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空间向量与立体几何.板块二.空间向量的坐标运算.学生版


板块二.空间向量的坐标运算

典例分析
【例1】 空间四边形 OABC 中, OB = OC , ∠AOB = ∠AOC = (
A. 1 2 uuu uuu r r π ,则 cos < OA , > 的值是 BC 3


B. 2 2 C. ? 1 2 D. 0

r r r r r r 【例2】 已知 a = (2 , 1 , , = ( ?1 , , 2) , = (7 , , ) ,若 a , , 三向量共面,则 λ 等 ? 3) b 4 ? c 5 λ b c

于(
A. 62 7


B. 9 C. 64 7 D. 65 7

r r 【例3】 设 u = (?2, , 、 v = (6, 4, 分别是平面 α , 的法向量,则平面 α , β 的位置关 2 5) ? 4) β

系是(


B.垂直 D.不能确定

A.平行 C.相交但不垂直

uuu r uuu r uuur r r r 【例4】 设 OA = a , OB = b , OC = c ,则使 A 、 B 、 C 三点共线的条件是 ( ) r r r r 1r 1r r r r r r r A. c = a + b B. c = a + b C. c = 3a ? 4b D. c = 4a ? 3b 2 3

r r r r r r 【例5】 已知 a = (1 ,, , b = ( ?1 , , ,且 ka + b 与 2a ? b 垂直,则 k 的值为( 1 0) 0 2)
A. 1 5 B. 1 C. 3 5 D. 7 5



【例6】 已知四面体 ABCD 中, AB , , 两两互相垂直,给出下列两个命题: AC AD uuu uuu uuur uuu uuur uuu r r r r ① AB ? CD = AC ? BD = AD ? BC ; uuu uuur uuur r uuu r uuur uuur ② | AB + AC + AD |2 =| AB |2 + | AC |2 + | AD |2 .
则下列关于以上两个命题的真假性判断正确的为(
A.①假、②假 B.①真、②假 C.①真、②真


D.①假、②真

1

【例7】 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是侧面 BB1C1C 内一动点,若 P 到直线 BC 与直线 C1 D1 的距离相等,则动点 P 的轨迹所在的曲线是( A. 直线
D1 A1 B1 P D A B C



B. 圆
C1

C. 双曲线

D. 抛物线

【例8】 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PAD 为正三角形,底面 ABCD 为正方形,侧 面 PAD ⊥ 底面 ABCD .M 为底面 ABCD 内的一个动点, 且满足 PM = MC . 则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为(
D M A B A C D M B A C


D M B A C D M B C

A

B

C

D

r r r r r r r r r r 【例9】 已 知 a = (1,, , = (0 ,, , = (1, , , p = a ? b , = a + 2b ? c , 则 1 0) b 1 1) c 0 1) q r r p ? q = _______.

r r r 【例10】 若向量 a = (1 , 0 , 2 ) ,b = ( 0 , 2 , 1) 确定平面的一个法向量 n = ( x , y , 2 ) , 则向量 r r c = 1 , 21 , 2 在 n 上的射影的长是________.

(

)

r r r r r r 【例11】 设向量 a 与 b 互相垂直, 向量 c 与它们构成的角都是 60° 且 | a |= 5 , b |= 3 , c |= 8 , , | | r r r r r r r 那么 (a + 3c) ? (3b ? 2a) = ______, | 2a + b ? 3c |= _________.

r r r r r r r r r r u r r r u r r 【例12】 已知向量 a 和 c 不共线, 向量 b ≠ 0 , (a ? b)c = (b ? c)a , = a + c , ? d , ? = 且 d 则 b



uuur 【例13】 已知点 A , 的坐标分别为 (?2 , , , , 1 , 7) ,则向量 AB 的相反向量的坐标 B 3 5) (1 ? ?

是__________.

2

r r r r 【例14】 已知 a = (2 , , , = (3 , , ) ,若 a ∥ b ,则 x = _____, y = ______. 4 5) b x y

r r r r 【例15】 已 知 向 量 a = (λ + 1 , , λ ) , b = (6 , ? ? 1 , , 若 a ∥ b , 则 λ = ______ , 0 2 2 2)

?=



【例16】 若 A(m + 1 , + 1 , , B (2m , , ? 2n) , C (m + 3 , ? 3 , 三 点 共 线 , 则 n 3) n m n 9)
m+n =



r r r r 【例17】 已 知 向 量 a = (2m ,m ,2) , b = (m ,m + 1 ,? 5) , 若 a , b 垂 直 , 则 r r a + b = _____________. r r r r r 【例18】 已知 a = (2 , , ) , b = (2 , , ,若 | a |= 6 ,且 a ⊥ b ,则 x + y = _________. 4 x y 2)

r r r r r r u r r r r u r π r 【例19】 已知 | a |= 2 , | b |= 3 ,且 a 与 b 的夹角为 , c = 3a + 2b , d = ma ? b ,若 c ⊥ d , 2

则 m = _____.
r r r r r r r r 【例20】 已知 a = (2 , , , b = (4 , , , n ? a = n ? b = 0 ,且 | n |= 1 ,则 n = ______. 2 1) 5 3)

uuu r uuu r uuu r 【例21】 已知 OA = (1 , , , = (2 ,, , = (1 ,, , 为坐标原点, Q 在直线 OP 2 3) OB 1 2) OP 1 2) O 点 uuu uuu r r 上运动,则当 QA ? QB 取得最小值时,点 Q 的坐标为___________.

【例22】 若 A (1 ,? 2 , ) , B ( 2 ,2 ,2 ) ,点 P 在 z 轴上,且 PA = PB ,则点 P 的坐标 1 为 .

【例23】 已知 ?ABC 的三个顶点为 A(3 , , , B(4 , 3 , , C (0 , , ,则 BC 边上的中 3 2) ? 7) 5 1) 线长为(
A.2


B .3 C .4 D.5

uuu r 【例24】 已知空间两个动点 A(m , + m , + m) , (1 ? m , ? 2m , m) ,则 | AB | 的最小值是 1 2 B 3 3

_______.

3

r r r r r r r r 【例25】 设 | a |= 1 , | b |= 2 , 且 a , 的 夹 角 为 120°, 则 (a + b) ? (a ? 2b) = _____ , b r r | 2a + b |= _______.

r r r r r r 【例26】 若 a , 均为单位向量,且 ? a , ? = 60° b b ,则 a + 3b = _______;

r r r r r r 【例27】 已知 | a |= 1 , | b |= 1 , | 3a ? 2b |= 3 ,则 | 3a + b |=



r r r r 【例28】 已知向量 a = (0 , , , b = (?1 ,, 2) ,则 a 与 b 的夹角为( 2 1) 1 ? A.0° B.45° C.90° D.180°



r r r r 【例29】 已知向量 a = (0 , , , b = (?1,, ,则 a 与 b 的夹角为_________; 3 3) 1 0)

r r r ur r r r r r ur r 【例30】 已知 a , , 是空间中两两垂直的单位向量, m = a + b , n = b ? c ,则 m 与 n 的夹 b c

角为



r r r r 【例31】 已知向量 a = (0 , , , = (?1 ,, 2) ,则 a 与 b 的夹角为_________. 2 1) b 1 ?

r r r r r r r r r r 【例32】 若 (a + 3b ) ⊥ (7 a ? 5b ) ,且 (a ? 4b ) ⊥ (7a ? 5b ) ,则 a 与 b 的夹角为________.

r r r r 8 【例33】 若向量 a = (1 , , , b = (2 , 1 , , a , 夹角的余弦值为 ,则 λ = _________. λ 2) ? 2) b 9 r r r r 【例34】 已知向量 a = (2 , 3 , , = (k , , ,若 a 与 b 成 120° 角,则 k = _____. ? 0) b 0 3)

r r r r r r 【例35】 已知向量 a = (1 ,, , b = (?1 , , ,且 k a + b 与 2a ? b 互相垂直,则 k 的值是 1 0) 0 2)

_________.

r r r ur r r r r r ur r 【例36】 已知 a , , 是空间中两两垂直的单位向量, m = a + b , n = b ? c ,则 m 与 n 的夹 b c

角为



uuu r uuur 【例37】 已知 A(2 , 5 , , (2 , 2 , , (1 , 4 , , ? 1) B ? 4) C ? 1) 则向量 AB 与 AC 的夹角为________;

4

ur r ur r ur r r ur r r ur r r 【例38】 设 | m |= 1 ,| n |= 2 ,2m + n 与 m ? 3n 垂直,a = 4m ? n ,b = 7m + 2n , | a |= _____, 则 r r r | b |= ______, ? a , ? = b .

uuu r uuu r uuur uuu uuu uuu r r r 【例39】 已 知 O 为 原 点 , 向 量 OA = (3 , , , = (?1 ,, , ⊥ OA , ∥ OA , 则 0 1) OB 1 2) OC BC uuur AC = ________.

【例40】 已 知 PD 垂 直 正 方 形 ABCD 所 在 平 面 , AB = 2 , E 是 PB 的 中 点 , uuu uuu r r 3 cos < DP , >= AE .以 DA 、 DC 、 DP 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空 3 间坐标系,则点 E 的坐标为 又在平面 PAD 内有一点 F ,当点 F 是 ; 时, EF ⊥ 平面 PCB .

【例41】 已知点 A(a , , , (0 , , , (0 , , ) ,其中 abc ≠ 0 ,求平面 ABC 的一个法向 0 0) B b 0) C 0 c 量.

【例42】 已知空间三点 A(0 , , , (2 ,, , (1 , 1 , , 2 3) B 1 6) C ? 5) uuu uuur r ⑴求以向量 AB , 为一组邻边的平行四边形的面积 S ; AC uuu uuur r r r r ⑵若向量 a 分别与向量 AB , 垂直,且 | a |= 3 ,求向量 a 的坐标. AC

r r 【例43】 已知 a = (1 ,, 6) , b = (2 , , , 1 2 0) r r r r r r ⑴求 a ? b , a + b , ? a , ? ; b r r ⑵求与 a , 同时垂直的单位向量. b r r ⑶当实数 λ 的值为多少时, a + λ b 的模最小.

uuu r 【例44】 已 知 点 P 是 平 行 四 边 形 ABCD 所 在 平 面 外 一 点 , AB = (2 , ? 1 , ? 4) , uuur uuu r AD = (4 , 2 , 0) , AP = ( ?1 , 2 , ? 1) . uuu r ⑴求证: AP 是平面 ABCD 的法向量;⑵求平行四边形 ABCD 的面积.

【例45】 已知 A(1 , , , (4 , , , (2 , , , (10 , , ,求证: A , , , 共面. 0 1) B 4 6) C 2 3) D 14 17) B C D

r r r 【例46】 已知 a = (5 , 2 , , b = (?1 , , 2) , c = (0 ,, , ? 0) 3 ? 1 2) r r r r r r r ⑴求 (a + b) ? (b ? 2c) , | a + 2b + 2c | ;
5

r r ⑵问当实数 λ 的值为多少时, b + λ c 的模最小; r r r ⑶问是否在实数 λ ,使得向量 a 垂直于向量 b + λ c ; r r r ⑷问是否在实数 λ ,使得向量 a 平行于向量 b + λ c .

r r r r 【例47】 设向量 a = (3 , , 4) ,b = (2 ,, ,试确定 λ , 的关系,使 λ a + ? b 与 z 轴垂直. 5 ? 1 8) ?

【例48】 已知 A(?1 , , , ( x , , , (1 , , ,且 A , , 三点在同一直线上,求实数 0 1) B y 4) C 4 7) B C
x , 的值. y

【例49】 在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,求二面角 A1 ? BD ? C1 的大小.

【例50】 已知 A(2 , , , B(?1 , , , C (?2 , , , D (?1 , , , 2 1) 2 4) 4 3) 4 2) ⑴求线段 AC 、 BD 的长; ⑵求证:这四点 A 、 B 、 C 、 D 共面; ⑶求证: AB ∥ CD , AC ⊥ BD ; uuur uuu r ⑷求向量 AC 与 AB 所成的角.

【例51】 已知 A(0 , , , B (?2 ,, , C (1 , 1 , , 2 3) 1 6) ? 5) ⑴求平面 ABC 的一个单位法向量; r ⑵证明:向量 a = (3 , 4 , 与平面 ABC 平行. ? 1)

r r r 【例52】 已知 a = (1 , , 2) , b = (3 , , , c = (?2 , 4 , , 2 ? 4 0) ? 3) r r r r r ⑴求 a + b + c , 3b + 2c ; r r r r r r r r r r r r ⑵计算: (a + b + c) ? (3b + 2c) , | a + b + c | , ? a , + b + c? ; a r r r ⑶写出与向量 a + b + c 平行的单位向量; r r ⑷写出与向量 a , 同时垂直的,且长度为 26 的向量; b r r r ⑸当实数 λ 的值为多少时, a ⊥ (b + λ c) .

uuu r 【例53】 四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形, AB = ( 2 , 1 , 4 ) , ? ? uuur uuu r AD = ( 4 , , ) , AP = ( ?1 , , 1) . 2 0 2 ?

⑴求证: PA ⊥ 平面 ABCD . ⑵求四棱锥 P ? ABCD 的体积; r r r ⑶对于向量 a = ( x1 , 1 , 1 ) , = ( x2 , 2 , 2 ) , c = ( x3 , 3 , 3 ) ,定义一种运算: y z b y z y z

6

r r r (a × b) ? c = x1 y2 z3 + x2 y3 z1 + x3 y1 z2 ? x1 y3 z2 ? x2 y1 z3 ? x3 y2 z1 , uuu uuur uuu r r 试计算 ( AB × AD ) ? AP 的绝对值;说明其与四棱锥 P ? ABCD 的体积的关系,并由 uuu uuur uuu r r 此猜想向量这一运算 ( AB × AD ) ? AP 的绝对值的几何意义.

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