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解析几何-三角形面积相关最值问题


? ? ?

难度:★★ 特点:已知高(作为一个限制弦的条件) ,求弦长的最大值 来源:07 陕西高考

x2 y2 6 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 3 .(Ⅰ) ? 2 =1(a>b>0)的离心率为 2 3 a b 3 求椭圆 C 的方程;(Ⅱ)设直线 l 与椭圆 C 交于 A、 B 两点, 坐标原点 O 到直线 l 的距离为 , 2


已知椭圆 C: 求△AOB 面积的最大值.

?c 6 , x2 ? ? 2 解: (Ⅰ)设椭圆的半焦距为 c ,依题意 ? a 3 ?b ? 1 ,?所求椭圆方程为 ? y ? 1 . 3 ?a ? 3, ?
(Ⅱ)设 A( x1,y1 ) , B( x2,y2 ) .(1)当 AB ⊥ x 轴时, AB ? 3 .(2)当 AB 与 x 轴不 垂直时, 设直线 AB 的方程为 y ? kx ? m .由已知

m

1? k 2 2 2 2 代入椭圆方程,整理得 (3k ? 1) x ? 6kmx ? 3m ? 3 ? 0 ,

?

3 3 ,得 m2 ? (k 2 ? 1) .把 y ? kx ? m 2 4

3(m2 ? 1) ?6km , x x ? ? x1 ? x2 ? 2 1 2 3k 2 ? 1 3k ? 1 ? 36k 2 m 2 12(m 2 ? 1) ? ? (1 ? k 2 ) ? 2 ? 2 3k 2 ? 1 ? ? (3k ? 1) ?

.

? AB ? (1 ? k 2 )( x2 ? x1 ) 2

2

?

12(k 2 ? 1)(3k 2 ? 1 ? m 2 ) 3(k 2 ? 1)(9k 2 ? 1) ? (3k 2 ? 1) 2 (3k 2 ? 1) 2
12k 2 12 12 ? 3? (k ? 0) ≤ 3 ? ?4. 4 2 1 9k ? 6k ? 1 2 ? 3 ? 6 2 9k ? 2 ? 6 k
3 1 , 即k ? ? 时等号成立.当 k ? 0 时,AB ? 3 , 综上所述 AB max ? 2 . 2 3 k

? 3?

当且仅当 9k 2 ?

1 3 3 . ? ?当 AB 最大时, △AOB 面积取最大值 S ? ? AB max ? 2 2 2
? ? ? 难度:★★ 特点:椭圆已知,直线过定点(由椭圆定) ,求三角形面积的最大值 来源:

已知椭圆的中心在坐标原点 O,焦点在 x 轴上,椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正 方形,两准线间的距离为 4. (Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)直线 l 过点 P(0,2)且与椭圆相交于 A、B 两点,当 ΔAOB 面积取 得最大值时,求直线 l 的方程.

b?c
2 2
2

x y 2a ? 2 ? 1(a ? b ? 0). (I)由已知得 ?4 ? b2 ? 1 2 c a b c2 ? 1 a2 ? b2 ? c2 x2 所求椭圆方程为 ? y 2 ? 1. ? 2
解:设椭圆方程为

a2 ? 2

A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) (II) 解法一: 由题意知直线 l 的斜率存在, 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,
y ? kx? 2
2

由 x2

2

? y ?1

消去 y 得关于 x 的方程: (1 ? 2k ) x ? 8kx ? 6 ? 0
2 2 2 2

由直线 l 与椭圆相交 A、B 两点,?△ ? 0 ? 64k ? 24(1 ? 2k ) ? 0 ,

8k 3 1 ? 2k 2 解得 k 2 ? ,又由韦达定理得 6 2 x1 ? x 2 ? 1 ? 2k 2 x1 ? x 2 ? ?
? AB ? 1 ? k 2 x1 ? x 2 ? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4x1 x 2

?

1? k2 1 ? 2k 2
原 点

16k 2 ? 24 .
O 到 直 线 l 的 距 离

d?

2 1? k2

1 16k 2 ? 24 2 2 2k 2 ? 3 ? S ?ADB ? AB ? d ? ? 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 所以,所求直线方程为: ? 14 x ? 2y ? 4 ? 0 .
解法 2:令 m ?

2 2m 2 2 2 2 ? ? . 2 4 2 m ?4 m? m 2 14 4 当且仅当 m ? 即 m ? 2 时, S ma x ? 此时 k ? ? . 所以,所求直线方程为 2 2 m ? 14 x ? 2y ? 4 ? 0 .
2k 2 ? 3 (m ? 0) ,则 2k 2 ? m 2 ? 3 ,? S ?

解法二:由题意知直线 l 的斜率存在且不为零. 设直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y 2 ) 则直线 l 与 x 轴的交点 D(?

2 ,0) k

8k 3 1 ? 2k 2 由解法一知: k 2 ? 且 6 2 x1 ? x 2 ? 1 ? 2k 2 x1 ? x 2 ? ?

解法 1: S ?AOB ? 解法 2: S ?AOB ? ? ?

1 1 2 OD ? y1 ? y 2 ? ? kx1 ? 2 ? kx2 ? 2 2 2 k ? S ?POB ? S ?POA

难度:★★ 特点:椭圆差一个条件,直线过定点(由椭圆定) ,已知三角形面积的最大值确定椭圆 来源:

2 , F1 , F2 为其焦点,一直线过点 F1 与 2 椭圆相交于 A, B 两点,且 ?F 2 AB 的最大面积为 2 ,求椭圆的方程.
已知中心在原点,焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 解:由 e =

2 2 2 2 得 a : b : c ? 2 : 1 : 1,所以椭圆方程设为 x ? 2 y ? 2c 设直线 2 ? x ? my ? c 2 2 2 得: (m ? 2) y ? 2mcy ? c ? 0 AB : x ? my ? c ,由 ? 2 2 2 ? x ? 2 y ? 2c

? ? 4m 2 c 2 ? 4c 2 (m 2 ? 2) ? 4c 2 (2m 2 ? 2) ? 8c 2 (m 2 ? 1) ? 0 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则 y1 , y 2 是方程的两个根

2mc ? y1 ? y 2 ? 2 ? ? m ?2 由韦达定理得 ? 所以 2 c ?y y ? ? 1 2 ? m2 ? 2 ?

2 2c m 2 ? 1 y1 ? y 2 ? ( y1 ? y 2 ) ? 4 y1 y 2 ? m2 ? 2
2

m2 ?1 1 = S ?ABF 2 ? F1 F2 y1 ? y 2 ? c ? 2 2c 2 m ?2 2 2 2c 2 1 ? 2 2 c 2 ? ? 2c 2 1 2 m2 ?1 ? m2 ?1 当且仅当 m ? 0 时,即 AB ? x 轴时取等号? 2c 2 ? 2 , c ? 1 所以,所求椭圆方程


x2 ? y2 ? 1 2

? 难度:★★ ? 特点:椭圆方程已知,直线过定点,已知面积确定直线 ? 来源: 已知椭圆 C 的对称中心为原点 O,焦点在 x 轴上,左右焦点分别为 F1 , F2 ,且 | F1 F2 | =2 点

3 (1, ) 在该椭圆上。 2
(I) (II) 求椭圆 C 的方程; 过 F1 的直线 l 与椭圆 C 相交于 A,B 两点,若 ?AF2 B 的面积为 以 F2 为圆心且与直线 l 相切的圆的方程。

12 2 ,求 7

? ? ?

难度:★★★ 特点:将三角形面积表示为某个变量的函数 来源:石室高 2015 届周练 2014-4-10

如图,椭圆 Q:

x 2 y2 ,过点 F 的一动直线 m 绕点 F 转 + =1 (a?b?0)的右焦点 F(c,0) a 2 b2

动,并且交椭圆于 A、B 两点,P 是线段 AB 的中点 (1) 求点 P 的轨迹 H 的方程

(2) 在 Q 的方程中,令 a2=1+cos?+sin?,b2=sin?(0???

? ) ,确定?的值,使原点距 2


椭圆的右准线 l 最远,此时,设 l 与 x 轴交点为 D,当直线 m 绕点 F 转 到什么位置时,三角形 ABD 的面积最大?
y

B

解:如图, (1)设椭圆 Q:

x y + 2 =1 (a?b?0) 2 a b

2

2

O F

D X

上的点 A(x1,y1) 、B(x2,y2) ,又设 P 点坐标为 P (x,y) ,则
2 2 2 2 2 2 ? ? b x1+a y1=a b …………(1) ? 2 2 2 2 2 2 ? ? b x 2+a y 2=a b …………(2)

A

l

1?当 AB 不垂直 x 轴时,x1?x2, 由(1)-(2)得 b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0

?

y1-y 2 b2 x y =- 2 = x1-x 2 a y x-c

?b2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)

2?当 AB 垂直于 x 轴时,点 P 即为点 F,满足方程(3)故所求点 P 的轨迹方程为:b2x2+a2y2 -b2cx=0 (2)因为,椭圆 Q 右准线 l 方程是 x=

a2 ,原点距 l c

的距离为

? a2 ,由于 c2=a2-b2,a2=1+cos?+sin?,b2=sin?(0??? ) 2 c



? ? a 2 1+cos ?+sin ? = =2sin( + ) 2 4 c 1+cos ?
? 时,上式达到最大值。此时 a2=2,b2=1,c=1,D(2,0) ,|DF|=1 2

当?=

x2 2 设椭圆 Q: +y = 、B(x2,y2) ,三角形 ABD 的面积 1 上的点 A(x1,y1) 2
S=

1 1 1 x2 2 |y1|+ |y2|= |y1-y2|设直线 m 的方程为 x=ky+1, 代入 +y = 得 (2+k2) 1 中, 2 2 2 2 2k 1 - , 2 ,y1y2= 2+k 2+k 2

y2+2ky-1=0 由韦达定理得 y1+y2= -

8(k 2+1) 4S =(y1-y2) =(y1+y2) -4 y1y2= 2 (k 2+2)
2 2 2

令 t=k2+1?1,得 4S2=

8t 8 8 = ? =2 ,当 t=1,k=0 时取等号。 2 (t+1) t+1+2 4 t

因此,当直线 m 绕点 F 转到垂直 x 轴位置时,三角形 ABD 的面积最大。


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