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【创新设计】2015高考数学(人教通用,文科)二轮专题训练:小题分类补偿练 函数与导数一]


补偿练 2
一、选择题

函数与导数?一?

(建议用时:40 分钟)

1.下列函数中定义域为 R,且是奇函数的是( A.f (x )=x2 +x C.f (x )=x +sin x 解析 =lg 答案

).

B.f (x )=tan x D.f (x )=lg 1

-x 1+x

函数 f (x )=x 2 +x 不是奇函数; 函数 f (x )=tan x 的定义域不是 R; 函数 f (x ) 1-x 的定义域是(-1,1),因此选 C. 1+x C 2- lg 1 的值为( 25 ). B.2 D.4 2lg B 1 2 x -1 + ln(x -1)的定义域是( ). B.(1,+∞) D.(0,1)∪ (1,+∞) 2 - lg 1 =lg 25 4+ lg 25= lg 100=2.

2.式子 2lg A.1 C.3 解析 答案

3.函数 f (x )=

A.(0,+∞) C.(0,1) 解析 答案

?2x>1, 由? 得 x >1,故函数的定义域是(1,+∞). ?x -1>0, B

4.下列函数 f (x )中,满足“?x1 ,x 2 ∈(0,+∞),且 x1 ≠x 2 ,(x 1 -x2 )[f (x1 )-f (x2 )] <0”的是( 1 A.f (x )= -x x C.f (x )=ln 解析 x ). B.f (x )=x3 D.f (x )=2x

“?x1 ,x2 ∈(0,+∞),且 x1 ≠x 2 ,(x1 -x 2 )[f (x 1 )-f (x2 )]<0”等价于在(0,

1 +∞)上 f (x )为减函数,易判断 f (x )= -x 符合. x 答案 A ).

5.函数 f (x )=excos x 的图象在点(0,f (0))处的切线的倾斜角为( A. C. π 4 3π 4 B.0 D.1

解析

由 f ′(x )=ex(cos x -sin x ),则在点(0,f (0))处的切线的斜率 k =f ′(0)

π =1,故倾斜角为 . 4 答案 A

6.设 a>0,且 a≠1,则“函数 f (x )=ax 在 R 上是增函数”是“函数 g(x )=xa 在 R 上是增函数”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 解析 ). B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

函数 f (x )=ax 在 R 上是增函数,即 a>1;但当 a=2 时,函数 g(x )=x2

1 在 R 上不是增函数.函数 g(x )=xa 在 R 上是增函数时,可有 a= ,此时函数 3 f (x )=ax 在 R 上不是增函数. 答案 D

7.f (x )是 R 上的奇函数,当 x ≥0 时,f (x )=x 3 +ln(1+x ),则当 x <0 时,f (x )= ( ). B.x 3 +ln(1-x ) D.-x 3 +ln(1-x )

A.-x 3 -ln(1-x ) C.x3 -ln(1-x ) 解析 当 x <0 时,-x >0,

f (-x )=(-x )3 +ln(1-x ), ∵f (x )是 R 上的奇函数, ∴x <0 时,f (x )=-f (-x )=-[(-x )3 +ln(1-x )], ∴f (x )=x 3 -ln(1-x ). 答案 C

8.设函数 f (x )=loga |x |在(-∞,0)上单调递增,则

f (a+1)与 f (2)的大小关系是( A.f (a+1)>f (2) C.f (a+1)=f (2) 解析

). B.f (a+1)<f (2) D.不能确定

由已知得 0<a<1,所以 1<a+1<2,根据函数 f (x )为偶函数,可以判

断 f (x )在(0,+∞)上单调递减,所以 f (a+1)>f (2). 答案 A ).

1 9.函数 f (x )= x 2 +2cos x +2 的导函数 f ′(x )的图象大致是( 4

解析

1 ∵f ′(x )= x -2sin x ,显然是奇函数, 2

∴排除 A.当 x →+∞时,f ′(x )→+∞,∴排除 D. 1 而[f ′(x )]′= -2cos x =0 有无穷多个根, 2 ∴函数 f ′(x )有无穷多个单调区间,排除 C、D.故选 B. 答案 B ).

1 10.函数 f (x )=x 2 -ax +1 在区间( ,3)上有零点,则实数 a 的取值范围是( 2 A.(2,+∞) 5 C.[2, ) 2 解析 B.[2,+∞) D.[2, 10 ) 3

1 1 因为 f (x )=x2 -ax +1 在区间( ,3)上有零点,所以 x 2 -ax +1=0 在( , 2 2

1 1 1 3)上有解.由 x 2 -ax +1=0,得 a=x + ,设 g(x )=x + ,则 g′(x )=1- 2, x x x 1 令 g′(x )>0,得 g(x )在(1,+∞),(-∞,-1)上单调递增,令 g′(x )=1- 2< x 1 1 0,得 g(x )在(-1,1)上单调递减,因为 <x <3,所以 g(x )在( ,1)上单调递减, 2 2

1 10 10 在(1,3)上单调递增,所以当 <x <3 时,2≤g(x )< ,所以 a∈[2, ). 2 3 3 答案 D ).

11.设函数 f (x )=x ex,则( A.x =1 为 f (x )的极大值点 B.x =1 为 f (x )的极小值点

C.x =-1 为 f (x )的极大值点 D.x =-1 为 f (x )的极小值点 解析 f ′(x )=ex+x ex=(1+x )ex,

当 x >-1 时,f ′(x )>0,函数 f (x )递增, 当 x <-1 时,f ′(x )<0,函数 f (x )递减, 所以当 x =-1 时,f (x )有极小值. 答案 D

2 ? ? ,x ≥2, 12.已知函数 f (x )=?x 若关于 x 的方程 f (x )=k 有三个不等的实根, ? 2 ?x -3,x <2, 则实数 k 的取值范围是( A.(-3,1) C.(-2,2) 解析 ). B.(0,1) D.(0,+∞)

2 ? ? ,x ≥2, 由函数 f (x )=?x 的图象可知,要使关于 x 的方程 f (x )=k 有 ? 2 ?x -3,x <2

三个不等的实根,则需直线 y=k 与函数 f (x )的图象有三个不同的交点,所以有 0<k <1,所以关于 x 的方程 f (x )=k 有三个不等的实根的实数 k 的取值范围是 (0,1). 答案 B

二、填空题 ?3x ?x ≤0?, 1 13.已知函数 f (x )=? 则 f [f ( )]=__________. 2 ?log2 x ?x >0?, 解析 1 1 f ( )= log2 =-1, 2 2

1 1 ∴ f [f ( )]=3-1 = . 2 3 答案 1 3 1 的值域是__________. |x |+1

14.函数 f (x )=ln 解析 =ln

1 1 因为|x |≥0,所以|x |+1≥1,所以 0< ≤1,所以 ln ≤0,即 f (x ) |x |+1 |x |+1

1 的值域为(-∞,0]. |x |+1 (-∞,0]

答案

15.已知 f (x )=x 2 +2xf ′(1),则 f ′(0)=__________. 解析 f ′(x )=2x +2f ′(1),

∴f ′(1)=2+2f ′(1), 解得 f ′(1)=-2. 所以 f ′(x )=2x -4. ∴f ′(0)=-4. 答案 -4

16.已知 a>0,函数 f (x )=x3 +ax2 +bx +c 在区间[-2,2]上单调递减,则 4a+b 的 最大值为________. 解析 ∵f (x )=x 3 +ax2 +bx +c, ∴f ′(x )=3x2 +2ax +b, ∵函数 f (x )在区间[-2,2]

上单调递减,∴f ′(x )=3x 2 +2ax +b≤0 在[-2,2]上恒成立. ∵a>0,∴- 2a a =- <0,∴f ′(x )max =f ′(2)≤0,即 4a+b ≤-12,∴4a 2×3 3

+b 的最大值为-12. 答案 -12


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