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第2章 第3节 函数的单调性与最值


第 2 章 第 3 节 函数的单调性与最值 一、选择题 1.函数 y=-x2+2x-3(x<0)的单调增区间是( A.(0,+∞) C.(-∞,0) B.(-∞,1] D.(-∞,-1] )

解析:二次函数的对称轴为 x=1,又因为二次项系数为负数,抛物线开口向下,对称 轴在定义域的右侧,所以其单调增区间为(-∞,0). 答案:C b 2.(2012·

佛山月考)若函数 y=ax 与 y=-x在(0,+∞)上都是减函数,则 y=ax2+bx 在(0,+∞)上是( A.增函数 C.先增后减 ) B.减函数 D.先减后增

b 解析:∵y=ax 与 y=-x在(0,+∞)上都是减函数, b ∴a<0,b<0,∴y=ax2+bx 的对称轴方程 x=- <0, 2a ∴y=ax2+bx 在(0,+∞)上为减函数. 答案:B
? ?g?x?+x+4,x<g?x?, 3.(2010· 天津高考)设函数 g(x)=x2-2(x∈R),f(x)=? 则 f(x) ? ?g?x?-x,x≥g?x?.

的值域是(

) B.[0,+∞) 9 D.[- ,0]∪(2,+∞) 4

9 A.[- ,0]∪(1,+∞) 4 9 C.[- ,+∞) 4 解析:令 x<g(x),即 x2-x-2>0, 解得 x<-1 或 x>2.

令 x≥g(x),即 x2-x-2≤0,解得-1≤x≤2.
?x2+x+2,x<-1或x>2, ? 故函数 f(x)=? 2 ? ?x -x-2,-1≤x≤2.

当 x<-1 或 x>2 时,函数 f(x)>f(-1)=2; 1 当-1≤x≤2 时,函数 f?2?≤f(x)≤f(-1), ? ? 9 即- ≤f(x)≤0. 4

9 故函数 f(x)的值域是?-4,0?∪(2,+∞). ? ? 答案:D 4.(2012· 青岛模拟)已知奇函数 f(x)对任意的正实数 x1,x2(x1≠x2),恒有(x1-x2)(f(x1) -f(x2))>0,则一定正确的是( A.f(4)>f(-6) C.f(-4)>f(-6) ) B.f(-4)<f(-6) D.f(4)<f(-6)

解析:显然(4-6)· (f(4)-f(6))>0?f(4)<f(6),结合奇函数的定义,得-f(4)=f(-4),- f(6)=f(-6).故 f(-4)>f(-6). 答案:C 5.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是( 3 A.?-∞,2? ? ? 3 C.?-1,2? ? ? 3 B.?2,+∞? ? ? 3 D.?2,4? ? ? )

3 25 解析:函数 f(x)的定义域是(-1,4),u(x)=-x2 +3x+4=- ?x-2? 2 + 的减区间为 ? ? 4

?3,4?,∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为?3,4?. ?2 ? ?2 ?
答案:D 二、填空题 6.函数 y=-(x-3)|x|的递增区间是________.

解析:y=-(x-3)|x|
?-x2+3x ?x>0?, ? =? 2 ? ?x -3x ?x≤0?.

3 作出该函数的图象,观察图象知递增区间为?0,2?. ? ? 3 答案:?0,2? ? ? 7.若 f(x)为 R 上的增函数,则满足 f(2-m)<f(m2)的实数 m 的取值范围是________. 解析:∵f(x)在 R 上为增函数,∴2-m<m2. ∴m2+m-2>0.∴m>1 或 m<-2. 答案:(-∞,-2)∪(1,+∞)

三、解答题 8.求函数 y=a1
-x

2

(a>0 且 a≠1)的单调区间.
-x

解:当 a>1 时,函数 y=a1 数; 当 0<a<1 时,函数 y=a1
-x

2

在区间[0,+∞)上是减函数,在区间(-∞,0]上是增函

2

在区间[0,+∞)上是增函数,在区间(-∞,0]上是减函数.

1 9.已知函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的减函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y),f?3?=1. ? ? (1)求 f(1); (2)若 f(x)+f(2-x)<2,求 x 的取值范围. 解:(1)令 x=y=1, 则 f(1)=f(1)+f(1),∴f(1)=0. 1 1 1 (2)∵2=1+1=f?3?+f?3?=f?9?, ? ? ? ? ? ? 1 f[x(2-x)]<f?9?,由 f(x)为(0,+∞)上的减函数,得 ? ?

?x>0, ?2-x>0, ? 1 ?x?2-x?>9 ?

?x>0, ?2-x>0, ?? ?1-2 3 2<x<1+2 3 2 ?

2 2 2 2 ?1- <x<1+ , 3 3

? 2 2,1+2 2?. 即 x 的取值范围为 1- 3 3 ? ?
x 10.已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. 解:(1)证明:任设 x1<x2<-2, 则 f(x1)-f(x2)= 2?x1-x2? x1 x2 - = . x1+2 x2+2 ?x1+2??x2+2?

∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0,∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)任设 1<x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= = x1 x2 - x1-a x2-a

a?x2-x1? . ?x1-a??x2-a?

∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述知 a 的取值范围是(0,1].


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