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2013年高二上数学期末试卷及答案(理)


高二理科数学试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 用数学归纳法证明不等式 2 >n 时,第一步需要验证 n0=_____时,不等式成立( A. 5 B. 2 和 4
2
n 2



C. 3
2

/>D. 1 )

2.“ m ? n ? 0 ”是“方程 mx ? ny ? 1 ”表示焦点在 y 轴上的椭圆”的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

3.如图,长方形的四个顶点为 O(0,0), A(4,0), B(4,2), C (0,2) ,曲线 y ? y 点随机投入长方形 OABC 中,则质点落在图中 阴影区域的概率是( A. )
C

x 经过点 B . 现将一质

B

y= x

5 12 3 4

B.

1 2
O A x

C.

2 D. 3

4. 如图,第(1)个图案由1个点组成,第(2)个图案由3个点组成,第(3)个图案由7个点组成,第(4) 个图案由13个点组成,第(5)个图案由21个点组成,??,依此类推,根据图案中点的排列规律, 第100个图形由多少个点组成( )

5. 抛物线 y ? ax 的焦点坐标是(
2

) C. (0, ? )

A. (0,

1 ) 4a

B. (0, ?

1 ) 4a

a 4

D. (0, )

a 4

6. 设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲线的渐近线方程为 a2 b2



) B . y??

A. y ? ? 2 x

2 x 2

C . y ? ?2 x

D. y ? ?

1 x 2


7. 已知椭圆

x2 y 2 ? ? 1( a ? b ? 0 )中, a, b, c 成等比数列,则椭圆的离心率为( a 2 b2
B.

A.

2 2

3 5

C.

5 ?1 2

D.

5 ?1 2


8. 设 a ? 1 ,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围是 ( a 2 (a ? 1) 2
B. ( 2,5) C. (2, 5)

2) A. ( 2,

D. (2,5) )

9. 对于 R 上可导的任意函数 f(x) ,若满足(x-1) f ? x) ( ?0,则必有( A.f(0)+f(2)?2f(1) C. f(0)+f(2)?2f(1)
x

B. f(0)+f(2)?2f(1) D. f(0)+f(2)?2f(1) )

10. 设 a ? R ,若函数 y ? e ? ax , x ? R ,有大于零的极值点,则( A. a ? ?1 B. a ? ?1 C. a ? ?

1 e

D. a ? ?

1 e

3 2 11. 已知 f ( x) ? x ? 3x ? 2 , x1, x2 是区间 ? ?1,1? 上任意两个值, M ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 恒成立,

则 M 的最小值是( A. - 2

) B. 0 C. 2 D. 4 )

12. 若 f ( x) ? ? x 2 ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( A. [?1, ??) B. (?1, ??) C. (??, ?1] D. (??, ?1)

1 2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 若正四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 的底面边长为 2,高为 4,则异面直线 BD1 与 AD 所成角的余弦值 是________. 1 1 1 3 5 14.设 n 为正整数,f(n)=1+ + +?+ ,计算得 f(2)= ,f(4)>2,f(8)> ,f(16)>3,观察上 2 3 n 2 2 述结果,可推测一般的结论为_________________. 15. 不等式 ax ? (a ? 3) x ? (a ? 4) >0 对 a ? ?1, ?) 恒成立,则 x 的取值范围是__________.
2

16.半径为 r 的圆的面积 S(r)= ? r ,周长 C(r)=2 ? r,若将 r 看作(0,+∞)上的变量,则( ? r )`
2 2

=2 ? r

①,①式可以用语言叙述为:圆的面积函数的导数等于圆的周长函数。对于半径为 R

的球,若将 R 看作(0,+∞)上的变量,类比以上结论,请你写出类似于①的式子:

②,②式可以用语言叙述为: 三、解答题:解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤



1 9. (本小题满分 12 分) 设函数 f ( x) ? x ? 3ax ? b(a ? 0) .
3

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在点 (2, f (2)) 处与直线 y ? 8 相切,求 a, b 的值; (Ⅱ)求函 数 f ( x) 的极值点与极值.

21. (本小题满分 12 分)

已知椭圆

x2 y 2 a2 2 , ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,离心率 e ? ?2. 2 a2 b c
????? ???? ?

(I)求椭圆的标准方程; (II)过点 F1 的直线 l 与该椭圆交于 M、N 两点,且 F2 M ? F2 N ? 22. (本 小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? ln x ? 2 x, g( x ) ? a( x 2 ? x ) . (1)若 a ?
1 ,求 F ( x) ? f ( x) ? g( x) 的单调区间; 2

2 26 ,求直线 l 的方程. 3

(2)若 f ( x ) ? g( x ) 恒成立,求 a 的取值范围.


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