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知能巩固提升(八) 课后巩固作业(八) 1.3.1


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知能巩固提升(八)/课后巩固作业(八)
(时间:30 分钟 满分:50 分) 一、选择题(每小题 4 分,共 16 分) 1.(2012·天津高考)在 (2x 2 ? )5 的二项展开式中,x 的系

数为( (A)10 (B)-10 (C)40 (D)-40 )
1 x

)

2.(2011·陕西高考)(4x-2-x)6(x∈R)展开式中的常数项是( (A)-20 (B)-15 (C)15 (D)20 )

3.(1.05)6 的计算结果精确到 0.01 的近似值是( (A)1.23 (B)1.24 (C)1.33 (D)1.34

4.(2012· 湖北高考)设 a∈Z, 且 0≤a<13, 若 512 012+a 能被 13 整除, 则 a=( (A)0 (B)1 (C)11 (D)12

)

二、填空题(每小题 4 分,共 8 分) 5.(2011·广东高考) x(x ? )7 的展开式中,x4 的系数是_____(用数字作答). 6.(易错题)在 ? x ? 4 3y ? 的展开式中,系数为有理数的项共有_____项.
20

2 x

三、解答题(每小题 8 分,共 16 分) 7.若二项式 (x ? 的值. 8.已知 (3 x ?
2 10 ) 的展开式,求 3x
-1-

a 6 3 ) (a>0) 的展开式中 x 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,求 a x

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(1)展开式第四项的二项式系数; (2)展开式中第四项的系数; (3)第四项. 【挑战能力】 (10 分)已知 ( x ?
1 2 x
4

) n 的展开式中,前三项系数的绝对值依次成等差数列.

(1)证明展开式中没有常数项;(2)求展开式中所有的有理项.

答案解析
k 1.【解析】选 D. Tk ?1 ? ? ?1? C5 ? 2x 2 ? k 5? k k x ? k ? ? ?1? C5 25?k x10?3k , 令 10-3k=1?k=3,∴x k

2 的系数为 ?C3 5 2 ? ?40.

2.【解题指南】根据二项展开式的通项公式写出通项,再进行整理化简,由 x 的指数为 0,确定常数项是第几项,最后计算出常数项. 【解析】选 C.展开式中的通项公式
k Tk ?1 ? C6 ? 4x ? 6?k

? ?2 ?

?x k

k k k k 22x ? 6?k ? ? ?1? 2? xk ? C6 = C6 ? ?1? 212x ?3xk .

4 令 12x-3xk=0,则 k=4,所以 T5 ? C6 ? 15.
6 6 1 2 2 3 3 3.【解析】选 D. ?1.05? ? ?1 ? 0.05 ? ? C0 6 ? C 6 ? 0.05 ? C 6 ? 0.05 ? C 6 ? 0.05 ??

= 1 ? 0.3 ? 0.037 5 ? 0.002 5 ?? ? 1.34. 4.【解题指南】本题考查二项式定理的应用,解答本题把 51 写成 52-1,再按二项 式定理展开即可. 【解析】选 D.∵512 012=(52-1)2 012=
-2-

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2 012 2 011 2 010 011 C0 ? C1 ? C2 ??? C2 2 012 ? 52 2 012 ? 52 2 012 ? 52 2 012 ? 52 ? 1, 2 012 2 011 2 010 011 C0 ? C1 ? C2 ??? C2 2 012 ? 52 2 012 ? 52 2 012 ? 52 2 012 ? 52 能被 13 整除,若 51
2 012

+a 能被

13 整除,则 a+1 能被 13 整除.又 a∈Z,且 0≤a<13,则 a=12.
2 2 n n 【变式训练】若 C1 n x ? Cn x ??? Cn x 能被 7 整除,则 x,n 的值可能为(

)

(A)x=4,n=3 (B)x=4,n=4 (C)x=5,n=4 (D)x=6,n=5 【解题指南】整除问题往往是利用二项式定理逆推,整除问题也是二项式定理
2 2 n n 重要的应用.利用二项式定理把 C1 n x ? Cn x ??? Cn x 化成二项式的形式,然后对照

处理.
n 2 n n 【解析】选 C.由二项式定理可得: C1n x ? C2 n x ??? C n x ? ?1 ? x ? ? 1 ,

观察选项可知:当 x=5,n=4 时, (1+x)n-1=64-1=35×37 能被 7 整除. 5.【解题指南】本题即求 (x ? )7 中 x3 项的系数,利用二项展开式的通项公式
2 k 7?k Tk ?1 ? C7 x ( ? ) k ,由 x 的指数为 3 求出 k 的值,然后再求系数. x 2 x

【解析】展开式通项为
2 k k 7?k k 7 ? 2k Tk ?1 ? C7 x (? ) k ? ? ?2 ? C7 x , x

由 7-2k=3 解得 k=2.
k 2 k 2 ? ? ?2 ? C7 ? 84. 此时 ? ?2 ? C7

答案:84
k 6.【解析】二项展开式的通项公式 Tk ?1 ? C20 x 20?k

? 3y?
4

k

? Ck 20

? 3?
4

k

x 20?k yk (0 ? k ? 20) .

要使系数为有理数,则 k 必为 4 的倍数,所以 k 可为 0,4,8,12,16,20 共 6 项,故系数为有理数的项共有 6 项.
-3-

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答案:6 7.【解析】∵ Tk ?1 ? C x
k 6 6?k 3k 6? a k k k (? ) ? ? ?a ? C6 x 2 , x

2 令 k=2,得 A ? C6 a 2 ? 15a 2 ; 4 令 k=4,得 B ? C6 a 4 ? 15a 4 .

由 B=4A 可得 a2=4,又 a>0,所以 a=2. 8.【解析】 (3 x ?
k Tk ?1 ? C10

?

2 10 ) 的展开式的通项是 3x 10 ? k 2 3 x (? ) k 3x

?

k 2 k k 10?k 5? 3 = (? ) C10 3 x 2 . 3

3 (1)展开式第四项的二项式系数为当 k=3 时, C10 ? 120.
3 37 ? ?77 760. (2)展开式中第四项的系数为 (? )3 C10

2 3

(3)展开式中的第四项为:
?3 2 3 3 7 5? 3 T4 ? (? ) C10 3 x 2 ? ?77 760 x. 3

【挑战能力】 【解题指南】根据题意列出关于 n 的一元二次方程,求出 n 的值,再利用二项 式的通项分别确定常数项和有理项. 【解析】由题意: 2C1n
k ∴ Tk ?1 ? C8 ? x? 8? k

1 1 2 ? 1 ? C2 即 n2-9n+8=0,∴n=8(n=1 舍去), n ( ) , 2 2

(?

1 2 x
4

)k

k x = ( ? )k C8

1 2

8? k 2

x

?

k 4

= ? ?1?

k

16 ?3k k C8 4 x (0 ? k ? 8, k ? Z). 2k

-4-

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(1)若 Tk+1 是常数项,则 即 16-3k=0,

16 ? 3k ?0, 4

∵k∈Z,∴16-3k≠0,∴展开式中没有常数项. (2)若 Tk+1 是有理项,当且仅当
16 ? 3k 为整数, 4

又∵0≤k≤8,k∈Z,∴k=0,4,8, 即展开式中有三项有理项,分别是:T1=x4, T5 ? 【方法技巧】解此类问题的一般步骤 (1)根据给定的条件和通项公式,建立方程来确定指数; (2)根据所求的指数,再求所求解的项; (3)为减少计算中的错误,宜将根式化为分数指数幂.
35 1 ?2 x , T9 ? x . 8 256

-5-


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