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北师大版高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》空间向量运算的坐标表示


北师大版高中数学选修2-1第 二章《空间向量与立体几何》 空间向量运算的坐标表示
1 法门高中姚连省制作

一、向量的直角坐标运算
设a ? (a1, a2 , a3 ),b ? (b1 , b2 , b3 )则
a ? b ?(a ?b , a ? b , a ? b ) ; 1 1 2 2 3 3

a ? b ?(a 1 ?b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 ) ;

?a ? (?a1 , ?a2 , ?a3 ),(? ? R) ;

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3

;

a // b ? a1 ? ?b1 , a2 ? ?b2 , a3 ? ?b3 (? ? R) ; ? a1 / b1 ? a2 / b2 ? a2 / b2 .

a ? b ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 ? 0 ;

2

已知=(3,-2,4),=(-2,5,-3),则

a ? b ? __________
a ? b ? __________
3a ? 5b ? __________ ______

a ? b ? __________
(2a ? b) ? (a ? 2b) ? ____
3

二、距离与夹角
1.距离公式
(1)向量的长度(模)公式

?2 ? ? | a | ? a ? a ? a12 ? a22 ? a32 ?2 ? ? 2 2 2 | b | ? b ? b ? b1 ? b2 ? b3
注意:此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。
4

(2)空间两点间的距离公式
A( x1 , y1 , z1)
B( x2 , y2 , z2 )

终点坐标减 起点坐标

在 空 ???? x2 AB ? (间 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1 ) 直 ???? ???? 角 ???? ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 ?| AB |? AB?AB ? 坐 标 系( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2 ? ( z2 ? z1 )2 d A, B ? 中 ,

5

2.两个向量夹角公式
? ? ? ? a1b1 ? a2b2 ? a3b3 a ?b cos ? a, b ?? ? ? ? ; 2 2 2 2 2 2 | a |?| b | a1 ? a2 ? a3 ? b1 ? b2 ? b3

注意:

? ? ? ? (1)当 cos ? a , b ?? 1 时, 与 b 同向; a

? ? ? a (2)当 cos ? a , b ?? ?1 时, 与

? ? ? ? ? 思考:当 0 ? cos ? a , b ?? 1 及 1 ? cos ? a , b ?? 0

? b 反向; ? ? ? ? (3)当cos ? a , b ?? 0 时,a ? b 。

时,的夹角在什么范围内?
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练习一: 1.求下列两个向量的夹角的余弦:
(1) a ? (2 , ? 3 , 3)
(2) a ? (?1, ? 1, 1) ,

,

b ? (1, 0 , 0) ;
b ? (?1, 0 , 1) ;

2.求下列两点间的距离:

(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ;
(2) C (?3 ,1, 5) , D(0 , ? 2 , 3) .
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三、应用举例
A 例1 已知 A(3 , 3 ,1)、 (1, 0 , 5) ,求: B

(1)线段 AB 的中点坐标和长度; 解:设 M ( x , y , z ) 是 AB 的中点,则
???? 1 ??? ??? ? ? ? 1 ? 3 ? O OM ? (OA ? OB ) ? ?(3 , 3 ,1) ? ?1, 0 , 5 ? ? ? ? 2 , , 3 ? , ? 2 2? ? 2 ?

M

B

? 3 ? ∴点 M的坐标是 ? 2 , , 3 ? . ? 2 ?

d A, B ? (1 ? 3)2 ? (0 ? 3)2 ? (5 ? 1)2 ? 29 .
8

(2)到 A 、B 两点距离相等的点 P ( x , y , z ) 的 坐标 x , y , z 满足的条件。 解:点 P ( x , y , z )到 A 、B 的距离相等,则
( x ? 3)2 ? ( y ? 3)2 ? ( z ? 1)2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 0)2 ? ( z ? 5)2 ,

化简整理,得 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0
即到 A 、B 两点距离相等的点的坐标 ( x , y , z ) 满

足的条件是 4 x ? 6 y ? 8z ? 7 ? 0
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例2

B 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, 1 E1 ?

A1B1 ? D1F1 ? 4

,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
解:设正方体的棱长为1,如图建
C1

z

D1 A1

F1 E1 B1

立空间直角坐标系 O ? xyz ,则

? 3 ? B(1,1, 0) , E1 ?1, ,1? , ? 4 ?
C

D

O
B

y

? 1 ? D(0 , 0 , 0) , F1 ? 0 , ,1? . ? 4 ?

A

x

???? ? 3 ? ? 1 ? ? BE1 ? ?1, ,1? ? (1,1, 0) ? ? 0 , ? ,1? , 4 ? ? 4 ? ?
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例2

B 如图,在正方体 ABCD ? A1B1C1 D1 中, 1 E1 ?
A1B1 4

? D1F1 ?

,求 BE1 与 DF1 所成的角的余弦值。
???? ? 1 ? ? ? 1 ? DF1 ?? 0 , ,1? ? (0 , 0 , 0) ? ? 0 , ,1? . ? 4 ? ? 4 ?
???? ???? ? ? 15 ? 1? 1 BE1 ?DF1 ? 0 ? 0 ? ? ? ? ? ? 1? 1 ? , 16 ? 4? 4

z
D1 A1 F1 E1 B1 C1

D

O

A

x

???? ? ? 17 ???? 17 y | BE1 |? C , | DF1 |? . 4 4 15 ???? ???? ? ? B ???? ???? ? ? BE ?DF1 15 16 ???? 1 ???? ? ? ? cos ? BE1 , DF1 ?? ? . | BE1 | ? | DF1 | 17 17 17 ? 11 4 4

练习二:
正方体A1B1C1D1-ABCD,E、F分别是C1C D1A1的中点, 求 ? AB, EF ? 1) 2)求点A到直线EF 的距离。 (用向量方法)
F A1 B1 E D1 C1

D

C

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A B

练习三:
CA=CB= ,?BCA=90 ,棱AA1=2,M、 1
o

如图:直三棱柱ABC ? A1 B1C1 , 底面?ABC 中, N分别为A1B1、AA1的中点, 1)求BN的长; 2)求 cos ? BA1 , CB1 ? 的值;A 3)求证:A1B ? C1M。
N C
1

C1 B1 M

A

B
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四、课堂小结:
1.基本知识: (1)向量的长度公式与两点间的距离公式; (2)两个向量的夹角公式。 2.思想方法:用向量计算或证明几何问题

时,可以先建立直角坐标系,然后把向量、点坐
标化,借助向量的直角坐标运算法则进行计算或

证明。
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思考题:
已知A(0,2,3)、B( ? 2,1,6), C (1,?1,5), 用向量 方法求?ABC 的面积S。

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