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1[1].3.1柱、锥、台的表面积与体积


1、通过对柱、锥、台体的研究,掌握

柱、锥、台的表面积和体积的求法;
2、能运用公式求解,柱体、椎体、 台体的表面积和体积,并且熟悉台体

与柱体和锥体之间的转换关系。

一、棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积的求法: 在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图, 正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗?



几何体表面积

展开图

平面图形面积 平面问题

空间问题

探究:棱柱、棱锥、棱台也是由多个平
面图形围成的多面体,它们的展开图是 什么?如何计算它们的表面积?

S表=S底+S侧

棱柱的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

h
正棱柱的侧面展开图

S直棱柱侧=ch

S表=S底+S侧

棱锥的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开
h'

正棱锥的侧面展开图

h'

1 S正 棱 锥 侧 = ch' S表=S底+S侧 2

棱台的侧面展开图是什么?如何计算它的表面积?

侧面展开
h'

正棱台的侧面展开图

1 S正 棱 台 侧 (c ? c' )h' = 2

h'

S表=S底+S侧

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的 几何体,它们的侧面展开图还是平面图形,计 算它们的表面积就是计算它的各个侧面面积和 底面面积之和.

S表=S底+S侧

直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积公式之间 有什么关系?
上底扩大 上底缩小

h'

1 = (c+c' )h' / /=c S 正 棱 台 c c =0 2

S直棱柱 ch' ? ch =

1 S 三 棱 锥= ch' 2

练习:已知棱长为 a ,各面均为等边三角形
的三棱锥 S ? ABC ,则它的
3 2 a ①底面积为_______, 4
S

3 3 2 a ②侧面积为_______, 4

C
A
B

3a ③表面积为_______.

2

8

二、圆柱、圆锥、圆台的展开图及表面积的求法:

r O?
l
O
2? r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱侧 ? S长方形 2?rl =

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r ( r ? l )
2

圆锥的侧面展开图是扇形

2?r

S圆锥侧 ? ?rl
2

l

r

O

S ? ? r ? ? rl ? ? r (r ? l )

r 'O’
l

2?r '

圆台的侧面展开图是扇环

2?r

r

O

S圆台侧=S扇环=?(r ? r )l
/

S ? ? (r ? r ? r l ? rl )
'
2

2

'

x

r 'O’
l

2?r '

r x ? r x?l
2?r

'

rx ? r x ? r l
' '
' '

r
S侧

O

? ? r (l ? x) ? ? r x ? ? (rl ? rx ? r x )

? ? ( r l ? rl )
'

圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么 关系?
r
O?
上底扩大

r 'O’
l

l

上底缩小

l

O
'2

r

O
2 '

r

O

r/=r
2

S ? ? (r ? r ? r l ? rl )

r/=0

S ? 2? r ? 2? rl ? 2? r (r ? l )

S ? ? r 2 ? ? rl ? ? r (r ? l )

练习:看图回答问题
r ?1
r' ? 1

h?2

l ?2

r ?1

l ?2

r?2

4? S圆柱侧 ? __ ??S圆锥侧 ? __??????? 2? S圆台侧 ? __ 6? S圆柱表 ? 6???S __????????? ? __? S 3 ? 11? __
圆锥表

圆台表

三、柱体、椎体、台体的体积的求法: 以前学过特殊的棱柱——正方体、长方体以及 圆柱的体积公式,它们的体积公式可以统一为:

V ? Sh (S为底面面积,h为高)

一般棱柱体积也是:

V ? Sh
其中S为底面面积,h为棱柱的高.

将一个三棱柱按如图所示分解成三个三棱锥, 那么这三个三棱锥的体积有什么关系?它们与 三棱柱的体积有什么关系?

3 2 1 1 2

3

经过探究得知,棱锥是同底等高的棱柱体积的 1 .

即棱锥的体积:

3

由此可知,棱柱与圆柱的体积公式类似,都是 底面面积乘高;棱锥与圆锥的体积公式类似, 都是等于底面面积乘高的 1 .

1 V ? Sh(其中S为底面面积,h为高) 3

圆锥的体积公式:

3

1 V ? Sh 3

(其中S为底面面积,h为高)

根据台体的特征,如何求台体的体积?
由于圆台(棱台)是由圆锥(棱锥) 截成的,因此可以利用两个锥 体的体积差.得到圆台(棱台) 的体积公式(过程略).
P
A?

S?
B?

D?

C?

h
S

D

V ? VP? ABCD ? VP? A?B?C?D? 1 ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

A

C
B

棱台(圆台)的体积公式:

其中 S , S ? 分别为上、下底面面积,h为圆台 (棱台)的高.

1 V ? ( S ? ? S ?S ? S )h 3

x ? ? x?h

s' s
' '

S

'

x
h

s? s 1 1 ' 1 1 1 ' V台 ? S(h ? x) ? S x ? Sh ? Sx ? S x 3 3 3 3 3
1 1 ? Sh ? ( S ? S ' ) 3 3 h s' s ? s'

?x ?

h s

S

1 1 ? Sh ? ( s ? 3 3

1 s ) h s ? h( s ? 3
' '

ss ? s )
' '

柱体、锥体、台体的体积公式之间有什么 关系?
上底扩大 上底缩小

V ? Sh

S ? ? S V ? 1 (S ? ?

S为底面面积, h为锥体高

3 S分别为上、下底面 面积,h 为台体高

S ?S ? S )h

S? ? 0

1 V ? Sh 3

S为底面面积, h为柱体高

练习:有一堆规格相同的铁制六角螺帽, 已知底面是正六边形,边长为12mm,内 孔直径为10mm,高为10mm,问六角螺 帽的体积是多少?
解:六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差,即:
3 10 2 2 V? ?12 ? 6 ?10 ? 3.14? ( ) ?10 4 2

? 2956 mm ) (
3

? 2.956(cm )
3

【总一总★成竹在胸】
1.柱体、椎体、台体的表面积公式;

2.柱体、椎体、台体的体积公式;
3.台体与柱体和椎体之间的转换关系.


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