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2004-2013上海历年高考数学圆锥曲线大题-理


2004-2013 上海历年高考数学圆锥曲线大题-理

19. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满 (2005 上海) 分 8 分. 如图,点 A、B 分别是椭圆

x2 y2 ? ? 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 36 20

P 在椭圆上,且位于

x 轴上方, PA ? PF . (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 上的一点,M 到直线 AP 的距离等于 | MB | ,求椭圆上的点 到点 M 的距离 d 的最小值.

[解](1)由已知可得点 A(-6,0) ,F(4,0) 设点 P 的坐标是 ( x, y ), 则 AP ? {x ? 6, y}, FP ? {x ? 4, y} ,由已知得

? x2 y2 ?1 3 ? ? 则2 x 2 ? 9 x ? 18 ? 0, x ? 或x ? ?6. ? 36 20 2 ?( x ? 6)( x ? 4) ? y 2 ? 0 ?
由于 y ? 0, 只能x ?

3 5 3 5 , 于是y ? 3,?点P的坐标是( , 3 ). 2 2 2 2

(2)直线 AP 的方程是 x ? 3 y ? 6 ? 0. 设点 M 的坐标是(m,0) ,则 M 到直线 AP 的距离是 于是

|m?6| ?| m ? 6 |, 又 ? 6 ? m ? 6, 解得m ? 2, 2

|m?6| , 2

椭圆上的点 ( x, y ) 到点 M 的距离 d 有

d 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? 4 x ? 4 ? 20 ?
由于 ? 6 ? x ? 6,?当x ?

5 2 4 9 x ? ( x ? ) 2 ? 15, 9 9 2

9 时, d取得最小值 15 . 2

(2006 上海)

20. (本小题满分 14 分)

在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 与抛物线 y2 = 2x 相交于 A , B 两点。 (1) 求证: “如果直线 l 过点 T( 3 , 0 ),那么 OA ? OB ? 3 ”是真命题; (2) 写出(1)中命题的逆命题,判断它是真命题还是假命题,并说明理由。 [解](1)设过点 T(3,0)的直线 l 交抛物线 y2=2x 于点 A(x1,y1)、B(x2,y2).
当直线 l 的钭率不存在时,直线 l 的方程为 x=3,此时,直线 l 与抛物线相交于点 A(3,

6 )、B(3,-

6 ).

∴ OA ? OB =3;

当直线 l 的钭率存在时,设直线 l 的方程为

y ? k ( x ? 3) ,其中 k ? 0 ,

由?

? y2 ? 2x 得 ky 2 ? 2 y ? 6k ? 0 ? y1 y 2 ? ?6 ? y ? k ( x ? 3)

x1 ? 1 y12 , x2 ? 1 y2 2 , 2 2 ??? ? ??? ? ∴ OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 1 ( y1 y2 ) 2 ? y1 y2 ? 3 , 4
又 ∵ 综上所述,命题“如果直线 l 过点 T(3,0),那么 OA ? OB =3”是真命题; (2)逆命题是:设直线 l 交抛物线 y2=2x 于 A、B 两点,如果 OA ? OB =3,那么该直线过点 T(3,0).该命题 是假命题. 例如:取抛物线上的点 A(2,2),B( 直线 AB 的方程为:

??? ? ??? ? 1 OB =3, ,1),此时 OA? 2

y ? 2 ( x ?1) ,而 T(3,0)不在直线 AB 上; 3 说明:由抛物线 y2=2x 上的点 A (x1,y1)、B (x2,y2) 满足 OA ? OB =3,可得 y1y2=-6,
或 y1y2=2,如果 y1y2=-6,可证得直线 AB 过点(3,0);如果 y1y2=2,可证得直线 AB 过点(-1,0),而不过点(3,0).

(2007 上海)21. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满 分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 我们把由半椭圆

x2 y2 y2 x2 ? ? 1 ? ? 1 ( x ≤ 0) 合成的曲线称 与半椭圆 ( x ≥ 0) a2 b2 b2 c2

作“果圆” ,其中 a 2 ? b 2 ? c 2 , a ? 0 , b ? c ? 0 .

如图,点 F0 , F1 , F2 是相应椭圆的焦点, A1 , A2 和 B1 , B 2 分别是“果圆”与 x , y y 轴的交点. B2 (1)若 △F0 F1 F2 是边长为 1 的等边三角形,求 “果圆”的方程;

.F .

2

b (2)当 A1 A2 ? B1 B2 时,求 的取值范围; a
(3)连接“果圆”上任意两点的线段称为“果圆” 的弦.试研究:是否存在实数 k ,使斜率为 k 的“果圆”

A1

O

F0

.

A2

x

F1
B1

平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上?若存在,求出所有可能的 k 值;若不存在,说明理 由. 21. 解: (1)? F0 ( c, 0), F1 0, ? b2 ? c2 , F2 0,b2 ? c2 ,
? F0 F2 ?

?

?

?

?

?b

2

? c 2 ? ? c 2 ? b ? 1, F1 F2 ? 2 b 2 ? c 2 ? 1 ,

3 7 于是 c2 ? , a2 ? b2 ? c2 ? ,所求“果圆”方程为 4 4 4 2 4 x ? y 2 ? 1 ( x ≥ 0) , y 2 ? x 2 ? 1 ( x ≤ 0) . 7 3

(2)由题意,得

a ? c ? 2b ,即 a 2 ? b 2 ? 2b ? a .
b 4 ? . a 5

? ( 2b)2 ? b2 ? c 2 ? a 2 ,? a 2 ? b 2 ? (2b ? a) 2 ,得
又b ? c ? a ? b , ?
2 2 2 2

b2 1 b ? 2 4? ? ?? , ? ? . ?. a ? a2 2 ? 2 5?
x2 y 2 y 2 x2 ? 2 ? 1 ( x ≥ 0) , 2 ? 2 ? 1 ( x ≤ 0) . 2 a b b c x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的交点是 a 2 b2
? ? t2 t ?. ? ? c 1? 2 , ? ? b ? ?

(3)设“果圆” C 的方程为 记平行弦的斜率为 k .

当 k ? 0 时,直线 y ? t ( ? b ≤ t ≤ b ) 与半椭圆

P ? a 1?
? ?

?

y 2 x2 t2 ? , t ? ,与半椭圆 2 ? 2 ? 1 ( x ≤ 0) 的交点是 Q 2 ? b b c ?

? a?c t2 ?x ? ? 1? 2 , y ) 满足 ? ? P,Q 的中点 M ( x, 2 b ? y ? t, ?



x2 ? a?c ? ? ? ? 2 ?
2

?

y2 ?1. b2

a ? c ? 2b a ? c ? 2b ? a?c ? 2 ? ?0. ? a ? 2b ,? ? ? ?b ? ? 2 ? 2 2

2

综上所述,当 k ? 0 时, “果圆”平行弦的中点轨迹总是落在某个椭圆上. 当 k ? 0 时 , 以 k 为 斜 率 过 B1 的 直 线 l 与 半 椭 圆
? 2ka 2b k 2 a 2b ? b3 ? . ,2 2 ? 2 2 2 2 ? ?k a ?b k a ?b ?

x2 y 2 ? ? 1 ( x ≥ 0) 的 交 点 是 a 2 b2

由此,在直线 l 右侧,以 k 为斜率的平行弦的中点轨迹在直线 y ? ? 某一椭圆上. 当 k ? 0 时,可类似讨论得到平行弦中点轨迹不都在某一椭圆上.

b2 x 上,即不在 k a2

(2008 上海)20. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满 分 5 分,第 3 小题满分 8 分。 设 P(a, b)(b ? 0) 是平面直角坐标系 xOy 中的点,l 是经过原点与点 (1, b) 的直线,记 Q 是直线 l 与抛物线 x ? 2 py ( p ≠0)的异于原点的交点.
2

(1)已知 a ? 1, b ? 2, p ? 2 .,求点 Q 的坐标;

x2 1 ? y 2 ? 1上, p ? . 求证:点 Q 落在双曲线 ( 2 ) 已 知 点 P(a, b)(ab ? 0) 在 椭 圆 4 2ab
4 x 2 ? 4 y 2 =1 上;
(3)已知动点 P(a, b) 满足 ab ? 0 , p ?

1 ,若点 Q 始终落在一条关于 x 轴对称的抛物 2ab

线上,试问动点 P 的轨迹落在哪条双曲线上,并说明理由.

(2009 上海)21. (本题满分 16 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 8 分,第 2 小题满 分 8 分。

已知双曲线 c :

v x2 ? y 2 ? 1, 设过点 A(?3 2, 0) 的直线 l 的方向向量 e ? (1, k ) 2

(1) 当直线 l 与双曲线 C 的一条渐近线 m 平行时,求直线 l 的方程及 l 与 m 的距离; (2) 证明: 当k >

2 时, 在双曲线 C 的右支上不存在点 Q, 使之到直线 l 的距离为 6 。 2

21.(1)双曲线 C 的渐近线 m :

x ? 2 y ? 0............2分 2
w.w.w. k.s .5.u.c.o.m

?直线 l 的方程 x ? 2 y ? 3 2 ? 0 ………………..6 分
直线 l 与 m 的距离 d ?

3 2 ? 6 ……….8 分 1? 2

(2)设过原点且平行与 l 的直线 b : kx ? y ? 0 则直线 l 与 b 的距离 d ?

3 2k 1? k 2

当k ?

2 时,d ? 6 ,又双曲线 C 的渐近线为 x ? 2 y ? 0 2

?双曲线 C 的右支在直线 b 的右下方,?双曲线 C 右支上的任意点到直线 l 的距离为 6 。
故在双曲线 C 的右支上不存在点 Q ,使之到直线 l 的距离为 6 。 [ 证法二] 双曲线 C 的右支上存在点 Q ( x0 , y0 ) 到直线 l 的距离为 6 ,

? kx0 ? y0 ? 3 2 ? ? 6, (1) 则? 1? k 2 ? ? x0 ? 2 y0 ? 2, (2)
2 由(1)得 y0 ? kx0 ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k ,

设 t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k 当k ?

2

2 2 , t ? 3 2k ? 6 ? 1 ? k ? 0………………………………..13 分 2
2 2 2 代入(2)得 (1 ? 2k ) x0 ? 4ktx0 ? 2(t ? 1) ? 0

将 y0 ? kx0 ? t

(*)

?k ?

2 , t ? 0,?1 ? 2k 2 ? 0, ?4kt ? 0, ?2(t 2 ? 1) ? 0 2
w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

?方程(*)不存在正根,即假设不成立

故在双曲线 C 的右支上不存在 Q,使之到直线 l 的距离为 6 …………….16 分 (2010 上海)23(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 9 分.

x2 y 2 已知椭圆 ? 的方程为 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ,点 P 的坐标为(-a,b). a b
(1)若直角坐标平面上的点 M、A(0,-b),B(a,0)满足 PM = 标; ( 2 ) 设 直 线 l1 : y ? k1 x ? p 交 椭 圆 ? 于 C 、 D 两 点 , 交 直 线 l2 : y ? k2 x 于 点 E . 若
? ? 1 ? ( PA + PB) ,求点 M 的坐 2

k1 ? k2 ? ?

b2 ,证明: E 为 CD 的中点; a2
? ? ?

(3)对于椭圆 ? 上的点 Q(a cosθ ,b sinθ ) (0<θ <π ) ,如果椭圆 ? 上存在不同的 两个交点 P1 、 P2 满足 PP1 + PP2 = PQ ,写出求作点 P1 、 P2 的步骤,并求出使 P1 、 P2 存在 的θ 的取值范围.
a b 解析:(1) M ( , ? ) ; 2 2

? y ? k1 x ? p ? (2) 由方程组 ? x 2 y 2 ,消 y 得方程 (a 2 k12 ? b2 ) x2 ? 2a 2 k1 px ? a 2 ( p 2 ? b2 ) ? 0 , ? 2 ? 2 ?1 b ?a

因为直线 l1 : y ? k1 x ? p 交椭圆 ? 于 C 、 D 两点, 所以?>0,即 a2 k12 ? b2 ? p 2 ? 0 , 设 C(x1,y1)、D(x2,y2),CD 中点坐标为(x0,y0),
? x1 ? x2 a2k p ?? 2 21 2 ? x0 ? 2 a k1 ? b ? 则? , 2 ?y ? k x ? p ? b p 1 0 ? 0 a 2 k12 ? b 2 ?
? y ? k1 x ? p 由方程组 ? ,消 y 得方程(k2?k1)x?p, ? y ? k2 x

? a 2 k1 p p x ? ? ? ? x0 ? k2 ? k1 a 2 k12 ? b 2 b2 ? 又因为 k2 ? ? 2 ,所以 ? , 2 a k1 ?y ? k x ? b p ? y 2 0 ? a 2 k12 ? b 2 ?

故 E 为 CD 的中点; (3) 求作点 P1、P2 的步骤:1?求出 PQ 的中点 E (? 2?求出直线 OE 的斜率 k2 ? ?
b(1 ? sin ? ) , a(1 ? cos? )
a(1 ? cos? ) b(1 ? sin ? ) , ), 2 2

??? ? ???? ??? ? b2 b(1 ? cos? ) ? PP ? PQ 3?由 PP 知 E 为 CD 的中点, 根据 (2) 可得 CD 的斜率 , k ? ? ? 1 2 1 2 a k2 a(1 ? sin ? )

4?从而得直线 CD 的方程: y ?

b(1 ? sin ? ) b(1 ? cos ? ) a(1 ? cos ? ) ? (x ? ), 2 a(1 ? sin ? ) 2

5?将直线 CD 与椭圆 Γ 的方程联立,方程组的解即为点 P1、P2 的坐标. 欲使 P1、P2 存在,必须点 E 在椭圆内, 所以

(1 ? cos? )2 (1 ? sin ? )2 ? 2 1 , ? ? 1 ,化简得 sin ? ? cos? ? , sin(? ? ) ? 4 4 4 4 2

又 0<? <?,即 ?

?
4

?? ?

?
4

?

? ? 2 3? ,所以 ? ? ? ? ? arcsin , 4 4 4 4
2 ). 4

故? 的取值范围是 (0,

?
4

? arcsin

(2011 上海)23.(本大题满分 18 分,第 1 小题满分 4 分,第二小题满分 6 分,第 3 小题满 分 8 分) 已知平面上的线段 l 及点 P ,任取 l 上一点 Q ,线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到线段

l 的距离,记作 d ( P, l )
(1)求点 P(1,1) 到线段 l : x ? y ? 3 ? 0 (3 ? x ? 5) 的距离 d ( P, l ) ; (2)设 l 是长为 2 的线段,求点的集合 D ? {P d ( P, l ) ? 1} 所表示的图形面积; ( 3 ) 写 出 到 两 条 线 段 l1 , l2 距 离 相 等 的 点 的 集 合 ? ? {P d ( P, l1 ) ? d ( P, l2 )} , 其 中

l1 ? AB, l2 ? CD , A, B, C, D 是下列三组点中的一组.
对于下列三种情形,只需选做一种,满分分别是①2 分,② 6 分,③8 分;若选择了多于一 种情形,则按照序号较小的解答 计分. ① A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1,0) . ② A(1,3), B(1,0), C (?1,3), D(?1, ?2) . ③ A(0,1), B(0,0), C (0,0), D(2,0) .

(2012 上海)22.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2 x ? y ? 1 .
2 2

(1)过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围 成 的三角形的面积; (4 分) (2)设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点,若 l 与圆 x ? y ? 1相切,求证: OP⊥OQ; (6 分)
2 2

(3)设椭圆 C2 : 4 x ? y ? 1 . 若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON, 求证:O 到直线 MN 的距离是定值.(6 分)
2 2

[解](1)双曲线 C1 :

x2
1 2

? y 2 ? 1 ,左顶点 A(?

2 2

, 0) ,渐近线方程: y ? ? 2 x .
2 2

过点 A 与渐近线 y ? 解方程组 ?

2 x 平行的直线方程为 y ? 2 ( x ?
,得 ?

), 即 y ? 2 x ?1.
……2 分

? y?? 2 x ?y ? 2 x ?1

? ?x ? ? 1 ? ?y ? 2
1 2

2 4

.
2 8

所以所求三角形的面积 1 为 S ? 故
|b | 2

| OA || y |?

.

……4 分 ……6 分

(2)设直线 PQ 的方程是 y ? x ? b .因直线与已知圆相切,

? 1 ,即 b2 ? 2 .

由?

? y ? x?b ,得 x 2 ? 2bx ? b2 ? 1 ? 0 . 2 2 ?2 x ? y ? 1

设 P(x1, y1)、Q(x2, y2),则 ? 又 2,所以

? x1 ? x2 ? 2b . 2 ? x1 x2 ? ?b ? 1

OP ? OQ ? x1 x2 ? y1 y2 ? 2 x1 x2 ? b( x1 ? x2 ) ? b 2

? 2(?b 2 ? 1) ? b ? 2b ? b2 ? b2 ? 2 ? 0 ,
故 OP⊥OQ. (3)当直线 ON 垂直于 x 轴时, |ON|=1,|OM|=
2 2

……10 分
3 3

,则 O 到直线 MN 的距离为
2 2

.

当直线 ON 不垂直于 x 轴时, 设直线 ON 的方程为 y ? kx (显然 | k |?
2 ? ? y ? kx ?x ? 由? 2 ,得 ? 2 2 ? ?4 x ? y ? 1 ?y ?
2 同理 | OM | ? 1? k 2 . 2 k 2 ?1

x. ) ,则直线 OM 的方程为 y ? ? 1 k
1? k 2 4? k 2

1 4? k 2 k2 4? k 2

2 ,所以 | ON | ?

. ……13 分

设 O 到直线 MN 的距离为 d,因为 (| OM | ? | ON | )d ?| OM | | ON | ,
2 2 2 2 2

所以 d12 ?

1 |OM | 2

1 ? |ON ? |2

3k 2 ? 3 k 2 ?1

? 3 ,即 d=

3 3

. ……16 分

综上,O 到直线 MN 的距离是定值.

(2013 上海)22.如图,已知双曲线 C1:

x2 2 -y =1,曲线 C2:|y|=|x|+1.P 是平面 2

内一点,若存在过点 P 的直线与 C1、C2 都有公共点,则称 P 为“C1C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“C1C2 型点”时,要使用一条过该焦点的直线,试写出一条这 样的直线的方程(不要求验证); (2)设直线 y=kx 与 C2 有公共点,求证|k|>1,进而证明原点不是“C1C2 型点”;

(3)求证:圆 x +y =

1 内的点都不是“C1C2 型点”. 2 解:(1)C1 的左焦点为 (? 3, 0) ,写出的直线方程可以是以下形式:
2 2

x= ? 3 或 y= k ( x ? 3) ,其中|k|≥
(2)因为直线 y=kx 与 C2 有公共点, 所以方程组 ?

3 . 3

x ?1 ? y ? kx, 有实数解,因此|kx|=|x|+1,得|k|= >1. |x| ?| y |?| x | ?1

若原点是“C1C2 型点”,则存在过原点的直线与 C1、C2 都有公共点. 考虑过原点与 C2 有公共点的直线 x=0 或 y=kx(|k|>1). 显然直线 x=0 与 C1 无公共点.

? y ? kx, ? 如果直线为 y=kx(|k|>1),则由方程组 ? x 2 2 ? ? y ?1 ?2 2 2 得x= <0,矛盾.所以直线 y=kx(|k|>1)与 C1 也无公共点. 1 ? 2k 2
因此原点不是“C1C2 型点”. (3)记圆 O:x +y =
2 2

1 ,取圆 O 内的一点 Q.设有经过 Q 的直线 l 与 C1、C2 都有公共点.显 2

然 l 不垂直于 x 轴, 故可设 l:y=kx+b. 若|k|≤1,由于圆 O 夹在两组平行线 y=x±1 与 y=-x±1 之间,因此圆 O 也夹在直线 y= kx±1 与 y=-kx±1 之间,从而过 Q 且以 k 为斜率的直线 l 与 C2 无公共点,矛盾,所以|k| >1.

? y ? kx ? b, ? 因为 l 与 C1 有公共点,所以方程组 ? x 2 有实数解, 2 ? ? y ?1 ?2
得(1-2k )x -4kbx-2b -2=0. 2 因为|k|>1,所以 1-2k ≠0, 2 2 2 2 2 因此 Δ =(4kb) -4(1-2k )(-2b -2)=8(b +1-2k )≥0, 2 2 即 b ≥2k -1. 因为圆 O 的圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= 所以
2 2 2 2

|b| 1? k 2



b2 1? k 2 1 2 2 2 = d < ,从而 >b ≥2k -1, 1? k 2 2 2
2 2

得 k <1,与|k|>1 矛盾. 因此,圆 x +y =

1 内的点都不是“C1C2 型点”. 2


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