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上海市华东师大二附中2016届高三(上)期中数学试卷(解析版)


2015-2016 学年上海市华东师大二附中高三(上)期中数学试卷
一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知全集 U=R,集合 ,则?UM= .

2.设 z1=1﹣i,z2=a+2ai(a∈R),其中 i 是虚数单位,若复数 z1+z2 是纯虚数,则 a=



3.经过圆(x﹣1)2+y2=1 的圆心 M,且与直线 x﹣y=0 垂直的直线方程是



4.△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,

,则 A=



5.已知数列{an}是等差数列,且 a1+a7+a13=2π,则 tan(a2+a12)═



6.若命题“?x∈R,使得 x2+(a﹣1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是



7.对任意非零实数 a、b,定义一种运算:a?b,其结果 y=a?b 的值由如图确定,则 = .

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8.(理科)极坐标系中两点



,则线段 AB 的长等于



9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于



10.若关于 x,y 的二元一次方程组 是 .

至多有一组解,则实数 m 的取值范围

11.从集合 A={﹣1,1,2}中随机选取一个数记为 k,从集合 B={﹣2,1,2}中随机选取一个数记为 b,则直线 y=kx+b 不经过第三象限的概率为 .

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12.不等式 sin2x+acosx+a2≥1+cosx 对一切 x∈R 成立,则实数 a 的取值范围为



13.如图已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,∠BAD=60°,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动,另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动,则 MN 中点 P 的轨迹与直 平行六面体的面所围成的几何体的体积为 .

14.在平面直角坐标系中,定义

(n∈N*为点 Pn(xn,yn)到点 Pn+1(xn+1,yn+1)的

一个变换,我们把它称为点变换.已知 P1(0,1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1, yn+1)是经过点变换得到的一列点.设 an=|PnPn+1|,数列{an}的前 n 项和为 Sn,那么 = . 的值为

15.若 X 是一个集合,τ 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:①X 属于 τ,?属于 τ;②τ ③τ 中任意多个元素的交集属于 τ. 中任意多个元素的并集属于 τ; 则称 τ 是集合 X 上的一个拓扑. 已 知集合 X={a,b,c},对于下面给出的四个集合 τ: ①τ={?,{a},{c},{a,b,c}}; ②τ={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③τ={?,{a},{a,b},{a,c}}; ④τ={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 其中是集合 X 上的拓扑的集合 τ 的序号是 .

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二、选择题(本题满分 16 分)本大题共有 5 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正 确的选对得 4 分,否则一律得零分. 16.A,B 两点在半径为 2 的球面上,且以线段 AB 为直径的小圆周长为 2π,则 A,B 两点间的球 面距离为( A.π B.2π ) C. D.

17.已知函数 的什么条件.( A.“充要” )

,则“f(2)<f(3)”是“f(x)在区间(﹣2,+∞)上单调递增”

B.“充分不必要”

C.“必要不充分” D.“既不充分也不必要”

18.设直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则下列命题中是真命题的个数是( ①存在一个圆与所有直线相交; ②存在一个圆与所有直线不相交; ③存在一个圆与所有直线相切; ④M 中所有直线均经过一个定点; ⑤不存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上; ⑥对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上; ⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. A.3 B.4 C.5 D.6



19.(2015 秋?上海校级期中)在约束条件 值变化范围是( A.[6,8] ) C.[7,8] D.[7,15]

下,若 3≤S≤5,则目标函数 z=3x+2y 的最大

B.[6,15]

20.长度分别为 2、x、x、x、x、x 的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是( A.x B. C. D.x>1



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三、解答题 21.关于 x 的不等式 (1)求实数 a、b 的值; (2)若 z1=a+bi,z2=cosα+isinα,且 z1z2 为纯虚数,求 的值. <0 的解集为(﹣1,b).

22.如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k, AD=4k,BC=5k,DC=6k,(k>0) (1)求证:CD⊥平面 ADD1A1 (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ,求 k 的值 (3)现将与四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规 定: 若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同, 则视为同一种拼接方案, 问共有几种不同的拼接方案? 在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 f(k),写出 f(k)的解析式.(直接写出答 案,不必说明理由)

23.如图,△ ABC 的内切圆与三边 AB、BC、CA 的切点分别为 D、E、F,已知 B(﹣ C ,内切圆圆心 I(1,t).设 A 点的轨迹为 L



(1)求 L 的方程; N, (2) 过点 C 作直线 m 交曲线 L 于不同的两点 M、 问在 x 轴上是否存在一个异于点 C 的定点 Q. 使 对任意的直线 m 都成立?若存在,求出 Q 的坐标,若不存在,说明理由.

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24.设 Sn 是各项均为非零实数的数列{an}的前 n 项和,给出如下两个命题上:命题 p:{an}是等差数 列;命题 q:等式 (1)若 p 是 q 的充分条件,求 k,b 的值; (2)对于(1)中的 k 与 b,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由; (3)若 p 为真命题,对于给定的正整数 n(n>1)和正数 M,数列{an}满足条件 求 Sn 的最大值. ,试 对任意 n(n∈N*)恒成立,其中 k,b 是常数.

25.已知 f(x)= (1)求 f(f(x));



(2)对参数 a 的哪些值,方程|x|+| x+ (3) 设 b 为任意实数, 证明: ﹣

|=a 正好有 3 个实数解; =b 共有 3 个不同的实数解 x1, x2, x3, 并且 x1+x2+x3=b.

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2015-2016 学年上海市华东师大二附中高三(上)期中数学试 卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果, 每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1.已知全集 U=R,集合 ,则?UM= {x|x<1} .

【考点】函数的定义域及其求法;补集及其运算. 【专题】计算题. 【分析】由题意全集 U=R,再根据函数的定义域写出集合 M,然后根据交集的定义和运算法则进行 计算即可. 【解答】解:因为集合 M={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}, 全集 U=R, ∴CUM={x|x<1}. 故答案为:{x|x<1}. 【点评】本题考查集合的补集运算和求函数的定义域,属容易题.

2.设 z1=1﹣i,z2=a+2ai(a∈R),其中 i 是虚数单位,若复数 z1+z2 是纯虚数,则 a= ﹣1 . 【考点】复数的基本概念. 【专题】计算题. 【分析】首先把两个复数相加,实部和虚部分别相加,得到复数的标准形式,根据所给的复数是一 个纯虚数,得到实部等于 0,虚部不等于 0,解出结果. 【解答】解:∵z1=1﹣i,z2=a+2ai, ∴z1+z2=a+1+(2a﹣1)i, ∵复数 z1+z2 是纯虚数, ∴a+1=0,2a﹣1≠0, ∴a=﹣1, 故答案为:﹣1.
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【点评】本题考查复数的基本概念和加减运算,是一个基础题,解题的关键是看清题目中的要求, 注意一定要上虚部不等于 0.

3.经过圆(x﹣1)2+y2=1 的圆心 M,且与直线 x﹣y=0 垂直的直线方程是 x+y﹣1=0 【考点】圆的切线方程. 【专题】计算题;方程思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程.



【分析】易得圆心坐标,由垂直关系可得直线的斜率,可得点斜式方程,化为一般式即可. 【解答】解:圆(x﹣1)2+y2=1 的圆心 M 为(1,0), 又直线 x﹣y=0 的斜率为 1, 由垂直关系可得要求直线的斜率为﹣1, ∴直线方程为 y﹣0=﹣(x﹣1),即 x+y﹣1=0. 故答案为:x+y﹣1=0. 【点评】本题考查直线的一般式方程和垂直关系,涉及圆的标准方程,属基础题.

4.△ ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边, 【考点】正弦定理. 【专题】计算题.

,则 A=

45° .

【分析】由 a,b 及 sinB 的值,利用正弦定理求出 sinA 的值,再由 a 小于 b,利用三角形中大边对 大角得到 A 小于 B,确定出 A 的范围,进而由 sinA 的值,利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的 度数. 【解答】解:∵a= ∴由正弦定理 又 < = ,b= ,B=60°, = ,

得:sinA=

,即 a<b,∴A<B,

则 A=45°. 故答案为:45° 【点评】此题考查了正弦定理,三角形的边角关系,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理 是解本题的关键.

5.已知数列{an}是等差数列,且 a1+a7+a13=2π,则 tan(a2+a12)═
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【考点】等差数列的性质. 【专题】等差数列与等比数列. 【分析】由等差数列的性质易得 a7= ,进而可得 tan(a2+a12)=tan(2a7),代值计算可得. ,

【解答】解:由等差数列的性质可得 a1+a7+a13=3a7=2π,∴a7= ∴tan(a2+a12)=tan(2a7)=tan 故答案为: =

【点评】本题考查等差数列的性质,涉及正切的运算,属基础题.

6.若命题“?x∈R,使得 x2+(a﹣1)x+1<0”是真命题,则实数 a 的取值范围是 (3,+∞) . 【考点】二次函数的性质. 【专题】计算题.

(﹣∞,﹣1)∪

【分析】因为不等式对应的是二次函数,其开口向上,若“?x∈R,使得 x2+(a﹣1)x+1<0”,则相 应二次方程有不等的实根. 【解答】解:∵“?x∈R,使得 x2+(a﹣1)x+1<0 ∴x2+(a﹣1)x+1=0 有两个不等实根 ∴△=(a﹣1)2﹣4>0 ∴a<﹣1 或 a>3 故答案为:(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞) 【点评】本题主要考查一元二次不等式,二次函数,二次方程间的相互转化及相互应用,这是在函 数中考查频率较高的题目,灵活多变,难度可大可小,是研究函数的重要方面.

7.对任意非零实数 a、b,定义一种运算:a?b,其结果 y=a?b 的值由如图确定,则 = 1 .

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【考点】程序框图. 【专题】计算题;图表型;分类讨论;算法和程序框图. 【分析】通过程序框图判断出新运算 S=a?b 的解析式,化简 算法则求出值. ,再利用新运

【解答】解:由程序框图知 S=a?b=



∴ 故答案为:1.

=3?4=

=1

【点评】本题考查判断程序框图的功能即判断出新运算法则.利用运算法则求值,属于基础题.

8.(理科)极坐标系中两点 【考点】由三视图求面积、体积.



,则线段 AB 的长等于



【专题】数形结合;定义法;坐标系和参数方程. 【分析】根据极坐标系中两点间的距离公式,求出线段 AB 的长即可. 【解答】解:极坐标系中 ∴线段 AB 的长为 , ,

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|AB|= 故答案为: .

=



【点评】本题考查了极坐标系中两点间的距离公式的应用问题,是基础题目.

9.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于



【考点】由三视图求面积、体积. 【专题】计算题. 【分析】由三视图知,原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体,再根据三视图得到球的半径 和正方体的棱长,即可求体积 【解答】解:由三视图知原几何体是一个球和一个正方体构成的组合体,球的直径为 2,半径为 1, 正方体的棱长为 2 ∴原几何体的体积为: 故答案为: 【点评】本题考查三视图,要求能把三视图还原成原几何体,能根据三视图找到原几何体的长度关 系,要求有较好的空间想象力.属简单题

10. y 的二元一次方程组 若关于 x, ∞,1)∪(1,+∞) .

至多有一组解, 则实数 m 的取值范围是 (﹣

【考点】系数矩阵的逆矩阵解方程组;二元一次方程组的矩阵形式. 【专题】计算题.
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【分析】先根据矩阵的乘法进行化简得到二元一次方程组,然后消去 y 得(m2﹣1)x=m(m﹣1), 当 m﹣1≠0 时(m2﹣1)x=m(m﹣1)至多有一组解,从而求出 m 的范围. 【解答】解:关于 x,y 的二元一次方程组 即二元一次方程组 ①×m﹣②得(m2﹣1)x=m(m﹣1) 当 m﹣1≠0 时(m2﹣1)x=m(m﹣1)至多有一组解 ∴m≠1 故答案为:(﹣∞,1)∪(1,+∞) 【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解的个数,以及矩阵的乘法运算,属于中档题.

11.从集合 A={﹣1,1,2}中随机选取一个数记为 k,从集合 B={﹣2,1,2}中随机选取一个数记为 b,则直线 y=kx+b 不经过第三象限的概率为 【考点】古典概型及其概率计算公式. 【专题】计算题;概率与统计. 【分析】本题是一个古典概型,试验发生包含的事件(k,b)的取值所有可能的结果可以列举出, 满足条件的事件直线不经过第三象限,符合条件的(k,b)有 2 种结果,根据古典概型概率公式得 到结果. 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件 k∈A={﹣1,1,2},b∈B={﹣2, 1,2}, 得到(k,b)的取值所有可能的结果有:(﹣1,﹣2);(﹣1,1);(﹣1,2);(1,﹣2); (1,1);(1,2); (2,﹣2);(2,1);(2,2)共 9 种结果. 而当 时,直线不经过第三象限,符合条件的(k,b)有 2 种结果, .

∴直线不过第四象限的概率 P= , 故答案为 .

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【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型,古典概型要求能够列举出所有事件和发生事 件的个数,而不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、体积的比值得到, 属于基础题.

12.不等式 sin2x+acosx+a2≥1+cosx 对一切 x∈R 成立,则实数 a 的取值范围为 a≥1 或 a≤﹣2 . 【考点】三角函数的最值;三角函数中的恒等变换应用. 【专题】函数的性质及应用;三角函数的图像与性质. 【分析】不等式进行等价转化为关于 cosx 的一元二次不等式,利用二次函数的性质和图象列不等式 组求得答案. 【解答】解;不等式等价于 1﹣cos2x+acosx+a2﹣1﹣cosx≥0,恒成立, 整理得﹣cos2x+(a﹣1)cosx+a2≥0, 设 cosx=t,则﹣1≤t≤1, g(t)=﹣t2+(a﹣1)t+a2,要使不等式恒成立需 ,求得 a≥1 或 a≤﹣2, 故答案为:a≥1 或 a≤﹣2. 【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法,二次函数的性质.注重了对数形结合思想的运用 和问题的分析.

13.如图已知每条棱长都为 3 的直平行六面体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,∠BAD=60°,长为 2 的线段 MN 的一个端点 M 在 DD1 上运动,另一个端点 N 在底面 ABCD 上运动,则 MN 中点 P 的轨迹与直 平行六面体的面所围成的几何体的体积为 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积;棱柱的结构特征. 【专题】计算题.

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【分析】先推导点 P 的轨迹,从而确定点 P 与平行六面体所围成的几何体的形状,然后求几何体的 体积 【解答】解:取 AB 的中点 E 连接 DE,由题意知 DE⊥AB,DE⊥CD 以 DE 所在直线为 x 轴,以 DC 所在直线为 y 轴,以 DD1 所在直线为 z 轴建立如图空间直角坐标系 设 M(0,0,z),N(x,y,0),则 P( MN= ∴x2+y2+z2=4 ∴ ∴OP2=1 即 OP=1 ∴点 P 的轨迹是以原点 D 为球心,以 1 为半径的球的一部分 又∵∠BAD=60° ∴∠ADC=120° ∴点 P 的轨迹是球的 ∴几何体的体积为 故答案为: )

【点评】本题考查几何体的体积,须先用代数法确定点的轨迹,然后熟练应用体积公式即可.属中 档题
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14.在平面直角坐标系中,定义

(n∈N*为点 Pn(xn,yn)到点 Pn+1(xn+1,yn+1)

的一个变换,我们把它称为点变换.已知 P1(0,1),P2(x2,y2),…,Pn(xn,yn),Pn+1(xn+1, yn+1)是经过点变换得到的一列点.设 an=|PnPn+1|,数列{an}的前 n 项和为 Sn,那么 = 2+ . 的值为

【考点】数列的极限. 【专题】新定义;转化思想;分析法;等差数列与等比数列. 【分析】由题设知 a1=|(0,1)?(1,1)|=1,a2=|(1,1)?(0,2)|= |=2,a4=|(2,2)?(0,4)|=2 ,…,an=( ,a3=|(0,2)?(2,2) .由此

)n﹣1,Sn=a1+a2+a3+…+an=

可求出

的值.

【解答】解:由题设知 P1(0,1),P2(1,1),a1=|P1P2|=1, 且当 n≥2 时,an2=|PnPn+1|2=(xn+1﹣xn)2﹣(yn+1﹣yn)2 =[(yn﹣xn)﹣xn]2+[(yn+xn)﹣yn]2=5xn2﹣4xnyn+yn2 an﹣12=|Pn﹣1Pn|2=(xn﹣xn﹣1)2﹣(yn﹣yn﹣1)2① 由定义 (n∈N),得 ,





代入①计算化简得 an﹣12=|Pn﹣1Pn|2=( ∴ = (n≥2),

)2+(

)2= (5xn2﹣4xnyn+yn2)= an2.

∴数列{an}是以 ∴an=( )n﹣1,

为公比的等比数列,且首项 a1=1,

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∴Sn=a1+a2+a3+…+an=





=

?

=





=

=

=2+



故答案为:



【点评】本题考查集合的性质和运算,解题时要注意等比数列前 n 项和公式的合理运用,属于中档 题.

15.若 X 是一个集合,τ 是一个以 X 的某些子集为元素的集合,且满足:①X 属于 τ,?属于 τ;②τ ③τ 中任意多个元素的交集属于 τ. 中任意多个元素的并集属于 τ; 则称 τ 是集合 X 上的一个拓扑. 已 知集合 X={a,b,c},对于下面给出的四个集合 τ: ①τ={?,{a},{c},{a,b,c}}; ②τ={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}}; ③τ={?,{a},{a,b},{a,c}}; ④τ={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 其中是集合 X 上的拓扑的集合 τ 的序号是 ②④ . 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【专题】压轴题;新定义. c}?τ, b}∪{a, ①{a}∪{c}={a, ③{a, 【分析】 根据集合 X 上的拓扑的集合 τ 的定义, 逐个验证即可: c}={a,b,c}?τ,因此①③都不是; ②④满足:①X 属于 τ,?属于 τ;②τ 中任意多个元素的并集属于 τ;③τ 中任意多个元素的交集 属于 τ,因此②④是,从而得到答案. 【解答】解:①τ={?,{a},{c},{a,b,c}}; 而{a}∪{c}={a,c}?τ,故①不是集合 X 上的拓扑的集合 τ; ②τ={?,{b},{c},{b,c},{a,b,c}},满足:①X 属于 τ,?属于 τ;②τ 中任意多个元素的并 集属于 τ;③τ 中任意多个元素的交集属于 τ
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因此②是集合 X 上的拓扑的集合 τ; ③τ={?,{a},{a,b},{a,c}}; 而{a,b}∪{a,c}={a,b,c}?τ,故③不是集合 X 上的拓扑的集合 τ; ④τ={?,{a,c},{b,c},{c},{a,b,c}}. 满足:①X 属于 τ,?属于 τ;②τ 中任意多个元素的并集属于 τ;③τ 中任意多个元素的交集属于 τ 因此④是集合 X 上的拓扑的集合 τ; 故答案为②④. 【点评】 此题是基础题. 这是考查学生理解能力和对知识掌握的灵活程度的问题, 重在理解题意. 本 题是开放型的问题,要认真分析条件,探求结论,对分析问题解决问题的能力要求较高.

二、选择题(本题满分 16 分)本大题共有 5 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正 确的选对得 4 分,否则一律得零分. 16.A,B 两点在半径为 2 的球面上,且以线段 AB 为直径的小圆周长为 2π,则 A,B 两点间的球 面距离为( A.π B.2π ) C. D.

【考点】多面体和旋转体表面上的最短距离问题. 【专题】数形结合;数形结合法;立体几何. 【分析】求出球的半径,利用等边三角形求出∠AOB 的大小,再求球面距离弧 AB. 【解答】解:根据题意画出示意图,如图所示:

∵球的半径为 R=2,且以线段 AB 为直径的小圆周长为 2π, ∴小圆直径为 AB=2; ∴在三角形 AOB 中,AO=AB=BO=2, ∴∠AOB= , R= .

∴A,B 两点间的球面距离为:l= 故选:D.

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【点评】本题考查了球面距离的应用问题,也考查了圆的周长与弧长的计算问题,是基础题目.

17.已知函数 递增”的什么条件.( A.“充要” )

,则“f(2)<f(3)”是“f(x)在区间(﹣2,+∞)上单调

B.“充分不必要”

C.“必要不充分” D.“既不充分也不必要” 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】函数思想;综合法;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】先求出函数 f(x)的导数,求出“f(x)在区间(﹣2,+∞)上单调递增”的充要条件,从而 得到答案. 【解答】解:f′(x)= 如 f(x)在区间(﹣2,+∞)上单调递增, 则 2a﹣1>0,解得:a> , 由 f(2)<f(3),得: < ,解得:a> , = ,

故 f(2)<f(3)”是“f(x)在区间(﹣2,+∞)上单调递增”的充要条件, 故选:A. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查函数的单调性问题,是一道基础题.

18.设直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π),则下列命题中是真命题的个数是( ①存在一个圆与所有直线相交; ②存在一个圆与所有直线不相交; ③存在一个圆与所有直线相切; ④M 中所有直线均经过一个定点; ⑤不存在定点 P 不在 M 中的任一条直线上; ⑥对于任意整数 n(n≥3),存在正 n 边形,其所有边均在 M 中的直线上; ⑦M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等. A.3 B.4 C.5 D.6



【考点】直线的斜截式方程.
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【分析】根据已知可知直线系 M 都为以(0,2)为圆心,以 1 为半径的圆的切线,取半径为 2 即可 得到所以①对;存在圆心为(0,2),半径为 的圆与直线都不相交,所以②对;③显然对;④ 错;⑤错,存在可取一点(0,2)即可验证;⑥可去三角形的外接正三角形所有边均在 M 中的直 线上且面积相等,所以⑥都正确.⑦可以举反例. 【解答】解:根据直线系 M:xcosθ+(y﹣2)sinθ=1(0≤θ≤2π)得到所有直线都为圆心为(0,2), 半径为 1 的圆的切线; 可取圆心为(0,2),半径分别为 2, ,1 得到①②③正确;所有的直线与一个圆相切,没有过 定点,④错;存在(0,2)不在 M 中的任一条直线上,所以⑤错;存在等边三角形的三边都在 M 中的直线上,⑥对,可取圆的外接正三角形其所有边均在 M 中的直线上且面积相等;⑦可以做在 圆的三等分点做圆的切线, 把其中一条平移到另外两个点中点时, 可知⑦错误; 故①②③⑥正确, ④⑤⑦错,所以真命题的个数为 4 个 故选:B 【点评】考查学生利用直线的斜截式方程得到直线系 M 为平面内除过一个圆的区域.

19.(2015 秋?上海校级期中)在约束条件

下,若 3≤S≤5,则目标函数 z=3x+2y 的最

大值变化范围是( A.[6,8]

) C.[7,8] D.[7,15]

B.[6,15]

【考点】简单线性规划. 【专题】不等式的解法及应用. 【分析】 先根据约束条件画出可行域, 设 z=3x+2y, 再利用 z 的几何意义求最值, 只需求出直线 z=3x+2y 过可行域内的点时,从而得到 z=3x+2y 的最大值即可. 【解答】解:先根据约束条件画出可行域, 设 z=3x+2y, 将 z 的值转化为直线 z=3x+2y 在 y 轴上的截距, 当 S=3 时,对应的平面区域为四边形 OCAD, 当直线 z=3x+2y 经过点 A(1,2)时,z 最大,最大值为 7. 当 S=5 时,对应的平面区域为三角形 OBD,
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当直线 z=3x+2y 经过点 B(0,4)时,z 最大,最大值为 8, 故当 3≤S≤5 时,目标函数 z=3x+2y 的最大值的变化范围是[7,8]. 故选:C

【点评】本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组,以及简单的转化思想和数形结合的思想, 利用数形结合是解决本题的关键.

20.长度分别为 2、x、x、x、x、x 的六条线段能成为同一个四面体的六条棱的充要条件是( A.x B. C. D.x>1



【考点】棱锥的结构特征. 【专题】压轴题;探究型. 【分析】用极限的角度考虑,可求 x 接近最小的数值,得不到最大值,求出结果. 【解答】解:用极限的角度考虑,四面体趋近于在一个平面内的菱形时 x 最小, 不能低于 ,最大可以无穷大(就是两个等边三角形的二面角可以无限趋于 0),

【点评】本题考查棱锥的结构特征,考查空间想象能力,极限思想的应用,是中档题.

三、解答题 21.关于 x 的不等式 (1)求实数 a、b 的值; (2)若 z1=a+bi,z2=cosα+isinα,且 z1z2 为纯虚数,求
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<0 的解集为(﹣1,b).

的值.

【考点】二阶矩阵;两角和与差的余弦函数. 【专题】计算题. 【分析】(1)将原不等式转化为(x+a)x﹣2<0,即 x2+ax﹣2<0,根据解集为(﹣1,b)得到﹣1, b 是方程 x2+ax﹣2=0 的两个根,结合根与系数的关系即可列出关于 a,b 的方程组,并利用解二元一 次方程组的方法即可求解 (2) 根据 z1z2 为纯虚数, 得知实部为 0, 虚部不为 0, 即可得到关于 α 的条件式 并解得:tanα=﹣ ,再利用两角差的余弦,倍角公式和同角的三角关系将 化为关

于 tanα 的代数式

即可求解

【解答】解:(1)原不等式等价于(x+a)x﹣2<0, 即 x2+ax﹣2<0 由题意得, 解得 a=﹣1,b=2. (2)z1=﹣1+2i,z1z2=(﹣cosα﹣2sinα)+i(2cosα﹣sinα) 若 z1z2 为纯虚数,则 解得 ,

=

=



【点评】本题考查了二阶矩阵,两角和与差的余弦函数及解三角方程的能力,属于基础题.

22.如图,在四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABCD,AB∥DC,AA1=1,AB=3k, AD=4k,BC=5k,DC=6k,(k>0) (1)求证:CD⊥平面 ADD1A1 (2)若直线 AA1 与平面 AB1C 所成角的正弦值为 ,求 k 的值 (3)现将与四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱,规 定: 若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同, 则视为同一种拼接方案, 问共有几种不同的拼接方案?

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在这些拼接成的新四棱柱中,记其中最小的表面积为 f(k),写出 f(k)的解析式.(直接写出答 案,不必说明理由)

【考点】用空间向量求直线与平面的夹角;棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积;直线与平面垂直 的判定;直线与平面所成的角. 【专题】压轴题;空间位置关系与距离;空间角. 【分析】(1)取 DC 得中点 E,连接 BE,可证明四边形 ABED 是平行四边形,再利用勾股定理的 逆定理可得 BE⊥CD,即 CD⊥AD,又侧棱 AA1⊥底面 ABCD,可得 AA1⊥DC,利用线面垂直的判 定定理即可证明.(2)通过建立空间直角坐标系,求出平面的法向量与斜线的方向向量的夹角即可 得出;(3)由题意可与左右平面 ADD1A1,BCC1B1,上或下面 ABCD,A1B1C1D1 拼接得到方案 新四棱柱共有此 4 种不同方案.写出每一方案下的表面积,通过比较即可得出 f(k). 【解答】(1)证明:取 DC 的中点 E,连接 BE,∵AB∥ED,AB=ED=3k, ∴四边形 ABED 是平行四边形, ∴BE∥AD,且 BE=AD=4k,∴BE2+EC2=(4k)2+(3k)2=(5k)2=BC2,∴∠BEC=90°,∴BE⊥CD, 又∵BE∥AD,∴CD⊥AD. ∵侧棱 AA1⊥底面 ABCD,∴AA1⊥CD, ∵AA1∩AD=A,∴CD⊥平面 ADD1A1. (2)解:以 D 为坐标原点, 、 、 的方向为 x,y,z 轴的正方向建立空间直角坐标系,

则 A(4k,0,0),C(0,6k,0),B1(4k,3k,1),A1(4k,0,1). ∴ , , .

设平面 AB1C 的一个法向量为 =(x,y,z),则 x=3.∴ .

,取 y=2,则 z=﹣6k,

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设 AA1 与平面 AB1C 所成角为 θ,则 解得 k=1,故所求 k=1.

=

=

= ,

(3)由题意可与左右平面 ADD1A1,BCC1B1,上或下面 ABCD,A1B1C1D1 拼接得到方案新四棱柱 共有此 4 种不同方案.

写出每一方案下的表面积,通过比较即可得出 f(k)=

【点评】本题主要考查了线线、线面的位置关系、通过建立空间直角坐标系利用法向量求线面角、 柱体的定义积表面积、勾股定理的逆定理等基础知识,考查了空间想象能力、推理能力和计算能力 及化归与转化能力.

23.如图,△ ABC 的内切圆与三边 AB、BC、CA 的切点分别为 D、E、F,已知 B(﹣ C ,内切圆圆心 I(1,t).设 A 点的轨迹为 L



(1)求 L 的方程; N, (2) 过点 C 作直线 m 交曲线 L 于不同的两点 M、 问在 x 轴上是否存在一个异于点 C 的定点 Q. 使 对任意的直线 m 都成立?若存在,求出 Q 的坐标,若不存在,说明理由.

【考点】轨迹方程;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】计算题. 【分析】(1)由切线长定理得,从一点出发的切线长相等,得到 A 点到两个点 B,C 的距离之差是 常数,根据双曲线的定义得 A 点的轨迹是双曲线,从而即可求出 L 的方程; (2)对于存在性问题,可先假设存在,设点 Q(x0,0),再设 M(x1,y1),N(x2,y2),由条 件得∠MQC=∠NQC,下面分类讨论:①当 MN⊥x,②当 MN 不垂直 x 时,第一种情况比较简单,

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对于第二种情况,将直线的方程代入双曲线方程,消去 y 得到关于 x 的二次方程,结合根与系数的 关系,利用斜率相等求得 ,从而说明存在点 Q.

【解答】解:(1)由题意|AD|=|AF|.|BD|=|BE|,|CE|=|CF|. ∴|AB|﹣|AC|=|BD|﹣|CF|=|BE|﹣|CE|=|BO|+|OE|﹣(|OC|﹣|OE|)=2|OE| I(1,t),E(1,0),|OE|=1,|AB|﹣|AC|=2 x2﹣y2=1(x>1) (2)设点 Q(x0,0),设 M(x1,y1),N(x2,y2) ∵ ?∠MQC=∠NQC ? ?

于是:①当 MN⊥x,点 Q(x0,0)在 x 上任何一点处,都能够使得: ∠MQC=∠NQC 成立, ②当 MN 不垂直 x 时,设直线 由 得: .

则:







要使∠MQC=∠NQC 成立,

只要 tan∠MQC=tan∠NQC:

?x2y1﹣x0y1+x1y2﹣x0y2=0



=



?

∴当

时,能够使:
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对任意的直线 m 成立. 【点评】本题主要考查了轨迹方程、直线与圆锥曲线的交点等知识,属于中档题.

24.设 Sn 是各项均为非零实数的数列{an}的前 n 项和,给出如下两个命题上:命题 p:{an}是等差数 列;命题 q:等式 (1)若 p 是 q 的充分条件,求 k,b 的值; (2)对于(1)中的 k 与 b,问 p 是否为 q 的必要条件,请说明理由; (3)若 p 为真命题,对于给定的正整数 n(n>1)和正数 M,数列{an}满足条件 求 Sn 的最大值. 【考点】等差数列与等比数列的综合;数列的求和. 【专题】综合题;等差数列与等比数列. 【分析】(1)设{an}的公差为 d,利用裂项法原等式可化为 ( = ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ ) ,试 对任意 n(n∈N*)恒成立,其中 k,b 是常数.

,整理可得(k﹣1)n+b=0 对于 n∈N*恒成立,从而可求得 k,b 的值;

(2)当 k=1,b=0 时,假设 p 是 q 的必要条件,分当 n=1 时,当 n≥2 时,当 n≥3 时讨论即可判断结 论是否正确; (3)由 + ≤M,可设 a1=rcosθ,an+1=rsinθ,代入求和公式 Sn= ,利用三角函数

的有界性即可求得其最大值. 【解答】 解: (1) 设{an}的公差为 d, 则原等式可化为 ( 所以 ? = , ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ) ,

即(k﹣1)n+b=0 对于 n∈N*恒成立,所以 k=1,b=0.… (2)当 k=1,b=0 时,假设 p 是 q 的必要条件,即“若 意的 n(n∈N*)恒成立,则{an}为等差数列”. 当 n=1 时, = 显然成立.… + +…+ = ①对于任

当 n≥2 时,若

+

+…+

=

②,

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由①﹣②得,

=





),即 nan﹣(n﹣1)an+1=a1③.

当 n=2 时,a1+a3=2a2,即 a1、a2、a3 成等差数列, 当 n≥3 时,(n﹣1)an﹣1﹣(n﹣2)an=a1④,即 2an=an﹣1+an+1.所以{an}为等差数列,即 p 是 q 的 必要条件.… (3)由 + ≤M,可设 a1=rcosθ,an+1=rsinθ,所以 r≤ .

设{an}的公差为 d,则 an+1﹣a1=nd=rsinθ﹣rcosθ, 所以 d= 所以 an=rsinθ﹣ Sn= = , ,

r≤

?

=

, 所以 Sn 的最大值为 …

【点评】本题考查等差数列与等比数列的综合,突出考查“充分、必要条件”在数列中的综合应用, 判断(2)中“p 是否为 q 的必要条件”是难点,考查参数方程及三角函数的有界性,属于难题.

25.已知 f(x)= (1)求 f(f(x));



(2)对参数 a 的哪些值,方程|x|+| x+ (3) 设 b 为任意实数, 证明: ﹣

|=a 正好有 3 个实数解; =b 共有 3 个不同的实数解 x1, x2, x3, 并且 x1+x2+x3=b.

【考点】根的存在性及根的个数判断;函数的值. 【专题】计算题;作图题;证明题;数形结合;函数的性质及应用. 【分析】(1)化简可得 f(f(x))=f( (2)作函数 y=| 得. )=x, =a 有一个解,从而利用判别式解

|与函数 y=a﹣|x|的图象,从而化为 x+

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(3)化简方程可得 x3﹣bx2+(b﹣21)x+2b﹣7=0,从而令 g(x)=x3﹣bx2+(b﹣21)x+2b﹣7,从 而利用零点的判定定理判断即可. 【解答】解:(1)∵f(x)= ∴f(f(x))=f( (2)作函数 y=| 若使方程|x|+| 则 x+ )=x, |与函数 y=a﹣|x|的图象如下, |=a 正好有 3 个实数解, ,

=a 有一个解,

即 3x2﹣3ax+a+1=0 有一个解, 故△ =9a2﹣12a﹣12=0, 解得,a=2 或 a=﹣ (舍去); 故 a=2; (3)证明:∵x+ ∴ ∴x3﹣bx2+(b﹣21)x+2b﹣7=0, 令 g(x)=x3﹣bx2+(b﹣21)x+2b﹣7, 易知 g(x)=﹣∞, g(x)=+∞, ﹣ =b, =b,

g(﹣1)=﹣1﹣b﹣b+21+2b﹣7=13>0, g(2)=8﹣4b+2b﹣42+2b﹣7=﹣41<0, 故 g(x)在(﹣∞,﹣1),(﹣1,2),(2,+∞)上各有一个零点, 故 g(x)有 3 个不同的零点 x1,x2,x3, 故 x+ ﹣ =b 共有 3 个不同的实数解 x1,x2,x3,

∵x3﹣bx2+(b﹣21)x+2b﹣7=(x﹣x1)(x﹣x2)(x﹣x3) =x3﹣(x1+x2+x3)x2+(x1x2+x1x3+x3x2)x﹣x1x2x3, 故 x1+x2+x3=b.

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【点评】本题考查了数形结合的思想应用及分段函数的应用,同时考查了函数的零点与方程的根的 关系应用.

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