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山东省济宁市曲阜师范大学附属中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题文(新)


2015—2016 学年度第二学期期中考试 数学试题(文科)
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干 净后,再改涂在其它答案标号. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小 题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? {3, a }, B ? {a, b} ,若 A ? B ? {2} ,则 A ? B ? ( A. {2,3} B. {3,4} C. { 2 ,2,3} ) D. {2,3,4}

2. 已知全集 U ? R, 集合A ? {x | 2 x ? 1}, B ? {x | ?1 ? x ? 5}, 则(?R A) ? B 等于 A.

[?1,0)

B. (0,5] B. 1 ? 2i

C. [?1,0] C. 2 ? i

D. [0,5] D. ?1 ? 2i )

3.已知复数 z 满足 z ? i ? 2 ? i, i 为虚数单位,则复数 z 为 A. ?1 ? 2i 4.按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x ? 3 ,则输出的 x 的值是 ( 计算 x ?

输入 x

x( x ? 1) 的值 2

x ? 100

是 输出结果 x

否 A. 6 B. 21 ) C. 156 D. 231

5.下列表述正确的是(

①归纳推理是由部分到整体的推理;②归纳推理是由一般到一般的推理; ③演绎推理是由一般到特殊的推理;④类比推理是由特殊到一般的推理; ⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. A.②③④ B.①③⑤ C.②④⑤ D.①⑤

6.用反证法证明命题: “ a, b, c, d ? R ,a ? b ? 1 ,c ? d ? 1 ,且 ac ? bd ? 1 ,则 a, b, c, d 中至少有一个负数”时的假设为( )

1

A. a, b, c, d 中至少有一个正数 C. a, b, c, d 全都大于等于 0 7. 函数 f ( x) ? x ? ln x 的单调递减区间是

B. a, b, c, d 全为正数 D. a, b, c, d 中至多有一个负数

A. (0,1)

B. (0, ??)

C. (1, ??)

D. (??,0) U (1, ??)

8. .已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? (a ? 6) x ? 1有极大值和极小值, 则实数 a 的取值范围是 ( ) A. ? 1 ? a ? 2 B. ? 3 ? a ? 6 C. a ? ?3 或 a ? 6 D. a ? ?1 或 a ? 2

9. 下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤) ^=0.7x+0.35, 的几组对应数据,根据表中提供的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程y 那么表中 m 的值为( )

x y
A.4 B.3

3 2.5 C.3.5

4

5 4

6 4.5 D.4.5

m

10. 已知函数 y ? f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且当 x ? (??,0) 时不等式

f ( x) ? xf ?( x) ? 0 成立, 若 a ? 3 f (3) ,b ? ?2 f (?2), c ? f (1) ,则 a, b, c 的大小关系是
A. a ? b ? c B. c ? b ? a 第Ⅱ卷 C. c ? a ? b D. a ? c ? b

(非选择题 共 100 分)

注意事项:1.第Ⅱ卷包括填空题和解答题共两个大题. 2.第Ⅱ卷所有题目的答案考生需用黑色签字笔答在数学答题纸指定的位置. 二、填空题:本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.

5 , 则 | z |? 2?i 3 12.已知 f ( x) ? x ? 2xf '(1) ,则 f '(1) ? ________.
11. 设 i 为虚数单位,若复数 z ? 2i ?

.

13.已知 {bn } 为等差数列, b5 ? 2 ,则 b1 ? b2 ? b3 ???? ? b9 ? 2 ? 9 ,若 {an } 为等比数列,

a5 ? 2 ,则 {an } 的类似结论为:
14. 观察下列等式
(1 ? 1) ? 2 ? 1 (2 ? 1)(2 ? 2) ? 22 ? 1 ? 3 (3 ? 1)(3 ? 2)(3 ? 3) ? 23 ? 1 ? 3 ? 5



2

?? 照此规律,第 n 个等式可为 .

15. 如图所示是 y ? f ( x) 的导函数的图象,有下列四个命题: ① f ( x) 在(-3,1)上是增函数; ②x=-1 是 f ( x) 的极小值点; ③ f ( x) 在(2,4)上是减函数,在(-1, 2 )上是增函数; ④x=2 是 f ( x) 的极小值点. 其中真命题为________(填写所有真命题的序号).

f ?( x)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x .求函数 f ( x) 在 [ ?3, ] 上的最大值和最小值.

3 2

17. (本小题满分 12 分) (1)求证: 6 ? 7 ? 2 2 ? 5;

1? b 1? a (2)已知a ? 0, b ? 0, 且a ? b ? 2, 求证: 和 中至少有一个小于2. a b

18. (本小题满分 12 分) 总体 ( x, y ) 的一组样本数据为:

x
y

1 3

2 3

3 5

4 4

(1)若 x, y 线性相关,求回归直线方程;(2)当 x ? 6 时,估计 y 的值.

? ,b ?? ? ?a ? ? y ? bx ? ? bx ? ,其中 a 附:回归直线方程 y

? x y ? nx ? y
i ?1 i i

n

?x
i ?1

n

2 i

? nx 2

19. (本小题满分 12 分) 某益智闯关节目对前期不同年龄段参赛选手的闯关情况进行统计, 得到如下 2×2 列联表, 5 已知从 30~40 岁年龄段中随机选 取一人,其恰好闯关成功的概率为 . 9
3

成功(人) 20~30(岁) 30~40(岁) 合计 (1)完成 2×2 列联表; (2)有多大把握认为闯关成功与年龄是否有关? 附:临界值表供参考及卡方公式 20 50 70

失败(人) 40

合计 60

P(K2≥k) k K2=

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

n?ad-bc? ?a+b??c+d??a+c??b+d?

20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? ? x 3 ? ax2 ? bx ? c 图象上的点 P(1,?2) 处的切线方程为 y ? ?3x ? 1 . (1)若函数 f ( x ) 在 x ? ?2 时有极值,求 f ( x ) 的表达式; (2)若函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,求实数 b 的取值范围.

21.(本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ln x ?

a ( a ? R) . x

(1)若函数 f ( x ) 的图象在点 (1, f (1)) 处的切线平行于直线 x ? y ? 0 ,求 a 的值; (2)讨论函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; (3)若函数 f ( x ) 在 [1, e] 上的最小值为

3 ,求 a 的值. 2

2015—2016 学年度第二学期期中考试 数学参考答案和评分标准(文科) 一、选择题(5×10=50 分)
4

题号 答案

1 D

2 C

3 A

4 D

5 B

6 C

7 A

8 C

9 B

10 A

二、填空题(5×5=25 分) 11. 5 12. ?3 13. a1a2a3 ??? a9 ? 29

14. (n ? 1)(n ? 2)(n ? 3)?(n ? n) ? 2n ?1? 3 ? 5?? (2n ?1) 三、解答题(共 75 分)

15. ②③

16. (12 分)解: f ?( x) ? 3x2 ? 3, 令f ?( x) ? 0, 得x ? ?1, 或x ? 1??????2 分 当 x 变化时, f ?( x), f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ?( x )

(?3, ?1)

?1

(?1,1)
?
递减↘

1

3 (1, ) 2

?
递增↗

0
2

0
-2

?
递增↗ ????????8 分

f ( x)

因此,当 x ? ?1时, f ( x)有极大值,为f (?1) ? 2 ; x ? 1时, f ( x)有极小值,为f (1) ? ?2 , 又 f (?3) ? 18, f ( 2 ) ? ? 8 所以函数 f ( x) 在 [ ?3, ] 上的最大值为 f (?3) ? 18 ,最小值为 f (1) ? ?2 .???12 17.(12 分) (1)要证 6 ? 7 ? 2 2 ? 5,

3

9

3 2

只需证( 6 ? 7) 2 ? (2 2 ? 5) 2, 即证13+2 42 ? 13 ? 2 40, 即证 42 ? 40,
而上式显然成立,故原不等式成立.????????????6 分

5

(2)假设

1? b 1? a ? 2, ? 2 ?????????????????8 分 a b

则因为a ? 0, b ? 0, 有1 ? b ? 2a,1 ? a ? 2b, 所以2 ? a ? b ? 2a ? 2b, 故a ? b ? 2, 这与题设条件a ? b ? 2相矛盾,所以假设错误.
1? b 1? a 和 中至少有一个小于2. a b ????????? ???12 分
5 15 , y ? ?????????????????2 分 2 4

因此

18(12 分)解: (1) Q x ?

? xi yi ? 40, ? xi2 ? 30;
i ?1 i ?1

4

4

5 15 40 ? 4 ? ? 2 4 ? 1 ??????????????????????6 分 ?? ?b 25 2 30 ? 4 ? 4

? ? 15 ? 1 ? 5 ? 5 ,????????????????????8 分 ? ? y ? bx a 4 2 2 2
1 5 x ? .??????????????????10 分 2 2

?? 所以回归直线方程为 y

?? (2)当 x ? 6 时, y

11 .?????????????????????12 分 2

19.解:(1) 成功(人) 20~30(岁) 30~40(岁) 合计 20 50 70 失败(人) 40 40 80 合计 60 90 150

?????????????????5 分
6

150×?20×40-50×40? 50 2 (2)K = = ≈7.14>6.635,??????????10 分 70×80×60×90 7 ∴有 99%的把握认为闯关成功与 年龄有关.??????????????12 分 20. 解: f ' ( x) ? ?3x 2 ? 2ax ? b ,┉??????????1 分 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 处的切线斜率为-3 , 所以 f ' (1) ? ?3 ? 2a ? b ? ?3 ,即 2a ? b ? 0 ,┉??????????2 分 又 f (1) ? ?1 ? a ? b ? c ? ?2 得 a ? b ? c ? ?1 .┉??????????3 分 (1)因为函数 f ( x ) 在 x ? ?2 时有极值,所以 f ' (?2) ? ?12 ? 4a ? b ? 0 ,┉4 分 解得 a ? ?2, b ? 4, c ? ?3 , 所以 f ( x) ? ? x 3 ? 2 x 2 ? 4 x ? 3 . ┉??????????6 分 ┉??????????7 分

2

(2)因为函数 f ( x ) 在区间 [?2,0] 上单调递增,所以导函数 f ' ( x) ? ?3x 2 ? bx ? b 在区间 [?2,0] 上的值恒大于或等于零, ?????????????????8 分 由 f ' ( x) ? ?3x 2 ? bx ? b ? 0 在区间 [?2,0] 上恒成立,得 b ?

? 3x 2 x ?1

在区间 [?2,0] 上恒成立,

只需 b ? (

? 3x 2 ) max ???????????????????10 分 x ?1

令 g ( x) ?

? 3x 2 ? 3x( x ? 2) ' ,则 g ( x) = .当 ? 2 ? x ? 0 时, g ' ( x) ? 0 恒成立. 2 x ?1 ( x ? 1)

所以 g ( x) 在区间单 [?2,0] 单调递减, g ( x) max ? g (?2) ? 4 .????12 分 所以实数 b 的取值范围为 [4,??) . ??????????13 分

注:可由 ?

? f ?(?2) ? 0, ?-12+2b+b ? 0, 可得 ? 故有b ? 4. ? f ?(0) ? 0, ?b ? 0,
1 a ? ???????????????????2 分 x x2
故 a ? ?2 ?????????3 分

21.解(1) f ?( x) ?

由题意可知 f ?(1) ? 1 ? a ? ?1 , (2) f ?( x) ?

1 a x?a ? ? 2 x x2 x

当 a ? 0 时,因为 x ? 0 ,? f ?( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, ??) 为增函数;????5 分

7

当 a ? 0 时, 由 f ?( x) ?

x?a x?a ? 0, 得x ? ? a ;由 f ?( x) ? 2 ? 0, 得0 ? x ? ?a , 2 x x

所以增区间为 (?a, ??) ,减区间为 (0, ?a) ,?????????????8 分

综上所述,当 a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ??) 为增函数;当 a ? 0 时, f ( x ) 的减区间为

(0, ?a) ,增区间为 (?a, ??) .??????????????????????9 分
(3)由(2)可知,当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 [1, e] 上单调递增,

故有 f (1) ? ? a ?

3 3 ,所以 a ? ? 不合题意,舍去.????????????10 分 2 2

当 a ? 0 时, f ( x ) 的减区间为 (0, ?a) ,增区间为 (?a, ??) .

若 ?a ? e,即a ? ?e ,则函数 f ( x ) 在 [1, e] 上单调递减, 则 f (e) ? 1 ?

a 3 e ? ,? a ? ? 不合题意,舍去.?????????????11 分 e 2 2

若 ?a ? 1,即 ? 1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 在 [1, e] 上单调递增,

f (1) ? ? a ?

3 3 ,所以 a ? ? 不合题意,舍去.?????????????12 分 2 2 3 , 2

若 1 ? ?a ? e,即 ? e ? a ? ?1时, f (? a ) ? ln(? a ) ? 1 ? 解得 a ? ? e ,

综上所述, a ? ? e .??????????????????????14 分

8


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