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等差、等比数列的综合问题


专 题2
知识网络图解 数列

数列

概 念 性 质

等 差 数 列

等 比 数 列

递 归 数 列

数 列 求 通 项

数 列 求 和

数学归纳法

数列极限

原 理

证 题 技 巧

定 义

求 极 限

无 究 递 缩

等 比 数 列

一、数列的概念、性质 例①若数到{αn}满足 αn+1= 2αn , 0≤αn<

1 2

若 α1=

A.

6 7

B.

5 7

2αn-1, C.

3 7

1 ≤αn<1 2

6 则 α2009 的值为( 7



D.

1 7

②αn=

n ? 2004 n ? 2008

则数列{αn}最大项为(



A. α1 B. α45 C. α44 D. α2007 2 ③通项为 αn=n -α n+1 的数列{αn}是递增数列,则实数 α 的取值范围为_________ 二、等差数列、等比数列 知识整合 等差数列 定义 通项 公式 前n 项和 公式 中项 等比数列 αn-αn-1=d (d 为常数, n≥2, n ? N· ) an ? q (q 为常数,n≥2, (n ? N *) an ?1 αn=α1+(n-1)d 或 αn= αm+(n-m)d αn=α1q 或 αn=αm·qn-m
n-1

sn ?

(a1 ? an ) n 2 n(n ? 1) d =nα1+ 2

nα1 S=

(q=1) (q≠1)

2αn=αn-1+αn+1(n≥2) 等差数列的性质 (1)m,n,p,q ? N,若 m+n=p+q, 则 αm + αn=αp+αq , 特 别 地 α1 + αn=α2+αn-1=… (2)αn=αn+b(α,b 是常数)是{αn} 成等差数列的充要条件, ( n,αn)是 直线上的一群孤立的点 2 (3) 数列{αn}的前 n 项和 Sn=αn +bn(α ≠0)是{αn}成等差数列的充要条件

αn2=αn-1·αn+1(n≥2)

a1 (1 ? q n ) a1 ? an q ? 1? q 1? q

等比数列的性质 · (1)m、 n、 p、 q? N , 若 m+n= p+q, 则 αm· αn=αp· αq, 特别地 α1αn=α2αn-1=… α1<0 (2) 当 α1>0 或 时, {αm}为递增数列, q>1 0<q<1 α1<0 α1<0 当 或 时,{αn}为递减数列 q>1 0<q<1 (3)若{αn}和{bn}均是等比数列,则{αnbn}仍为等 比数列





(4)等差数列的单调性 d>0 ? {αn} 为递增数列,Sn 有最小值。 d<0 ? {αn}为递减数列, Sn 有最大值 d=0 ? {αn} 均 是 等 差 数 列 , 则 (mαn+kbn)仍为等差数列,m、k 为 常数 (6) 等差数列中依次 k 项和成等差数 列,即 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等 差数列,公差为 k2d ( 7 ) 项 数 为 偶 数 2n 的 等 差 数 列 {αn},S2n=n(αn+αn+1);项数为奇数 2n- 1 的等差数列 {αn}, 有 S2n - 1=(2n - 1) αn(αn 为中间项)且

(4)等比数列中依次 k 项和成等比数列,即 Sk, S2k-Sk,S3k-S2k,…成等比数列,其公比为 qk(公 比 q 不为-1) (5)等比数列中依次 k 项积成等比数列,记 Tn 为前 n 项积,即 Tk,
2

T2 k T3 k , ,…成等比数列, Tk T2 k

其公比为 q k

s奇 s偶

?

n n ?1

要点 热点 探究 例 1(1)已知两个等差数列{αn}和{bn}的前 n 项和分别为 An 和 Bn,且

An 7 n ? 45 = ,则使 n?3 Bn



an 为整数的正整数 n 的个数是( bn

)

A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知等差数列{αn}的前 n 项和为 Sn,若 OB=α6OA+α195OC,且 A、B、C 三点共线(该 直线不过点 O) ,则 S200 等于( ) A.100 B.101 C.200 D.201 (3)与差数列{αn}中,S6=36,Sn=324,Sn-6=144,则 n=___________ (4)等差数列{αn}共有 2n+1 次,其中奇数项之和为 319,偶数次之和为 290 则其中间项的 值为 ( ) A. α9=10 B. α10 =16 C. α11 =29 D. α12=39

a1 ? a2 n ?1 ? (2n ? 1) an A 7(2n ? 1) ? 45 12 2 解 ?1????? ? ? 2 n ?1 ? ?7? b1 ? b2 n ?1 bn B2 n ?1 2n ? 1 ? 3 n ?1 ? (2n ? 1) 2 a ????????????????????? n ? z???????????n ? N * ?????????? n ? 1, 2,3,5,11 bn

? 2 ????? A? ?? C三点共线
s200 ?

? a6 ? a195 ? 1

a1 ? a200 a ? a195 1 ? 200 ? 6 ? 200 ? ? 200 ? 100 2 2 2

? 3???sn ? sn?6 ? an?5 ? an?4 ? ?? an ? 180
?????????????????s6 ? a6 ? a5 ? ?? a1 ? 36? ? 6(a1 ? an ) ? 180 ? 36 ? 216??????a1 ? an ? 36 ??sn ? a1 ? an ? n ? 18n ? 324????? n ? 18 2
? a ? a21 319 n ? 1 ? ?????? n ? 10???????中间项为a11 ? 1 290 n 2

? 4 ??

S奇 S偶

又S21 ?

a1 ? a21 a ? a21 ? 21 ? 319 ? 290?????? a11 ? 1 ? 29 2 2

例 2 等差数列{αn}的前 n 项和为 Sn,α1=1+ 2 ,S3=9+ 3 2 (1)求数列{αn}的通项 αn,与前 n 项和 Sn;

sn (n ? N *) ,求证:数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列 n α1= 2 +1 【解析】 (1)由已知得 3α1+3d=9+ 3 2 ∴d=2 故 αn=2n-1+ 2 ,Sn=n(n+ 2 )
(2)设 bn= (2)证明:由(1)得 bn=

sn = n+ 2 n

假设数列{bn}中存在三项 bp,bq,br(p,q,r 互不相等)成等比数列,则 bq 2 =bp br, 即 (q+ 2 )2=(p+ 2 ) (r+ 2 ) ,∴(q -pr)+(2 q-p-r) 2 =0
2

∵p,q,r ? N ,∴
·

q -pr=0 p?r 2 ) = pr,即(p-r)2=0,∴p=r,这与 p≠r 矛盾 2 q-p-r=0 ∴ (

2

2

∴数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列 变式 已知数列{αn}中,α1=

1 ,点(n,2αn+1-αn)在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3… 2

(1)令 bn=αn+1-αn-1,求证:数列{bn}是等比数列; (2)求数列{αn}的通项; (3)设 Sn,Tn 分别为数列{αn},{bn}的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列{ 为等差数列?若存在,试求出 ? ;若不存在,则说明理由。 解(1)αn+2-αn+1-1= (2)α1=

S n ? ?Tn } n

1 (αn+1-αn-1) 2
α2=

1 ,2α2-α1=1 2 3 1 3 α2-α1-1= ? ? 1 ? ? 4 2 4
3 3 ? n ?1 2 2
Sn=

1 3 (1+α1)= 2 4 3 1 n+1 bn=αn+1-αn-1= ? · ( ) 4 2

αn+1-αn=1-3(

1 n+1 ) 2

Tn= ?

n 2 ? 3n 3 ?3? n 2 2

sn ? ?Tn n 2 ? 3n 3 3 3? ? ? 3 ? n ? ? ? n ?1 n 2 2 2 2
∴存在 ? ? 2 使

sn ? ?Tn n ? 3 ? n 2

{

n?3 }等差 2
1 2,

例 3 已知数列{αn}为等差数列, 公差 d≠0, 由{αn}中的部分项组成的数列 ab ,ab …, … abn , 为等比数列,其中 b1=1,b2=5,b3=17 (1)求数列{bn}的通项公式; (2)记 Tn= Cn1b1 ? Cn 2b2 ? C n3 b3 ? …+Cn nbn ,求 Tn 解(1)∵ a25 ? a1 ? a17 ∴ a1 ? 2d ∴ (a 1 ?4d )2 ? a1 (a1 ? 16d ) ∴q ?

ab 2 a5 a 1 ?4d ? ? ?3 ab1 a1 a1

又 abn ? a1 3n?1 ? a1 ? (bn ? 1)d ∴ a1 3
n ?1

? a 1 ?(bn ? 1)

a1 2

∴bn=2.3n-1-1 (2) Tn ? 2(Cn1 31 ? Cn 2 31 + …+ Cn n 3n?1 ) -( Cn1 ? …+Cn n )

2 ( Cn1 3 ? C 2n ? 32 ? … ?C n n 3n ) ? (Cn0 ? … Cn n ) 3 1 2 0 2 2 = ? (C n ? C n 3 ? …+ C n n 3n ) ? 2n 3 3
=1+

1 αn, n 为偶数 2 1 变式 (理)设数列{αn}的首项 α1=α ≠ ,且 αn+1= 1 4 α n+ ,n 为奇数 4 1
记 bn=α2n-1-

1 2 n n = ? (1 ? 3) ? 2 3 3

1 22 n ?1 ? 2n = ? 3 3

4

n=1,2,3,…

(1)求 α2,α3; (2)判断数列{bn}是否为等比数列,并证明你的结论; (3)求 lim (b1+b2+…+ bn)
n??

(文)数列{αn}的前 n 项和为 Sn,且 α1=1, αn+1=

1 sn ,n=1,2,3,…求: 3

(1)α2,α3,α4 的值及数列{αn}的通项公式; (2)α2+α4+α6+…+α2n 的值 三、简单递推数列与数列求和

探究点一

基本求和问题
n 1 i ?1 ai ai ?1

例 1(1)已知数列{αn}为等差数列,且公差不为 0,首项也不为 0,求和: ?

(2)已知 α >0 且 α ≠1 数列{αn}是首项为 α ,公比边也为 α 的等比数列,令 bn=αn·1gan (n ? N) ,求数列{αn}的前 n 项和 Sn (3)已知 f (x)=


1 n ' 1 求 f ' (0) ? f ( ) +…+ f '( ) n n 9 ?3
x

(4)数列{αn}满足 αn=

n,
n

n 为奇数 n 为偶数

2,

解: (1)

n a1 an ?1

(2)

a lg a [1 ? (1 ? n ? na)a n ] (1 ? a)2


(3)∵当 x1 ? x2 ? 1时,f (x1)+ f (x2)=


9 x1 ? 9 x2 ? 6 1 ? x1 ? x2 x1 x2 9 ? 3(9 ? 9 ) ? 9 3

1 ' n n n n n ?1 ) +… f ' (0) sn ? f ' ( ) f ' ( n n 1 ' n ' ∴ 2sn ? [ f (0)+ f ( ) ](n+1)= (n+1) 3 n
令 sn ? f (0) ? f ( ) +…+ f ( )


'

∴sn=

n ?1 6
2

(4) 当 n=2k 时 sn= s2k=(α1+α3+…+α2k-1)+( α2+α4+…+α2k)= k ?

22 k ? 2 ? 4 n 2 2n ? 2 ? 4 ? ? 3 4 3

当 n=2k+1 时 sn= s2k+1= s2k+α2k+1= k ?
2

∴sn=

(

n?1 2 2n?1?4 ) ? ,n 为奇数 2 3 n2 2n?2 ?4 ,n 为偶数 ? 4 3

22 k ? 2 ? 4 n ? 1 2 2n?1 ? 4 ) ? +2k+1= ( 3 2 3

例 2 数列{αn}中,α1=8,α4=2 且满足 αn+2=2αn+1-αn,n ? N (1)求数列{αn}的通项公式; (2)设 Sn= a1 ? a2 ? … an ,求 Sn;

n ? (3) 设b

1 n ( ? N * ) ,Tn ? b1 ? b2 ? …+ bn (n ? N *) , 是否存在最大的整数 m, n( 1 2 ?a )n
m 成立?若存在,求出 m 的值;若不存在,请说明理由 32

使得对任意 (n ? N *) ,均有 Tn>

解析 (1)αn=8-2(n-1)=10-2n (2)由 αn=10-2n≥0 得 n≤5 n≤5 时 Sn=α1+α2+…+αn =8 n+

n(n ? 1) (-2)=9n-n2 2

n>5 时 Sn=α1+α2+…+α5-α6-α7-…-αm =(α1+α2+…αn)-2(α1+…+α5) 2 2 =9 n -n -40 2 n=5 ∴ Sn= 9 n-n 9 n +n -40 (3)bn=
1 2 n ( n ?1)
1 ) n ?1
2 2

n>5 m<32· (1- ? ? ? … ? m<16( 1 ? )=8
1 2
1 2

1 1

1 2

1 3

1 1 ) n n?1

m<16( 1?

∴m 的最大值为 7

探究点二 用叠加法、累乘法、迭代法求通项公式 例 3(1)已知数列{αn}满 足 α1=1,αn=αn-1+ n(n≥2)则 αn=______ n-1 (2)已知数列{αn}满足 α1=2,αn=αn-1·2 (n≥2) ,则 αn=_____ (3)在数列{αn}中 α1=3,αn+1= a n (n ? N *) ,则 αn=_____
2

1 2 解(1) (n ? n)?????????????? 2 ? 2 2

n2 ? n ? 2 2

?????????? 3? 32

n ?1

探究点三 构造新数列,转化为等差、等比数列问题 例 4(1)在数列{αn}中,若 α1=1,αn+1=2αn+3(n≥1) ,则该数列的通项 αn=____ n+1 (2) 在数列{αn}中,若 α1=1,αn+1=2αn+3 (n≥1) ,则该数列的通项 αn=_____ (3) 在数列{αn}中,若 α1=3, αn+1=

3an (n ? N *) 则该数列的通项 αn=_____ 2an ? 3

(4)已知数列{αn}满足 x1=3, x2= 3 , xn= 1 (xn-1+ xn-2) , n=3,4…, 则数列{xn}的通项公式为____ 2 2

解(4)令??xn ? Axn ?1 ? B( xn ?1 ? Axn ? 2 ) 1 ? 1 A? B ? ?A ? 1 ? ? ? ? ?A ? ? 2 则? ?? 2 1 或? B?? ? AB ? ? 1 ? ? ? 2 ?B ? 1 ? ? 2 1 若A=1 B=- 则 2 n?2 n ?1 1 1? ? 1? ?????????? xn ? xn ?1 ? ? ( xn ?1 ? xn ?2 ) =…= ? ? x ? x ? 3 ? ? ? ? 2 1? ? ? 2 ? 2? ? 2?
1 B=1 则 2 ∴ 1 1 1 ? xn ? xn ?1 ? xn ?1 ? xn ? 2 ? ? ? x 2 ? 2 x1 ? 3 2 2 若A=1 ? xn ? 2 ? (? ) n ?1 2

探究点四 归纳——猜想——证明 例 5 数列{αn}满足 αn+1=2, αn>0, 且 (n+1) 又数列{bn}满 bn= 2 an 2 + an an?1 - nan?12 =0, (1)求数列的通项 αn 和前 n 项和 Sn (2)求数列{bn}的前 n 项和 Tn (3)比较 Sn 与 Tn 的大小 【解答】 (1)∵αn>0 (n ? N *) ,且(n+1) an 2 + an an?1 - nan?12 =0,∴(n+1) ( aan ∴
n?1 a )2 ?( n ) ?n?0 an ?1

n ?1

?1

a n ? ?1 或 n , n ?1 a n ?1

∵αn>0 (n ? N *) ∴

an n ? an?1 n ? 1



n n ?1 n ? 2 2 2 an a a a a3 a ? ? ? … ? ? n 又 α1=2, ? n ? n?1 ? n ?2 ? … ? 2 = 3 1 a1 an?2 an?2 an?3 a2 a 1 n ? 1 n ? 2 n ? 3

所以,αn=2n ∴Sn=α1+α2+…+αn =2(1+2+…+n)= n2+ n n-1 1 -1 n (2)∵bn=2 +1 Tn= b1+ b2+…+ bn=(2°+2 +…2n )+ n=2 + n-1 2 (3)Tn-Sn=2n-n -1 1 2 2 2 当 n=1 时,T1-S1=2 -1 -1=0 ∴T1= S1; 当 n=2 时,T2-S2=2 -2 -1=-1 ∴T2<S2 3 2 4 2 当 n=3 时,T3-S3=2 -3 -1=-2 ∴T3<S3;当 n=4 时,T4-S4=2 -4 -1=-1, ∴T4<S4; 5 2 6 2 当 n=5 时,T5-S5=2 -5 -1=6 ∴T5<S5;当 n=6 时,T6-S6=2 -6 -1=27, ∴T6<S6. 2 猜想:当 n≥5 时,Tn>Sn,即 2n>n +1.下用数学归纳法证明; ①当 n=5 时,前面已验证成立; k 2 ②假设 n=k(k≥5)时命题成立,即 2 >k +1 成立,那么当 n=k+1(k≥5)时, k+1 k 2 =2·2 >2·(k2+1)= k2+ k2+2≥k2+5 k+2>k2+2 k+2=( k+1)2+1. 即 n=k+1(k≥5)时命题 也成立 由①②可知,当 k≥5 时,有 Tn= Sn; 综上可知:当 n=1 时,T1= S1;当 2≤n<5 时,Tn<Sn 当 n≥5 时,有 Tn>Sn。 变式 已知数列{αn}的数例,b1=1,b1+b2+…+ b10=145 (1)求{αn}的通项 bn (1)设数例{αn}的通项 αn=logα(1+

1 ) (其中 α>0 且 α≠1)Sn 为{αn}的前 n 项和,试比较 bn

Sn 与

1 logαbn+1 的大小。 3

规律技巧提炼
q 1、若数列{αn}满足 α1=α,αn+1=pαn+q(p、q 数,且 p≠) ,则数列{αn- 1? }是等比数例 p

2、或数列{αn}满足 α1=α, α2=b,αn+2= pαn+1+则原式可化为 αn+2-Aαn+1=B(αn+1-Aαn) ,用待定 法求出 A、B,从而转化为等比数列求解。 3、已知数列{αn},若满足 αn-αn-1=f (n) ,则用累乘法,若 αn= f (n) ,则求 αn 一般用叠 加法;若满足 aan = f (n) ,可以考虑用迭代法。
n ?1

4、归纳—猜想—证明体现了由具体到抽象,由特殊到一般,由有限到无限的辩证法,对 培养学生的逻辑思维能力、计算能力,熟悉归纳、演绎的论证方法,提高分析、综合、 抽象、概括等思维能力,都有重要作用。 5、数列求和的四种常方法: 倒序相加、错位相减、裂项相消、分解求和。 四、数列与函数、不等于式综合问题 探究点一 用函数思想研究数列问题 sn 例 1 数列{αn}的通项公式为 αn=7( 3 )
4
2n-2

-3( 3 ) (n ? N *) ,则数列{αn}的( ) 4
n-1

A..最大项为 α5,最小项为 α5 B.最大项为 α6,最小项为 α7 0 7 13 C.最大项为 α1,最小项为 α6 D.最大项为 α7,最小项为 α6 (2)在等差数列{αn}中,Sn 是前 n 项和,它满足 α1>0,d<0,S7=S13,则数列{Sn}中最 大项是_____ 探究点二 以函数为载体,考查数列的有关基本知识 例 2 设函数 f(x)=

n

1 ,点 A0 表示从标原点,点 An 坐标为(n,f(n) ) (n (n ? N *) x ?1 ? n 是 αn 与 i 的夹角 若向量 αn=A0A1+A1A2+…+An-1An, (其中 i= (1, 0) , 设 Sn=tan ? 1+tan ? 2+… +tan ? n,求 Sn;
n 项和为 Sn,点(n,Sn) (n ? N *) 均在函数 y=g(x)的图象上。

(2)已知函数 y=g(x)的图象经过坐标原点,其导函数为 g(x)=6x-2.数列{αn}的前

①求数列{αn}的通项公式;
m 20

②设 bn ?

3 ,Tn 是数列{bn}的前 n 项和,求使得 Tn an an ?1



对所有 n ? N * 都成立的最小正整数 m

【解答】 (1)An-1An=(n,f(n))-( (n-1) ,f(n))=( 1, αn=( 1,?0)?(1,? ∴tan ? n=
1 n ( n ?1)
1 2 1 1 1 1 1 ) ?…+(1, ? ) = ( n, ) ,当 n ?1 3 2 n ?1 n

1 1 ? (n≥2) n ?1 n
1 2

n=1 时,α1=(1, )也适用.

∴Sn=

n 1? n

.
、 、

(2)①依题可设 f(x)=αx2+bx(α ≠0) ,则 f (x)=2αx+b,由 f (x)=6x-2 得 α=3, b=-2, 所以 f(x)=3x -2x
2 2

又由点(n,Sn) (n ? N *) 均在函数 y=f(x)的图
2 2

象上,得 Sn=3n -2n 当 n≥2 时,αn=Sn-Sn-1=(3n -2n)-[3(n-1) -2(n-1)] =6n-5 所以 αn=6n-5 (n ? N *)
1 1 1 3 3 ? ) = ( ? an an?1 (6 n ?5)[6( n ?1) ?6] 2 6 n ?5 6 n ?1 1 1 1 1

②由①得 bn ?
n

故 Tn ? ? bi = [(1? )? ? )? …+ ( 2 7 7 13
i ?1

1 1 ? )] 6n ? 5 6n ? 1
m 20

因此, 使得

1 1 (1? ) 2 6 n ?1



m 20

(n ? N *)

成立的 m 必须且仅需满足 1 ≤ 2

,即 m≥10,故满足要求的最小整数 m 为 10

变式 已知函数 f(x)=

1 x ?4
2

(x<-2) (1)求 f(x)的反函数 f

--1

(x)

(2)α1=1,

1 ? ? f ?1 (an ), (n ? N *) 求 αn an?1
2

(3)设 Sn= a21 ? a22 …αn ,bn=Sn+1-Sn 是否存在最小的正整数 m 使对任意 (n ? N *) ,有 bn<
m 成立? 25

探究点三 数列与函数、不等式的综合问题 例 3 已知函数 f(t)对任意实数 x,y 都有 f(x+y)=f(x)+f(y)+3xy(x+y+2) +3,f(1)=1 (1)若 t ? N * ,试求 f(t)的表达式; (2)满足条件 f(t)的所有整数能否构成等数列?若能构成等差数列,求出此数列;若 不能构成等差数列,请说明理由; (3)若 t ? N * 且 t≥4 时,f(t)≥mt2+(4m+1)t+3m 恒成立,求出 m 的最大值 解 (1)令 x=t y=1 f(t)-f(t-1)=3t2+3t-2 ∴f(t)-f(1)=3(22+33+t2)+3(2+3+…+t)-2(t-1) f(t)= t(t+1) (t+2)-2t-3 (2)f(t)= t (t+1) (t-1) (t+2)=0 t=-3,-1,1 ∴ 等差数列-3,-1,1 或 1,-1,-3 (3) (t+1) (t+3) (t-1)≥m(t+1) (t+3) ∴m≤t-1 m≤4-1=3 ∴m 的最大值为 3 变式 已知函数 f(x)=

1 3 x ? x 2 ? 2. 3

(I) 设{αn}是由正数组成的数列, 前 n 项和为 Sn, 其中 α1=3, 若点 ( an , an?12 ? 2an?1 )

(n ? N *) 在函数 y= f(x)的图象上,求证:点(n,Sn)也在函数 y= f (x)的图象上;
‘ ‘

(II)求函数 f(x)在区间(α-1,α)内的极值 解析 (1)因为 f(x)=

1 2 x ? x 2 ? 2 ,所以 f‘ (x)= x2+2x, 3


由点( an , an?12 ? 2an?1 ) (n ? N *) 在函数 y=f(x)的图象上, 得 an?1 ? 2an?1 ? an ? 2a n 即 (an?1 ? an )(an?1 ? an ? 2) ? 0
2 2

又 αn>0 (n ? N *) ,所以 an?1 ? an ? 2 ,又因为 α1=3,所以数列{αn}是以 3 为首项,2 为公差的等差数列


所以 Sn=3n+

n(n ? 1) ‘ ×2=n2+2n,所以 Sn= f (n) ,故点(n,Sn) 2

也在函数 y= f(x)的图象上 ‘ ‘ (II)f(x)= x2+2x=x(x+2) ,由 f(x)=0,得 x=0 或 x=-2

当 x 变化时 f(x) 、f(x)的变化情况如下表: x (-α,-2) -2 (-2,0) ‘ f(x) + 0 - f(x) 极大值 注意到(α-1)-α=1<2,从而



0 0 极小值

(0,+ ? ) +

①当 α-1<-2<α,即-2<α<-1 时 f(x)的极大值为 f(-2)=

2 ,此时 f(x)无 3

极小值; ②当 α-1<0<α,即 0<α<1 时,f(x)的极小值为 f(0)=-2,此时 f(x)无极大值; ③当 α ≤-2 或-1≤α≤0 或 α≥1 时,f(x)既无极大值又无极小值 五、数列与解析几何的综合问题 要点热点探究 探究点一 以向量为切入点的数列与解析与综合问题 例 1:已知 i,j 分别是 x 轴,y 轴方向上的单位向量,OA1=j, OA2=10j, 且 An-1An=3 An An+1(n=2,3,4,…), 在射线 y=( x x≥0) 从下到上依次有点 Bi(i=1,2,3,…), OB1=3i+3j 且 Bn?1 Bn = 2 2 (n=2, 3,4,…) (1)求 A4A5; (2)求 OAn,OBn; (3)求四边形 AnAn+1Bn+1Bn 面积的最大值

1 1 1 1 An-1An A4A5= A1A2 ( ) n ?1 =9j· 3 = j 3 3 3 3 1 n ?1 1 (2)AnAn+1=9j ( ) = n ?3 j 3 3
解(1)AnAn+1= ∴OAn=OA1+ A1A2+…+An-1An =j+9j+3j+…+

1 3
n?4

j
y An+1 Bn+1 An O Bn

1 29 ? ( )n?4 3 = j 2
依题意 Bn-1Bn=2(i+j) OBn= OB1+ B1B2+…+ Bn-1Bn=(2n+1)(i+j) (3)Sn= S?OAn ?1Bn ?1
Sn ? S n?1? ?2n?3 3n?3

29 n ? S?OAn Bn = ? n ?3 2 3
∴n≥2 时 Sn-Sn-1<0 ∴ ( S n ) max ?

x

∴S1>S2>…Sn>…

29 1 47 ? ?2 ? 2 2 2

探究点二 以函数图象为切入点的数列与解析几何综合问题 例 2 在直角坐标平面上有一点列 P1(x1, y1) ,P2(x2, y2) ,…Pn(xn, yn)对一切正整数 n,点 Pn 位于函数 y= 3 x ? 的等差数列{xn} (1)求点 P 的坐标;

13 5 的图象上,且 p 的横坐标构成以- 为首项,-1 为公差 4 2

(2)设抛物线列 C1,C2,C3…,Cn 中的每一条的对称轴都垂直于 x 轴,第 n 条抛物线 2 Cn 的顶点为 Pn,且过点 Dn(0,n +1) ,记与抛物线 Cn 相切于 Dn 的直线的斜率为 K, 求:

1 1 1 ? ? …+ k1 k2 k2 k3 kn ?1 kn

y D(0,n +1) O Pn x
2

3 5 -n, ?3n ? ) 2 4 3 5 2 (2)设抛物线 ( x ? ? n) ? 2 p ( y ? 3n ? ) 2 4
(1)Pn( ? ∵过 Pn(0,n +1)
2

3 5 2 ∴( ? n )2=2P( n ? 1 ? 3n ? ) 2P=1 2 4 3 5 2 ∴y= ( x ? ? n) ? 3n ? y’ x=0=2n+3 ∴kn=2n+3 2 4

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) kn?1 ?kn (2n ? 1)(2n ? 2) 2 2n ? 1 2n ? 3


1 1 1 +…+ ? k n ?1 kn k1 k 2 k2 k3

1 1 1 1 1 ( ? ? …+ ? ) 2 5? 7 7 ?9 2n ? 1 2n ? 3 n ?1 = 10 n ? 15
= 探究点三 以导数为工具的数列与解析几何问题 例 3 已知数列{αn}的首项 α1=5,前 n 项和为 s n ,且 sn?1 ? 2sn +n+5 (n ? N *) (1)证明:数列{αn+1}是等比数列; (2)令 f(x)= a 1 x ? a 2 x2 ? … ?an xn ,求函数 f(x)在点 x=1 处的导数 f ’(1) ,并比 较 2f ’ (1)与 23n -13n 的大小 (1) Sn+1=2sn+n+5 ∴αn+1=2αn+1 Sn=2sn-1+n+4
n-1 n 2

∴αn+1+1=2(αn+1)
n

∴{αn+1}等比

(2)αn+1=(α1+1)2 =3.2 αn=3.2 -1 f ’(x)=α1+2α2+3α3+…+nαn n =3(21+2·22+3·23+…+n·2 )-(1+2+…+n) =3(n-1) ·2 +6-
n+1

n( n ? 1) 2
n+1 2

2f ’(1)=6(n-1)2 +12- n -2 2 n≥3 时 2f ’(1)-23n -13n=12(n-1)[2n-(2n+1)]>0 2 n=1 时 2f ’(1)=23n -13n n=2 时 2f ’(1)<23n2-13n


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