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高考数学最新模拟题数列专题训练(附答案解析)


高考数学最新模拟题圆锥曲线专题训练(附答案解析)

一、填空题。 1 . 在 等 差 数 列 ?an ? 中 , a1 ? ?2014 , 其 前 n 项 的 和 为 Sn , 若

S 2013 S 2011 ? ? 2 ,则 2013 2011

S2014 ? _______ .
2.等差数列 {an } 中, a1 ? a2 ? 2, a7 ? a8 ? 8, 则该数列前十项的和 S10 ? 3 .等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , a1 ? ?11 , 于 .
k

. 等

a4 ? a6 ? ?6 , 当 Sn 取最小值时 ,n

4. 已知一个数列 {an } 的各项是 0 或 1, 首项为 0, 且在第 k 个 0 和第 k+1 个 0 之间有 2 ? 1 个 1, 即 0, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, …, 则前 2 015 项中 0 的个数为____________ . 5 .数列 {an } 的前 n 项和记为 S n , a1 ? 1 , an?1 ? 2 S n ? 1(n ? 1) ,则 {an } 的通项公式 为 .

6.若数列 {an } 的前 n 项和 S n ?

2 1 a n ? ,则{an}的通项公式是 an=________ 3 3

7.数列 {an } 中,已知 a1 ? 1, a2 ? 2, an?1 ? an ? an?2 (n ? N ? ) ,则 a7 ? ________. 8.如图,互不相同的点 A 1 , A2 ,K ..., An , K ... 和 B 1 , B2 ,L L , Bn ,L L 分别在角 O 的两条边 上 , 所 有 An Bn 相 互 平 行 , 且所 有 梯 形 An Bn Bn?1 An?1 的 面 积 均 相 等. 设 OAn ? an , 若

a1 ? 1, a2 ? 2 ,则 a9 =________________;

9.已知数列 {an } 为等差数列, a1 ? 1 ,公差 d ? 0 , a1 、 a2 、 a5 成等比数列,则 a2014 的 值为____________. 10 . 设 数 列 {an } 满 足

a1 ? 1, a2 ? 4 ,a3 ? 9 n , a ?n a ?

1

?n a ?

2

,则 ?n a ? 3 , n? 4 , 5, . . .

a2014 ?



11.已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 6 x ? 8 y ? 0 , a1 , a2 ,?, a11 是该圆过点 P(3,5)的 11 条弦的长 度,若数列 a1 , a2 ,?, a11 是等差数列,则数列 a1 , a2 ,?, a11 的公差的最大值为 .

2 2 2 12.已知 ?ABC 的三边长 a, b, c 依次成等差数列, a ? b ? c ? 21 ,则 b 的取值范围是

__________. 13.在等差数列 {an } 中,已知 a1 ? a3 ? a5 ? 18 , an?4 ? an?2 ? an ? 108 , s n ? 420,则

n?



14.若 ?an ? 是递增数列 ? 对于任意自然数 n, an ? n 2 ? ?n 恒成立,求实数 ? 的取值范围 15.数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 an+2=an+1-an(n∈N*) ,a1=1,a2=2,则 S2014= _________.
2 16. 已知等比数列 ?an ? 是递增数列,Sn 是 ?an ? 的前 n 项和, 若 a1 , a3 是方程 x ? 5 x ? 4 ? 0

的两个根,则 S6 ?

.

17.将正偶数按下表排成 5 列: 第1列 第1行 第2行 第3行 … 那么 2 014 应该在第 行第 16 第2列 2 14 18 … 第3列 4 12 20 28 列. (用数字作答), 第4列 6 10 22 26 24 第5列 8

?2n?1 , n ? 2k ?1 ? 18.已知数列 {an } 中, an ? ? (k?N ) ,则 a9 ? ? 2n ?1, n ? 2k
设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则 S9 ? (用数字作答).

19. 设 x, y, z 是实数,3x, 4 y,5 z 成等比数列, 且 20 . 己 知 函 数 f ( x) ?

1 1 1 x z , , 成等差数列, 则 ? 的值是 x y z z x

.

10 x ? 99 , x ? 10

?an?

为 a1 ? 1, d ? 2 的 等 差 数 列 , 则

f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ? ??? ? f (a10 ) ? _____________.
二、解答题。 21. (本题满分 16 分)已知等差数列 ?an ? ,其前 n 项和为 Sn .若 S4 ? 4S2 , a2 n ? 2an ? 1 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)对任意 m ? N * ,将数列 ?an ? 中落入区间 (2m , 22 m ) 内的项的个数记为 ?bm ? ; ①求数列 ?bm ? 的通项公式 bm ; ②记 cm ?

2

2 m ?1

T ?t 2 1 ,数列 ?cm ? 的前 m 项和为 Tm ,求所有使得等式 m 成立 ? ? bm Tm?1 ? t ct ? 1

的正整数 m , t . 22. (本题满分 14 分)已知公比 q 不为 1的等比数列 {an } 的首项 a1 ? 且 a4 ? S4 , a5 ? S5 , a6 ? S6 成等差数列. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)对 n ? N ? ,在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数成等差数列,记插入的这 n 个数的和为 bn 求数列 bn ? 的前 n 项和 Tn . 23. (本小题满分 13 分)已知数列 ?a n ?满足 a1 ? 1, an ?1 ? 1 ?

1 ,前 n 项和为 Sn , 2

?

1 ,其中 n ? N*. 4an

(Ⅰ)设 bn ?

2 2an ? 1

,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ?的通项公式 an ;

(Ⅱ)设 cn ?

4an 1 ,数列 ?cncn?2 ? 的前 n 项和为 Tn ,是否存在正整数 m ,使得 Tn ? 于 n ?1 cm cm?1

n ?N*恒成立,若存在,求出 m 的最小值,若不存在,请说明
24. (本小題满分 12 分)已知数列 ?an ??n ? N ? 满足 a1 ? 1 ,且对任意非负整数 m, n?m ? n? 均有:

am ? n ? am ? n ? m ? n ? 1 ?
(1)求 a0 , a2 ;

1 ?a2 m ? a2 n ? . 2

(2)求证:数列 ?am?1 ? am ? m ? N * 是等差数列,并求 an n ? N * 的通项; (3)令 cn ? an ? 3n ?1 n ? N * ,求证:

?

?

?

?

?

?

?c
k ?1

n

1
k

?

3 。 4

答案与解析 1. ?2014 【解析】 设公差是 d , 由

S2 S 0 1 3 0 1 1 ?2 2 0 1 3 2 0 1 1

?d ? 2 , ?2, 得 ? a1 ?1006d ? ? ? a1 ? 1005d ? ? 2 ,

? S2014 ? 2014a1 ? 1007 ? 2013d ? 2014 ? ? a1 ? 2013? ? ?2014
考点:考查等差数列前 n 项和公式。 2. 30 【解析】由已知条件 a1 ? a2 ? 2, a7 ? a8 ? 8, ,可得: ?

? a1 ? ( a1 ? d ) ? 2 ,即: ?( a1 ? 6d ) ? ( a1 ? 7 d ) ? 8

3 ? a1 ? ? ?2a1 ? d ? 2 3 10 ? (10 ? 1) 1 ? 4 S10 ? 10 ? ? ? ? 30 . , 解得: , 再根据求和公式可得: ? ? 4 2 2 ?2a1 ? 13d ? 8 ?d ? 1 ? ? 2
考点:等差数列的基本量运算 3.6 【解析】由 a4

? a6 ? ?6 ? 2a5 ,解得 a5=-3,又 a1 ? ?11 ,

所以 a5=a1+4d=-11+4d=-3,解得 d=2, 则 an=-11+2(n-1)=2n-13, 所以 S n ?

n(a1 ? a n ) ? n 2 ? 12n ? (n ? 6) 2 ? 36 , 2

所以当 n=6 时,Sn 取最小值. 考点:等差数列的性质. 4.10.
k k 【解析】依题意得,第 k 个 0 和它后面 2 ? 1 个 1 的个数之和为 2 ,按这个要求分组,每组

数字的个数组
2(1 ? 2n ) ? 2n ?1 ? 2 成一个以 2 为首项、2 为公比的等比数列,该数列的前 n 项和等于 1 ? 2 .

注意到 2

9 ?1

? 2 ? 2015 ? 210 ?1 ? 2 ,因此在题中的数列中,前 2015 项中共有 10 个 0.

考点:数列的前 n 项和. 5. an ? 3n ?1 【 解 析 】 因 为 an?1 ? 2 S n ? 1(n ? 1) , 所 以 an ? 2 S n ?1 ? 1(n ? 2) , 两 式 相 减 可 得

an?1 ? an ? 2an ?

an?1 ? 3 ,又 a2 ? 2a1 ? 1 ? 3 ? 3a1 ,所以 {an } 以 1 为首项,3 为公比的 an

等比数列,所以 an ? 3n ?1 . 考点:1.数列的递推关系;2.等比数列的通项公式. 6. an ? ? ?2 ?
n ?1

【解析】由 S n ?

2 1 2 1 a n ? 得,当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? a1 ? ,得 a1 ? 1 ,当 n ? 2 时, 3 3 3 3

Sn ?

2 1 2 1 2 1 ?2 1? a n ? , S n ?1 ? an ?1 ? , 两 式 相 减 得 到 , an ? an ? ? ? an?1 ? ? , 得 3 3 3 3 3 3 ?3 3?

an n ?1 ? 2 ,故数列 {an } 是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列,所以 an ? ? ?2 ? . an ?1
考点:求数列的通项公式. 7.1 【 解 析 】 由 an?1 ? an ? an?2 , 得 an?2 ? an?1 ? an , a1 ? 1, a2 ? 2 , 得 a3 ? a2 ? a1 ?1 ,

a4 ? a3 ? a2 ? ?1 , a5 ? a4 ? a3 ? ?2 , a6 ? a5 ? a4 ? ?1 , a7 ? a6 ? a5 ? 1 .
考点:数列的递推式. 8.5. 【解析】依题意:互不相同的点 A1,A2,…,An,…和 B1,B2,…,Bn,…分别在角 O 的 两条边上. ∵所有 AnBn 相互平行,且所有梯形 AnBnABn+1An+1 的面积均相等. ∴利用所有的三角形都相似,面积比等于相似比的平方, 若 a1=1,a2=2,则令 S ?OA1B1 ? m (m>0), 所以 S 梯形 A1B1A2B2=3m, ∴当 n≥2 时,

an OAn 3n ? 2 3n ? 2 2 2 ? ? ? an ? an?1 , an?1 OAn?1 3n ? 5 3n ? 5

2 利用以累乘可得: an ? (3n ? 2)a12 ,

由于 a1=1, ∴an= 3n ? 2 ∴a9=5. 故答案为:5. 考点:平行线等分线段定理. 9. 4027
2 【解析】由已知得 a2 ? a1a5 ,?(1 ? d )2 ? 1? 4d , d ? 2,?a2014 ? 1? 2013? 2 ? 4027 .

考点:等差数列与等比数列. 10.8052 【解析】? an ? a? n ?1? ? a? n ? 2? ? a? n ?3? ,? an ? a? n ?1? ? a? n ? 2? ? a? n ?3? ,

? a2014 ? a2013 ? a2012 ? a2011 ? a2010 ? a2009 ? ... ? a2 ? a1 ? 4 ?1 ? 3 ,即:偶数项-奇数项
=3, 且 a2013 ? a2012 ? a2011 ? a2010 ? a2009 ? a2008 ? ... ? a3 ? a2 ? 9 ? 4 ? 5 ,即:奇数项-偶数项 =5,

? a2014 ? a2013 ? 3 ,

a2013 ? a2012 ? 5 , a2012 ? a2011 ? 3 a2011 ? a2010 ? 5 ,
………………,

a4 ? a3 ? 3 , a3 ? a2 ? 5 , a2 ? a1 ? 3 ,
将以上各式累加得: a2004 ? a1 ? 3?1007 ? 5 ?1006 ? 8051 ? a2014 ? 8051 ? 1 ? 8052 . 考点:①数列的递推公式;②累加法. 11.

2?2 6 5

【解析】由已知可知圆 C 的圆心 C(3,4) ,半径 r=5,过点 P 的弦最长是直径长为 10,最
2 2 2 2 2 短是以点 P 为中点的弦长为 2 r ? OP ? 2 5 ? [( 3 ? 3) ? (5 ? 4) ] ? 4 6 ,而当 a11 最

大, a1 最小时公差最大,即 a11 ? 10 , a1 ? 4 6 ,最大公差为 考点:圆的性质与等差数列的性质 12. ( 6, 7]

10 ? 4 6 5 ? 2 6 . ? 10 5

【解析】因为三边长 a, b, c 依次成等差数列,故不妨设公差 d ? 0 ,则 a ? b ? c ,因为要构

1 0?d ? b 2 2 2 2 , 成三角形, 所以 a ? b ? c , 即 (b ? d ) ? b ? b ? d , 所以有 又 a ? b ? c ? 21 ,
2 2 2 2 即 (b ? d ) ? b ? (b ? d ) ? 21 , 所 以 3b ? 2d ? 21 , 即 2d ? 21 ? 3b , 由 于

2

2

2

1 1 1 1 0?d ? b 0 ? d 2 ? b2 0 ? (21 ? 3b 2 ) ? b 2 2 ,所以 4 ,即 2 4 , 解 得 6 ? b2 ? 7 , 即 有

6 ?b? 7.
考点:三角形中边的范围的求法. 13.20 【 解 析 】 由 等 差 数 列 性 质 可 得 , a1 ? a3 ? a5 ? 3a3 ? 18 , 解 得 a3 ? 6 ;

an?4 ? an?2 ? an ? 3an?2 ? 108
sn ?





an?2 ? 36





n(a1 ? a n ) n(a3 ? a n ?2 n(6 ? 36) ? ? ? 420 2 2 2

解得 n ? 20 . 考点:等差数列性质和求和公式. . 14.λ>-3 2 【解析】 由对于任意的 n∈N*, an=n2+λn 恒成立, 知 an+1-an= (n+1) +λ (n+1) -n2-λn=2n+1+λ, 由{an}是递增数列,知 an+1-an>a2-a1=3+λ>0,由此能求出实数 λ 的取值范围. ∵对于任意的 n∈N*,an=n2+λn 恒成立, an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ, ∵{an}是递增数列, ∴an+1-an>0, 又 an+1-an=(n+1)2+λ(n+1)-n2-λn=2n+1+λ ∴当 n=1 时,an+1-an 最小, ∴an+1-an>a2-a1=3+λ>0, ∴λ> ? 3 . 故答案为:( ? 3 ,+∞). 考点:实数的取值范围的求法 15.3; 【解析】∵ a n + 1 = a n - a n - 1 ( n≥2 ) , a1= 1, a2= 2, ∴a3= 1, a4= - 1, a5= - 2, a6= - 1, a7= 1, a8= 2, 即 数 列 {a n } 是 以 6 为 周 期 的 周 期 数 列 , 且 6 项 的 和 为 0 , ∵ 2014 = 6×335 + 4 ∴ S 2014 = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 = 3 故答案为:3 考点:递推数列,数列的通项与前 n 项和 16.63
2 【解析】 因为 x ? 5 x ? 4 ? 0 的两根为 1 和 4, 又数列 ?an ? 是递增数列,所以 a1=, 1 a3=4 ,

所以 q=2.所以 S6=

1? (1 ? 26 ) ? 63 . 1? 2

考点:等比数列的性质.

【答案】252 行 2 列 【解析】2014 是偶数数列的第 1007 项,上表中每行有 4 个数,到 251 行共有 1004 个数,第 252 行的 4 个数分别为 2016,2014,2012,2010;故 2014 在第 252 行第 2 列. 考点:等差数列的应用 18. a9 ? 256 ; S9 ? 377 【解析】数列的奇数项为等比数列,偶数项为等差数列∴ a9 ? 28 ? 256 .

s9 ? a1 ? a3 ? ... ? a9 ? a2 ? a4 ? ... ? a8 =341+36=377.
考点:等差数列和等比数列求和. 19.

34 15

【解析】由于 3 x,4 y,5 z 成等比数列,?16y 2 ? 15xz ,得 xz ? 差数列,

1 1 1 16 2 y ,又因为 , , 成等 15 x y z

2 1 1 x?z ? ? ? y x z xz



?x ? z ?
2

2 32 ? ?xz ? ? y y 15



? 32 ? ? y? 2 2 2 ? x z x ?y x ? z ? ? 2 xz ? 15 ? ? ? ? ? ? ?2 16 2 z x xz xz y 15
? 34 . 15

考点:等差数列和等比数列的性质. 20. 100 【解析】由已知得 an ? 1 ? 2(n ?1) ? 2n ?1 ,因为 f ( x ) ?

10x ? 99 1 ? 10? ,所以 x ? 10 x ? 10
因 此

f ( x) ? f(20 ? x) ? 20



f (a1 ) ? f (a2 ) ? f (a3 ) ???? ? f (a10 ) ? f (1) ? f (3) ? f (5) ? …? f (19)
? 5 ? 20 ? 100 .
考点:1、函数的图象与性质;2、等差数列. 21. (1) an ? 2n ? 1; (2) bm ? 22m?1 ? 2m?1 ; m ? t ? 3 . 【解析】 (1)由于这是一个特殊数列等差数列,根据题中所给两个条件采用回归基本量的 构造方程组的方法即可求解:由 S4 ? 4S2 ,化简可得: d ? 2a1 ,又由 a2 n ? 2an ? 1,化简 可得: an ? nd ? 1 ,联立方程组却可求解; (2)①由(1)中所求数列的通项代入到题中

所要求的区间内可得: 2m ? 2n ? 1 ? 22m ,对其化简可得: 2

m ?1

?

1 1 ? n ? 22 m ?1 ? ,由于 2 2

n 的整数特性即可得: 2m?1 ? 1 ? n ? 22 m?1 ,则易求出: bm ? 22m?1 ? 2m?1 ;②利用前面所求 不难表示出: cm ?

2

2 m ?1

2 1 2 ? m ?1 ? ( ) m ? 2 ,这样它就是一个新的等比数列,由求和公 2 ? bm 2

式易得:Tm ? 4 ?1 ?

? ?

T ?t c 1 1 ? ,将它代入已知: m ,得 1 ? m ?1 ? 1 ? ct ,化简得 ? m ? Tm?1 ? t ct ? 1 Tm ? t 2 ?

2 1 ? t ? 2 ,即 (4 ? t )2m ? 4 ? 2t ?1 ,即 (4 ? t )2m ? 4 ? 2t ?1 ,利用 2t ?1 ? 4 ? 0 , m (4 ? t )2 ? 4 2
* m 可得 (4 ? t ) ? 2 ? 0 ,所以 t ? 4 , t ? N ,所以 t ? 1 或 2 或 3 .对这三个数我们采用代入

检验的方法即可取舍. 综上可知,存在符合条件的正整数 m ? t ? 3 . 试题解析: (1) S4 ? 4S2 ? 2a1 ? 5d ? 6a1 ? 3d ,即 d ? 2a1 ;

a2n ? 2an ? 1 ? an ? nd ?1;
所以 a1 ? 1, d ? 2 , an ? 2n ? 1;
m 2m m 2m (2) 2 ? 2n ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2n ? 2 ? 1

? 2m ?1 ?

1 1 ? n ? 22 m ?1 ? ? 2m?1 ? 1 ? n ? 22 m?1 ; 2 2

得 bm ? 22m?1 ? 2m?1 ;

cm ?

2

2 m ?1

2 1 2 ? m ?1 ? ( ) m ? 2 ; 2 ? bm 2

得 Tm ? 4 ?1 ?

? ?

1 ? ?, 2m ?



2 1 Tm ? t c 1 ? t ?2 , ,得 1 ? m ?1 ? 1 ? ct ,化简得 ? m (4 ? t )2 ? 4 2 Tm?1 ? t ct ? 1 Tm ? t
m t ?1

即 (4 ? t )2 ? 4 ? 2 因为 2
t ?1

,即 (4 ? t )2 ? 4 ? 2 .
m

t ?1

? 4 ? 0 ,所以 (4 ? t ) ? 2m ? 0 ,所以 t ? 4 ,

* 因为 t ? N ,所以 t ? 1 或 2 或 3 .

当 t ? 1 时,由(*)得 3 ? 2m ? 5 ,所以无正整数解; 当 t ? 2 时,由(*)得 2 ? 2m ? 6 ,所以无正整数解; 当 t ? 3 时,由(*)得 2m ? 8 ,所以 m ? 3 . 综上可知,存在符合条件的正整数 m ? t ? 3 . 考点:1.等差数列的基本量;2.等比数列的基本量;3.数列与不等式的综合
n 22. (1) an ? ( ) ; (2) Tn ?

1 2

3 1 1 [1 ? ( ) n ? n( ) n ?1 ] . 2 2 2

【解析】 ( 1 ) 根 据 条 件 中 的 a4 ? S4 , a5 ? S5 , a6 ? S6 成 等 差 数 列 , 可 以 得 到

2(a5 ? S5 ) ? a4 ? S4 ? a6 ? S6 ,即 2a6 ? 3a5 ? a4 ? 0 ,从而可以得到关于公比 q 的次方程
2q2 ? 3q ? 1 ? 0 ,从而 q ?

1 1 n , an ? ( ) ; ( 2 )由( 1 )及等差数列的前 n 项和公式可知 2 2

n(an ? an ?1 ) 3 1 n ? n( ) ,这是一个等差数列与等比数列的乘积,因此考虑利用错位相 2 4 2 3 1 1 2 1 3 1 n ?1 1 n 减法求其前 n 项和: Tn ? [1? ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? ( n ? 1)( ) ? n ? ( ) ] ,① 4 2 2 2 2 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1 n 1 n ?1 Tn ? [1? ( ) ? 2 ? ( ) ? 3 ? ( ) ? ? ? ( n ? 1)( ) ? n ? ( ) ] ,② 2 4 2 2 2 2 2 1 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ①-②得 Tn ? [ ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) ] , 2 4 2 2 2 2 2 1 1 ? ( )n 1 3 1 2 ? n( 1 ) n ?1 ] ? T ? 3 [1 ? ( 1 ) n ? n( 1 ) n ?1 ] . Tn ? [ n 2 2 2 2 4 2 1? 1 2 2 bn ?
试题解析: (1) ∵ a4 ? S4 ,a5 ? S5 ,a6 ? S6 成等差数列, ∴ 2(a5 ? S5 ) ? a4 ? S4 ? a6 ? S6 , (1 分) ∴ 2a6 ? 3a5 ? a4 ? 0 , (3 分) ∴ 2q2 ? 3q ? 1 ? 0 , (5 分)解得 q ? 1 (舍去)或 q ?
n 分) ,∴ an ? ( ) ; (7 分) (2)由(1)得, bn ?

1 , (6 2

n(an ? an ?1 ) 3 1 n ? n( ) , (9 分) 2 4 2 3 1 1 1 1 1 Tn ? [1? ? 2 ? ( ) 2 ? 3 ? ( )3 ? ? ? (n ? 1)( ) n ?1 ? n ? ( ) n ] , ① 4 2 2 2 2 2 1 3 1 1 1 1 1 Tn ? [1? ( ) 2 ? 2 ? ( )3 ? 3 ? ( ) 4 ? ? ? ( n ? 1)( ) n ? n ? ( ) n ?1 ] ,② (11 分) 2 4 2 2 2 2 2 1 3 1 1 2 1 3 1 n 1 n ?1 ①-②得 Tn ? [ ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) ? n( ) ] , 2 4 2 2 2 2 2
1 2

1 1 ? ( )n 1 3 1 2 ? n( 1 ) n ?1 ] (13 分) ? T ? 3 [1 ? ( 1 ) n ? n( 1 ) n ?1 ] . (14 分) Tn ? [ n 2 2 2 2 4 2 1? 1 2 2
考点:1.等比数列的通项公式;2.错位相减法求数列的和. 23. (1) a n ?

n ?1 ; (2) 存在, m 的最小值为 3 . 2n
2 2an ? 1
,求证:数列 ?bn ? 是等差数列,并求出 ?a n ?的通项公式 an ,

【解析】 (Ⅰ)设 bn ?

利用等差数列的定义 bn?1 ? bn 等于一个与 n 无关的常数,即可证明该数列是等差数列,然后 求出首项、 公差即可得出的通项公式; (Ⅱ) 首先求得 ?cncn?2 ? 的通项公式 cn cn ? 2 ?

4 , n ? n ? 2?

然后根据裂项求和得 Tn ? 2 ?1 ? 于 n ? N 恒成立,只需
*

? ?

1 1 1 1 ? 对 ? ? ? ,故 Tn ? 3 ,依题意要使 Tn ? c m c m ?1 2 n ?1 n ? 2 ?

m(m ? 1) ? 3, 4

可得出关于 m 不等式,解之即可. 试题解析: (I)证明

bn?1 ? bn ?

2

2an?1 ? 1 2an ? 1

?

2

?

2 ? 1 2? ?1 ? 4a n ? ? ? ? ?1 ?

?

2 2an ? 1

?

4an 2 ? ?2 4分 2an ? 1 2an ? 1

所以数列 ?bn ? 是等差数列, a1 ? 1, b1 ? 2 ,因此

bn ? 2 ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ,
由 bn ?

2 2a n ? 1

得 an ?

n ?1 . 2n

6分

(II) c n ?

2 4 ] ? 1 1 ? ?1 ? 1 , cn cn? 2 ? ? 2? ? ? ? ,所以 Tn ? 2?1 ? ? ??3, n n?n ? 2? ?n n? 2? ? 2 n ?1 n ? 2 ? m(m ? 1) 1 * ? 3, 对于 n ? N 恒成立,只需 4 c m c m ?1
13 分

依题意要使 Tn ?

解得 m ? 3 或 m ? ?4 ,所以 m 的最小值为 3 考点:等差数列,裂项求和.

24. (1) a0 ? 1, a2 ? 3 ; (2) an ? n?n ? 1? ? 1 ; (3)证明见解析. 【解析】 (1)根据题意恰当的进行赋值,求数列中某些项的值; (2)证明一个数列是否为等

差数列的基本方法有两种:一是定义法:证明 n ? 1, d为常数 ;二是等差中项法,证明

?

?

2an ? an?1 ? an?1 ,看是否从第一箱开始,若证明一个数列不是等差数列,则只需举出反例
即可; (3)观测数列的特点形式,看使用什么方法求和.使用裂项法求和时,要注意正负项 相消时消去了哪些项,保留了哪些项,切不可漏写未被消去的项,未被消去的项有前后对称 的特点,实质上造成正负相消是此法的根源和目的. (4)在做题时注意观察式子特点选择有 关公式和性质进行化简,这样给做题带来方便,掌握常见求和方法,如分组转化求和,裂项 法,错位相减. 试题解析:解: (1)令 m ? n 得 a0 ? 1 , 令 n ? 0 ,得 a2m ? 4am ? 2m ? 3 ,∴ a2 ? 3 (2)令 n ? 1 ,得: am ?1 ? am ?1 ? m ? 2 ? 1分 2分

1 (a ? a2 ) ? 2am ? m 2 2m

∴ am ?1 ? am ? am ? am ?1 ? 2 ,又 a2 ? a1 ? 2 , ∴数列 {am?1 ? am } 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列.∴ am?1 ? am ? 2m(m ? N )
*

∴ am ? a1 ?

m ?1 k ?1

? (a

k ?1

? ak ) ? m(m ? 1) ? 1(m ? N * )
*

∴ an ? n(n ? 1) ? 1(n ? N )

8分

(3)? cn ? an ? 3n ? 1 ? n2 ? 2n(n ? N * ) ∴
n

1 1 ? cn n( n ? 2)
12 分



?c
k ?1

1
k

?

1 1 1 1 1 1 3 1 1 3 (1 ? ? ? ? ? ? ? )? ? ? ? 2 3 2 4 n n? 2 4 2 (n ? 1 ) 2( n ? 2) 4

考点:1、证明某数列等差数列;2、裂项求和.


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