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黄冈中学2007年春季高一数学期中考试试题


黄冈中学 2007 年春季高一数学期中试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分钟.

第Ⅰ 卷(选择题,满分 50 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把正确的答案填在指定位置上.) 1. 若角 ?、? 满足 ?90? ? ? ? ? ? 90? ,则 A.第一象限角 B.第二象限角

? ??
2

是(

) D.第四象限角

1 ? ?? ? ? 1.A 解析:由 ?90? ? ? ? ? ? 90? 得, 0 ? ( ? ? ? ) ? 90 ,故 是第一象限角。 2 2 3 2. 若点 P(3 , y) 是角 ? 终边上的一点,且满足 y ? 0, cos ? ? ,则 tan ? ? ( ) 5 3 3 4 4 A. ? B. C. D. ? 4 4 3 3 4 3 3 2.D 解析:由题 cos ? ? ? 且 y ? 0 ,得 y ? ?4 ,故 tan ? ? ? . 2 3 5 9? y
3. 设 f ( x) ? cos30? g ( x) ?1 ,且 f (30 ) ?
?

C.第三象限角

1 ,则 g ( x) 可以是( 2

) D. 2sin x

1 sin x C. 2 cos x 2 3.C 解析:由题得 g (30? ) ? 3 ,故 g ( x) 可以是 2 cos x . 4. 满足 tan ? ?cot ? 的一个取值区间为( )
A. B. A. (0,

1 cos x 2

?
4

]

B. [0,

?
4

]

C. [ ,

? ?
4 2

)

D. [

4.C 解析:根据 tan ? ?cot ? ,易知 ? ? [ ,

? ?
4 2

? ? , ] 4 2

) 满足题意.

5. 已知 sin x ? ? ,则用反正弦表示出区间 [?? , ? A. arcsin

1 3

?
2

] 中的角 x 为(

) D. ? ? arcsin

1 3 1 ? 1 5.B 解析:由 sin x ? ? 且 ?? ? x ? ? ,得 x ? ?? ? arcsin 3 2 3
B. ?? ? arcsin C. ? arcsin 6. 设 0 ?| ? |?

1 3

1 3

1 3

?

4 A. sin 2? ? sin ? C. tan 2? ? tan ?

,则下列不等式中一定成立的是:(



B. cos 2? ? cos ? D. cot 2? ? cot ?

6.B 解析:当 0 ? ? ?

?

4 4 只有 cos 2? ? cos ? 成立. 7. ?ABC 中,若 cot A cot B ? 1 ,则 ?ABC 一定是(
A.钝角三角形 C.锐角三角形

时,四个均成立. 当 ?

?

? ? ? 0 时, ?


?
2

? 2? ? ? ? 0 ,此时

B. 直角三角形 D.以上均有可能
第 1 页 共 8 页

7.A 解析:因 cot A cot B ? 1 即有

cos A cos B ? 1 . 由 sin A,sin B ? 0 ,得 sin A sin B

cos A cos B ? sin A sin B ? 0 即 cos( A ? B) ? 0 ,故 A ? B ? (0, ), C ? ( , ? ) . 2 2
8. 发电厂发出的电是三相交流电,它的三根导线上的电流分别是关于时间 t 的函数:

?

?

I A ? I sin ?t
则? ? ( A.

I B ? I sin(?t ?
) B.

2? ) 3

I C ? I sin(?t ? ? ) 且 I A ? I B ? IC ? 0 , 0 ? ? ? 2? , 4? 3

? 3

2? 3

C.

D.

8.C 解析:根据 sin ?t ? sin(?t ? 9. 当 x ? (0, ? ) 时,函数 f ( x) ?

2? 4? ) ? sin(?t ? ? ) ? 0 ,由排除法,易知 ? ? . 3 3

? 2

1 ? cos 2 x ? 3sin 2 x 的最小值为( sin x
C. 2 3



A. 2 2

B.3

D.4

2 9.B 解析:由 cos 2 x ? 1 ? 2sin x ,整理得 f ( x) ? sin x ?

2 (0 ? x ? ? ) . sin x

令 t ? sin x,0 ? t ? 1 ,则函数 y ? t ?

2 在 t ? 1 时有最小值 3. t

10.在平面直角坐标系中,横、纵坐标均为整数的点叫做格点. 若函数 y ? f ( x) 的图象恰好 经过 k 个格点,则称函数 f ( x ) 为 k 阶格点函数. 下列函数中为一阶格点函数的是 ( A. y ? sin x B. y ? cos( x ? )

?
6

)

C. y ? lg x

D. y ? x

2

10.A 解析:选项 A:由 sin x ? ?1 ? x ?

?
2

? k? , sin x ? 0 ? x ? k? (k ? Z ) 知

函数 y ? sin x 的格点只有 (0, 0) ; 选项 B:由 cos( x ?

?
6

) ? ?1 ? x ? ?

?

? k? , cos( x ? ) ? 0 ? x ? k? ? 6 6 3

?

?

(k ? Z ) ,故函数 y ? cos( x ? ) 图象没有经过格点; 6
选项 C:形如 (10 , n) ( n ? N ) 的点都是函数 y ? lg x 的格点;
n

?

选项 D:形如 (?n , n ) (n ? Z ) 的点都是函数 y ? x 的格点.
2 2

第Ⅱ 卷(非选择题,共计 100 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把正确的答案填在指定位置上.) 11.已知 cos 2? ?

3 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为 5

第 2 页 共 8 页

11. ?

3 3 4 4 2 2 2 2 解析: sin ? ? cos ? ? (sin ? ? cos ? )(sin ? ? cos ? ) ? ? cos 2? ? ? 5 5

12.若 x ? 12.

?

4? ? 1 ? ? 2? ? ? 2 k? 解析: cos( ? ? ) ? ? ? ? ? ? ? 2k? ( k ? Z ) , ? 2k? 或 ? 由 3 3 2 3 3 3 4? (k ? Z ) ; 又 ? ? (0, 2? ) , 知 ? ? . 3

3

是方程 2cos( x ? ? ) ? 1 的解,其中 ? ? (0, 2? ) ,则 ? =

13.函数 f ( x) ? log 1 tan(2 x ?
3

?
3

) 的单调递减区间为

13. ( k? ?

1 2

? 1
?

, k? ? ) (k ? Z ) 解析:由题意知 tan(2 x ? ) ? 0 ,且应求函数 y ? 6 2 12 3

?

?

tan(2 x ? ) 的增区间,即 2 x ? ? (k? , k? ? ) (k ? Z ) 3 3 2
14.函数 y ?

?

?

3 sin x 的值域是 2 ? cos x
解析:由 y ?

14. [?1, ?1]

3 sin x 2 ,得 3sin x ? y cos x ? 2 y .即 3 ? y sin( x ? ? ) 2 ? cos x

? 2 y 其中 tan ? ?

y 2y . 所以由 sin( x ? ? ) ? ?[?1,1] ,可得 ?1 ? y ? 1 . 3 3 ? y2

15. 设集合 M ? 平面内的点(a, b) , N ? ? f ( x) | f ( x) ? a cos3x ? b sin3x? . 给出 M 到

?

?

N 的映射 f : (a, b) ? f ( x) ? a cos 3x ? b sin 3x . 关于点 (? 2, ? 2) 的象 f ( x) 有下列命
题: ① f ( x) ? 2sin(3x ?

3? ); 4

②其图象可由 y ? 2sin 3x 向左平移 ③点 (

3? , 0) 是其图象的一个对称中心 4 2? ④其最小正周期是 3 5? 3? , ] 上为减函数 ⑤在 x ? [ 12 4
其中正确的有 15.①④⑤

? 个单位得到; 4

解析:点 (? 2, ? 2) 的象 f ( x) ? ? 2 cos3 x ? 2 sin 3 x ? 2sin(3 x ?

3? ) 4

故①④⑤均为真命题. 三.解答题(本大题共 5 个小题,共计 75 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. )

第 3 页 共 8 页

16. (本题满分 12 分)已知 ? , ? ? ( (1)求 sin 2? 的值; (2)求 tan( ? ?

3? ? 3 , ? ) , tan(? ? ) ? ?2 , sin(? ? ? ) ? ? . 4 4 5

?

4

) 的值.

2 tan(? ? ) 4 ? 4 , ct2 ? ? ? 4 16.解析: 由 tan(? ? ) ? ?2 知,tan(2? ? ) ? (1) 即o 3 4 2 1 ? tan 2 (? ? ? ) 3 4 3 3? 3 ? tan 2? ? ? ,又 2? ? ( , 2? ) ,可得 sin 2? ? ? 4 2 5 3? 3 3 , 2? ) ,sin(? ? ? ) ? ? 知, tan(? ? ? ) ? ? (2)由 ? ? ? ? ( 2 5 4 3 ? ? (?2) ? ? ? 1 ? 4 ? tan( ? ? ) ? tan ?(? ? ? ) ? (? ? ) ? ? ? 4 4 ? 1 ? (? 3 ) ? (?2) 2 ? 4

?

?

?

17. (本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ? m . (1)求函数 f ( x ) 在 [0, ? ] 上的单调递增区间; (2)当 x ? [0,

?
6

] 时, | f ( x) |? 4 恒成立,求实数 m 的取值范围.

17.解析: (1)由题, f ( x) ? 2 3sin x cos x ? 2cos2 x ? m ? 3sin 2x ? cos 2x ?1 ? m

? 2sin(2 x ? ) ? m ? 1 6
所以函数 f ( x ) 在 [0 , ? ] 上的单调增区间为 [0 , (2)当 x ? [0,

?

?
6

] ,[

] 时, f ( x) 单增,? x ? 0 时, f ( x) 取最小值 m ? 2 ;? x ? 时, f ( x) 6 6 取最大值 m ? 3 .
由题意知, ?

?

2? , ?] 3

?

?| m ? 3 |? 4 ??7 ? m ? 1 ?? ?| m ? 2 |? 4 ??6 ? m ? 2

所以实数 m 的范围是 (?6 , 1) 18. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?

6 cos 4 x ? 5sin 2 x ? 4 cos 2 x

(1)求 f ( x ) 的定义域并判断它的奇偶性; (2)求 f ( x ) 的值域.

第 4 页 共 8 页

18.解析: (1)? cos 2 x ? 0,? 2 x ? 故 f ( x ) 的定义域为 ? x | x ?

?
2

? k? (k ? Z ), 即 x ?

?
4

?

k? (k ? Z ) 2

? ?

?
4

?

k? ? , k ?Z? 2 ?

? f ( x) 的定义域关于原点对称,且 f (? x) ?

6cos 4 (? x) ? 5sin 2 (? x) ? 4 cos(?2 x)

6 cos 4 x ? 5sin 2 x ? 4 ? ? f ( x) ,故 f ( x) 为偶函数. cos 2 x
(2)当 x ?

k? ? 6cos 4 x ? 5sin 2 x ? 4 (2cos 2 ? 1)(3cos 2 ? 1) ? 时, f ( x) ? ? ? 3cos 2 ? 1 2 4 cos 2 x cos 2 x
又 cos 2 x ? 0, 故 f ( x ) 的值域为 [ ? 1,

?

3 1 cos 2 x ? 2 2

1 1 )?( ,2 ]. 2 2

19. (本题满分 12 分)已知某海滨浴场的海浪高度 y ( m) 是时间 t (时) (0 ? t ? 24) 的函 数,记作 y ? f (t ) .下表是某日各时的浪高数据:

t (时)
y ( m)

0 1.5

3 1,0

6 0.5

9 1.0

12 1.5

15 1.0

18 0.5

21 0.99

24 1.5

经长期观察, y ? f (t ) 的曲线可近似的看成函数 y ? A cos ?t ? b (? ? 0) . (1)根据表中数据,求出函数 y ? A cos ?t ? b 的最小正周期 T 、振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1m 时才对冲浪者开放,请根据(1)中的结论,判断一天 中的上午 8:00 到晚上 20:00 之间,有多少时间可供冲浪者运动? 19.解析: (1)由表中数据, T ? 12 ,故 ? ?

?

6

1 ? ? A ? b ? 1.5 1 ? ?A ? ?? 同时有 ? 2 ,故函数 f (t ) ? cos t ? 1 2 6 ?? A ? b ? 0.5 ?b ? 1 ?
(2)由题意,当 y ? 1 时才能对冲浪者开放,即

??

?
2

? 2 k? ?

?
6

t?

?

1 ? ? cos t ? 1 ? 1 ? cos t ? 0 2 6 6

? 2k ? 2

,? k

Z ,可得 12k ? 3 ? t ? 12k ? 3 , k ? Z

又? 0 ? t ? 24 , ? k ? 0, 1, 2 得 0 ? t ? 3 或 9 ? t ? 15 或 21 ? t ? 24 故在一天中的上午 8:00 到晚上 20:00 之间,有 6 个小时的时间可供冲浪者运动,即 上午 9:00 至下午 15:00.
第 5 页 共 8 页

20. (本题满分 13 分)关于函数 f ( x ) 的性质叙述如下:① f ( x ? 2? ) ? f ( x) ;② f ( x ) 没 有最大值;③ f ( x ) 在区间 (0,

?
2

) 上单调递增;④ f ( x) 的图象关于原点对称.问:

(1)函数 f ( x) ? x ? sin x 符合上述那几条性质?请对照以上四条性质逐一说明理由. (2)是否存在同时符合上述四个性质的函数?若存在,请写出一个这样的函数;若不存在, 请说明理由. 20.解析: (1)函数 f ( x) ? x ? sin x 符合性质②③. ① f ( x ? 2? ) ? ( x ? 2? )sin( x ? 2? ) ? ( x ? 2? )sin x ? x sin x ? 2? sin x

f ( x ? 2? ) 不一定等于 f ( x) ;
②令 x ?

?
2

? 2 k? , k ? Z , 此时 sin x ? 1, f ( x) ?

?
2

? 则 ? 2k? , k ?? , f ( x) ? ?? 另

故 f ( x ) 没有最大值; ③函数 y ? x 和 y ? sin x 在 (0 , 故函数 f ( x) ? x ? sin x 在 (0,

?
2

) 在均为大于 0,且都是单调递增.

?
2

) 上单调递增;

④ f ( x ) 的定义域是 R , f (? x) ? (? x)sin(? x) ? x sin x ? f ( x) 所以 f ( x ) 的图象关于 y 轴对称. (2)存在同时符合上述四个性质的函数. 例如:函数 y ? tan x ;函数 y ? sin x( x ? k ? ?

?
2

, k ? Z ) 等.(答案不唯一)

21.(本题满分 14 分)甲题) ( 已知定义在 (??, 0) ? (0, ? ?) 上的奇函数 f ( x ) 满足 f (1) ? 0 , 且在 (0, ? ?) 上是增函数. 又函数 g (? ) ? sin ? ? m cos ? ? 2m (其中0 ? ? ? )
2

?

2

(1)证明: f ( x ) 在 (??, 0) 上也是增函数; (2)若 m ? 0 ,分别求出函数 g (? ) 的最大值和最小值; (3)若记集合 M ? m | 恒有g (? ) ? 0 , N ? m | 恒有f [ g (? )] ? 0 ,求 M ? N . 21 甲.解析: (1)证明:任取 x1 ? x2 ? 0 ,则 ? x1 ? ? x2 ? 0 且 f ( x ) 在 (0, ? ?) 上是增函数,? f (? x1 ) ? f (? x2 ) .又 f ( x ) 为奇函数, 故 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ? f (? x2 ) ? f (?x1 ) ? 0
第 6 页 共 8 页

?

?

?

?

即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x ) 在 (??, 0) 上也是增函数. (2)由 g (? ) ? sin 2 ? ? m cos? ? 2m ? ? cos2 ? ? m cos? ? 1 ? 2m , 令 t ? cos ? ,则 0 ? t ? 1 ,记 y ? g (? ) ? ?t 2 ? mt ? 1 ? 2m ,由 m ? 0 知, t ? 函数 y ? ?t 2 ? mt ? 1 ? 2m 在 t ?[0,1] 上是减函数, 故 t ? 0 时, g (? ) 有最大值 1 ? 2m ; t ? 1 时, g (? ) 有最小值 ?m . (3)由 f ( x ) 在 (??, 0) , (0, ? ?) 上是增函数, f (?1) ? f (1) ? 0

m ?0 2

? f [ g (? )] ? 0 ? g (? ) ? ?1 或 0 ? g (? ) ? 1 ,又 M ? ?m | 恒有g (? ) ? 0? ,
所以 M ? N ? m | 恒有g (? ) ? ?1 , 即 ? cos ? ? m cos ? ? 1 ? 2m ? ?1 对 ? ? [0,
2

?

?

?
2

] 恒成立.

2 ? cos 2 ? 2 ? (2 ? cos ? )m ? 2 ? cos ? , ? m ? ? cos ? ? 2 ? ?4 2 ? cos ? cos ? ? 2
2

? 2 ?? ? [0, ], ? cos ? ? 2 ? [?2, ? 1] ,? cos ? ? 2 ? ? ?2 2 2 cos ? ? 2 2 ? ? 4 ? 4? 2 2 当 cos? ? 2 ? ? 2, cos? ? 2 ? 2 时取得. ? c o s ? 2? cos ? 2 ?
即 m ? 4 ? 2 2 , 故 M ? N ? (4 ? 2 2, ? ?) .

2 (乙题)已知 ? , ? 是方程 4 x ? 4tx ? 1 ? 0 (t ? R) 的两个不等实根,函数 f ( x) ?

2x ? t 的 x2 ? 1

定义域为 [? , ? ] . (1)证明: f ( x ) 在其定义域上是增函数; (2)求函数 g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ; (3)对于(2),若已知 ui ? (0, 证明:

?
2

)(i ? 1, 2, 3) 且 sin u1 ? sin u2 ? sin u3 ? 1 ,

1 1 1 3 6 . ? ? ? g (tan u1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 4
2 2

21 乙.解析: (1)证明:设 ? ? x1 ? x2 ? ? , 则 4x1 ? 4tx1 ?1 ? 0 , 4x2 ? 4tx2 ?1 ? 0

?4( x12 ? x22 ) ? 4t ( x1 ? x2 ) ? 2 ? 0 ,
第 7 页 共 8 页

又 x12 ? x22 ? 2x1 x2 ,故有 2 x1 x2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 则在 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?

1 ?0 2

2 x2 ? t 2 x1 ? t ( x2 ? x1 )[t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2] 中, ? ? x2 2 ? 1 x12 ? 1 ( x2 2 ? 1)( x12 ? 1)
1 ?0 2

有 t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ? 2 ? t ( x1 ? x2 ) ? 2 x1 x2 ?

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 , f ( x) 在其定义域上是增函数.
(2)由韦达定理, ? ? ? ? t , ?? ? ?

1 ,同时由(1)知, 4

g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ? f ( ? ) ? f (? ) ?

( ? ? ? )[t (? ? ? ) ? 2?? ? 2] ? 2? 2 ? ? 2 ? ? 2 ?1

5 t 2 ? 1(t 2 ? ) 2 2 2 ? 8 t ? 1(2t ? 5) ? 25 16t 2 ? 25 t2 ? 16
8 2 ( 2 ? 3) 8 tan ui ? 1(2 tan ui ? 5) cos ui cos ui ? (3)证明: g (tan ui ) ? 16 16 tan 2 ui ? 25 ?9 cos 2 ui
2 2

16 ? 24cos ui cos ui 2 16 ? 24 16 6 ? ? ? (i ? 1, 2,3) 2 2 16 ? 9cos ui 16 ? 9cos ui 16 ? 9cos 2 ui


┄┄①

16 ? 3 ? 9(cos2 u1 ? cos2 u2 ? cos2 u3 ) 1 1 1 ? ? ? g (tan u1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 16 6
? 1 ?16 ? 3 ? 9 ? 3 ? 9(sin 2 u1 ? sin 2 u2 ? sin 2 u3 ) ? ? 16 6 ?

又 sin u1 ? sin u2 ? sin u3 ? 1 且 ui ? (0,
2 2

?
2

)(i ? 1, 2, 3)
2 2

所以由柯西不等式知, 3(sin u1 ? sin u2 ? sin u3 ) ? (sin u1 ? sin u2 ? sin u3 ) ? 1 ┄┄② 而在①②中,等号不能同时成立. 故有

1 1 1 1 1 3 6 得证. ? ? ? (75 ? 9 ? ) ? g (tan u1 ) g (tan u2 ) g (tan u3 ) 16 6 3 4

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