 2
3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ? 33 y ?1 ? 2 3x ?3 y ?1 ? 7
B? x y x y x? y ? ? ? ? ? A ,即 A ? B 1? x 1? y 1? x ? y 1? y ? x 1? x ? y

4.B

x2 ? y 2 x ? y 2 ? ,即 x2 ? y 2 ? ( x ? y) , 2 2 2
? x? y ? 2 ( x ? y ) ,而 x ? y ? a x ? y , 2
1 1 2 ( x ? y ) 恒成立,得 ? ,即a ? 2 a a 2

即 x? y ? 5.A 6.D

y ? x ?4 ? x ?6 ? x ?4?6? x ? 2
? ??2 ? x ? 7 ? 2 x ? 5 ? 9 ??9 ? 2 x ? 5 ? 9 ?? ?? ,得 (?2,1] [4,7) ? 2 x ? 5 ? 3, 或 2 x ? 5 ? ? 3 x ? 4, 或 x ? 1 2 x ? 5 ? 3 ? ? ? ?

二、填空题 1. 3 2.

(a ? b) ? b ?

1 1 ? 3 3 (a ? b) ? b ? ?3 b(a ? b) b(a ? b)

b b?m a?n a b b?m ? ? ? ? 1, 由糖水浓度不等式知 ? a a?m b?n b a a?m b b?n a a?n a?n a ? 1 ,得 ? ? 1 ,即 1 ? ? 且 ? a a?n b b?n b?n b

3. 2 4. A ? 1

x? y ? 2

x2 ? y 2 , x ? y ? 2 x2 ? y 2 ? 2 2

A?

1 1 1 ? 10 ? 10 ? 10 2 2 ?1 2 ? 2

?

1 1 1 1 ? 10 ? 10 ? 10 ? 2 ?1 2 2 2
11 210 个

?

1 ?1 210

5. 9

12 3 x 3 x 1 2 3 x3 x3 1 2 f ( x)? 3x? 2 ? ? ?2 ? 3 ? ? 9 ? x 2 2 x 2 2 x2

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》
三、解答题 1.证明:

a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? (2ab ? 2bc ? 2ac) ? (a ? b ? c)2 ? 2(a2 ? b2 ? c2 )

?3(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1
? a 2 ? b2 ? c2 ?
另法一:

1 3

1 ( a ? b ? c) 2 a 2 ? b2 ? c 2 ? ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 3
1 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2c 2 ? 2ab ? 2bc ? 2ac ) 3 1 ? [(a ? b) 2 ? (b ? c) 2 ? (a ? c) 2 ] ? 0 3
? a 2 ? b2 ? c2 ? 1 3

另法二:

(12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2 ? 1
2 2 2

即 3(a2 ? b2 ? c2 ) ? 1,? a ? b ? c ?

1 3

2.解:原不等式化为 x ? 7 ? 3x ? 4 ? 2 ? 1 ? 0 当x?

4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

得 x ? 5?

2 4 2 ,即 ? x ? 5 ? ; 2 3 2
4 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 3

当 ?7 ? x ? 得x??

1 2 1 2 4 ,即 ? ? ? ?x? ; 2 4 2 4 3

当 x ? ?7 时,原不等式为 x ? 7 ? (3x ? 4) ? 2 ?1 ? 0 得 x ? 6?

2 ,与 x ? ?7 矛盾; 2 1 2 2 ? ? x ? 5? 2 4 2

所以解为 ?

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》
3.证明:

(a2 ? b2 ) ? (ab ? a ? b ?1)
? a 2 ? b 2 ? ab ? a ? b ? 1 1 ? (2a 2 ? 2b 2 ? 2ab ? 2a ? 2b ? 2) 2 1 ? [(a 2 ? 2ab ? b 2 ) ? (a 2 ? 2a ? 1) ? (b 2 ? 2b ? 1)] 2 1 ? [(a ? b)2 ? (a ? 1) 2 ? (b ? 1) 2 ] ? 0 2

? a 2 ? b2 ? ab ? a ? b ? 1
4.证明:

1 1 1 ? ? k ?1 ? k 2 k k ?1 ? k ? 2( k ? 1 ? k ) ? 1 ? 2( k ? k ? 1) k 1 1 1 ? ? ... ? ?2 n 2 3 n

? 2( n ? 1 ? 1) ? 1 ?

数学选修 4-5
一、选择题 1.C

不等式选讲

[综合训练 B 组]

a ?c a ?c a ?b ?b ?c a ?b ?b ?c b ?c a ?b ? ? ? ? 2? ? ?4 a ?b b?c a ?b b?c a ?b b ?c 1 1 4 1 1 n ? ? ? ? ? ,而 恒成立,得 n ? 4 a ?b b?c a ?c a?b b?c a?c

2.C 3.B 又 4.B

y?

( x ? 1)2 1 x ?1 1 1? x 1 ? ? ? ? ?2 ? ? ?1 2x ? 2 2x ? 2 2 2( x ? 1) 2 2(1 ? x)

2 ? 2 ? 2 2 ? 6,? 2 ? 6 ? 2 ,即 P ? R ;

6 ? 3 ? 7 ? 2,? 6 ? 2 ? 7 ? 3 ,即 R ? Q ,所以 P ? R ? Q
a2 ? ab ? b2 ? a ? b,(a ? b)2 ? (a ? b) ? ab ,而 0 ? ab ?
4 ( a ? b) 2 ,得 1 ? a ? b ? 3 4

( a ? b) 2 4

所以 0 ? (a ? b) ? (a ? b) ?
2

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5.D

新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》 a?b?c a?b?c a?b?c (b ? c)(a ? c)(a ? b) M ?( ? 1)( ? 1)( ? 1) ? a b c abc
? 8 ab bc ac ?8 abc
a b ? b ? 2 a, ? a ?2 b b a

6.A

a ? b,?

?

a b a b ? b? ? a ? 2 b ? 2 a ,即 ? ? b? a b a b a

二、填空题 1. 3 ? 2 3 2. ?

y ? 3 ? 3x ?

1 1 ? 3 ? 2 3x ? ? 3 ? 2 3 ,即 ymax ? 3 ? 2 3 x x
a b b b

设 log3 4 ? a,log6 7 ? b ,则 3a ? 4,6b ? 7 ,得 7 ? 3 ? 4 ? 6 ? 4 ? 2 ? 3 即3
a ?b

?

4 ? 2b 4 ? 2b a ?b ?1? a ? b ? 0 ? a ? b ,显然 b ? 1, 2b ? 2 ,则 3 ? 7 7
2 2 2 (1 ? 2 ? 3 x ) ( 2 ?y 2

3.

a2 14

?z

2

) ? x( ? y 2 ? z3 2 )?a 2

a2 即 14( x ? y ? z ) ? a ,? x ? y ? z ? 14
2 2 2 2
2 2 2

4. 3

M?

1 (a ? b ? c ? a ? b ? d ? a ? c ? d ? b ? c ? d ) 4 3 ? (a ? b ? c ? d ) ? 3 ,即 M min ? 3 4
lz g 2 2 )? 1? l gx ? lg y ? 2 2 2 lg z ?

5. 12

g lgx ( l gx ? y l y ?z 2 2

1

而 lg x ? lg y ? lg z ? (lg x ? lg y ? lg z) ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x)

? [lg( xyz )]2 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1 ? 2(lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x) ? 1
即 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 ,而 lg x,lg y,lg z 均不小于 0 得 lg x lg y ? lg y lg z ? lg z lg x ? 0 , 此时 lg x ? lg y ? 0 ,或 lg y ? lg z ? 0 ,或 lg z ? lg x ? 0 , 得 x ? y ? 1, z ? 10 ,或 y ? z ? 1, x ? 10 ,或 x ? z ? 1, y ? 10

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》
x ? y ? z ? 12
三、解答题 1.解:

x ? 3 ? x ? 4 ? ( x ? 3) ? ( x ? 4) ? 1 ?( x ? 3 ? x ? 4 )min ? 1
当 a ? 1 时, x ? 3 ? x ? 4 ? a 解集显然为 ? , 所以 a ? 1

2.证明:

(12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? (a ? b ? c)2

a 2 ? b 2 ? c 2 (a ? b ? c ) 2 ? ? 3 9
即 3.证明:

a 2 ? b2 ? c 2 a ? b ? c ? 3 3
1 2 n 1 n?1 n 2n ? (1 ?1)n ? 1 ? Cn ? Cn ? ...Cn ? 1 ? Cn ? Cn ? Cn ? 2(n ? 1)

? 2n ? 2(n ? 1) (本题也可以用数学归纳法)
( a ? b) 2 ? ( a 2 ? b 2 ) ? c2 ? c 4.证明: a ? b ? 1 ? c, ab ? 2
? a, b 是方程 x2 ? (1 ? c) x ? c2 ? c ? 0 的两个不等实根,
则 ? (1 ? c) ? 4(c ? c) ? 0 ,得 ?
2 2 2

1 ? c ?1 3

而 (c ? a)(c ? b) ? c ? (a ? b)c ? ab ? 0 即 c ? (1 ? c)c ? c ? c ? 0 ,得 c ? 0, 或c ?
2 2

2 3

所以 ?

1 4 ? c ? 0 ,即 1 ? a ? b ? 3 3

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》

数学选修 4-5
一、选择题 1.A 由 log x y ? ?2 得 y ? 而x? y ? x? 2.B

不等式选讲

提高训练 C 组]

1 , x2

1 x x 1 x x 1 1 3 ? ? ? 2 ? 33 ? ? 2 ? 33 ? 3 2 2 x 2 2 x 2 2 x 4 2

a b c d ? ? ? a ?b?c b?c ?d c ?d ?a d ?a ?b a b c d a?b?c?d ? ? ? ? ? ?1 a?b?c?d b?c?d ?a c?d ?a?b d ?a?b?c a?b?c?d a a c c b b d d ? ? ? ? 即 S ? 1, , , , a?b?c a?c c?d ?a a?c b?c?d b?d d ?a?b d ?b a c c a b d d b ? ? ? ?1, ? ? ? ?1 得 a?b?c c?d ?a a?c a?c b?c?d d ?a ?b d ?b b?d a b c d ? ? ? ? 2 ,得 S ? 2 ,所以1 ? S ? 2 即 a?b?c b?c?d c?d ?a d ?a?b 1 16 x 1 16 3.B y ? x? ? 2 ? x? ? ? 2 16 ? 8 x x ?1 x x? 1 x
4.A

R 为平方平均数,它最大

二、填空题 1. [?3, 0)

1 1 3x 3 , x ? 0,? x ? ? ?2, 得 x ? ? 1 ? ?1 ? x x x ? x ?1 x ? 1 ?1 x 1 3 ?1 ? ? 0 ? ?3 ? ? 0 ? ?3 ? y ? 0 1 1 x ? ?1 x ? ?1 x x

y?

2

2. 3 3. ?

2 2 (1 ? a ? 1? b ?1 ? c2 ) ?2( 1 ? 1 ? 1a ) ( b ? c ?

)? 3

构造单调函数 f ( x) ? (b ? c) x ? bc ? 1 ,则 f (1) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 ,

f (?1) ? (?1 ? b)(?1 ? c) ? (1 ? b)(1 ? c) ? 0 ,即 ?1 ? x ? 1 , f ( x) ? 0 恒成立,
所以 f (a) ? (b ? c)a ? bc ? 1 ? 0 ,即 ab ? bc ? ca ? ?1 4. 2 ? 2 设 a ?
2

1 1 1 ? t (t ? 2) ,则 a 2 ? 2 ? t 2 ,即 a ? ? t 2 ? 2 2 a a a

再令 y ? a ?

1 1 t ?1 ? 0 ? a 2 ? 2 ? t 2 ? 2 ? t (t ? 2) , y ' ? 2 a a t ?2

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新课程高中数学训练题组《选修 4-4,4-5》
即 t ?[ 2, ??) 时, y 是 t 的减函数,得 t ? 5. 2

2 时, ymax ? 2 ? 2

( x ? y) ( y? z)? x y ?2 y ? y ? z

z? x ( y ?x ?y ) ? z

2 ? zx (

y ?x? )y

z2 ?z x

三、解答题 1.证明:

a b a , b, c ? R ? , ? ? 1 c c
2 2 2 a b ? 1, 0 ? ? 1, a 3 , b 3 , c 3 ? 0 c c
2

?0 ?
2

a3 ? b3
2

c3
2.证明:

2 2 2 a 2 b 2 a b a ?b 3 3 3 3 ?( ) ?( ) ? ? ? ? 1, ? a ? b ? c 3 c c c c c

a ? b ? c ? d ,? a ? b ? 0, b ? c ? 0, c ? d ? 0

?(

1 1 1 1 1 1 ? ? )(a ? d ) ? ( ? ? )[(a ? b) ? (b ? c) ? (c ? d )] a ?b b?c c ?d a ?b b ?c c ?d

? 33
?

1 1 1 ? ? ? 3 3 (a ? b)(b ? c)(c ? d ) ? 9 a ?b b ?c c ?d

1 1 1 9 ? ? ? a ?b b?c c ?d a ?d
3 3 3

2 2 2 3.解:取两组数: a, b, c 与 a , b , c ,显然 a ? b ? c 是同序和,
2 a2 b? b ? c 2 c a a 3 ? b 3 ? c 3 ? a 2b ? b 2 c ? c 2 a 是乱序和,所以

4.解:函数的定义域为 [5, 6] ,且 y ? 0

y ? 3? x ? 5 ? 4 ? 6 ? x

? 32 ? 42 ? ( x ? 5) 2 ? ( 6 ? x ) 2 ?5
5.证明:显然 x ? y ? 8 ? z, xy ?

ymax ? 5

( x ? y)2 ? ( x 2 ? y 2 ) ? z 2 ? 8 z ? 20 2

? x, y 是方程 t 2 ? (8 ? z) x ? z 2 ? 8z ? 20 ? 0 的两个实根,
由 ? 0得

4 4 4 ? z ? 4 ,同理可得 ? y ? 4 , ? x ? 4 3 3 3

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