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四川省成都市2013-2014学年高二下学期期末检测数学文试题


成都市高中二年级春季期末检测 数学(文 考试时间 120 分钟 满分 150 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1.已知, i 为虚数单位,计算 i (1 ? i ) ? (C ).

A. 1 ? i

B. 1 ? i
2

C. ? 1 ? i
<

br />D. ? 1 ? i

2.“ a、b、c 等比”是“ b ? ac ”的(A ).

A. 充分不必要条件

B. 充要条件

C. 必要不充分条件
).

D. 既不充分也不必要条件

3. 已知 f ( x) ? e x , f ( x) 的导数为 f ?( x) ,则 f ?(?2) ? ( C

A. 2 e
4. 函数 f ( x) ? sin x 在 x ?

B. ? 2e

C . e ?2
).

D. ? 2e ?2

?
3

处的切线方程是(B

A. y ?

1 3 ? 3 1 ? 3 3 ? ? ( x ? ) B. y ? ( x ? ) C. y ? ? (x ? ) 2 2 3 2 2 3 2 2 3
).

D. y -

1 1 ? ? (x ? ) 2 2 3

5.已知 p: 所有国产手机都有陷阱消费,则 ? p 是(C

A. 所有国产手机都没有陷阱消费

B. 有一部国产手机有陷阱消费

C. 有一部国产手机没有陷阱消费.
2

D. 国外产手机没有陷阱消费
).

6. 已知“ x - 4 ? 0 或 x ? 2 ”是真命题,则 x 的取值范围是 (D

A. (-?, - 2) ? (2,??)

B. {?2,2}

C. (?2,2)

D. [-2, 2]

7. .下面四个命题,是真命题的是(C ).

A. log2 x1 ? log2 x2 是 2 x1 ? 2 x2 的必要不充分条件

C. 若 p ? q 假,则 (?p) ? (?q) 真
?q
).

B. “ z1 ? z 2 是偶数”的充要条件是“ z 1 和 z 2 都是偶数” D. 若 p ? q ,则 ? p
8. 已知 y ?

1 3 x ? 2 x 2 ? a 2 x ? 5 是单调函数,则实数的 a 的取值范围是(B 3
B. (??,?2] ? [2,??) C. (??,?3] ? [3,??)

A. (??,?1] ? [1,??)
9. 已 知 函 数 y ? ( A ).

D. (??,?4] ? [4,??)

1 3 3a 2 x ? x ? 2a 2 x ? 1 在 区 间 (?2,1) 上 有 极 大 值 , 则实数的 a 的取值范围 是 3 2
B. (?2,0) ? (0,1) C. (?2,1)

A. (?1,0) ? (0,1)

1 D. ( ?1, ) 2 3b-2 的取值范围是 (B ) . 3a ? 2
D. (2,??)

2 10. 已知 f ( x) ? ax ? b ln x ? 2 x(a ? 0, b ? 0) 在区间 ( ,1) 上不单调, 则

1 2

1 A. [ , 2] 2

1 B. ( ,2) 2

1 C. (- ,?? ) 2

二、填空题:每小题 5 分,共 25 分,请将每小题的答案填在答题卷上相应的空格内。 11.复数 z ? ?

1 3 1 3 ? i 的共轭复数 z ? - ? i. 2 2 2 2

12.如图,第一排图是长度分别为 1、2、3、?、 n 的线段,第二排图是边长分别为 1、2、3、?、 n 的 正方形,第三排图是棱长分别为 1、2、3、?、 n 的正方体,根据图中信息,可得出棱长为 n 的正方体 中的正方体个数是 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n .
3 3 3 3

13.若函数 y ? x ln x ? a 有零点,则实数 a 的取值范围是 (?? , ] . 14.已知 a ? 0, b ? 0 ,抛物线 f ( x) ? 4ax2 ? 2bx ? 3 在 x ? 1 处的切线的倾斜角为 则

1 e

? , 4

1 1 ? 的最小值是 18 . a b
(1)

15.已知 f ?( x) 是 f ( x) 的导数,记 f

( x) ? f ?( x) ,

f ( n) ( x) ? ( f ( n?1) ( x))?(n ? N , n ? 2) ,
给出下列四个结论: ①若 f ( x) ? x n ,则 f
( 5)

(1) ? 120;
( 4)

②若 f ( x) ? cos x ,则 f ③若 f ( x) ? e x ,则 f
( n)

( x) ? f ( x) ;

( x) ? f ( x)(n ? N ? ) ;

④设 f ( x) 、 g ( x) 、 f

( n)

( x) 和 g ( n) ( x)(n ? N ? ) 都是相同定义域
( n)

上的可导函数, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则 h ( n) ( x) ? f

( x) ? g ( n) ( x)(n ? N ? ) .

则结论正确的是 ①②③ (多填、少填、错填均得零分). 三、解答题:本大题共 6 小题,共 74 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(本题满分 12 分)已知 f ( x ) ?

1 2 x ? 4 ln x ? 5 x , f ?( x) 是 f ( x) 的导数. 2

(Ⅰ)求 y ? f ( x) 的极值; (Ⅱ)求 f ?( x) 与 f ( x) 单调性相同的区间. 解(Ⅰ)∵ f ( x ) ?

1 2 4 ( x ? 1)( x ? 4) x ? 4 ln x ? 5 x ,∴ f ?( x) ? x ? ? 5 ? ( x ? 0) , 2 x x

由 f ?( x) ? 0 得, 0 ? x ? 1 或 x ? 4 ,由 f ?( x) ? 0 得, 1 ? x ? 4 .当 x 变化时, f ?( x)、f ( x) 变化情 况如下表:

x
f ?( x) f ( x)

(0,1)
+ ↗

1

(1,4)
- ↘

4

(4,??)
+ ↗

0
极大值

0
极小值

9 , f ( x) 的极小值 f ( x) 极小=f (4) ? 8 ln 2 ? 12 .???6 分 2 4 ( x ? 2)( x ? 2) (Ⅱ)设 g ( x) ? x ? ? 5( x ? 0) ,∴ g ?( x) ? , x x
∴ f ( x) 的极大值 f ( x) 极大 =f (1) ? ? 由 g ?( x) ? 0 得, x ? 2 , g ( x) 为增函数,由 g ?( x) ? 0 得, 0 ? x ? 2 , g ( x) 为减函数.

? ?) ???12 分 再结合(Ⅰ)可知: f ?( x) 与 f ( x) 的相同减区间为 [1 , 2],相同的增区间是 [4, (1,0) , 17.(本题满分 12 分)已知 命题 p :点 P 的坐标为 ( x, y ) ,点 F1、F2 的坐标分别是 (?1,0)、
命题 q :直线 PF 1、PF 2 的斜率分别是 k1、k 2 , k1 ? k 2 ? m(m ? R) , p ? q 真. (Ⅰ)求点 P 的轨迹方程; (Ⅱ)指出点 P 的轨迹类型(如圆、抛物线、直线等) .

y y , k2 ? , x ?1 x ?1 y y ? ? m, ∵ k1 ? k 2 ? m(m ? R) ,∴ x ?1 x ?1
解: (Ⅰ)由题意得, k1 ? 所以所求轨迹方程是: mx ? y ? m(m ? R, x ? ?1) .??????????????4 分
2 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)点 P 的轨迹方程为 mx ? y ? m(m ? R, x ? ?1) ,
2 2

当 m ? 0 且 m ? ?1 时,方程可化为 项点) ;

x2 ?

y2 ? 1 ( x ? ?1) ,∴ P 的轨迹是椭圆(除去与 x 相交的 ?m

2 2 当 m ? ?1 时,方程 x ? y ? 1 ( x ? ?1) ,∴ P 的轨迹是圆(除去与 x 的交点) ;

当 m ? 0 时,方程是 y ? 0 ( x ? ?1) , ∴ P 的轨迹是 x 轴(除去 (?1,0) 和 (1,0) 两点) ; 当 m ? 0 时,方程可化为 x ?
2

y2 ? 1 ( x ? ?1) ,∴ P 的轨迹是双曲线(除去项点)??12 分 m

1 1. (2m ? 1) x 3 ? 2mx 2 ? 5m 2 x ? 1 的极值点是 - 5, 3 (Ⅰ)求实数 m 的值; (Ⅱ)求 y ? f ( x) 的递增区间. 1 3 2 2 解: (Ⅰ)∵ f ( x) ? (2m ? 1) x ? 2mx ? 5m x ? 1 , 3
18.(本题满分 12 分) 已知 f ( x) ? ∴ f ?( x) ? (2m ? 1) x ? 4mx ? 5m
2 2

由题意, f ?(?5) ? f ?(1) ? 0 ,即

?25(2m ? 1) ? 20m ? 5m 2 ? 0 , ? 2 2 m ? 1 ? 4 m ? 5 m ? 0 ?
解得, m ? 1 .

1 ,所以 m ? 1 ??????????????6 分 经验证,当 m ? 1 时, f ( x) 的极值点是 - 5,

1 3 x ? 2 x 2 ? 5 x ? 1 , f ?( x) ? x 2 ? 4x ? 5 ? ( x ? 5)(x ? 1) , 3 解不等式 f ?( x) ? 0 得, x ? ?5 或 x ? 1 ,
(Ⅱ)由(Ⅰ) f ( x) ? ∴ y ? f ( x) 的递增区间是 (??,?5] , [1,??) .??????????????12 分 19. ( 本 题 满 分 12 分 ) 某校一次数学研究性学习活动中,一个密封的箱子内装有分别写上

1 1 y ? sinx,y ? c o sx,y ? e x , y ? ,y ? ? 2 , ln x 六个函数的六张外形完全一致的卡片(一张 x x
卡片一个函数) ,参与者有放回的抽取卡片,参与者只参加一次.如果只抽一张,抽得卡片上的函数是 其它某一张卡片上函数的导数,抽取者将获得三等奖;如是先后各抽一张,抽出的卡片中,其中一张上 的函数是另一张卡片上函数的导数,抽取者将获得二等奖;如果先后各抽一张,第一张卡片上的函数的 导数是第二张卡片上的函数,抽取者将获得一等奖. (Ⅰ)求学生甲抽一次获得三等奖的概率; (Ⅱ)求学生乙抽一次获得二等奖的概率; (Ⅲ)求学生丙抽 一次获得一等奖的概率. 解(Ⅰ)在 y ? sin x,y ? cos x,y ? e x , y ?

1 1 1 ,y ? ? 2 , ln x 六个函数中, y ? cos x , y ? , x x x

y??

1 这三个函数可作为其它函数的导数. x2

3 1 ? .???????????????4 分 6 2 1 1 x (Ⅱ)在 y ? sin x,y ? cos x,y ? e , y ? ,y ? ? 2 , ln x 六个函数的卡片中,先后抽两次, x x
设“学生甲抽一次获得三等奖”为事件 A ,∴ P ( A) ? 不 同 的 抽 法 有 36 种 , 其 中 , y ? sin x,y ? cos x 组 合 两 种 , y ? e x , y ? e x 组 合 一 种 ,

1 1 1 y ? ,y ? ? 2 组合两种, ln x , y ? 组合两种共 7 种都满足得二等奖的要求. x x x 7 设“学生乙抽一次获得二等奖”为事件 B ,∴ P( B) ? .????????????????8 分 36 1 1 x (Ⅲ)在 y ? sin x,y ? cos x,y ? e , y ? ,y ? ? 2 , ln x 六个函数的卡片中,先后抽两次, x x 1 1 y ? ,y ? ? 2 y ? sin x,y ? cos x 组合 1 种, 不同的抽法有 36 种, 其中, y ? ex , y ? e x 组合 1 种, x x 1 组合 1 种, ln x , y ? 组合 1 种共 4 种都满足得一等奖的要求. x 4 1 ? . 设“学生丙抽一次获得一等奖”为事件 C ,∴ P (C ) ? 36 9 1 7 1 答:甲乙丙三人各得三二一等奖的概率分别是 、 、 .????????????????12 分 2 36 9

20.(本题满分 13 分) 已知 (Ⅰ)求 f ( x) 的单调区间;

f ( x) ?

x ( e 是自然对数的底数) , ex

(Ⅱ)设 an ? f (n) ,求数列 ?an ? 的前 n 项和 S n ,并证明

e(e n ? 1) ? n(e ? 1) n ? ; e (e ? 1) 2 e n

解: (Ⅰ)∵ f ( x ) ?

x e x ? xe x 1 ? x ? ,∴ f ( x ) ? ? x , ex (e x ) 2 e

当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是单调递增,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 是单调递减. 所以 f ( x) 的递增区间是 (??,1] ,递减区间是 [1,??) . ????????????????5 分 (Ⅱ)∵ an ? f (n) , S n ? a1 ? a2 ? ? ? an ,∴ a n ? ∴

1 1 2 3 n ?1 n S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n ? n ?1 e e e e e e

n 1 2 3 n 且 Sn ? ? 2 ? 3 ? ? n , n e e e e e

1 1 (1 ? n ) 1 1 1 1 1 n e ? n ∴ (1 ? ) S n ? ? 2 ? 3 ? ? ? n ? n ?1 ? e 1 e e e e e e a n ?1 1? e
∴ Sn ?

e(e n ? 1) ? n(e ? 1) . e n (e ? 1) 2
1 1 1 n ,∴ f ( x) ? ,∴ a n ? f ( n) ? ,∴ S n ? , e e e e

由(Ⅰ)知 f ( x ) max ? f (1) ? ∴

e(e n ? 1) ? n(e ? 1) n ? .????????????????13 分 e e n (e ? 1) 2

21.(本题满分 14 分)已知, f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ax2 ? bx ? 1 ,函数 y ? g ( x) 的导数 g ?( x ) 的图象如 图所示. (Ⅰ)求 g ( x) 的解析式; (Ⅱ) d ? f ( x) ? g ( x) 对一切 x ? 0 恒成立,求实数求 d 的取值范围; (Ⅲ)设 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求函数 h( x) 的零点个数;. 解(Ⅰ)∵ g ( x) ? ax ? bx ? 1 ,∴ g ?( x) ? 2ax ? b
2

由图可知 b ? ?1 ,∴ g ?( x) ? 2ax ? 1 , 将x ?

1 , y ? 0 代入计算得 a ? 1 , 2

∴ g ( x) ? x 2 - x ? 1.????????????????3 分 (Ⅱ)设 T ( x) ? ln x ? x ? 1( x ? 0) . ∴ T ?( x) ? 单调递减. ∴ T ( x) max ? T ( x) 极大 ? T (1) ? 0 ,即对一切 x ? 0 ,都有 ln x ? x ? 1 ? 0 , ∴ x ln x ? x ? x ? 0 ,即 x ln x ? x ? x ? 1 ? 1 .
2 2 2 由(Ⅰ)得 f ( x) ? g ( x) = x ln x ? x ? x ? 1 ,所以对一切 x ? 0 都有 f ( x) ? g ( x) ? 1 .

1 1? x ?1 ? , ∴当 0 ? x ? 1 时 , T ?( x) ? 0 , T ( x) 单调递增 ,当 x ? 1 时 , T ?( x) ? 0 , T ( x) x x

所以实数求 d 的取值范围是 [1 , ? ?) .????????????????8 分 (Ⅲ) h( x) ? x ln x ? x 2 ? x ? 1 , h?( x) ? ln x ? 2 x ? 2( x ? 0) .

1 2( x ? ) 2 ,所以当 0 ? x ? 1 时, t ?( x) ? 0, h?( x) ? t ( x) 是增 设 t ( x) ? ln x ? 2 x ? 2( x ? 0) ,则 t ?( x) ? ? 2 2 2x 1 1 函数,当 x ? 时, t ?( x) ? 0, h?( x) ? t ( x) 是减函数,所以 h ?( x) max ? h ?( ) ? 1 ? ln 2 ? 0 . 2 2 ?2 1 又 h?(e ?2 ) ? ?2e ?2 ? 0 ,所以在区间 (e , ) 上存在唯一的实数 x0 ,使得 h?( x0 ) ? t ?(1) ? 0 ( e 是自然 2
对数的底数), 所以当 x 变化时, h?( x)、h( x) 的变化情况如下表:

(0, x0 )

x0

( x0 ,1)

1

(1,??)

x
h ?( x)
0 + 0 -

h( x )



极 小值


2

极 大值 1



∴ h( x) 极小 ? h( x0 ) ? x0 ln x0 ? x0 ? x0 ? 1,且 h?( x0 ) ? ln x0 ? 2x0 ? 2 ? 0 , ∴ h( x) 极小 ? h( x0 ) ? x0 (2 x0 ? 2) ? x0 ? x0 ? 1 ? x0 ? x0 ? 1 ? ( x0 ? ) ?
2 2 2

1 2

3 ? 0. 4

∵ h( x) 在区间 (1,??) 递减, h(e) ? 2e ? e ? 1 ? 0 ,∴在区间 (1, e) 上存在唯一一点 x ,使得 h( x) ? 0 .
2

综上所述,函数 h( x) 的零点个数是 1. ????????????????14 分


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