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第四章 第二节 平面向量基本定理及坐标表示


第 四 章 平面 向量 、 数系 的扩 充与 复数 的引 入

第 二节 平面 向量 基本 定理 及坐 标表 示

高考成功方案第一步
高考成功方案第二步

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考纲点击 1.了解平面向量的基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.
3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. 4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

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1.已知a=(4,2),b=(x,3),且a∥b,则x等于 ( A.9 C.5 B.6 D.3

)

解析:∵a∥b,∴4×3-2x=0,解得x=6.
答案:B

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2.若向量a=(1,1),b=(-1,0),c=(6,4),则c=
A.4a-2b C.-2a+4b B.4a+2b D.2a+4b

(

)

解析:设c=λa+μb,则有(6,4)=(λ,λ)+(-μ,0)=(λ-μ, λ),∴λ-μ=6,λ=4,从而μ=-2,故c=4a-2b.

答案: A

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3.下列各组向量中,能作为基底的组数为 ①a=(-1,2),b=(5,7); ②a=(2,-3),b=(4,-6);

(

)

③a=(2,-3),b=(12,-34).
A.0 C.2 B.1 D.3

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解析:对①,由于-1×7-2×5≠0,所以a与b不共线,

故a,b可作为基底;对②,由于b=2a,a与b共线,不
能作为基底;对③,由于-34×2+3×12≠0,所以a与 b不共线,故a,b可作为基底. 答案:C

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4.已知向量 a=(3,4),b=(2,-1),如果向量 a+xb 与 b 垂 直,则 x 的值为________.
解析:a+xb=(3+2x,4-x),∵(a+xb)⊥b ∴(a+xb)· b=0,即 2(3+2x)-(4-x)=0 2 解得 x=-5

2 答案:-5

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5. 如图所示的平行四边形 ABCD 中,点 M 是 1 AB 的中点,点 N 在 BD 上,且 BN=3,若
??? ? ??? ? ???? ? A B =a, A D =b,试用向量 a,b 表示 M N 为________. ??? ? ? ?? ? ??? ? 解析:∵ B D = B A + A D =-a+b,

? ? ?? 1 ??? ? 1 1 B N = B D =- a+ b,

3

3

3

???? ? ???? ? ? ?? 1 1 1 1 1 ∴ M N = M B + B N = a+(- a+ b)= a+ b.

1 1 答案:6a+3b.

2

3

3

6

3

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1.两个向量的夹角
定义 已知两个 非零 向量
??? ? a, 作 O A b,
? ?? ? =a, O B =b,则∠AOB=θ

范围 向量夹角 θ 的范围是



做向量 a 与 b 的夹角(如图)

[0,π] , θ= 0或π 时, 当 π 两向量共线, θ= 2 时, 当
两向量垂直,记作 a⊥b.

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2.平面向量基本定理及坐标表示

(1)平面向量基本定理:
如果e1,e2是同一平面内的两个 不共线 向量,那么对于 这一平面内的任意向量a, 有且只有 一对实数λ1,λ2, λ 使a= 1e1+λ2e2 . 其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量

的一组 基底 .

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(2)平面向量的坐标表示: ①在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两 个单位向量 i,j 作为基底,对于平面内的一个向量 a,有且 只有一对实数 x,y,使 a=xi+yj,把有序数对(x,y) 叫做 向量 a 的坐标,记作 a= (x,y) ,其中 x 叫做 a 在 x 轴上 的坐标, y 叫做 a 在 y 轴上的坐标.
??? ? ??? ? ②设 O A =xi+yj, 则向量 O A 的坐标(x, y)就是 A点 的坐标, ??? ? 即若 O A =(x,y),则 A 点坐标为 (x,y) ,反之亦成立.(O

是坐标原点)

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3.平面向量的坐标运算 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a± (x1±x2,y1±y2) ; b=
??? ? (2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则 A B =

(x2-x1,y2-y1)




(3)若a=(x,y),则λa= (λx,λy)

(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b? x1y2=x2y1 .

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[做一题] [例1] 如图,在平行四边形ABCD中,M,
? ? ?? ? N分别为DC,BC的中点,已知 A M ? ? ?? ??? ? ??? ? A N =d,试用c,d表示 A B , A D .

=c,

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[自主解答]

法一:在△ADM中, 2 ①

??? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 1 ??? A D = A M - D M =c- A B

在△ABN中,
??? ? ???? ? ? ?? 1 ???? A B = A N - B N =d- A D

2



??? ? 2 由①②得 A B = (2d-c),

3

??? ? 2 A D = (2c-d).

3

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法二:设

??? ? AB

=a, 2

??? ? AD

=b,因为M,N分别为CD,BC的中 2

? ? ?? 1 ? ? ?? ? 1 点,所以 B N = b, D M = a,于是有:

1 ? ?c=b+2a, ? ?d=a+1b, 2 ? 3

2 ? ?a=3?2d-c?, 解得? ?b=2?2c-d?. 3 ? 3

??? ? ??? ? 2 2 即 A B = (2d-c), A D = (2c-d).

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[悟一法] 1.以平面内任意两个非零不共线的向量为一组基底,该平

面内的任意一个向量都可表示成这组基底的线性组合,基
底不同,表示也不同. 2.利用已知向量表示未知向量,实质就是利用平行四边形 法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算.

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[通一类] 1.如图所示,在△OAB
??? ? ? ? 1 ??? ? ? ? 中,O C = O A ,O D

4

? ??? ? 1 ? ?? =2 O B ,AD 与 BC 交于点 M,设 O A =a, ? ?? ? O B =b,以

a、b

? ? ?? 为基底表示 O M .

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? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? 解:设 O M =ma+nb(m,n∈R),则 A M = O M - O A = ??? ? ??? ? ??? ? 1 1 (m-1)a+nb, A D = O D - O A = b-a=-a+ b.

2

2

m-1 n 因为 A、M、D 三点共线,所以 = ,即 m+2n=1. -1 1 2
? ? ?? ? ? ?? ??? ? 1 而 C M = O M - O C =(m- )a+nb,

4

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? ?? ? ? ?? ? ??? ? C B =O B -O C

1 1 =b-4a=-4a+b,

1 m-4 n 因为C、M、B三点共线,所以 1 = 1 ,即4m+n=1. -4 1 ? ?m+2n=1, ?m=7, ? 由? 解得? ?4m+n=1, ? ?n=3, 7 ?
? ? ?? 1 3 所以 O M = a+ b.

7

7

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[做一题] [例2] 已知A(1,-2),B(2,1),C(3,2),D(-2,3).
??? ? ??? ? ??? ? (1)求 A D +2 B D -3 B C ; ? ? ?? ? ???? ??? ??? ? ??? ? (2)设 C M =3 C A , C N =-2 B C ,求 M N ,及M、N点的坐标. ??? ? ??? ? [自主解答] (1)由已知得 A D =(-3,5), B D =(-4,2), ??? ? B C =(1,1) ??? ? ??? ? ??? ? ∴ A D +2 B D -3 B C =(-3,5)+2(-4,2)-3(1,1)=(-3-8-3,5

+4-3)=(-14,6).

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???? ??? (2)设M的坐标为(xM,yM),则由 C M =3 C A 得(xM-3,

yM-2)=3(-2,-4).
?xM-3=-6, ? ∴? ?yM-2=-12. ? ?xM=-3, ? ∴? ?yM=-10. ?

∴M的坐标为(-3,-10). 同理求得N的坐标为(1,0),
? ? ?? ? ∴ M N =(4,10).

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[悟一法] 1.向量的坐标运算实现了向量运算代数化,将数与形

结合起来,从而使几何问题可转化为数量运算.
2.两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相同,此时 注意方程(组)思想的应用.

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[通一类] 2.已知点
? ? ? ???? 1 ??? ? ?? 1 ? ?? A(-1,2),B(2,8)以及 A C = A B , D A =- B A ,

3

3

求点 C、D

? ?? ? 的坐标和 C D 的坐标.

解:设点C、D的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
???? ??? ? 得 A C =(x1+1,y1-2), A B =(3,6), ? ?? ? D A =(-1-x2,2-y2), ? ?? ? B A =(-3,-6).

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? ? ?? ? ? ???? 1 ??? 1 ? ?? 因为 A C = A B , D A =- B A ,

3

3

?x1+1=1 ? 所以有? ?y1-2=2 ? ?x1=0 ? 解得? ?y1=4 ?

?-1-x2=1, ? ,和? ?2-y2=2. ?

?x2=-2, ? 和? ?y2=0. ?

.

所以点C、D的坐标分别是(0,4)、(-2,0),
? ?? ? 从而 C D =(-2,-4).

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[做一题] [例3] 平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2), c=(4,1). (1)求满足a=mb+nc的实数m,n; (2)若(a+kc)∥(2b-a),求实数k; (3)若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求d.

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[自主解答]

(1)由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1),

5 ? m=9, ?-m+4n=3, ? ? 所以? 得? ?2m+n=2, ? ?n=8. 9 ? (2)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 16 ∴2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0.∴k=-13.

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(3)设d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),
?4?x-4?-2?y-1?=0, ? 由题意得? ??x-4?2+?y-1?2=5, ? ?x=3, ? 得? ?y=-1 ? ?x=5, ? 或? ?y=3. ?

∴d=(3,-1)或(5,3).

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本例(2)成立的前提下,a+kc与2b-a是同向还是反向.
16 解:由例题知,k=-13. 16 25 10 ∴a+kc=(3,2)-13(4,1)=(-13,13), 2b-a=(-2,4)-(3,2)=(-5,2), 5 ∴a+kc=13(2b-a), 5 又∵13>0,∴a+kc与2b-a同向.

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[悟一法] 1.运用向量的坐标表示,使向量的运算完全代数化,将 数与形有机的结合. 2.根据平行的条件建立方程求参数,是解决这类题目的 常用方法,充分体现了方程思想在向量中的应用.

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[通一类] 3.已知 a=(1,2),b=(-3,2),当 k 为何值时,ka+b 与 a -3b 平行;平行时它们是同向还是反向? 解:∵ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4), ∴ka+b与a-3b平行等价于 1 (k-3)(-4)-10(2k+2)=0,解得k=-3. 1 故当k=-3时,ka+b与a-3b平行. 1 1 此时ka+b=-3a+b=-3(a-3b), ∴ka+b与a-3b反向.

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[热点分析] 平面向量的坐标运算及向量共线的坐标表示既是重点又 是考查的热点.本节试题多以选择题或填空题形式出现,同 时又注重对函数与方程、转化化归等思想方法的考查.

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[考题印证] (2011· 北京高考)已知向量 a=( 3,1),b=(0,-1), c=(k, 3).若 a-2b 与 c 共线,则 k=________.
[考题纠错]————————(前人之鉴,后人之师) [错解一] a-2b=( 3,3),c=(k, 3).

由(a-2b)∥c? 3k-3 3=0,得 k=3. [错解二] a-2b=( 3,3),c=(k, 3),

由(a-2b)∥c? 3k+3 3=0.得 k=-3.

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[错因]

错解一是因为将共线向量坐标表示的公式记错.错解

二是将共线向量坐标表示公式与向量垂直坐标公式混淆. [正解] a-2b=( 3,1)-2(0,-1)=( 3,3),

∵a-2b与c共线,∴ 3× 3-3k=0,解得k=1.

[答案] 1

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1.已知点 A(-1,1),点 B(2,y),向量 a,则实数 y 的值为 A.5 C.7 B.6 D.8

??? ? a=(1,2),若 A B ∥

(

)

??? ? ??? ? 解析: A B =(2,y)-(-1,1)=(3,y-1),∵ A B ∥a,

∴y-1-6=0,y=7.

答案:C

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2.已知A(-3,0)、B(0,2).O为坐标原点,点C在第二象限
??? ? 内,且∠AOC=45° ,设 O C ??? ? =λ O A
? ?? ? +OB

(λ∈R),则λ的 ( )

值为 A.1 1 C.2 1 B.3 2 D.3

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解析:设C(x,y),则x=-y
??? ? ??? ? ? ?? ? 由 O C =λ O A + O B ,得(x,y)=λ(-3,0)+(0,2)
?x=-3λ ? ∴? ?y=2 ?

2 ,∴-3λ=-2,∴λ=3.

答案:D

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3.若α,β是一组基底,向量γ=x· α+y· β(x,y∈R),
则(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在 基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另 一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 A.(2,0) B.(0,-2) ( )

C.(-2,0)

D.(0,2)

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解析:由题意,a=-2p+2q=(-2,2)+(4,2)=(2,4). 设a在基底m,n下的坐标为(λ,μ),则 a=λ(-1,1)+μ(1,2)=(-λ+μ,λ+2μ)=(2,4).
?-λ+μ=2, ? 故? ?λ+2μ=4 ? ?λ=0, ? 解得? ?μ=2 ?

即坐标为(0,2).

答案:D

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4.已知直角坐标平面内的两个向量a=(1,3),b= (m,2m-3),使平面内的任意一个向量c都可以唯一的表

示成c=λa+μb,则m的取值范围是________.
解析:∵c可唯一表示成c=λa+μb, ∴a与b不共线,即2m-3≠3m, ∴m≠-3. 答案:{m|m∈R,m≠-3}

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5.在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,A、B、C 三点满足
???? ??? ? ? ? 2 ??? 1 ? ?? |AC | ? O C = O A + O B ,则 ? ? ? =________. 3 3 |AB | ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ?? ? 2 ??? 1 ? ?? 解析:由 O C = O A + O B ,得 3O C =2 O A + O B ,

3

3

??? ? ??? ? ? ?? ? ??? ? ∴2( O C - O A )= O B - O C ,即 ???? AC | ??? | 1 从而 ? = . |AB | 3

??? ? ???? ??? ? ???? 2 A C = C B ,∴3 A C = A B ,

1 答案:3

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