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第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系


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【2014年高考会这样考】
1.考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的 联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想. 2.考查圆锥曲线中的最值问题、定点、定值问题.

第 7讲

直线与圆锥曲线的位置关 系

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抓住2个考点

直线与圆锥曲线的位置关系 圆锥曲线的弦长

单击标题可完成对应小部 分的学习,每小部分独立 成块,可全讲,也可选讲

助学微博 考点自测

突破3个考向

考向一 直线与圆锥曲线位置 【例1】 【训练1】 关系的应用 考向二 圆锥曲线中的弦长问题 【例2】 【训练2】 考向三 圆锥曲线中的定点、 定值问题
【例3】 【训练3】

揭秘3年高考

圆锥曲线中的探索性问题

活页限时训练

A级 B级

选择题 ?1、 ? 填空题 ? 2、 ?3、 ? 解答题
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?1、 选择题 ? ? 2、 填空题 ?3、 ? 解答题
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考点梳理 1.直线与圆锥曲线的位置关系
判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的方程 Ax+By+C =0(A、B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以 消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程.
? ?Ax+ By+ C= 0, 即? 消去 y 后得 ax2+bx+c=0. ? ?F?x, y?= 0,

(1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ,则 Δ>0? 直线与圆锥曲线 C_________ 相交 ; 相切 ; Δ=0?直线与圆锥曲线 C________ 无公共点. Δ<0?直线与圆锥曲线 C_________; (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆锥曲线 C 相交, 且只有一个交点,此时,若 C 为双曲线,则直线 l 与双曲线的渐近线的位 平行. 置关系是______ ;若 C 为抛物线,则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系 平行. 是________.

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考点梳理 2.圆锥曲线的弦长
(1)圆锥曲线的弦长 直线与圆锥曲线相交有两个交点时,这条直线上以这两个交点 为端点的线段叫做圆锥曲线的弦 (就是连接圆锥曲线上任意两点 所得的线段 ),线段的长就是弦长. (2)圆锥曲线的弦长的计算 设斜率为 k(k≠ 0)的直线 l 与圆锥曲线 C 相交于 A, B 两点, A(x1, y1) , B(x2, y2),则 |AB|= ?x2-x1?2+? y2- y1?2 = 1+ k2 |x1 - x2| 1 = 1+ 2 · |y - y2|.( 抛 物 线 的 焦 点 弦 长 |AB| = x1 + x2 + p = k 1 2p , θ 为弦 AB 所在直线的倾斜角). sin2θ

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助学微博
一种方法

点差法:在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥 曲线相交和被截的线段的中点坐标时,设出直线和圆锥曲 线的两个交点坐标,代入圆锥曲线的方程并作差,从而求 出直线的斜率,然后利用中点求出直线方程.“点差法” 的常见题型有:求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点 轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不 等价性,即要考虑判别式 Δ 是否为正数.

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考点自测
1.已知直线 x- y- 1= 0 与抛物线 y= ax2 相切,则 a 等于 ( 1 1 1 A. B. C. D. 4 2 3 4 ).

2. (2013· 西安调研 )已知以 F1 (- 2,0), F2 (2,0)为焦点的椭圆与直线 x+ 3y+ 4= 0 有且 仅有一个交点,则椭圆的长轴长为 ( ). A. 3 2 B. 2 6 C. 2 7 D. 7 2 3.过点 (0,1)作直线,使它与抛物线 y = 4x 仅有一个公共点,这样的直线有 ( ). A. 1 条 B. 2 条 C. 3 条 D. 4 条 4.已知双曲线 E 的中心为原点, F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 AB 的中点为 N(- 12,- 15),则 E 的方程为 ( ). 2 2 2 2 2 2 2 2 x y x y x y x y A. - = 1 B. - = 1 C. - = 1 D. - = 1 3 6 4 5 6 3 5 4 2 2 x y 5.直线 y= kx+ 1 与椭圆 + = 1 恒有公共点,则 m 的取值范围是 ________. 5 m

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1

2

3

4

5

C

C

C

B

[1,5)∪(5,+∞)
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考向一 直线与圆锥曲线位置关系的应用

【审题视点 】

【例 1】?(2012· 安徽 )如图,点 F1(- c,0),F2(c,0)分别是椭圆 C: (1) 由已知条件建立 x 2 y2 方程组求解; (2) 将 2+ 2= 1(a>b>0)的左、右焦点, a b

直线方程与椭圆方

过点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P, 过点 F2 作直 程联立, 证明方程组 2 a 线 PF2 的垂线交直线 x= 于点 Q. c 有唯一解. (1)如果点 Q 的坐标是(4,4),求此时椭圆 C 的方程; (2)证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

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考向一 直线与圆锥曲线位置关系的应用
b 由条件知, P?- c, ?, a? ? b2 -0 a b2 故直线 PF2 的斜率为 k = =- . 2ac PF - c- c (1)解 法一
2

2

a2 法二 设直线 x= 与 x 轴交于点 M. c b2 ? ? 由条件知, P - c, . a? ? 因为△ PF1F2∽△ F2MQ, b2 a |PF1| |F1F2| 2c 所以 = ,即 2 = , |F2M| |MQ| a |MQ| -c c 解得 |MQ|=2a.
2 a ? ? c = 4, 所以?

因为 PF2⊥ F2Q, 2ac x 2ac2 所以直线 F2Q 的方程为 y= 2 - 2 , b b 2 a 故 Q? , 2a?. ?c ? a2 由题设知, = 4,2a= 4,解得 a=2, c=1. c x 2 y2 故椭圆方程为 + = 1. 4 3

?a=2, 解得? ?c= 1. ? ?2a= 4,

x 2 y2 故椭圆方程为 + = 1. 4 3

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考向一 直线与圆锥曲线位置关系的应用
a2 x- y- 2a c 直线 PQ 的方程为 2 = , b a2 - 2a - c- a c
(1) 求 圆 锥曲 线方程,一 般是根据已 知条件建立 方程组求 a, b 的 值; (2) 研究直线和 圆锥曲线的 位置关系, 一般转化为 研究其直线 方程与圆锥 曲线方程组 成的方程组 解的个数.
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(2)证明

c 即 y= x+a. a x 2 y2 将上式代入 2+ 2= 1 得, x2+ 2cx+ c2= 0, a b b2 解得 x=- c, y= . a 所以直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

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考向一 直线与圆锥曲线位置关系的应用
x2 y2 【训练 1】(2012· 福建 ) 如图,椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点为 F1,右焦点 a b 1 为 F2,离心率 e= .过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点,且△ ABF2 的周长为 8. 2 (1)求椭圆 E 的方程; (2)设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x= 4 相交 于点 Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

解 (1)因为|AB|+|AF2 |+|BF2|=8, 即 |AF1|+ |F1B|+ |AF2|+ |BF2|= 8, 又 |AF1|+ |AF2|= |BF1|+ |BF2|= 2a, 所以 4a= 8, a= 2. 1 c 1 又因为 e= ,即 = ,所以 c=1,所以 b= a2-c2= 3. 2 a 2 x 2 y2 故椭圆 E 的方程是 + = 1. 4 3
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考向一 直线与圆锥曲线位置关系的应用
y= kx+m, ? ? 2 2 (2)由?x y + = 1, ? ?4 3 得 (4k2+ 3)x2+ 8kmx+4m2- 12= 0. 因为动直线 l 与椭圆 E 有且只有一个公 共点 P(x0, y0), 所以 m≠ 0 且 Δ= 0,即 64k2m2- 4(4k2 + 3)(4m2-12)=0, 化简得 4k2- m2+ 3=0.(*) 4km 4k 此时 x0=- 2 =- , m 4k + 3 3 y0= kx0+ m= , m 4k 3 所以 P?- , ?. ? m m? ?x=4, 由? 得 Q(4,4k+ m). y = kx + m , ? 假设平面内存在定点 M 满足条件,由 图形对称性知,点 M 必在 x 轴上. 设 M(x1,0),则 M P · M Q = 0 对满足(*) 式的 m, k 恒成立. 4k 3 → → 因为 M P = ?- - x1, ? , M Q = (4 m? ? m - x1,4k+ m), 16k 4kx1 → → 由 MP· M Q = 0,得- + - 4x1 m m 12k + x2 + + 3= 0, 1 m k 整 理 , 得 (4x1 - 4) + x 2 1 - 4x1 + 3 = m 0.(**) 由于(**)式对满足 (*)式的 m, k 恒成立, ?4x1-4=0, 所以? 2 解得 x1= 1. ?x1-4x1+3=0, 故存在定点 M(1,0),使得以 PQ 为直径 的圆恒过点 M.
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x y 【例 2】?(2012· 北京)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 2 的一个顶点为 A(2,0), 离心率为 .直线 y=k(x-1)与椭 2 圆 C 交于不同的两点 M、N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△ AMN 的面积为 时,求 k 的值. 3

考向二 圆锥曲线中的弦长问题 2 2



x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2 k? x-1?, ? ?y= (2)由?x2 y2 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. ? ? 4 + 2 =1 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),
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?a=2, ?c 2 (1)由题意得? = , 解得 b= 2 a 2 ? 2 2 2 ?a =b +c ,

(1) 根据顶点坐标与离心 率以及椭圆中的恒等式 建立方程; (2)先联立直线与椭圆的方 程,利用弦长公式求| MN|, 再将面积表达出来, 最后解 方程.

【审题视点 】

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x y 【例 2】?(2012· 北京)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0) a b 2 的一个顶点为 A(2,0), 离心率为 .直线 y=k(x-1)与椭 2 圆 C 交于不同的两点 M、N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△ AMN 的面积为 时,求 k 的值. 3

考向二 圆锥曲线中的弦长问题 2 2

【审题视点 】

(1) 根据顶点坐标与离心 率以及椭圆中的恒等式 建立方程; (2)先联立直线与椭圆的方 程,利用弦长公式求| MN|, 再将面积表达出来, 最后解 方程.

2k2-4 4k2 x1+x2= ,x1x2= 1+2k2 1+2k2

【方法锦囊 】
直线与圆锥曲线的弦长 问题, 较少单独考查弦长 的求解, 一般是已知弦长 的信息求参数或直线、 圆 锥曲线的方程. 解此类题 的关键是设出交点的坐 标, 利用根与系数的关系 得到弦长, 将已知弦长的 信息代入求解.

所以|MN|= ?x2-x1?2+? y2-y1?2

= ?1+k2? [?x1+x2?2-4x1x2]
|k| 又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 1+k2 |k| 4+6k2 1 所以△AMN 的面积为 S= |MN|· d= 2 1+2k2 |k| 4+6k2 10 由 = ,解得 k=± 1. 3 1+2k2

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x y2 【训练 2】 设 F1, F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 a b 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 |AF2|, |AB|, |BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程. 又 2|AB|=|AF2|+|BF2|, 解析 (1)由椭圆定义知|AF2|+|BF2|+|AB|=4a,

考向二 圆锥曲线中的弦长问题 2

4 得|AB|= a, l 的方程为 y=x+c,其中 c= a2-b2. x+c, ? 3 ?y= 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点的坐标满足方程组?x2 y2 2+ 2=1, ? a b ? y=x+c, ? ? 2 2 ?x y 消去 y,化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0, + =1, ? ?a2 b2 -2a2c a2?c2-b2? 因为直线 AB 的斜率为 1, 则 x1+x2= 2 2 ,x1x2= 2 2 . a +b a +b 2 4 4 ab 2 2 所以|AB|= 2|x2-x1|= 2[?x1+x2?2-4x1x2],即3a=a2+b2,故 a =2b , a2-b2 c 2 所以 E 的离心率 e= = = . a a 2
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x y2 【训练 2】 设 F1, F2 分别是椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,过 F1 a b 斜率为 1 的直线 l 与 E 相交于 A, B 两点,且 |AF2|, |AB|, |BF2|成等差数列. (1)求 E 的离心率; (2)设点 P(0,-1)满足|PA|=|PB|,求 E 的方程.

考向二 圆锥曲线中的弦长问题 2

(2)设 AB 的中点为 N(x0,y0),

x1+x2 -a2c 2c c 由(1)知 x0= = 2 2=- ,y0=x0+c= . 2 3 3 a +b y0+1 由|PA|=|PB|,得 kPN=-1,即 =-1, x0

得 c=3,从而 a=3 2,b=3.
x2 y2 故椭圆 E 的方程为 + =1. 18 9

此类问题,在解决过程中含有大量 参数,运算量比较大,比较繁琐, 而且要考虑参数的范围及其各种特 殊情况下的讨论,所以在运算中一 定要仔细,有耐心、有恒心。

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考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题

【审题视点 】

【例 3】?(2012· 江苏)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,(1) 把两点坐标代入椭圆 x2 y2 利用椭圆中相关的 椭圆 2+ 2 = 1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1(- c,0)、 方程, a b 参数关系与离心率的公 ? ? 3 2 2 F2(c,0).已知点(1,e)和?e, ?都在椭圆上,其中 e 为椭 式可以求得 b = 1, a = 2? ? 2,求得椭圆的方程; 圆的离心率. (2)利用椭圆的几何性质, (1)求椭圆的方程. (2)设 A,B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 AF1 结合直线与椭圆的位置 关系, 通过函数与方程思 与直线 BF2 平行,AF2 与 BF1 交于点 P. 想来解决相应的斜率问 6 (i)若|AF1|-|BF2|= ,求直线 AF1 的斜率; 2 题,并证明对应的定值. (ii)求证:|PF1|+|PF2|是定值. 2 c 1 c 解 (1)由题设知 a2=b2+c2,e=a.由点(1,e)在椭圆上,得 2+ 2 2=1, a ab ? e2 3 3? 2 2 2 解得 b =1,于是 c =a -1.又点?e, ?在椭圆上,所以 2+ 2=1, a 4b 2? ? 2 a2-1 3 x 即 4 + =1,解得 a2=2.因此,所求椭圆的方程是 +y2=1. a 4 2
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考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题
(2)由 (1)知 F1(- 1,0), F2(1,0),又直线 AF1 与 BF2 平行, 所以可设直线 AF1 的方程为 x+ 1= my, 直线 BF2 的方程为 x-1=my. 设 A(x1, y1), B(x2, y2), y1>0,y2>0. x2 ? ? 21+y2 1= 1, 由?
2 2 2 ? m + 1 ? + m m +1 2 2 = ?my1? + y1= .① m2+2

2?m2+ 1?- m m2+ 1 同理 |BF2|= .② m2+ 2

2m m2+1 (i)由①②得 |AF1|- |BF2|= , m2+2
2m m2+ 1 6 解 = ,得 m2= 2, 2 2 m +2 注意到 m>0,

? ?x1+1=my1

得 (m2+2)y2 1- 2my1- 1= 0, m+ 2m2+ 2 解得 y1= , m2+2 故 |AF1|= ?x1+ 1?2+?y1- 0?2

故 m= 2.所以直线 AF1 的斜率为 1 2 = . m 2

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考向三 圆锥曲线中的定点、最值问题
(ii)因为直线 AF1 与 BF2 平行, |PB| |BF2| 所以 = , |PF1| |AF1| |PB|+ |PF1| |BF2|+ |AF1| 于是 = , |PF1| |AF1| |AF1| 故 |PF1|= |BF1|. |AF1|+ |BF2| 由 B 点在椭圆上知 |BF1|+ |BF2|= 2 2, |AF1| 从而 |PF1|= (2 2- |BF2|). |AF1|+ |BF2| |BF2| 同理 |PF2|= (2 2- |AF1|). |AF1|+ |BF2| 因 此 , |PF1| + |PF2| = |BF2|)+ |AF1| (2 2 - |AF1|+ |BF2| |BF2| (2 2- |AF1|) |AF1|+ |BF2| 2|AF1|· |BF2| = 2 2- . |AF1|+ |BF2| 2 2?m2+ 1? 又 由 ① ② 知 |AF1| + |BF2| = , m2+2 m2+1 |AF1|· |BF2|= 2 , m +2 2 3 2 所以 |PF1|+ |PF2|=2 2- = . 2 2 因此, |PF1|+ |PF2|是定值.

【方法锦囊】 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景的证明题常见的有:证明直线过定 点和证明某些量为定值.而解决这类定点与定值问题的方法有两种:一 是研究一般情况,通过逻辑推理与计算得到定点或定值,这种方法难度 大,运算量大,且思路不好寻找;另外一种方法就是先利用特殊情况确 定定点或定值, 然后验证, 这样在整理式子或求值时就有了明确的方向.
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考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题
【训练 3】 (2012· 湖南)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 上的点均在圆 C2:(x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=-2 的 距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值.(1)求曲线 C1 的方程; (2)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分 别与曲线 C1 相交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=-4 上运 动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值.
(1)解 法一 设 M 的坐标为(x,y), 由已知得|x+2|= ?x-5?2+y2-3. 易知圆 C2 上的点位于直线 x=-2 的右 侧,于是 x+2>0, 所以 ?x-5?2+y2=x+5. 化简得曲线 C1 的方程为 y =20x.
2

法二 由题设知, 曲线 C1 上任意一点 M 到圆心 C2(5,0)的距离等于它到直线 x= -5 的距离. 因此,曲线 C1 是以(5,0)为焦点, 直线 x=-5 为准线的抛物线. 故其方程为 y2=20x.

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考向三 圆锥曲线中的定点、定值问题
(2)证明 当点 P 在直线 x=-4 上运动 时, P 的坐标为(-4, y0), 又 y0≠ ± 3,则过 P 且与圆 C2 相切的直 线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都 与抛物线有两个交点, 切线方程为 y- y0=k(x+ 4), 即 kx- y+ y0+ 4k=0. |5k+ y0+4k| 于是 =3. 2 k +1 整理得 72k2+18y0k+ y2 0-9=0.① 设过 P 所作的两条切线 PA, PC 的斜率 分别为 k1,k2,则 k1,k2 是方程①的两 18y0 y0 个实根,故 k1+ k2=- =- .② 72 4 ?k1x-y+ y0+ 4k1= 0, 由? 2 ?y = 20x 得 k1y2-20y+ 20(y0+ 4k1)=0.③ 设四点 A, B, C, D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4,则 y1,y2 是方程③的两 20? y0+4k1? 个实根,所以 y1y2= .④ k1 20? y0+4k2? 同理可得 y3y4= .⑤ k2 于是由②,④,⑤三式得 400?y0+ 4k1?? y0+4k2? y1y2y3y4= k1k2 400[y2 0+ 4?k1+ k2? y0+ 16k1k2] = k1k2 2 400?y2 0- y0+ 16k1k2? = = 6 400. k1k2 所以,当 P 在直线 x=- 4 上运动时, 四点 A, B, C, D 的纵坐标之积为定 值 6 400.

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揭秘3年高考
规范解答15——圆锥曲线中的探索性问题
【命题研究】通过近三年的高考试题分析,数形结

合、代数运算、基础知识和基本方法的综合运用是解析 几何综合类试题的命题重点,大多数情况下以直线与圆 锥曲线相交的形式出现.考查圆锥曲线的概念和性质, 轨迹与轨迹方程的求法, 与圆锥曲线相关的最值、 定值、 探索性等问题.题型大多是解答题,题目难度大.

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揭秘3年高考

【教你审题 】

【示例】 ? (本小题满分 14 分)(2012· 广东)在平面直角坐标系 xOy 第(1)问,由 椭圆的离心 x2 y 2 2 中,已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,且椭圆 率 和 椭 圆 上 a b 3 的 点 到 C 上的点到 Q(0,2)的距离的最大值为 3.(1)求椭圆 C 的方程; (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n),使得直线 l:mx+ny=1 Q(0,2) 的 距 与圆 O:x2+y2=1 相交于不同的两点 A,B,且△ OAB 的面积 离 的 最 大 值 最大?若存在,求出点 M 的坐标及相对应的△ OAB 的面积;若 为 3 两个条 件,可求得 不存在,请说明理由. 椭圆方程; a2-b2 2 c 2 2 解(1) 因为 e= = = , 所以 a =3b , 3 2a 2 a x y 即椭圆 C 的方程可写为 2+ 2=1.(2 分) 设 P(x,y)为椭圆 C 上任意给定的一点, 3b b
2 则 d= x2+?y-2?2= 3b2-3y2+?y-2?= -2?y+1?2+3b2+6(-b≤y≤b).(3 分)

当-b≤-1,即 b≥1,dmax= 6+3b2=3 得 b=1;

当-b>-1,即 b<1,dmax= b2+4b+4=3 得 b=1(舍2).
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x ∴b=1,a= 3,(5 分) 故所求椭圆 C 的方程为 +y2=1.(6 分) 3
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揭秘3年高考
(2)存在点 M 满足要求,使△OAB 的面积最大.(7 分) 假设存在满足条件的点 M,因为直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x2+y2=1 相交 1 于不同的两点 A,B,则圆心 O 到 l 的距离 d= 2 2<1.(8 分) m +n
m2 因为点 M(m, n)在椭圆 C 上, 所以 +n2=1<m2+n2, 于是 0<m2≤3.因为|AB| 3 n2+n2-1 2 =2 1-d =2 ,(10 分) m2+n2 2 2

|m| |m| m2+n2-1 3 3 1 1 所以 S△OAB= · |AB|· d= = ≤ = , 2 2 2 m2+n2 2 2 2 1+ m 2 1·m 3 3 2 3 当且仅当 1= m2 时等号成立.所以 m2= ∈(0,3]. 3 2

显示 隐藏 例题

6 2 6 2? ? 6 2? 所 以 满 足 要 求 的 点 M 的 坐 标 为 ? , ? , ? ,- ? , ?- , ? 和 2? ?2 2? ? 2 2? ? 2 ? 1 6 2? ?- ,- ?,此时对应的三角形的面积均达到最大值 .(14 分) 2 2 2? ?
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6 2 因此当 m=± ,n=± 时等号成立.(12 分) 2 2 ? ? ?

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揭秘3年高考

【阅卷老师手记】

(1)本题是圆锥曲线中的探索性问题, 也是最值问题, 求圆锥曲线的 最值问题是高考考查的一个重点,通常是先建立一个目标函数,然 后利用函数的单调性或基本不等式求最值. (2)本题的第一个易错点是,表达不出椭圆 C 上的点到 Q(0,2)的距 离的最大值. 第二个易错点是, 没有掌握探索性问题的解题步骤. 第 三个易错点是,没有正确使用基本不等式.

【模板构建】 探索性问题答题模板:
假设结论存在.
结合已知条件进行推理求解.

第一步

第二步

第三步

第四步

若能推出合理结果, 经验证成立即可肯定正确; 若推出矛盾, 即否定假设. 反思回顾,查看关键点、易错点及解题规范.如本题中易忽 ? ? 1 ? ? 略直线 l 与圆 O 相交?d= 2 2<1?这一隐含条件. m +n ? ?
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x y2 π 【试一试】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),过点 A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为 , a b 6 3 原点到该直线的距离为 . (1)求椭圆的方程; (2)斜率大于零的直线过 D(-1,0) 2 → → 与椭圆交于 E,F 两点,若ED=2DF,求直线 EF 的方程; (3)是否存在实数 k,直线 y=kx+2 交椭圆于 P,Q 两点,以 PQ 为直径的圆过点 D(-1,0)?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

揭秘3年高考 2

b 3 1 1 3 (1)由a= , a· b= · · a2+b2,得 a= 3,b=1,所以椭圆 3 2 2 2 x2 方程是 +y2=1. 3 x2 2 (2)设 EF:x=my-1(m>0),代入 +y =1,得(m2+3)y2-2my- 3 解

2=0,设 E(x1,y1),F(x2,y2),由ED=2D F,得 y1=-2y2.由 y1+y2 ? 2m ?2 -2 2m 1 2 ? - ? =-y2= 2 ,y y =-2y2= 2 ,得 m2+3 = 2 ,∴m=1, m +3 1 2 m +3 ? ? m +3 m=-1(舍去).直线 EF 的方程为 x=y-1,即 x-y+1=0.
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x y2 π 【试一试】 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),过点 A(-a,0),B(0,b)的直线倾斜角为 , a b 6 3 原点到该直线的距离为 . (1)求椭圆的方程; (2)斜率大于零的直线过 D(-1,0) 2 → → 与椭圆交于 E,F 两点,若ED=2DF,求直线 EF 的方程; (3)是否存在实数 k,直线 y=kx+2 交椭圆于 P,Q 两点,以 PQ 为直径的圆过点 D(-1,0)?若存在,求出 k 的值;若不存在,请说明理由.

揭秘3年高考 2

x2 2 (3)将 y=kx+2 代入 +y =1,得(3k2+1)x2+12kx+9=0.(*) 3 记 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 为直径的圆过 D(-1,0),则 PD⊥QD, 即(x1+1,y1)· (x2+1,y2)=(x1+1)(x2+1)+y1y2=0, 又 y1=kx1+2,y2=kx2+2,得(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5 -12k+14 7 = =0.解得 k= ,此时(*)方程 Δ>0, 6 3k2+1 7 ∴存在 k= 满足题设条件. 6
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A级 基础演练
一、选择题

题号
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2 2

1
C

2
C

3
A

4
C

A. 7 B.3 5 C. 6 . 5 1? 解析 由于直线与椭圆两交点 A ,B D 在 x 轴上射影分别为左、右焦点 F1, ? ? ? 解析 直线 如图,设 m ,则 |= 2 m, |AF2| 4kx-4y-k=0 过 1| = 解析 4kx-|AF 4b y2 - k= 0 ,即|BF y= 2 1k ?x-4 ?,即直线 ? 2px ? 和直线 解析 点 A (1,2) y = 2x+ y+ =0 F ,故 |AF |= |BF = 在抛物线 ,设直线与 x 轴交于 C 点,又直线倾斜角 θa 的正切 2 1, = m- 2a |BF ||= 2 m - 2 a ,∴ | AB | = | AF | + | BF | 22 2 2 a?1 ? 1 2 ? ? 2 2 上,则 p = 2 , a =- 4 , F (1,0) ,则 A (4 ,- 4) , = m2 -2 m- 2a m , 得m = 2 ,又由 |AF 抛物线 ya+ =x 2 的焦点 , 0 A x1 , y ), B(x y21 )|,则|AB|=x12 +x + 2( |2 AF |a |BF 22 b 1 2, ?= ?.设 1 2| 4 2 ? ? 值为 ,结合图形易得 tan θ= = = 2 ,故 |CF1|+ |CF2|= = 2 2 2 2 2 2|+ 2(m- |CF |CF | a +||FA AF | =||FB F1F2 | ,可得 m+ 2a1)| = 4c 2 ,即得 故 |= A 7 7. 答案 7 2 2 2 2 的中点到直 = 4 x1+ x = ,则弦 AB 的中点的横坐标是 ,弦 AB c |F |= 2c,整理并化简得 2 b = 2( a - c ) = ac ,即 2(1 - e )= e,解得 e 1F 2,故 2 2 2 2 2 4 (20- 8 2)a = 4c ,∴ e = 2= 5- 2 2 ,故应选 C. a9 2 1 7 1 = . 答案 C 线 2 x+2=0 的距离是4+2=4. 答案 C
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2 22 2 x y 2 x y 1 . (2013· 潍坊一模 直线) 4 kx-的直线 4y-y k2= 与抛物线 y = xa 交于 A 、 Ba 两点, 3 . (2012· 临沂二模 抛物线 = 2 px 与直线 2 x + = 4 . (2013· 宁波十校联考 ) 设双曲线 - = 1(a >0 , >0) 的左、右焦点分 2 . (2012· 台州质检 )) 设斜率为 l0 与椭圆 = 1( > b+ >0)y 交于不同 2 2+ 2b a b1 2 a b 0 交于 A 、B 两点,其中点 Ax的坐标为 (1,2),设抛物线 若 |ABF |= 4,则弦 AB 的中点到直线 + =0 的距离等于 ( )A . 的两点,且这两个交点在 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点,则该椭圆 别为 ,过 F2 的直线与双曲线的右支交于 ,B 两 1, F2,离心率为xe 2 2 3 1 2 1 点,若△ F AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形,则 e ). 1 的焦点为 F,则 |A. FA |FB |的值等于 ( ). =( 7 9 |+ 的离心率为 ( ) . B. C. D. A. B.2 C. 2 .2 4 3 C. 2 D 2 2 D 3. 3+ 2 2 A. 5- 4 1+ 2 2 B. 4- 2 4

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A级 基础演练
二、填空题
2

题号
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6 x 2 y2 5 + =1 2x+4y-3=0 4 2

x2 y2 ?1 1? x 6.(2013· 东北三省联考 )已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0),F( 2,0)为 2 a b 5.椭圆 +y =1 的弦被点? , ? 平分,则这条弦所在的直线方程是 2 2 2 ? ? 其右焦点,过 F 垂直于 x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为 2,则椭 ________. 圆 C 的方程为________. 解析 设弦的两个端点为 A(x1, y1)、 B(x2,y2),则 x1+x2=1, y1+ y2 2 x2 x 1 2 ? c = 2 , = 1.∵ A 、 B 在 椭 圆 上 , ∴ + y 2 = 1 , + y2 ? 1 2 = 1. 两 式 相 减得 : 2 2 ? 2 ? ?a= 2, b 2 2 ? (?x1+x2?) (?x1c - x2?) a -b ,则由题意:? = y1 - y2 x解得 1+x 2 解析 令 = 1 , a + (y1+ y2)(y1-y2)=0,即 ,∵ +x2 b = x 21 , ? x1-x2=-2?(y1+y? ??) 2 2 2 2 2 ? a = b + c , ? y1- y2 1 1 2 2 2 2 =1, y1+ y2=1,∴x y =- ,即直线 AB 的斜率为- .∴直线 AB x y 2 2 x - x ∴椭圆 C 的方程为 1+ 2=1. 答案 + =1 2 4 2 ? 1 14 1? 的方程为 y- =- ?x- ? ,即该弦所在直线的方程为 2x+4y-3=0. 2 2? 2?
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A级 基础演练

三、解答题

7

8

7.(13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不 同的 A、B 两点. (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 O→ A· O→ B 的值; (2)如果 O→ A· O→ B =-4,证明直线 l 必过一定点,并求出该定点.

解 (1)由题意:抛物线焦点为(1,0), 设 l:x=ty+1,代入抛物线 y2=4x, 消去 x 得 y2-4ty-4=0,设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 y1+y2=4t,y1y2=-4, ∴O→ A· O→ B =x1x2+y1y2=(ty1+1)(ty2+1)+y1y2 =t2y1y2+t(y1+y2)+1+y1y2=-4t2+4t2+1-4=-3.

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三、解答题

7

8

7.(13 分)在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2=4x 相交于不 同的 A、B 两点. (1)如果直线 l 过抛物线的焦点,求 O→ A· O→ B 的值; (2)如果 O→ A· O→ B =-4,证明直线 l 必过一定点,并求出该定点.

(2)设 l:x=ty+b,代入抛物线 y2=4x, 消去 x 得 y2-4ty-4b=0, 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4b, ∴O→ A· O→ B =x1x2+y1y2=(ty1+b)(ty2+b)+y1y2 =t2y1y2+bt(y1+y2)+b2+y1y2=-4bt2+4bt2+b2-4b=b2-4b. 令 b2-4b=-4,∴b2-4b+4=0,∴b=2, ∴直线 l 过定点(2,0). ∴若 O→ A· O→ B =-4,则直线 l 必过一定点.
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2

三、解答题

7

8

y2 8.(13 分)给出双曲线 x - =1. 2 (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程; (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1,P2 两点,求线段 P1P2 的 中点 P 的轨迹方程; (3)过点 B(1,1)能否作直线 m,使得 m 与双曲线交于两点 Q1,Q2,且 B 是 Q1Q2 的中点?这样的直线 m 若存在,求出它的方程;若不存在,说明理 由.

(1)设弦的两端点为

2 2 ? ?2x1-y1=2, P1(x1,y1),P2(x2,y2),则? 2 2 ? ?2x2-y2=2,

两式相减得到 2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2), 又 x1+x2=4,y1+y2=2, y1-y2 所以直线斜率 k= =4. x1-x2 故求得直线方程为 4x-y-7=0.
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三、解答题

7

8

2 y 8.(13 分)给出双曲线 x2- =1. 2 (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程; (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1,P2 两点,求线段 P1P2 的中 点 P 的轨迹方程; (3)过点 B(1,1)能否作直线 m,使得 m 与双曲线交于两点 Q1,Q2,且 B 是 Q1Q2 的中点?这样的直线 m 若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.

(2)设 P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2), y1-y2 2x 按照(1)的解法可得 = ,① x1-x2 y y1-y2 y-1 由于 P1,P2,P,A 四点共线,得 = ,② x1-x2 x-2 2x y-1 由①②可得 y = ,整理得 2x2-y2-4x+y=0, x-2 检验当 x1=x2 时,x=2,y=0 也满足方程, 故 P1P2 的中点 P 的轨迹方程是 2x2-y2-4x+y=0.
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三、解答题

7

8

2 y 8.(13 分)给出双曲线 x2- =1. 2 (1)求以 A(2,1)为中点的弦所在的直线方程; (2)若过点 A(2,1)的直线 l 与所给双曲线交于 P1,P2 两点,求线段 P1P2 的中 点 P 的轨迹方程; (3)过点 B(1,1)能否作直线 m,使得 m 与双曲线交于两点 Q1,Q2,且 B 是 Q1Q2 的中点?这样的直线 m 若存在,求出它的方程;若不存在,说明理由.

(3)假设满足题设条件的直线 m 存在, 按照(1)的解法可得直线 m 的方程为 y=2x-1. ? ?y=2x2-1, 考虑到方程组? 2 y 无解, x - =1 ? 2 ? 因此满足题设条件的直线 m 是不存在的.

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B级 能力突破
一、选择题

题号
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1
C

2
B

2 2 x y 2 1. (2013· 皖南八校联考 )已知直线 l: y = k ( x - 2)( k >0) 与抛物线 C : y =8x 交于 A,B 两 2. (2012· 沈阳二模 )过双曲线 - = 1( a >0) 右焦 2 2 5- a k 的值是( 点,F 为抛物线 C 的焦点,若|AFa |=2|BF |,则 ). 2 2 2 点 F1 作一条直线,当直线斜率为 2 时,直线与双曲 A. B. C. 2 2 D. 3 3 4 线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 3 时,直 解析 法一 据题意画图,作 AA1⊥ l′, BB1⊥ l′, BD⊥ AA1. 线与双曲线右支有两个不同交点, 则双曲线离心率的 设直线 l 的倾斜角为 θ, |AF|= 2|BF|= 2r, 取值范围是 ( 1|=2| )AD . |=2r,所以有|AB|=3r,|AD|=r,则 |BD|=2 2r, 则 |AA1|= 2|BB BD|10) C. A. ( tan 2, 5) B . (= 5|, (5,5 2) k= θ = tan∠ BAD = 2 2. (1, 2) D.

c 解析 令 b= - a恰好经过抛物线 , c= a +b e= ,双曲 法二 直线 y= k(5 x- 2) y ,则双曲线的离心率为 = 8x 的焦点 a 可得 b b b 8 2 2 ky - 8 y - 16 k = 0 ,因为 | FA | = 2| FB | ,所以 y =- 2 y . 则 y + y =- 2 y + y yB 线的渐近线的斜率为 ± .据题意, 2< = e - 1, A <3 ,如图所示.∵ B A B B B= ,所以 k a a a 8 2 2 2y2 =- , y · y =- 16 ,所以- 16.即 yB 210. 2.又 k>0,故 A B B=- ∴2< k e - 1<3,∴5<e <10 ,∴ 5< e= <± 答案 B k=2 2. 答案 C
2 2 2 2
2 ? ?y = 8x, F(2,0),由? ? ?y= k?x- 2?,

|AD|

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B级 能力突破
二、填空题

题号

3

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6 3

4

2

2 2 x2 y2 x y 4 .已知曲线 - =1() a · b≠0,且+ a≠b= )与直线 + y0) -的左顶点 1=0 相交于A P, 3 . (2013· 揭阳模拟 过椭圆 1(a>x b > a b 2 2 a b1 1 → → Q 两点,且 OP · OQ=0(O 为原点),则 - 的值为________ . 且斜率为 1 的直线与椭圆的另一个交点为 M ,与 y 轴的交 a b x2 |MB y2 |,则该椭圆的离心率为 点为 B,若 |AM|= ________. 2 解析将 y=1-x 代入 - =1, 得(b-a)x +2ax-(a+ab)=0.设 P(x1, a b 解析 由题意知 A 点的坐标为 (- a,0), l 的方程为 y= x+ a, a+ab → → 2a ?· y1),Q(x2,y2),则 x1+x2= ,x1x2= .OP x2+y1y2= a =x a1? ? OQ ? a - b a - b ∴ B 点的坐标为 (0, a),故 M 点的坐标为?- , ?,代入 2 2 ?2ab ? 2a+ 2a x1x2+(1-x1)(1-x2)=2x1x2-(x1+x2)+1.所以 6 - + 1=0, 6 a - b a - b 椭圆方程得 a2= 3b2,∴ c2= 2b2,∴ e= 1 . 1 答案 3 3 即 2a+2ab-2a+a-b=0,即 b-a=2ab,所以 - =2.答案 2 a b

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B级 能力突破

三、解答题

5

6

5.(12 分)(2012· 上海)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2-y2=1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积. (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证: OP⊥OQ. (3)设椭圆 C2:4x2+y2=1.若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求 证:O 到直线 MN 的距离是定值.
? ? x2 2 2 (1)解 双曲线 C1: -y =1,左顶点 A?- ,0?,渐近线方程:y=± 2x. 1 2 ? ? 2 不妨取过点 A 与渐近线 y= 2x 平行的直线方程为

2 ? x =- , ? ? ? ?y=- 2x, 4 2? y= 2?x+ ?,即 y= 2x+1.解方程组? 得? 2? ? ? ?y= 2x+1 ?y=1. ? 2 1 2 所以所求三角形的面积为 S= |OA||y|= . 2 8

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B级 能力突破

三、解答题

5

6

5.(12 分)(2012· 上海)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2-y2=1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积. (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证: OP⊥OQ. (3)设椭圆 C2:4x2+y2=1.若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求 证:O 到直线 MN 的距离是定值.
(2)证明 设直线 PQ 的方程是 y=x+b. |b| 因为直线 PQ 与已知圆相切,故 =1,即 b2=2. 2 ? ?y=x+b, 由? 2 2 得 x2-2bx-b2-1=0. ? ?2x -y =1 设
? ?x1+x2=2b, P(x1,y1)、Q(x2,y2),则? 2 ? ?x1x2=-1-b .

又 y1y2=(x1+b)(x2+b),所以

→· → =x1x2+y1y2=2x1x2+b(x1+x2)+b2=2(-1-b2)+2b2+b2=b2-2=0. OP OQ 故 OP⊥OQ.
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三、解答题

5

6

(3)证明

5.(12 分)(2012· 上海)在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1:2x2-y2=1. (1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围成的三角形的面积. (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2+y2=1 相切,求证: OP⊥OQ. (3)设椭圆 C2:4x2+y2=1.若 M、N 分别是 C1、C2 上的动点,且 OM⊥ON,求 证:O 到直线 MN 的距离是定值. 2 3
当直线 ON 垂直于 x 轴时,|ON|=1,|OM|= 2 ,则 O 到直线 MN 的距离为 2? ?, 2?
2

3

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时,设直线 ON 的方程为

? y=kx?显然|k|> ?

?x2= 1 , ? ? 4+k2 ?y=kx, 1 则直线 OM 的方程为 y=-kx.由? 2 2 得? 2 ?4x +y =1 k ? 2 ?y = , 4+k2 ?
2

1 +k 2 所以|ON| = . 4 +k 2

1 +k 2 同理|OM| = 2 .设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为(|OM|2+|ON|2)d2=|OM|2|ON|2, 2k -1 3k2+3 1 1 1 3 所以 2= + = = 3 ,即 d = .综上,O 到直线 MN 的距离是定值. d |OM|2 |ON|2 k2+1 3
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B级 能力突破

三、解答题

5

6

6.(13 分)(2012· 临沂二模)在圆 x2+y2=4 上任取一点 P,过点 P 作 x 轴的垂 线段,D 为垂足,点 M 在线段 PD 上,且|DP|= 2|DM|,点 P 在圆上运动. (1)求点 M 的轨迹方程; (2)过定点 C(-1,0)的直线与点 M 的轨迹交于 A、B 两点,在 x 轴上是否存 → → 在点 N,使NA· NB为常数,若存在,求出点 N 的坐标;若不存在,请说明 理由.

解 (1)设 P(x0,y0),M(x,y),则 x0=x,y0= 2y.∵P(x0,y0)在 2 x2+y2=4 上,∴x0 +y2 0=4. x2 y2 x2 y2 2 2 ∴x +2y =4,即 + =1.点 M 的轨迹方程为 + =1(x≠± 2). 4 2 4 2 (2)当直线 AB 与 x 轴不垂直时,设直线 AB 的方程为 y=k(x+

?y=k?x+1?, 1)(k≠0), A(x1, y1), B(x2, y2), N(n,0), 联立方程组?x2 y2 ? 4 + 2 =1,
整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-4=0,
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B级 能力突破

三、解答题

5

6

2k2-4 4k2 → N→ ∴ x1+x2=- B = (x1- n, y1)· (x2- n, y2) 2, x1x2 = 2. ∴ N A · 1+2k 1+2k 2 2 k -4 2 2 2 2 2 = (1 + k )x1· x2 + (x1 + x2)(k - n) + n + k = (1 + k )× 2 + (k - 1+2k 1 2 1 ?2k +1??4n-1?- ?4n-1?-4 2 -4k2 k ? 4 n - 1 ? - 4 2 2 2 2 2 n)× + k + n = + n = 1+2k2 1+2k2 1+2k2 7 2n+ 2 1 2 7 2 → → +n = (2n +4n-1)- . ∵N A · N B 是与 k 无关的常数,∴2n+ = 2 2 1+2k2 ? 7 ? 7 15 0.∴n=- .即 N?-4,0?, 此时 N→ A· N→ B =- .当直线 AB 与 x 轴垂直时, 4 16 ? ? ? 7 ? 7 15 若 n=- , 则 N→ A· N→ B =- .综上所述,在 x 轴上存在定点 N?-4,0?, 4 16 ? ? 使 N→ A· N→ B 为常数.
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B级 能力突破

三、解答题

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探究提高 以直线与圆锥曲线的位置关系为背景 的证明题常见的有:证明直线过定点和证明某些量为 定值.而解决这类定点与定值问题的方法有两种:一 是研究一般情况,通过逻辑推理与计算得到定点或定 值,这种方法难度大,运算量大,且思路不好寻找; 另外一种方法就是先利用特殊情况确定定点或定值, 然后验证,这样在整理式子或求值时就有了明确的方 向.

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考点自测详解
1.解析 由题意知
? ?x- y- 1= 0, a≠0.由? 2 ? ?y= ax , 2

消去 y 得 ax2-x+1=0,

该方程的判别式 Δ=(-1) -4×a×1=1-4a,令 Δ=0,即 1-4a=0, 1 解得 a= .答案 C 4 x2 y2 2.解析 根据题意设椭圆方程为 2 + 2=1(b>0),则将 x=- 3y b +4 b -4 代入椭圆方程,得 4(b2+1)y2+8 3b2y-b4+12b2=0,∵椭圆与直 线 x+ 3y+4=0 有且仅有一个交点,∴Δ=(8 3b2)2-4×4(b2+1)(-b4 +12b2)=0,即(b2+4)· (b2-3)=0,∴b2=3,长轴长为 2 b2+4=2 7. 答案 C 3.解析 结合图形分析可知,满足题意的直线共有 3 条:直线 x=0, 过点(0,1)且平行于 x 轴的直线以及过点 (0,1)且与抛物线相切的直线 (非 直线 x=0).答案 C
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自测
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考点自测详解
x2 y2 4.解析 设双曲线的标准方程为 2- 2= 1(a> 0, b> 0),由题意知 c= 3, a2 a b 2 2 ?x1 y1 ?a2-b2= 1, y1- y2 2 + b = 9,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有:? 2 两式作差得: 2 x y x1- x2 2 ? 2 - = 1 , ? a2 b 2

b2? x1+ x2? - 12b2 4b2 - 15- 0 = 2 = = 1,所以将 4b2= 5a2 代 2= 2,又 AB 的斜率是 a ? y1+ y2? - 15a 5a - 12- 3 x2 y2 2 2 2 2 入 a + b = 9 得 a = 4, b = 5,所以双曲线的标准方程是 - = 1.答案 B 4 5 2 2 x y 5.解析 ∵方程 + = 1 表示椭圆,∴ m>0 且 m≠ 5. 5 m 02 12 ∵直线 y= kx+ 1 恒过 (0,1)点, ∴要使直线与椭圆总有公共点, 应有: + ≤ 1, 5 m m≥ 1, ∴ m 的取值范围是 m≥ 1 且 m≠ 5. 答案 [1,5)∪(5,+∞ )
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1.(2013·皖南八校联考)已知直线 l:y=k(x-2)(k>0)与抛物线 C:y2 =8x 交于 A,B 两点,F 为抛物线 C 的焦点,若|AF|=2|BF|,则 k 的 1 2 2 2 值是( ). A. B. C.2 2 D. 3 3 4 解析 法一 据题意画图,作 AA1⊥l′,BB1⊥l′,BD⊥AA1. 设直线 l 的倾斜角为 θ,|AF|=2|BF|=2r, 则|AA1|=2|BB1|=2|AD|=2r, 所以有|AB|=3r, |AD|=r, 则|BD|=2 2r, |BD| k=tan θ=tan∠BAD= =2 2. |AD|
法二 直线 y = k(x - 2)恰好经过抛物线 y2 = 8x 的焦点 F(2,0),由 2 ? ?y = 8x, ? 可得 ky2-8y-16k=0,因为 |FA|=2|FB|,所以 ? ?y=k(x-2), 8 8 yA=-2yB.则 yA+yB=-2yB+ yB= ,所以 yB=- ,yA· yB=- 16, k k 所以-2y2 2 2.又 k>0,故 k=2 2. 答案 C B=-16.即 yB=±

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