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第一章集合第一节


一、元素与集合

1.集合中元素的三个特性: 确定性 、互异性 、 无序性 .
2.集合中元素与集合的关系 元素与集合之间的关系有 属于 和 不属于 两种,表示符 号为 ∈ 和 ? .

3.常见集合的符号表示.

集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集
表示

实数集 R

N

N*或N+

Z

Q

4.集合的表示法: 列举法 、 描述法 、 Venn图 .

二、集合间的基本关系

表示
关系 定义 集合A与集合B中的所有 集合 间的 基本 关系 记法

相等 子集
真 子 集

元素都相同
A中任意一元素均为B中的

A=B
A?B 或B?A

元素 A中任意一元素均为B中的 元素,且B中至少有一个 元素A中没有

表示

关系

定义

记法

空集是任何集合的子集
空集 空集是任何 非空集合的真 子集

集合{?}是空集吗?它与{0}、?有什么区别?

提示:集合{?}不是空集.空集是不含任何元素的集合,
而集合{?}中有一个元素?.若把?看作一个元素则有 ?∈{?},而{0}表示集合中的元素为0.

三.集合的基本运算
集合的并集 符合 表示 图形 表示 集合的交集 集合的补集 全集为U,集合A的补集 为 ?UA

A∪B

A∩B

意义

{x|x∈A或 x∈B}

{x|x∈A,且 x∈B}

{x|x∈U,且x?A}

1.已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N={x|x2
+x=0}关系的韦恩(Venn)图是 ( )

解析:由N={x|x2+x=0},得N={-1,0}. ∵M={-1,0,1},∴N? M,故选B. 答案:B

2.若不等式x2-x≤0的解集为M,函数f(x)=ln(1-|x|)的定

义域为N,则M∩N为
A.[0,1) C.[0,1] B.(0,1) D.(-1,0]

(

)

解析:不等式x2-x≤0的解集M={x|0≤x≤1}, f(x)=ln(1-|x|)的定义域N={x|-1<x<1},

则M∩N={x|0≤x<1}.
答案:A

3.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={x|x2-3x+2=0},B=
{x|x=2a,a∈A},则集合?U(A∪B)中元素的个数为( A.1 C.3 ∴?U(A∪B)={3,5}. 答案:B B.2 D.4 )

解析:由已知得A={1,2},B={2,4},

4.若集合A={x|x≤2},B={x|x≥a}满足A∩B={2},则实 数a= .

解析:A∩B={x|a≤x≤2}={2}.∴a=2. 答案:2

5.设集合U={1,2,3,4,5},A={2,4},B={3,4,5},C={3,4}, 则(A∪B)∩(?UC)= .

解析:A∪B={2,3,4,5},?UC={1,2,5}, ∴(A∪B)∩(?UC)={2,5}. 答案:{2,5}

1.掌握集合的概念,关键是把握集合中元素的特性,要特别
注意集合中元素的互异性,一方面利用集合元素的互异性 能顺利找到解题的切入点;另一方面,在解答完毕之时, 注意检验集合的元素是否满足互异性以确保答案正确. 2.用描述法表示集合时,首先应清楚集合的类型和元素的性

质.如集合{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的
集合.

若a,b∈R,集合{1,a+b,a}=

{0, ,b},求b2011-a2011的值.

由{1,a+b,a}={0, ,b}可知a≠0,因此只 能a+b=0,然后利用两集合相等的条件列出 方程组,分别求出a、b的值即可.

【解】

由{1,a+b,a}={0,

,b}可知a≠0,则只能

a+b=0.则有以下对应关系:

由①得符合题意
∴b2011-a2011=1-(-1)=2.

;②无解.

1.定义集合运算:A*B={z|z=xy,x∈A,y∈B},设A=

{1,2},B={0,2010},则集合A*B的真子集的个数为(
A.7 C.15 的个数为23-1=7. 答案:A B.8 D.16

)

解析:由题知,A*B={0,2010,4020},所以A*B的真子集

1.子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一定是其子

集,而集合A的子集不一定是其真子集;若集合A有n个元
素,则其子集个数为2n,真子集个数为2n-1.

设A={x|x2-8x+15=0},B={x|ax-1=0}. (1)若a= ,试判定集合A与B的关系;

(2)若B?A,求实数a组成的集合C.

(1)由a=

求得集合B,再判定集合A与B的关系.

(2)由B?A应分B=?和B≠?两种情况.

【解】

(1)由x2-8x+15=0,

得x=3,或x=5, ∴A={3,5}, 若a= ,由ax-1=0,



x -1=0,即x=5,

∴B={5}.∴B?A.

(2)∵A={3,5},又B?A,

故若B=?,
则方程ax-1=0无解,有a=0; 若B≠?, 则a≠0,由ax-1=0,得x= ,

2.已知函数f(x)=x2+x-1,集合M={x|x=f(x)},N={y|y
=f(x)},则 A.M=N C.M∩N=? B.M? N D.M? N ( )

解析:由f(x)=x2+x-1,x=f(x)得x2-1=0,
x=±1,故M={-1,1}.

答案:D

若集合A={x|x2-2x-8<0},B={x|x-m<0}.
(1)若m=3,全集U=A∪B,试求A∩(?UB); (2)若A∩B=?,求实数m的取值范围; (3)若A∩B=A,求实数m的取值范围.

【解】

(1)由x2-2x-8<0,得-2<x<4,

∴A={x|-2<x<4}.
当m=3时,由x-m<0,得x<3,∴B={x|x<3}, ∴U=A∪B={x|x<4},?UB={x|3≤x<4}. ∴A∩(?UB)={x|3≤x<4}. (2)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m},

又A∩B=?,∴m≤-2.
(3)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, 由A∩B=A,得A?B,∴m≥4.

3.已知集合A={x|x2-6x+8<0},B={x|(x-a)(x-3a)<0}. (1)若A?B,求a的取值范围; (2)若A∩B=?,求a的取值范围;

(3)若A∩B={x|3<x<4},求a的取值范围.

解:∵A={x|x2-6x+8<0},
∴A={x|2<x<4}. (1)当a>0时,B={x|a<x<3a}, 应满足 当a=0时B=?,不适合A?B. 应满足

当a=0时B=?,不适合A?B.

∴当A?B时,

≤a≤2.

(2)要满足A∩B=?, 当a>0时,B={x|a<x<3a},a≥4或3a≤2, 或a≥4; 当a<0时,B={x|3a<x<a},∵a<0<2,

∴a<0时成立,验证知当a=0时也成立.
综上所述, 或a≥4时,A∩B=?.

(3)要满足A∩B={x|3<x<4},显然a>0且a=3时成立. ∵此时B={x|3<x<9},而A∩B={x|3<x<4}, 故所求a的值为3.


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