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2012-2013学年江苏省无锡市高三(上)期末数学试卷有答案哦


2012-2013 学年江苏省无锡市高三(上)期末数学 试卷

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2012-2013 学年江苏省无锡市高三(上)期末数学 试卷
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上. ) 2 1. 分)设全集 U=R,集合 A={

x|x ﹣2x<0},B={x|x>1},则集 A∩UB= _________ . (5 ? 2. 分)已知 i 是虚数单位,则 (5 等于 _________ .

3. 分)某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽取一个容量为 200 (5 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为 _________ . 4. 分)右边的程序语句运行后,输出的 S 为 _________ . (5

5. 分)在△ (5 ABC 中,∠ A=45°,∠ C=105°,BC= 6. 分) (5 (2005?湖北)已知向量 _________ .

,则 AC 的长度为 _________



不超过 5,则 k 的取值范围是

7. 分) (5 已知 P: |x﹣a|<4; (x﹣2) q: (3﹣x) >0, 若?p 是?q 的充分不必要条件, a 的取值范围为 则

_________ .

8. 分)已知变量 x,y 满足约束条件 (5

,表示平面区域 M,若﹣4≤a≤t 时,动直线 x+y=a 所经过的平面

区域 M 的面积为 7.则 t= _________ . 9. 分) (5 (2013?南充一模)已知圆 C1: (X+1) +(y﹣1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 X﹣Y﹣1=0 对称,则圆 C2 的方程为 _________ . 10. 分)等差数列{an}的公差为﹣2,且 a1,a3,a4 成等比数列,则 a20= _________ . (5 11. 分) (5 (2011?郑州三模)如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于 点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 _________ .
2 2 2

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12. 分)设函数 (5

.若 f(x)+f′ (x)是奇函数,则 φ=

_________ .

13. 分)定义一个对应法则 f:P(m,n)→p′ (5 (m,2|n|) .现有直角坐标平面内的点 A(﹣2,6)与点 B(6, ﹣2) ,点 M 是线段 AB 上的动点,按定义的对应法则 f:M→M′ .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 时, 点 M 的对应点 M′ 经过的路线的长度为 _________ .

14. 分)已知关于 x 的函数 y= (5

(t∈R)的定义域为 D,存在区间[a,b]?D,f(x)的值域也是[a,

b].当 t 变化时,b﹣a 的最大值= _________ . 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分)已知向量 (Ⅰ )求 f(x)的最小正周期 T; (Ⅱ )若方程 f(x)﹣t=0 在 上有解,求实数 t 的取值范围. ,向量 ,函数 ? .

16. (14 分)如图,四棱锥 P﹣A BCD 中,底面 ABCD 为菱形,BD⊥ PAC,A C=10,PA=6,cos∠ 面 PCA= ,M 是 PC 的中点. (Ⅰ )证明 PC⊥ 平面 BMD; (Ⅱ )若三棱锥 M﹣BCD 的体积为 14,求菱形 ABCD 的边长.

17. (14 分)要制作一个如图的框架(单位:米) ,要求所围成的总面积为 19.5(米 ) ,其中 ABCD 是一个矩形, EFCD 是一个等腰梯形,梯形高 h= AB,tan∠ FED= ,设 AB=x 米,BC=y 米. (Ⅰ )求 y 关于 x 的表达式; (Ⅱ )如何设计 x,y 的长度,才能使所用材料最少?

2

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18. (16 分)如图,已知椭圆 C:

=1 的离心率为

,过椭圆 C 上一点 P(2,1)作倾斜角互补的两条直线,

分别与椭圆交于点 A、B,直线 AB 与 x 轴交于点 M,与 y 轴负半轴交于点 N. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程: (Ⅱ )若 S△ = ,求直线 AB 的方程. PMN

19. (16 分)已知数列{an}中,a1=2,n∈N ,an>0,数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足 (Ⅰ )求{Sn}的通项公式; (Ⅱ )设{bk}是{Sn}中的按从小到大顺序组成的整数数列. (1)求 b3; + (2)存在 N(N∈N ) ,当 n≤N 时,使得在{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项,求 N 的范围.

+



20. (16 分)已知函数 f(x)=ax +1,g(x)=x +bx,其中 a>0,b>0. (Ⅰ )若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点 P(2,c)处有相同的切线(P 为切点) ,求 a,b 的值; (Ⅱ )令 h(x)=f(x)+g(x) ,若函数 h(x)的单调递减区间为[ (1)函数 h(x)在区间(一∞,﹣1]上的最大值 M(a) ; (2)若|h(x)|≤3,在 x∈[﹣2,0]上恒成立,求 a 的取值范围. 三、数学(加试)注意事项:本卷考试时间为 30 分钟,全卷满分为 40 分. 21. (10 分)如图,AB 是圆 O 的直径,AC 是弦,∠ BAC 的平分线 AD 交圆 O 于点 D,DE⊥ 且交 AC 的延长线 AC 于点 E. 求证:DE 是圆 O 的切线. ],求:

2

3

22.已知,点 A 在变换 T: 为(﹣3,4) ,求点 A 的坐标.

作用后,再绕原点逆时针旋转 90°,得到点、B.若点 B 的坐标

23.已知在极坐标系下,圆 C:p=2cos( 到直线 l 距离的最大值.

)与直线 l:ρsin(

)=

,点 M 为圆 C 上的动点.求点 M

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www.jyeoo.com 24.已知|x+1|+|x﹣l|<4 的解集为 M,若 a,b∈M,证明:2|a+b|<|4+ab|. 25. (10 分)某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟, 经统计以往 100 位顾客办理业务所需的时间(t) ,结果如下: 类别 A 类B 类C 类D 类 20 30 40 10 顾客数(人) 时间 t(分钟/人)2 3 4 6 注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ )求银行工作人员恰好在第 6 分钟开始办理第三位顾客的业务的概率; (Ⅱ )用 X 表示至第 4 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 26. (10 分)已知函数 f(x)= x +1nx. (Ⅰ )求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值; n n n + (Ⅱ )设 g(x)=f(x) ,求证:[g(x)] ﹣g(x )≥2 ﹣2(n∈N ) .
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2012-2013 学年江苏省无锡市高三(上)期末数学 试卷
参考答案与试题解析
一、填空题: (本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上. ) 2 1. 分)设全集 U=R,集合 A={x|x ﹣2x<0},B={x|x>1},则集 A∩UB= {x|0<x≤1} . (5 ? 考点: 专题: 分析: 解答: 交、并、补集的混合运算. 不等式的解法及应用.

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由二次不等式的解法,容易解得 A,进而可得 CUB,对其求交集可得答案. 解:由不等式的解法, 容易解得 A={x|0<x<2},又 B={x|x>1}.

则 CUB={x|x≤1}, 于是 A∩ UB)={x|0<x≤1}, (? 故答案为:{x|0<x≤1}. 点评: 本题考查集合间的交、并、补的混合运算,这类题目一般与不等式、方程联系,难度不大,注意正确求解 与分析集合间的关系即可.

2. 分)已知 i 是虚数单位,则 (5

等于 ﹣i .

考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 计算题. 分析: 直接把给出的复数分子分母同时乘以 2﹣i,然后采用多项式乘以多项式整理即可. 解答: 解: = .
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故答案为﹣i. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘除运算,复数的除法,采用分子分母同时乘以分母的共轭复数,是基础题. 3. 分)某中学高中一年级有 400 人,高中二年级有 320 人,高中三年级有 280 人,现从中抽取一个容量为 200 (5 人的样本,则高中二年级被抽取的人数为 64 . 考点: 分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: 先求出每个个体被抽到的概率,再用高二年级的总人数乘以此概率,即得所求. 解答: 解:每个个体被抽到的概率等于 = ,高中二年级有 320 人,
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故应从高二年级中抽取的人数为 320× =64, 故答案为 64. 点评: 本题主要考查分层抽样的定义和方法,用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体 数, 属于基础题.
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www.jyeoo.com 4. 分)右边的程序语句运行后,输出的 S 为 17 (5 .

考点: 专题: 分析: 解答:

伪代码. 图表型. 先读懂程序的算法,再据算法规则依次算出结果.可以看出这是一个循环结构,依其特点求解即可. 解:程序是一个循环结构,步长是 2,每循环一次 S 就乘 i 加 3,初始 i=1,可循环四次, 故 S=2×7+3=17,i=7+2=9 输出的结果为 S=17. 故答案为:17 点评: 考查算法语言的结构,此类题的做法通常是把值代入,根据其运算过程求出值.
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5. 分)在△ (5 ABC 中,∠ A=45°,∠ C=105°,BC=

,则 AC 的长度为 1 .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 由 A 与 C 的度数,利用三角形内角和定理求出 B 的度数,再由 sinA,sinB 及 BC 的长,利用正弦定理即可 求出 AC 的长. 解答: 解:∵A=45°,∠ ∠ C=105°,∴B=30°, ∠ ∵ BC= ,
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∴ 由正弦定理

=

得:AC=

=

=1.

故答案为:1 点评: 此题考查了正弦定理,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握正弦定理是解本题的关键.

6. 分) (5 (2005?湖北)已知向量 [﹣6,2] .

不超过 5,则 k 的取值范围是

考点: 向量的模. 分析: 根据向量模的计算公式,列出一个关于 K 不等式,解不等式,即可求出 K 的取值范围. 解答: 解:
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∵ ∴ ﹣6≤k≤2 故答案为:[﹣6,2] 点评: 求 常用的方法有: 若已知 ① =|AB|= , 则 = ; 若已知表示 的有向线段 ② ③ 构造关于 的方程,解方程求

≤5

的两端点 A、 .

B 坐标,则

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www.jyeoo.com 7. 分) (5 已知 P: |x﹣a|<4; (x﹣2) q: (3﹣x) >0, 若?p 是?q 的充分不必要条件, a 的取值范围为 ﹣1≤a≤6 . 则 考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 根据题意,由 p、q,可得¬p 为 x≤a﹣4 或 x≥a+4,¬q 为 x≤2 或 x≥3;进而由¬p 是¬q 的充分不必要条件, 可得集合{x|x≤a﹣4 或 a≥a+4}是集合{x|x≤2 或 x≥3}的真子集,由集合间的包含关系可得答案. 解答: 解:根据题意,P:|x﹣a|<4,则¬p 为:|x﹣a|≥4, 解|x﹣a|≥4 可得,x≤a﹣4 或 x≥a+4, 则¬p 为:x≤a﹣4 或 x≥a+4, 条件 q: (x﹣2) (3﹣x)>0,则¬q 为: (x﹣2) (3﹣x)≤0,即 x≤2 或 x≥3. 若¬p 是¬q 的充分不必要条件,则有集合{x|x≤a﹣4 或 x≥a+4}是集合{x|x≤2 或 x≥3}的真子集, 必有 a﹣4≤2,且 a+4≥3,解得﹣1≤a≤6; 故答案为:﹣1≤a≤6. 点评: 本题考查充分必要条件的判断及运用,注意充分必要条件与集合间关系的转化.
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8. 分)已知变量 x,y 满足约束条件 (5

,表示平面区域 M,若﹣4≤a≤t 时,动直线 x+y=a 所经过的平面

区域 M 的面积为 7.则 t= 2 . 考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析:
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先根据约束条件

及动直线 x+y=a 所经过的平面区域, 分别画出区域, 然后求出区域的面积即可.

解答: 解:先画出约束条件 所表示的区域

所围成图形是一个三角形 OAB,如图, ∴ 三角形的面积为 ×4×4=8,

当 t=2 时, 画出当﹣4≤a≤2 时, 动直线 x+y=a 所经过的平面区域 M, 图中黄色区域, 它的面积为 8﹣ ×2×1=7. 则 t=2. 故答案为:2.

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www.jyeoo.com 点评: 本题主要考查了用平面区域二元一次不等式组和围成区域的面积,以及简单的转化思想和数形结合的思想, 属中档题. 9. 分) (5 (2013?南充一模)已知圆 C1: (X+1) +(y﹣1) =1,圆 C2 与圆 C1 关于直线 X﹣Y﹣1=0 对称,则圆 2 2 C2 的方程为 (x﹣2) +(y+2) =1 . 考点: 与直线关于点、直线对称的直线方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 在圆 C2 上任取一点(x,y) ,求出此点关于直线 X﹣Y﹣1=0 的对称点,则此对称点在圆 C1 上,再把对称 点坐标代入
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2

2

圆 C1 的方程,化简可得圆 C2 的方程. 解答: 解:在圆 C2 上任取一点(x,y) , 2 2 则此点关于直线 X﹣Y﹣1=0 的对称点(y+1,x﹣1)在圆 C1: (X+1) +(y﹣1) =1 上, 2 2 ∴ 有(y+1+1) +(x﹣1﹣1) =1, 2 2 即 (x﹣2) +(y+2) =1, 2 2 ∴ 答案为(x﹣2) +(y+2) =1. 点评: 本题考查一曲线关于一直线对称的曲线方程的求法:在圆 C2 上任取一点(x,y) ,则此点关于直线 X﹣Y﹣ 1=0 的对称点(y+1,x﹣1)在圆 C1 上. 10. 分)等差数列{an}的公差为﹣2,且 a1,a3,a4 成等比数列,则 a20= ﹣30 . (5 考点: 等比数列的性质;等差数列的通项公式. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 =a1?(a1﹣6) ,解得 a1 的值,再由 a20=a1+19d,运算求得结果.
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解答: 解:∵ 等差数列{an}的公差为﹣2,且 a1,a3,a4 成等比数列, 则由 =a1?(a1﹣6) ,解得 a1=8.

∴20=a1+19d=8﹣38=﹣30, a 故答案为﹣30. 点评: 本题主要考查等差数列的通项公式,等比数列的定义,求得 a1=8,是解题的关键,属于中档题. 11. 分) (5 (2011?郑州三模)如图,过抛物线 y =2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,交其准线于 2 点 C,若|BC|=2|BF|,且|AF|=3,则此抛物线的方程为 y =3x. .
2

考点: 抛物线的标准方程. 专题: 计算题;数形结合;待定系数法. 分析: 根据过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点 F 的直线 l 交抛物线于点 A、B,作 AM、BN 垂直准线于点 M、N,
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根据|BC|=2|BF|, 且|AF|=3, 和抛物线的定义, 可得∠ NCB=30°, A 1, 1) B 2, 2) |BF|=x, 设 (x y ,(x y , 而



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www.jyeoo.com ,且 , ,可求得 p 的值,即求得抛物线的方程.

解答: 解:设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,作 AM、BN 垂直准线于点 M、N, 则|BN|=|BF|, 又|BC|=2|BF|,得|BC|=2|BN|, ∴NCB=30°, ∠ 有|AC|=2|AM|=6, 设|BF|=x,则 2x+x+3=6?x=1, 而 ∴
2



,且 ,



得 y =3x. 2 故答案为:y =3x. 点评: 此题是个中档题.考查抛物线的定义以及待定系数法求抛物线的标准方程.体现了数形结合的思想,特别 是解析几何,一定注意对几何图形的研究,以便简化计算.

12. 分)设函数 (5

.若 f(x)+f′ (x)是奇函数,则 φ=



考点: 余弦函数的奇偶性;导数的运算. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 对函数求导结合两角差的正弦公式,代入整理可得,
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,根

据奇函数的性质可得 x=0 是函数值为 0,代入可求 φ 的值 解答: 解: 则 f(x)+f′ (x)= 令 g(x)=f(x)+f′ ,即函数 g(x)为奇函数 (x) g(0)=0?2sin( ∵ 0<φ<π ∴ φ= . φ)=0 , ,为奇函数,

故答案为: 点评: 本题主要考查了两角差的正弦公式,函数的求导公式,奇函数的性质:若函数 f(x)为 R 上奇函数,则 f (0)=0,属于对基础知识的综合考查,试题较易. 13. 分)定义一个对应法则 f:P(m,n)→p′ (5 (m,2|n|) .现有直角坐标平面内的点 A(﹣2,6)与点 B(6, ﹣2) ,点 M 是线段 AB 上的动点,按定义的对应法则 f:M→M′ .当点 M 在线段 AB 上从点 A 开始运动到点 B 时, 点 M 的对应点 M′ 经过的路线的长度为 8 . 考点: 函数的对应法则. 专题: 计算题;函数的性质及应用;直线与圆. 分析: 设线段 AB 交 x 轴于点 C,可得 C(4,0) .因此分 M 在线段 AC 上和在线段 CB 上两种情况加以讨论,分 别得到点 M'运动而成的路径,得到图中的折线 A'CB',再由对称的知识即可求出折线 A'CB'的长度,从而得 到 M′ 经过的路线的长度.
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www.jyeoo.com 解答: 解:根据题意,线段 AB 的方程为 y=4﹣x,交 x 轴于点 C(4,0) ① M(x,y)在线段 AC 上运动时纵坐标 y 为正数,可得 2|y|=2y 当 因此,根据对应法则 f 将 M 的横坐标不变而纵坐标变成原来的 2 倍,得到点 M' 所以点 M'的运动路径是图中的 A'C,其中 A'(﹣2,12) ② M(x,y)在线段 CB 上运动时纵坐标 y 为负数,可得 2|y|=﹣2y 当 根据对应法则 f,将 M 的横坐标不变而纵坐标变成原来的﹣2 倍,得到点 M' 所以点 M'的运动路径是图中的 CB',其中 B'(6,4) 设 A1 是 A'关于 x 轴的对称点,可得 A1(﹣2,﹣12) , ∴ |A'C|+|CB'|=|A1C|+|CB'|=|A1B'|= 故答案为: =

点评: 本题给出二元对应法则,求点 M 从 A 到 B 的过程中象点 M'所经过的路线的长度,着重考查了两点的距离 公式和函数对应法则的理解等知识,属于中档题.

14. 分)已知关于 x 的函数 y= (5 b].当 t 变化时,b﹣a 的最大值= .

(t∈R)的定义域为 D,存在区间[a,b]?D,f(x)的值域也是[a,

考点: 函数的定义域及其求法;函数的值域. 专题: 函数的性质及应用. 2 2 分析: 由函数的单调性可得 a=f(b) ,且 b=f(a) ,故 a、b 是方程 x +(t﹣1)x+t =0 的两个同号的实数根.由判
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别式大于 0,容易求得 t∈(﹣1, ) .由韦达定理可得 b﹣a= 解答: 解:关于 x 的函数 y= =(1﹣t)+ 的定义域为(﹣∞,0)∪ (0,+∞) ,且函数在(﹣∞, = ,利用二次函数的性质求得 b﹣a 的最大值.

0)(0,+∞)上都是减函数. 、 2 2 故有 a=f(b) ,且 b=f(a) ,故 a、b 是方程 x +(t﹣1)x+t =0 的两个同号的实数根. 由判别式大于 0,容易求得 t∈(﹣1, ) . 由韦达定理可得 b﹣a= = ,故当 t=﹣ 时,b﹣a 取得最大值为 ,

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www.jyeoo.com 故答案为 .

点评: 本题主要考查求函数的定义域,以及二次函数的性质,求函数的最值,属于中档题. 二、解答题: (本大题共 6 小题,共 90 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. ) 15. (14 分)已知向量 (Ⅰ )求 f(x)的最小正周期 T; (Ⅱ )若方程 f(x)﹣t=0 在 上有解,求实数 t 的取值范围. ,向量 ,函数 ? .

考点: 平面向量数量积的运算;函数的零点与方程根的关系;三角函数的周期性及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用;平面向量及应用. 分析: (I)由平面向量数量积的运算公式,结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简得 f(x)sin(2x﹣
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)+1,

再结合正弦函数周期公式,即可得到 f(x)的最小正周期; (II)根据 ﹣ 解答: ,可得 2x﹣ ∈[ , ].再结合正弦函数的图象与性质,可得 f(x)=sin(2x 上的解,即可求出实数 t 的取值范围.

)+1 的值域为[ ,2].由此结合方程 f(x)﹣t=0 有 , cosx,﹣ ) ,可得 ? =sinx(sinx+
2

解: (I)∵ ∴ =(sinx+



cosx)+ =sin x+

2

sinxcosx+

∵ x= (1﹣cos2x) sin ,sinxcosx= sin2x ∴ f(x)= (1﹣cos2x)+ sin2x+ =sin(2x﹣ =π; ∈[ , ] )+1 的值域为[ ,2] )+1

因此,f(x)的最小正周期 T= (II)∵ ∴ sin(2x﹣

,可得 2x﹣

)∈[ ,1],得 f(x)=sin(2x﹣ 上有解,

∵ 方程 f(x)﹣t=0 在 ∴ f(x)=t 在 点评:

上有解,可得实数 t 的取值范围为[ ,2]. 的表达式并依此讨论方程 f(x)﹣

本题给出向量含有三角函数的式的坐标形式,求函数 t=0 在

上有解的问题,着重考查了平面向量数量积运算公式及其运算性质、三角函数的图象

与性质和三角恒等变换等知识,属于中档题.

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www.jyeoo.com 16. (14 分)如图,四棱锥 P﹣A BCD 中,底面 ABCD 为菱形,BD⊥ PAC,A C=10,PA=6,cos∠ 面 PCA= ,M 是 PC 的中点. (Ⅰ )证明 PC⊥ 平面 BMD; (Ⅱ )若三棱锥 M﹣BCD 的体积为 14,求菱形 ABCD 的边长.

考点: 直线与平面垂直的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)先根据线面垂直的性质证明 PC⊥ BD,再在△ PAC 中利用余弦定理求出 PC 的长,从而证出 PA∥ MO,进 一步得 PC⊥ MO,最后根据线面垂直的判定定理可得 PC⊥ 平面 BMD; (II)由题意知,将三棱锥 M﹣BCD 的体积转换成三棱锥 C﹣BMD 的体积,再利用棱锥的体积公式列出等 式求出菱形 ABCD 的对角线的长,从而得出菱形 ABCD 的边长. 解答: 解: (I)∵ 面 PAC,PC?面 PAC, BD⊥ ∴ BD, PC⊥
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△ PAC 中,AC=10,PA=6,cos∠ PCA= , ∴ =PC +AC ﹣2PC?ACcos∠ PA PCA, ∴ PC=8, 连结 MO,∵ 是 PC 的中点,O 是 AC 的中点, M ∴ MO,∴ MO,又∵ MO=O, PA∥ PC⊥ BD∩ ∴ 平面 BMD; PC⊥ (II)由题意知:三棱锥 M﹣BCD 的体积为 14, 即 VM﹣BCD=VC﹣MBD= S△MBD×CM= BD?MO?CM=14, ∵ CM= PC=4,MO= PA=3, ∴ BD=7, ∴ 菱形 ABCD 的边长 AB= = .
2 2 2

点评: 本题考查证明线面垂直的方法,直线与平面垂直的判定、性质的应用,棱锥的体积等,考查空间想象能力, 属于中档题. 17. (14 分)要制作一个如图的框架(单位:米) ,要求所围成的总面积为 19.5(米 ) ,其中 ABCD 是一个矩形, EFCD 是一个等腰梯形,梯形高 h= AB,tan∠ FED= ,设 AB=x 米,BC=y 米. (Ⅰ )求 y 关于 x 的表达式; (Ⅱ )如何设计 x,y 的长度,才能使所用材料最少?
2

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(2)RT△ DEH 中,可表示出 DE,进而可得 l=2y+6x= 解答: 解: (1)如图,等腰梯形 EFCD 中,DH 是高,

+

,由基本不等式可得答案.

依题意:DH= AB= x,EH= ∴ =xy+ (x+x+ ∵ x>0,y>0,∴ ∴ 所求的表达式为:y= ) =xy+

= ,∴ y=

= , , )



,解得 0<x< , (0<x<

(2)在 RT△ DEH 中,∵ FED= ,∴ FED= , tan∠ sin∠ ∴ DE= = = +(2× + ≥2 , )=2y+6x =26, =4,

∴ l=(2x+2y)+2× = 当且仅当 = =

,即 x=3 时取等号,此时 y=

∴ AB=3 米,BC=4 米时,用材料最少 点评: 本题考查求函数解析的方法,涉及基本不等式的应用,属中档题.

18. (16 分)如图,已知椭圆 C:

=1 的离心率为

,过椭圆 C 上一点 P(2,1)作倾斜角互补的两条直线,

分别与椭圆交于点 A、B,直线 AB 与 x 轴交于点 M,与 y 轴负半轴交于点 N. (Ⅰ )求椭圆 C 的方程: (Ⅱ )若 S△ = ,求直线 AB 的方程. PMN

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考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 2 2 2 2 2 (Ⅰ )由椭圆的离心率为 ,椭圆过定点 P(2,1)及条件 a =b +c 联立可求 a ,b ,则椭圆的方程可求;
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(Ⅱ )设出过 P 点的直线方程,和椭圆方程联立后由根与系数关系求出 A 的坐标,同理求出 B 的坐标,由 两点式求出过 AB 直线的斜率,再设出 AB 的斜截式方程,利用三角形 PMN 的面积等于 就能求出截距, 则直线 AB 的方程可求. 解答: 解: )由题意: (Ⅰ ,∴ ,∴ ① .

又∵ P(2,1)在椭圆上,所以 联立①得:a =8,b =2. ② ∴ 椭圆 C 的方程为 ;
2 2

② .

(Ⅱ )设直线 PA 的方程为 y﹣1=k(x﹣2) ,代入椭圆方程得:x +4[k(x﹣2)+1] =8, 2 2 2 整理得: (1+4k )x ﹣8(2k﹣1)x+16k ﹣16k﹣4=0. ∵ 方程一根为 2,由根与系数关系得 ,∴ .

2

2





∴ A



∵ 与 PB 倾斜角互补,∴PB=﹣kPA=﹣k. PA k 则B .



= .

设直线 AB 方程为

,即 x﹣2y+2m=0,

则 M(﹣2m,0) ,N(0,m) (m<0) ,

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www.jyeoo.com P 到直线 AB 的距离为 d= |MN|= ∴ . .解得 ,或 m= (舍) . .

所以所求直线 AB 的方程为 x﹣2y﹣ =0. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程,考查了直线与圆锥曲线的关系,直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考 中多以高档题、压轴题出现,主要涉及位置关系的判定,弦长问题、面积问题、轨迹问题等.突出考查了 数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法.属难题.

19. (16 分)已知数列{an}中,a1=2,n∈N ,an>0,数列{an}的前 n 项和 Sn,且满足 (Ⅰ )求{Sn}的通项公式; (Ⅱ )设{bk}是{Sn}中的按从小到大顺序组成的整数数列. (1)求 b3; + (2)存在 N(N∈N ) ,当 n≤N 时,使得在{Sn}中,数列{bk}有且只有 20 项,求 N 的范围.

+



考点: 等差数列与等比数列的综合. 专题: 计算题;等差数列与等比数列. 2 2 分析: (I)根据 an+1=Sn+1﹣Sn,代入已知等式并化简整理可得(Sn+1﹣1) ﹣(Sn﹣1) =2,因此数列{(Sn﹣1) 2 2 2 }构成公差为 2 的等差数列,其首项为(S1﹣1) =1,结合等差数列的通项公式算出(Sn﹣1) 的表达式, 从而求出{Sn}的通项公式;
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(II) (1)根据(I)的结论得 Sn=1+

,找出使

为正整数的 n 值,从而得到当 n=1、5、13

时 S1=2、S5=4、S13=6 为{Sn}的前 3 个整数项,由此即可得到 b3=S13=6; (2)根据整数的整除性理论,可得若 Sn=1+ ∈N ,必定有
*

=2k﹣1∈N .由此算出 n=2k ﹣

*

2

2k+1,其中 k 是正整数,进而解出当 k=20 时,n=761,当 k=21 时,n=841.由此即可推算出:正整数 N 满 足 761≤N<841,当 n≤N 时,在{Sn}中数列{bk}有且只有 20 项,可得 N 的范围. 解答: 解: (I)∵n+1=Sn+1﹣Sn a ∴ =Sn+1﹣Sn,化简得(Sn+1) ﹣(Sn) ﹣2(Sn+1﹣Sn)=2
2 2 2 2

整理,得(Sn+1﹣1) ﹣(Sn﹣1) =2 2 2 ∴ 数列{(Sn﹣1) }构成首项为(S1﹣1) =1,公差 d=2 的等差数列 因此, n﹣1) =2n﹣1,可得 Sn=1+ (S (II) (1)由(I)的结论,Sn=1+ ∴ 欲使 Sn 为整数,则必须 ∈N ,可得 n= (k +1) (k∈N )
* 2 * 2

因此,分别取 k=1、3、5,得 n=1、5、13,可得 S1=2,S5=4,S13=6 ∴ 结合数列{bk}的定义,可得 b1=S1=2,b2=S5=4,b3=S13=6; (2)∵ 2n﹣1 是一个奇数, ∴ Sn=1+ 若 为整数,必定有 =2k﹣1,其中 k 是正整数

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www.jyeoo.com 2 2 由此可得 2n﹣1=(2k﹣1) ,化简得 n=2k ﹣2k+1 2 2 ∵ k=20 时,n=2×20 ﹣2×20+1=761;当 k=21 时,n=2×21 ﹣2×21+1=841 当 ∴ 存在 N 满足 761≤N<841,当 n≤N 时,在{Sn}中数列{bk}有且只有 20 项. + 即所求 N 的取值范围为{N|761≤N<841 且 N∈N }. 点评: 本题给出数列关于 an+1、Sn+1 和 Sn 的式子,求数列{Sn}的通项公式并依此讨论{Sn}的整数项的问题.着重 考查了等差数列、等比的通项公式,数列的前 n 项和与通项的关系,考查了整数的整除性的理解和二次不 等式的解法等知识,属于中档题. 20. (16 分)已知函数 f(x)=ax +1,g(x)=x +bx,其中 a>0,b>0. (Ⅰ )若曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点 P(2,c)处有相同的切线(P 为切点) ,求 a,b 的值; (Ⅱ )令 h(x)=f(x)+g(x) ,若函数 h(x)的单调递减区间为[ (1)函数 h(x)在区间(一∞,﹣1]上的最大值 M(a) ; (2)若|h(x)|≤3,在 x∈[﹣2,0]上恒成立,求 a 的取值范围. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (I)根据曲线 y=f(x)与曲线 y=g(x)在它们的交点(2,c)处具有公共切线,可知切点处的函数值相等, 切点处的斜率相等,故可求 a、b 的值;
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2

3

],求:

(II) (1)根据函数 h(x)的单调递减区间为[
3 2 2

]得出 a =4b,构建函数 h(x)=f(x)+g(x)

2

=x +ax + a x+1,求导函数,利用导数的正负,可确定函数的单调区间,进而分类讨论,确定函数在区间 (﹣∞,﹣1)上的最大值. (2)由(1)知,函数 h(x)在(﹣∞,﹣ )单调递增,在(﹣ ,﹣ )单调递减,在(﹣ ,+∞)上 单调递增 ,从而得出其极大值、极小值,再根据|h(x)|≤3,在 x∈[﹣2,0]上恒成立,建立关于 a 的不等关系,解得 a 的取值范围即可. 解答: 解: (I)f(x)=ax +1(a>0) ,则 f'(x)=2ax,k1=4a,g(x)=x +bx,则 f'(x)=3x +b,k2=12+b, 由(2,c)为公共切点,可得:4a=12+b ① 又 f(2)=4a+1,g(2)=8+2b, ∴ 4a+1=8+2b,与① 联立可得:a= ,b=5.
3 2 2 3 2

(2)由 h(x)=f(x)+g(x)=x +ax +bx+1, 2 则 h′ (x)=3x +2ax+b, 因函数 h(x)的单调递减区间为[ 此时,x=﹣
3 2

],∴ x∈[ 当 ) +2a(﹣
2

]时,3x +2ax+b≤0 恒成立, )+b=0,得 a =4b,
2

2

是方程 3x +2ax+b=0 的一个根,得 3(﹣
2 2

∴ h(x)=x +ax + a x+1 令 h'(x)=0,解得:x1=﹣ ,x2=﹣ ; ∵ a>0,∴ <﹣ ,列表如下: ﹣ x (﹣∞,﹣ ) ﹣ (﹣ ,﹣ )﹣ (﹣ ,+∞

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www.jyeoo.com h′ (x) h(x) + ﹣ 极大值 + 极小值

∴ 原函数在(﹣∞,﹣ )单调递增,在(﹣ ,﹣ )单调递减,在(﹣ ,+∞)上单调递增 ① 若﹣1≤﹣ ,即 a≤2 时,最大值为 h(﹣1)=a﹣ ;

② 若﹣ <﹣1<﹣ ,即 2<a<6 时,最大值为 h(﹣ )=1 ③ 若﹣1≥﹣ 时,即 a≥6 时,最大值为 h(﹣ )=1. 综上所述:当 a∈(0,2]时,最大值为 h(﹣1)=a﹣ ;当 a∈(2,+∞)时,最大值为 h(﹣ )=1.

(2)由(1)知,函数 h(x)在(﹣∞,﹣ )单调递增,在(﹣ ,﹣ )单调递减,在(﹣ ,+∞)上 单调递增 故 h(﹣ )为极大值,h(﹣ )=1;h(﹣ )为极小值,h(﹣ )=﹣ ∵ |h(x)|≤3,在 x∈[﹣2,0]上恒成立,又 h(0)=1. ;





,解得

∴ 的取值范围:4﹣2 a a≤6. 点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,考查函数的单调性与最值,解题的关键是正确求出导函 数和应用分类讨论的方法. 三、数学(加试)注意事项:本卷考试时间为 30 分钟,全卷满分为 40 分. 21. (10 分)如图,AB 是圆 O 的直径,AC 是弦,∠ BAC 的平分线 AD 交圆 O 于点 D,DE⊥ 且交 AC 的延长线 AC 于点 E. 求证:DE 是圆 O 的切线.

考点: 圆的切线的性质定理的证明. 专题: 证明题. 分析: 根据 OA=OD, 得到∠ ODA=∠ OAD, 结合 AD 是∠ BAC 的平分线, 得到∠ OAD=∠ DAC=∠ ODA, 可得 OD∥ 再 AE. 根据 DE⊥ AE,得到 DE⊥ OD,结合圆的切线的判定定理,得到 DE 是⊙ 的切线. O 解答: 证明:连接 OD, ∵ OA=OD,∴ODA=∠ ∠ OAD ∵BAC 的平分线是 AD ∠ ∴OAD=∠ ∠ DAC ∴DAC=∠ ∠ ODA,可得 OD∥ AE…(5 分) 又∵ AE,∴ OD DE⊥ DE⊥ ∵ 是⊙ 的半径 OD O
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www.jyeoo.com ∴ 是⊙ 的切线.…(10 分) DE O

点评: 本题以角平分线和圆中的垂直线段为载体,通过证明圆的切线,考查了圆的切线的判定定理等知识点,属 于中档题.

22.已知,点 A 在变换 T: 为(﹣3,4) ,求点 A 的坐标. 考点: 旋转变换. 专题: 计算题. 分析: 先根据旋转变换写出旋转变换矩阵
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作用后,再绕原点逆时针旋转 90°,得到点、B.若点 B 的坐标

,从而得出在变换 T:

作用后,再绕原

点逆时针旋转 90°后对应的矩阵.再设 A(a,b) ,求 A 点在此矩阵的作用下变换后的点,代入已知条件即 可求得所求点 A 的坐标. 解答: 解:根据题意知,在变换 T: = 设 A(a,b) ,则由 ∴ ,即 A(﹣2,3) . , = ,得 , 作用后,再绕原点逆时针旋转 90°后对应的矩阵为:

点评: 本题主要考查了几种特殊的矩阵变换,矩阵变换是附加题中常考的,属于基础题.

23.已知在极坐标系下,圆 C:p=2cos( 到直线 l 距离的最大值.

)与直线 l:ρsin(

)=

,点 M 为圆 C 上的动点.求点 M

考点: 简单曲线的极坐标方程. 专题: 直线与圆. 分析: 把极坐标方程化为直角坐标方程,求出圆心到直线的距离,把此距离加上半径就等于所求的结果. 解答: 2 2 2 2 解:圆 C:p=2cos( ) 即 x +y +2y=0,x +(y+1) =1,表示圆心为(0,﹣1) ,半径等于 1 的圆.
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直线 l:ρsin(

)=

,即 ρcosθ+ρsinθ﹣2=0,即 x+y﹣2=0, = , +1.

圆心到直线的距离等于

故圆上的动点到直线的距离的最大值等于

点评: 本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,点到直线的距离公式的应用,当直线和圆相离时,圆上 的动点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径.

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www.jyeoo.com 24.已知|x+1|+|x﹣l|<4 的解集为 M,若 a,b∈M,证明:2|a+b|<|4+ab|. 考点: 不等式的证明;绝对值不等式. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 将函数写成分段函数,再利用 f(x)<4,即可求得 M;再利用作差法,证明 4(a+b)2﹣(4+ab)2<0, 即可得到结论. 解答:
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解:f(x)=|x+1|+|x﹣1|=

当 x<﹣1 时,由﹣2x<4,得﹣2<x<﹣1; 当﹣1≤x≤1 时,f(x)=2<4; 当 x>1 时,由 2x<4,得 1<x<2. 所以 M=(﹣2,2) .…(5 分) ∴ a,b∈M,即﹣2<a,b<2, 当 2 2 2 2 2 2 2 2 ∵ 4(a+b) ﹣(4+ab) =4(a +2ab+b )﹣(16+8ab+a b )=(a ﹣4) (4﹣b )<0, 2 2 ∴ 4(a+b) <(4+ab) , ∴ 2|a+b|<|4+ab|.…(10 分) 点评: 本题考查绝对值函数,考查解不等式,考查不等式的证明,解题的关键是将不等式写成分段函数,利用作 差法证明不等式. 25. (10 分)某银行的一个营业窗口可办理四类业务,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟, 经统计以往 100 位顾客办理业务所需的时间(t) ,结果如下: 类别 A 类B 类C 类D 类 20 30 40 10 顾客数(人) 时间 t(分钟/人)2 3 4 6 注:银行工作人员在办理两项业务时的间隔时间忽略不计,并将频率视为概率. (Ⅰ )求银行工作人员恰好在第 6 分钟开始办理第三位顾客的业务的概率; (Ⅱ )用 X 表示至第 4 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望. 考点: 离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ )设 Y 表示银行工作人员办理业务需要的时间,用频率估计概率得 Y 的分布列,用 A 表示事件“银行工 作人员恰好在第 6 分钟开始办理第三位顾客的业务”,则事件 A 有两种情形: ① 办理第一、二位业务所需的时间分别为 2、3 分钟;② 办理第一、二位业务所需的时间分别为 3、2 分钟; 故 P(A)=P(Y=2)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=2) ,计算可得; (Ⅱ )由题意可知 X 的取值为 0,1,2,X=0 对应办理第一位的业务需时超过 4 分钟,X=1 对应办理第一位 业务所需的时间为 2 分钟,且办理第二位业务所需的时间超过分钟,或办理第一位业务所需的时间为 3 分 钟,或办理第一位业务所需的时间为 4 分钟,X=2 对应办理两位顾客业务时间均为 2 分钟,分别可得其概 率,进而可得分布列和数学期望故 EX. 解答: 解: )设 Y 表示银行工作人员办理业务需要的时间,用频率估计概率得 Y 的分布列如下: (Ⅰ Y 2 3 4 6 P
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用 A 表示事件“银行工作人员恰好在第 6 分钟开始办理第三位顾客的业务”,则事件 A 有两种情形: ① 办理第一位业务所需的时间为 2 分钟,且办理第二位业务所需的时间为 3 分钟; ② 办理第一位业务所需的时间为 3 分钟,且办理第二位业务所需的时间为 2 分钟;

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www.jyeoo.com ∴ P(A)=P(Y=2)P(Y=3)+P(Y=3)P(Y=2)= (Ⅱ )由题意可知 X 的取值为 0,1,2, X=0 对应办理第一位的业务需时超过 4 分钟,故 P(X=0)=P(Y>4)= , = ;

X=1 对应办理第一位业务所需的时间为 2 分钟,且办理第二位业务所需的时间超过分钟, 或办理第一位业务所需的时间为 3 分钟,或办理第一位业务所需的时间为 4 分钟, 故 P(X=1)=P(Y=2)P(Y>2)+P(Y=3)+P(Y=4)= + + = , = ,

X=2 对应办理两位顾客业务时间均为 2 分钟,故 P(X=2)=P(Y=2)P(Y=2)= 故 X 的分布列为: X P 故 EX=

0

1

2

=

点评: 本题考查离散型随机变量及其分布列,涉及数学期望的求解和频率分布表的应用,属中档题.
2

26. (10 分)已知函数 f(x)= x +1nx. (Ⅰ )求函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值、最小值; n n n + (Ⅱ )设 g(x)=f(x) ,求证:[g(x)] ﹣g(x )≥2 ﹣2(n∈N ) . 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;不等式的证明. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (Ⅰ )利用导数可判断 f(x)区间[1,e]上的单调性,由单调性可得函数的最值; (Ⅱ )当 n=1 时易证明;当 n≥2 时,对不等式左边运用二项式定理展开,再用基本不等式即可证明; 解答: 解: )由已知得 f′ (Ⅰ (x)=x+ ,
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当 x∈[1,e]时,f′ (x)>0,所以函数 f(x)在区间[1,e]上单调递增, 所以函数 f(x)在区间[1,e]上的最大、最小值分别为 f(1) 、f(e) , 因为 f(1)= ,f(e)= , ,最小值为 ;

所以函数 f(x)在区间[1,e]上的最大值为 (Ⅱ )当 n=1 时,不等式成立, 当 n≥2 时,[g(x)] ﹣g(x )= = = 由已知 x>0,所以:[g(x)] ﹣g(x )≥
n n n n

, .

点评: 本题考查导数求函数在闭区间上的最值、二项式定理、基本不等式等,考查学生灵活运用知识分析解决问 题的能力.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:翔宇老师;俞文刚;caoqz;minqi5;sxs123;wyz123;394782;lincy;sllwyn; 吕静(排名不分先后)
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