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福建省师大附中2014-2015学年高二下学期期中数学试题


福建师大附中 2014-2015 学年第二学期模块考试卷 高二数学选修 1-2(文科)
(满分:150 分,时间:120 分钟) 说明:试卷分第 1 卷和第 2 卷,请将答案填写在答卷纸上,考试结束后只交答案卷。 第 1 卷 共 100 分 一、选择题: ( 每小题 5 分,共 50 分; 在给出的 A、B、C、D 四个选项中,只有一项符合 题目要求 )
2 1. 某 质点按规律 S ? 2t ? 1 ( S 单位:m, t 的单位:s)运动,则该质点在 t ? 1 秒的瞬时

速度为( ) A. 3m/s B. 4m/s C. 5 m/s D. 6m/s 2.下列三句话按“三段论”模式排列顺序正确的是( ) ① y = sin x(x ∈ R )是三角函数;② 三角函数是周期函数; ③ y = sin x(x ∈ R )是周期函数. A.① ② ③ B. ② ① ③ C.② ③ ① D.③ ② ① 3. 函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 1 的单调递减区间为( A. (2, ??) B. ( ??, 2) C. ( ??, 0) ) D. (0, 2)

4.若用反证法证明命题“ a,b ? N ,如果 ab 可被 5 整除,那么 a , b 至少有 1 个能被 5 整 除. ” ,则假设的内容是( ) A. a , b 都能被 5 整除 C. a 不能被 5 整除

B. a , b 都不能被 5 整除 D. a , b 有 1 个不能被 5 整除

5. 若根据 10 名儿童的年龄 x(岁)和体重 y(㎏)数据用最小二乘法得到用年龄预报体重 的 回归方程是 y = 2 x + 7 ,已知这 1 0 名儿童的年龄分别是 2、3、3、5、2、6、7、 3、4、5,则这 10 名儿童的平均体重是( ) A. 17 ㎏ B. 16 ㎏ C. 15 ㎏ D. 14 ㎏

3 6.已知函数 f ( x) ? x ? ax ? 1 ,若 f ( x ) 在 (?1,1) 上单调递减,则 a 的取值范围为(***)

A. a ? 3

B. a ? 3

C. a ? 3

D. a ? 3

7. 如图所示, 某种材料在耐高温实验中, 由微机记录下温度 y 随时间 t 变化的图象.下面说 法正确的是( ) y ①前 5 分钟温度增加的速度越来越快; ②前 5 分钟温度增加的速度越来越慢; ③5 分钟以后温度保持匀速增加;④5 分钟以后温度保持不变. t 5 O A. ①④ B. ②④ C. ②③ D. ①③ 8. 如下图是函数 y ? f ( x) 的导函数 y ? f '( x) 的图象,则下面判断正确的是( A.在区间(-2,1)内 f(x)是增函数 B.在(1,3)内 f(x)是减函数 )

1

C.在(4,5)内 f(x)是增函数

D.在 x=2 时,f(x)取到极小值

y

2 34 O 9.已知函数 f ( x) ? x ? ax 的是( ? bx ? c (a, b, c1 ? R) ,下列结论中错误 5 .. 3 3 x 2
3 2



A. ?x0 ? R, f ( x0 ) ? 0

B. 函数 f ( x ) 的图象是中心对称图形

C. 若 x0 是 f ( x ) 的极小值点,则 f ( x ) 在区间 (??, x0 ) 上递减 D. 若 x0 是函数 f ( x ) 的极值点,则 f '( x0 ) ? 0 . 10. 若函数 f ( x) ? 2 x2 ? ln x 在其定义域的一个子区间 (m, m ? 1) 内有极值, 则实数 m 的取 值范围是( ) A. ?

3 1 ?m?? 2 2

B. m ? ?

1 2

C. ?

1 1 ?m? 2 2

D. 0 ? m ?

1 2

二、填空题(每 小题 5 分,共 15 分) 11.函数 y ? x3 ? x ? 1 在区间 [1, 2] 上的最大值为 12.若对任意 x ? [0,

?
2

] ,不等式 m ? x ? cos x 恒成立,则 m 的范围为 _

_.

13.如图,第 n 个图形是由正 n + 2 边形“ 扩展 ” 而来,( n = 1、2、3、? ) 则在第 n 个图形中共 _ 有个顶点.(用 n 表示)

三、解答题: (本大题共 3 题;满分 35 分) 14.(本小题 10 分)为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该 地区调查了 500 位老年人,结果如下:
是否需要

性别

男 40 160

女 30 270

需要 不需要

2

(Ⅰ)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的老年人的比例; (Ⅱ)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? 附:

P( K 2 ? k )
K2 ? n(ad ? bc) 2 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

0.050 0.001 3.841 10.828

0.010 6.635

k

15.(本小题 12 分)已知函数 f ( x) ? ax3 ? 4 x ? 4(a ? R) 在 x ? 2 取得极值. (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 f ( x) ? b 至多有两个零点,求 b 的取值范围.

16.(本小题 13 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? k )ex (k ? R) . (Ⅰ)若 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 的极值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [0,1] 上的最小值.

第 2 卷 共 50 分 一、填空题(每小题 5 分,共 10 分 ) 17. 若函数 f ( x) ?

1 3 1 2 x ? ax ? bx ? 3 的单调减区间为 [?1,3] ,则 a ? b ? _ 3 2

_

18.已知函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且满足 f (? x) ? f ( x) . 若函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线 方程 为 y ? x ? 3 ,则函数 f ( x ) 在 x ? ?1 处的切线方程为___****____

二、选择题: ( 每小题 5 分,共 10 分;只有一项符合题目要求 ) 19. 函数 f ( x ) 的导函数 f '( x) 的图象是 如图所示的一条直线,该直线与 x 轴的交点坐标为 (1,0) ,则 f (?1) 与 f (2) 的大小关系是(***) A. f (?1) ? f (2) C. f (?1) ? f (2) B. f (?1) ? f (2) D.无法确定

20. 设 a ? 0, b ? 0, e 是自然对数的底数(***)
3

a b A.若 e ? 2a ? e ? 3b , 则 a ? b a b C.若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b

B.若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b
a b

D.若 e ? 2a ? e ? 3b ,则 a ? b
a b

三、解答题: (本大题共 2 题;满分 30 分) 21.(本小题 14 分)在一定面积的水域中养殖某种鱼类,每个网箱的产量 P 是网箱个数 x 的一次函数,如果放置 4 个网箱,则每个网箱的产量为 24 吨;如果放置 7 个网箱,则 每个网箱的产量为 18 吨, 由于该水域面积限制, 最多只能放置 12 个网箱. 已知养殖总 成本为 50+2x 万元. (Ⅰ)试问放置多少个网箱时,总产量 Q 最高? (Ⅱ) 若鱼的市场价为 1 万元/吨, 应放置多少个网箱才能使每个网箱的平均收益最大?

22. (本小题满分 16 分) 设函数 f ? x ? ? ax ? ln x(a ? R) .
2

(Ⅰ)当 a ? ?1 时,求函数 y ? f ?x ?的图象在点 ?1, f ?1?? 处的切线方程; (Ⅱ)已知 a ? 0 ,若函数 y ? f ?x ?的图象总在直线 y ? ?

1 的下方,求 a 的取值范围; 2

(Ⅲ)记 f ? ? x ? 为函数 f ?x ? 的导函数.若 a ? 1 ,试问:在区间 ?1,10? 上是否存在 k ( k ? 100 ) 个正数 x1 , x 2 , x3 ? x k , 使得 f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? f ? ? x3 ? ??? f ? ? xk ? ? 2012 成 立?请证明你的结论.

4

福建师大附中 2014-2015 学年半期考参考答案 BBDBC ABCCD 11. 7 12. m ? 1 13. n ? 5n ? 6
2

14. 解: (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿 者提供帮助,因此该地区老年人中, 需要帮助的老年人的比例的估算值为

70 ? 14% 500

500 ? (40 ? 270 ? 30 ?160)2 ? 9.967 (2) K ? 200 ? 300 ? 70 ? 430
2

由于 9.967>6.635, 所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关。 15. 解(Ⅰ)因为 f ( x) ? ax3 ? 4 x ? 4(a ? R) , 所以 f ' ( x) ? 3ax 2 ? 4 因为函数 f ( x ) 在 x ? 2 时有极值 , 所以 f ' (2) ? 0 ,即 3 ? 4a ? 4 ? 0 得

1 1 3 , 经检验符合题意,所以 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 3 3 ' 2 所以 f ( x) ? x ? 4 ? ( x ? 2)( x ? 2) 令, f ' ( x) ? 0 得, x ? 2, 或 x ? ?2 a?

当 x 变化时 f ' ( x) , f ( x ) 变化如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

(??, ?2)

?2

(?2, 2)

2

(2, ??)

?
单调递增 ↗

0
极大 值

?
单调递减 ↘

0
极小 值

?
单调递增 ↗

所以 f ( x ) 的单调增区间为 (??, ?2) , (2, ??) ;

f ( x) 的单调减区间为 (?2, 2) 。
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 x ? ?2 时, f ( x ) 有极大值,并且极大值为 f ( ?2) ?

28 ;当 x ? 2 时, 3

4 1 f ( x) 有极小值,并且极小值为 f (2) ? ? ;结合函数 f ( x) ? x3 ? 4 x ? 4 的图象,要使 3 3 4 ? ? 28 ? ? 关于 x 的方程 f ( x) ? b 至多有两个零点,则 b 的取值范围为 ? ??, ? ? ? ? , ?? ? . 3? ? 3 ? ?
5

16. 解:(1) f ( x) ? xe x ? f '( x) ? x ' ex ? xex ? ex ( x ? 1) 当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f '( x) ? 0 .

? 在 x ? ?1 处 f ( x) 取得极小值 ?e?1 (2) f '( x) ? ( x ? k )' e x ? ( x ? k )e x ? ex ? ( x ? k )e x ? e x ( x ? k ? 1)

x
f ' ( x)
f ( x)

(??, k ? 1)

k-1

(k ? 1, ??)

?
单调递减↘

0
极小值

?
单调递增↗

①当 k ? 1 ? 1 时,即 k ? 2 时, f ( x ) 在[0,1]为减函数,? f (1)min ? (1 ? k )e ②当 0 ? k ? 1 ? 1 ,即 1 ? k ? 2 , f ( x ) 在[0,k-1)为减函数, (k ? 1,1] 为增函数

? f (k ?1)min ? (k ?1 ? k )ek ?1 ? ?ek ?1 ③当 k ? 1 ? 0 时,即 k ? 1 , f ( x ) 在[0,1]上为增函数,? f (0)min ? ?k
17. ?5 18. y ? ? x ? 3 19.B 20.A
/

2 22. 解: (Ⅰ)当 a ? ?1 时, f ? x ? ? ? x ? ln x , f

?x ? ? ?2 x ? 1 , f / ?1? ? ?1 ,
x

所以切线的斜率为 ? 1 .??????????? 又 f ?1? ? ?1 ,所以切点为 ?1,?1? .

故所求的切线方程为: y ? 1 ? ??x ? 1? 即 x ? y ? 0 .?

1 ? ? 2a ? x 2 ? ? 1 2ax 2 ? 1 2a ? ? ? (Ⅱ) f ? ? x ? ? 2ax ? ? , x ? 0 , a ? 0 .?? x x x 1 令 f / ?x? ? 0 ,则 x ? ? . 2a ? ? ? 1 1 ? ? ,?? ? 当 x ? ? 0, ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 ;当 x ? ? ? ? ? 时, f ' ? x ? ? 0 . 2a ? 2a ? ? ?

1 为函数 f ?x ? 的唯一极大值点, 2a ? 1 ? 1 ? ? = ? 1 ? 1 ln? 所以 f ?x ? 的最大值为 f ? ? ?? ?. ? ? 2a ? 2 2 ? 2a ? ? 1 1 1 ? 1 ? 1 由题意有 ? ? ln? ? ? ? ? ,解得 a ? ? . 2 2 2 ? 2a ? 2 1? ? 所以 a 的取值范围为 ? ? ?,? ? . 2? ? 1 (Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? ? x ? ? 2 x ? . 记 g ? x ? ? f ' ? x ? ,其中 x ? ?1,10? . x
故x?

?

6

1 ? 0 ,∴ y ? g ?x ? 在 ?1,10? 上为增函数, x2 1 201 ? 即 y ? f ' ? x ? 在 ?1,10? 上为增函数.又 f ' ?10 ? ? 2 ? 10 ? , 10 10 201 所以,对任意的 x ? ?1,10? ,总有 f ' ? x ? ? . 10 201 k, 所以 f ' ? x1 ? ? f ' ? x2 ? ? f ' ? x3 ? ? ... ? f ' ? xk ? ? k ? f ' ?10 ? ? 10 201 k ? 2010 . 又因为 k ? 100 ,所以 10 故在区间 ?1,10? 上不存在使得 f ? ? x1 ? ? f ? ? x2 ? ? f ? ? x3 ? ??? f ? ? xk ? ? 2012 成立的
∵当 x ? ?1,10? 时, g ? ? x ? ? 2 ?

k ( k ? 100 )个正数 x1 , x 2 , x3 ? xk .

7


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