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直线与圆的方程专题复习


高中数学专题复习--直线与圆的方程
一、重点知识结构 本章以直线和圆为载体,揭示了解析几何的基本概念和方法. 直线的倾角、斜率的概念及公式、直线方程的五种形式是本章重点之一,点斜式又是其它形式的 基础; 两条直线平行和垂直的充要条件、直线 l1 到 l 2 的角以及两直线的夹角、点到直线的距离公式也是 重点内容; 用不等式(组)表示平面区域和线性规划作为新增内容,需要引

起一定的注意; 曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想,是解决解析几何两个基本问题的依据; 圆的方程、直线(圆)与圆的位置关系、圆的切线问题和弦长问题等,因其易与平面几何知识结 合,题目解法灵活,因而是一个不可忽视的要点. 二、高考要求 1、掌握两条直线平行和垂直的条件,掌握两条直线所成的角和点到直线的距离公式,能够根据直 线的方程判断两条直线的位置关系; 3、会用二元一次不等式表示平面区域; 4、了解简单的线性规划问题,了解线性规划的意义,并会简单的应用; 5、了解解析几何的基本思想,了解用坐标法研究几何问题的方法; 6、掌握圆的标准方程和一般方程,了解参数方程的概念,理解圆的参数方程的概念. 三、热点分析 在近几年的高考试题中,两点间的距离公式,中点坐标公式,直线方程的点斜式、斜率公式及两 条直线的位置关系是考查的热点。但由于知识的相互渗透,综合考查直线与圆锥曲线的关系一直是高 考命题的大热门,应当引起特别注意,本章的线性规划内容是新教材中增加的新内容,在高考中极有 可能涉及,但难度不会大. 四、复习建议 本章的复习首先要注重基础,对基本知识、基本题型要掌握好;求直线的方程主要用待定系数 法,复习时应注意直线方程各种形式的适用条件;研究两条直线的位置关系时,应特别注意斜率存在 和不存在的两种情形;曲线与方程的关系体现了坐标法的基本思想,随着高考对知识形成过程的考查 逐步加强,对坐标法的要求也进一步加强,因此必须透彻理解。既要掌握求曲线方程的常用方法和基 本步骤,又能根据方程讨论曲线的性质;圆的方程、直线与圆的位置关系,圆的切线问题与弦长问题 都是高考中的热点问题;求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法,应熟练 掌握,还应注意恰当运用平面几何知识以简化计算. 直线 【例题】 例 1 已知点 B(1,4), C (16,2), 点 A 在直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 上,并且使 S ?ABC ? 21 求点 A 的坐标. , 例 2 已知直线 l 的方程为 3x ? 4 y ? 12 ? 0, 求直线 l1 的方程, 使得: (1) l1 与 l 平行, 且过点(-1,3) ; (2) l1 与 l 垂直, 且 l1 与两轴围成的三角形面积为 4. 例 3 过原点的两条直线把直线 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 在坐标轴间的线段分成三等分,求这二直线的夹角.
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例 4 圆 x 2 ? y 2 ? x ? 6 y ? c ? 0 与直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 交于 P, Q 两点,求 c 为何值时, OP ? OQ(O 为原点) . 例 5 已知直线 y ? ?2 x ? b 与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ?15 ? 0 相切,求 b 的值和切点的坐标. 例 6 某校一年级为配合素质教育,利用一间教室作为学生绘画成果展览室,为节约经费,他们利用课桌 作为展台,将装画的镜框放置桌上,斜靠展出,已知镜框对桌面的倾斜角为 ? (90°≤ ? <180°)镜框 中,画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距 am, bm(a > b ).问学生距离镜框下缘多远看画的效果最佳? 例 7 预算用 2000 元购买单件为 50 元的桌子和 20 元的椅子,希望使桌椅的总数尽可能的多,但椅子不少 于桌子数,且不多于桌子数的 1.5 倍,问桌、椅各买多少才行? 例 8 已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表,若用甲、乙、丙三种食物各 x 千克, y 千克,z 千克配成 100 千克混合食物,并使混合食物内至少含 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B. 甲 维生素 A(单位/千克) 维生素 B(单位/千克) 成本(元/千克) 600 800 11 乙 700 400 9 丙 400 500 4

(Ⅰ)用 x , y 表示混合食物成本 c 元; (Ⅱ)确定 x , y ,z 的值,使成本最低. 【直线练习】 一、选择题

1.设 M=

10 2000 ? 1 10 2001 ? 1 , N ? 2002 ,则 M 与 N 的大小关系为 ( 10 2001 ? 1 20 ?1
B.M=N C.M<N

) D.无法判断 )

A.M>N

2.已知定点 A(1,1),B(3,3),点 P 在 x 轴上,且 ?APB 取得最大值,则 P 点坐标为 (
0 A. ?2,?

B.

? 6,? 0
5 4

0 C. ? ,? ?

?7 ?3

?

0 D. ?4,?

3.圆 x

2

? y 2 ? x ? 0 上的点到直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 的最短距离为 (
3 2

) D.
9 4

A.

B.

C.

3 4

4.如果 AC<0 且 BC<0, 那么直线 Ax ? By ? C ? 0, 不通过 ( A.第一象限 B.第二象限

) D.第四象限 )

C.第三象限

5.若点(4, m)到直线 4 x ? 3 y ? 1 的距离不大于 3, 则 m 的取值范围是 ( A.(0, 10) B. ?0,10?
? 1 31? C. ? , ? ?3 3 ?

D. ???,0? ??10,??? )

6.原点关于直线 8 x ? 6 y ? 25 的对称点坐标为 (

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? 3? A. ? 2, ? ? 2?

? 25 25 ? B. ? , ? ? 8 6?

C.(3, 4) )

D.(4, 3)

7.如果直线 y ? ax ? 2 与直线 y ? 3x ? b 关于直线 y = x 对称, 那么 ( A. a ?

1 ,b ? 6 3

1 B. a ? , b ? ?6 C.a = 3, b = -2 D.a = 3, b = 6 3

8.如果直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位, 再沿 y 轴正方向平移 1 个单位, 又回到原来的位置, 那么直线

l 的斜率是 (
A. ?

)

1 3

B.-3

C.

1 3

D.3

9.设 a、b、c 分别是△ABC 中, 角 A、B、C 的对边, 则直线 sin A·x ? ay ? c ? 0 与 bx ? sin B·y ? sin C ? 0 的位置关系是 ( A.平行 二、填空题 10.直线 2 x ? y ? 4 ? 0 上有一点 P, 它与两定点 A(4,?1), B(3,4) 的距离之差最大.则 P 点坐标是___. 11.自点 A(?3,3) 发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 4 y ? 7 ? 0 相 切,则光线 l 所在直线方程为_________. 12.函数 f (? ) ? ) B.重合 C.垂直 D.相交但不垂直

sin ? ? 1 的最大值为_________,最小值为_________. cos ? ? 2
2

13.设不等式 2 x ? 1 > m( x ? 1) 对一切满足 | m | ≤2 的值均成立,则 x 的范围为_________. 三、解答题 14.已知过原点 O 的一条直线与函数 y ? log8 x 的图象交于 A、B 两点,分别过点 A、B 作 y 轴的平行 线与函数 y ? log2 x 的图象交于 C、D 两点. (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上;(2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标. 15.设数列{an}的前 n 项和 S n ? na ? n(n ? 1)b, (n ? 1,2,?), a, b 是常数且 b ? 0 . (1)证明:{an}是等差数列; (2)证明:以(an, (3)设 a=1,b= 的取值范围.

Sn -1)为坐标的点 Pn(n=1,2,…)都落在同一条直线上,并写出此直线的方程; n

1 ,C 是以(r,r)为圆心,r 为半径的圆(r>0),求使得点 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时,r 2

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例题参考答案
例 1 解:直线 BC 方程为 2x+5y-22 = 0,|BC| = 的距离为 ∴y?
| 11y ? 28 | 29
29 ,设点 A 坐标(3y-3,y),则可求 A 到 BC

,∵ ? ABC 面积为 21,∴

1 | 11y ? 28 | 29 ? ? 21, 2 29

70 14 177 70 75 14 )或( ? ,? ). 或 ? ,故点 A 坐标为( , 11 11 11 11 11 11


例 2 解: (1) 由条件, 可设 l 的方程为 3x+4y+m=0, 以 x=-1, y=3 代入, 得 -3+12+m=0, 即得 m=-9, ∴直线 l 的方程为 3x+4y-9=0. (2) 由条件, 可设 l 的方程为 4x-3y+n=0, 令 y=0, 得 x ? ?
S? 1 n n 2 ? ? ? ? 4 , 得 n =96, ∴ n ? ?4 6 2 4 3
′ ′ ′

n n , 令 x=0, 得 y ? , 于是由三角形面积 4 3

∴直线 l 的方程是 4x ? 3 y ? 4 6 ? 0 或 4x ? 3 y ? 4 6 ? 0 . 例 3 解:设直线 2x+3y-12 = 0 与两坐标轴交于 A,B 两点, 则 A(0,4),B(6,0),设分点 C,D,设 ?COD ? ? 为所求角.
6 ? ? xc ? 1 ? 2 ? 2 BC 8 ∵ ,∴C(2, ). ? 2 ,∴ ? 0 ? 4? 2 8 CA 3 ? yc ? ? 1? 2 3 ? 0 ? 2?6 ? ? x0 ? 1 ? 2 ? 4 4 AD 4 1 又 ,∴D(4, ),∴ k OC ? , k OD ? . ? 2 ,∴ ? 4 4 DB 3 3 3 ? y0 ? ? 1? 2 3 ? k ? k OD ∴ tg? ?| OC |? 1 ? k OC k OD 4 1 ? 3 3 ? 9 ,∴ ? ? arctg 9 . 4 1 13 13 1? ? 3 3
1 5

例 4 解:解方程组消 x 得 5y2-20y+12+c = 0, y1 ? y 2 ? (12 ? c) , 消 y 得 5x2+10x+4c-27 = 0, x1 ? x2 ? (4c ? 27) , ∵OP ? OQ,∴
y1 y 2 12 ? c 4c ? 27 ? ? ?1 ,∴ ,解得 c = 3. ?? x1 x 2 5 5

1 5

例 5 解:把 y =-2x+b 代入 x2+y2-4x+2y-15 = 0, 整理得 5x2-4(b+2)x+b2+2b-15 = 0,令 ? = 0 得 b =-7 或 b =13,] ∵方程有等根, x ?
2(b ? 2) ,得 x =-2 或 x = 6, 5

代入 y = -2x-7 与 y = -2x+13 得 y =-3 或 y = 1,
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∴所求切点坐标为(-2,-3)或(6,1). 例 6 解:建立如图所示的直角坐标系,AO 为镜框边,AB 为画的宽度,O 为下边缘上的一点,在 x 轴的 正半轴上找一点 C(x,0)(x>0),欲使看画的效果最佳,应使∠ACB 取得最大值. 由三角函数的定义知:A、B 两点坐标分别为(acosα ,asinα )、 (bcosα ,bsinα ),于是直线 AC、BC 的斜率分别为: kAC=tanxCA=
a sinα b sin α , k BC ? tan xCB ? . a cos α ? x b cos α ? x
k BC ? k AC (a ? b) ? x sin α (a ? b) ? sin α ? ? 2 ab 1 ? k BC ? k AC ab ? (a ? b) x cos α ? x ? x ? (a ? b) ? cos α x

于是 tanACB=

由于∠ACB 为锐角,且 x>0,则 tanACB≤

(a ? b) ? sin α 2 ab ? (a ? b) cos α

,当且仅当

ab =x,即 x= ab 时,等号 x

成立,此时∠ACB 取最大值,对应的点为 C( ab ,0),因此,学生距离镜框下缘 ab cm 处时,视角最 大,即看画效果最佳. 例 7 解:设桌椅分别买 x,y 张,把所给的条件表示成不等式组,即约束条件
?50x ? 20 y ? 2000 200 ? ?y ? x ?x ? 7 ?50x ? 20 y ? 2000 ? ? 为? 由? , 解得 ? y ? 1.5 x y?x ? ? ? y ? 200 ? ? x ? 0, y ? 0 7 ? ?

∴A 点的坐标为(

200 200 , ) 7 7

? x ? 25 ?50x ? 20y ? 2000 ? 由? , 解得 ? 75 ? y ? 1.5 x ?y ? 2 ?

∴B 点的坐标为(25,

75 ) 2

200 200 75 , ), B(25, ), O(0,0) 为顶点的三角形区域(如右图) 7 7 2 75 由图形直观可知,目标函数 z ? x ? y 在可行域内的最优解为 ( 25, ), 但 x∈N,y∈N*,故取 y=37. 2
所以满足约束条件的可行域是以 A( 故有买桌子 25 张,椅子 37 张是最好选择. 例 8 解:(Ⅰ)由题, c ? 11x ? 9 y ? 4 z ,又 x ? y ? z ? 100 ,所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y .

(Ⅱ)由 ?

?600 x ? 700 y ? 400 z ? 56000 ?4 x ? 6 y ? 320 , , 及z ? 100 ? x ? y 得, ? ?800 x ? 400 y ? 500 z ? 63000 ?3x ? y ? 130

所以, 7 x ? 5 y ? 450. 所以, c ? 400 ? 7 x ? 5 y ? 400 ? 450 ? 850,

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当且仅当 ?

?4 x ? 6 y ? 320 ? x ? 50 时等号成立. , 即? ?3x ? y ? 130 ? y ? 20

所以,当 x=50 千克,y=20 千克,z=30 千克时,混合物成本最低,为 850 元. 点评:本题为线性规划问题,用解析几何的观点看,问题的解 y

?x ? 0 ?y ? 0 ? 实际上是由四条直线所围成的区域 ? 上使得 ?4 x ? 6 y ? 320 ?3x ? y ? 130 ?
最大的点.不难发现,应在点 M (50,20) 处取得. c ? 4 0 0? 7 ? 5 x y

3x-y=130

M 4x+6y=320 x

【直线练习】参考答案 一、选择题: ABACB DAAC 1.解析:将问题转化为比较 A(-1,-1)与 B(102001,102000)及 C(102002,102001)连线的斜率大小,因 为 B、C 两点的直线方程为 y=

1 x,点 A 在直线的下方,∴kAB>kAC,即 M>N. . 10

2.解:P 点即为过 A、B 两点且与 x 轴相切的圆的切点,设圆方程为 ( x ? a) 2 ? ( y ? b) 2 ? b 2 (a ? 0, b ? 0)
?(1 ? a) 2 ? (1 ? b) 2 ? b 2 ?a ? 6 ? ? 所以有 ? . ?? 2 2 2 ?b ? 0 ?(3 ? a) ? (3 ? b) ? b ? ?

二、填空题: 10.解析:找 A 关于 l 的对称点 A′,A′B 与直线 l 的交点即为所求的 P 点. 答案:P(5,6). 11.解析:光线 l 所在的直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 关于 x 轴对称的圆相切. 答案:3x+4y-3=0 或 4x+3y+3=0 12.解析:f(θ )=

sin? ? 1 4 表示两点(cosθ ,sinθ )与(2,1)连线的斜率. 答案: 0 3 cos ? ? 2
7 ?1 3 ?1 ?x? 2 2

13.解析:原不等式变为(x2-1)m+(1-2x)<0,构造线段 f(m)=(x2-1)m+1-2x,-2≤m≤2,则 f(-2)<0,且 f(2)<0. 答案: 三、解答题: 14.(1)证明:设 A、B 的横坐标分别为 x1、x2,由题设知 x1>1,x2>1,?点 A(x1,log8x1),B(x2,log8x2). 因 A、B 在过点 O 的直线上,所以

log8 x1 log8 x2 ? ,又点 C、D 的坐标分别为(x1,log2x1)、(x2,log2x2). x1 x2
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由于 log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,则

kOC ?

log2 x1 3 log8 x1 log2 x2 3 log8 x2 ? , kOD ? ? x1 x1 x2 x2

由此得 kOC=kOD,即 O、C、D 在同一直线上. (2)解:由 BC 平行于 x 轴,有 log2x1=log8x2,又 log2x1=3log8x1 将其代入 ∴x2=x13

log8 x1 log8 x2 ? ,得 x13log8x1=3x1log8x1, x1 x2

由于 x1>1 知 log8x1≠0,故 x13=3x1x2= 3 ,于是 A( 3 ,log8 3 ). 15.(1)证明:由条件,得 a1=S1=a,当 n≥2 时, 有 an=Sn-Sn-1=[na+n(n-1)b]-[(n-1)a+(n-1)(n-2)b]=a+2(n-1)b. 因此,当 n≥2 时,有 an-an-1=[a+2(n-1)b]-[a+2(n-2)b]=2b. 所以{an}是以 a 为首项,2b 为公差的等差数列.

Sn S na ? n(n ? 1)b ? 1) ? ( 1 ? 1) ?a (n ? 1)b 1 1 a (2)证明:∵b≠0,对于 n≥2,有 n ? ? ? an ? a1 a ? 2(n ? 1)b ? a 2(n ? 1)b 2 (
∴所有的点 Pn(an, y-(a-1)=

Sn 1 -1)(n=1,2,…)都落在通过 P1(a,a-1)且以 为斜率的直线上.此直线方程为 2 n

1 (x-a),即 x-2y+a-2=0. 2 1 1 n?2 (3)解:当 a=1,b= 时,Pn 的坐标为(n, ),使 P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圆 C 外的条件是 2 2 2
?(r ? 1) 2 ? r 2 ? r 2 ?(r ? 1) 2 ? 0 ? ? 1 17 ? ? (r ? 1) 2 ? (r ? ) 2 ? r 2 即?r 2 ? 5r ? ?0 ? 2 4 ? ? ?(r ? 3) 2 ? (r ? 1) 2 ? r 2 ?r 2 ? 8r ? 10 ? 0 ? ?
由不等式①,得 r≠1 由不等式②,得 r< ① ② ③

5 5 - 2 或 r> + 2 2 2
再注意到 r>0,1<

5 5 - 2 <4- 6 = + 2 <4+ 6 2 2 5 故使 P1、P2、P3 都落在圆 C 外时,r 的取值范围是(0,1)∪(1, - 2 )∪(4+ 6 ,+∞). 2
由不等式③,得 r<4- 6 或 r>4+ 6

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高中数学专题复习——圆 【例题】 例 1 设正方形 ABCD 的外接圆方程为 x2+y2–6x+a=0(a<9),C、D点所在直线 l 的斜率为 心M点的坐标及正方形对角线 AC、BD 的斜率. 例 2 设圆 C1 的方程为 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3m ? 2) 2 ? 4m 2 ,直线 l 的方程为 y ? x ? m ? 2 . (1)求 C1 关于 l 对称的圆 C 2 的方程; (2)当 m 变化且 m ? 0 时,求证: C 2 的圆心在一条定直线上,并求 C 2 所表示的一系列圆的公切线方程. 例 3 已知圆 C: x 2 ? y 2 ? 2x ? 4 y ? 4 ? 0 ,是否存在斜率为 1 的直线 l,使 l 被圆 C 截得的弦 AB 为直径 的圆过原点,若存在求出直线 l 的方程,若不存在说明理由. 例 4 已知点 A(-2,-1)和 B(2,3),圆 C:x2+y2 = m2,当圆 C 与线段 AB 没有公共点时,求 m 的取 .. 值范围. 例 5 已知⊙M: x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1, Q是x 轴上的动点,QA,QB 分别切⊙M 于 A,B 两点. (1)如果 | AB |?
4 2 ,求直线 MQ 的方程; (2)求动弦 AB 的中点 P 的轨迹方程. 3
1 ,求外接圆圆 3

例 6 有一种大型商品,A、B 两地都有出售,且价格相同,某地居民从两地之一购得 商品后回运的运费是:每单位距离 A 地的运费是 B 地运费的 3 倍,已知 A、B 两地相距 10km,居民选 择 A 或 B 地购买这种商品的标准是:包括运费和价格的总费用较低.求 A、B 两地的售货区域的分界线 的曲线形状,并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购货地点. 例 7 在 xoy 平面上有一系列点 P ( x1 , y1 ), P2 ( x 2 , y 2 ),? ? ?, 1

y

Pn ( xn , y n ),? 对 每 个 自 然 数 n , 点 Pn 位 于 函 数
y ? x 2 ( x ? 0) 的图象上.以点 Pn 为圆心的⊙ Pn 与 x 轴都相

Pn

切,且⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 又彼此外切.若 x1 ? 1 ,且 xn?1 ? xn
1 (n ? N? ) .(1)求证:数列 { } 是等差数列; xn

o
3 ? . 2

Pn+1

x

(2)设⊙ Pn 的面积为 S n , Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n ,求证: Tn ?

2 2 2 2 例 8 已 知 圆 C : x ? ( y ?1) ? 1 和 圆 C1 : ( x ? 2) ? ( y ?1) ? 1 , 现 在 构 造 一 系 列 的 圆

C1 , C2 , C3 ,?, Cn ,?,使圆 Cn?1 同时与 C n 和圆 C 都相切,并都与 OX 轴相切.回答:(1)求圆 C n 的半径

rn ;(2)证明:两个相邻圆 Cn?1 和 C n 在切点间的公切线长为
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1
2 Cn

;(3)求和 lim(

1

n ?? C 2 2

?

1
2 C3

???

1
2 Cn

).

【圆·练习】 1、直线 x ? 3 y ? 0 绕原点按顺时针方向旋转 30°所得直线与圆 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 3 的位置关系是 ( (A)直线与圆相切 (B) 直线与圆相交但不过圆心 (C)直线与圆相离 (D) 直线过圆心 ) )

2、点 M x0 ,y0 是圆 x 2 ? y 2 ? a 2 ?a ? 0? 内不为圆心的一点,则直线 x0 x ? y0 y ? a 2 与该圆的位置关系是( A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交

?

?

3、直线 ax ? by ? c ? 0?ab ? 0? 截圆 x 2 ? y 2 ? 5 所得弦长等于 4,则以|a|、|b|、|c|为边长确定的 ? 一定是( ) (A)直角三角形 (B)锐角三角形 (C)钝角三角形 (D)不存在 4、已知两点 A(–2,0),B(0,2), 点 C 是圆 x2+y2–2x=0 上的任意一点,则△ABC 面积的最小值是 (A) 3 ? 2 (B) 3 ? 2 (C)
6? 2 2





(D)

3? 2 2

5、已知集合 p ? ?( x, y) y ? ? 25 ? x 2 , x、y ? R? 及 Q ? ?( x, y) y ? x ? b, x、y ? R? 若P ? Q ? ? ,则实数 b 的 , ? ? ? ? 取值范围是 ( ) (A)[–5,5] (B) (?5 2 ,5) (C) [?5 2 ,5] (D) [?5 2 ,5 2 ]

6、若曲线 x2+y2+a2x=(1–a2)y–4=0 关于直线 y–x=0 的对称曲线仍是其本身,则实数 a=( ). (A) ?
1 2

(B) ?

2 2

1 2 (C) 或 ? 2 2

1 2 (D) ? 或 2 2

7、若圆 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 1) 2 ? R 2 上有且仅有两个点到直线 4x+3y=11 的距离为 1,则 R 的取值范围为( ). (A)R>1 (B)R<3 (C)1<R<3 (D)R≠2
( ( 8、已知圆 C1:x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 10与圆C2:x ? 6) 2 ? ( y ? 3) 2 ? 50交于 A、B 两点,则 AB 所在的直线方程是_

_.

9、直线 y ? x ? 1 上的点到圆 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? 4 ? 0 的最近距离是_ 10、已知圆的方程是 x2+y2=1,则在 y 轴上截距为 2 的切线方程为_

_. _. _.

11、过 P(-2,4)及 Q(3,-1)两点,且在 X 轴上截得的弦长为 6 的圆方程是_

12、半径为 5 的圆过点 A(-2, 6),且以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 5 ,求此圆的方程. 13、已知圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? m ? 0 与 y 轴交于 A、B 两点,圆心为 P,若 ?APB ? 90? .求 m 的值. 14、已知定点 A(2,0) , P 点在圆 x 2 ? y 2 ? 1 上运动, ?AOP 的平分线交 PA 于 Q 点,其中 O 为坐标原 点,求 Q 点的轨迹方程.

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例题参考答案: 例 1 解:由(x–3)2+y2=9-a(a<9)可知圆心M的坐标为(3,0) 依题意: ?ABM ? ?BAM ?

?
4

1 , k AB ? . 3

MA,MB 的斜率 k 满足:

k?1 3 ?1 1? 1 k 3

解得:kAC= ? , k BD ? 2

1 2

例 2 解:(1)圆 C1 的圆心为 C1(-2,3m+2),设 C1 关于直线 l 对称点为 C2(a,b)
? b ? 3m ? 2 ? ?1      ? 则? a?2 3m ? 2 ? b a ? 2 ? ? ?m?2 2 2 ?
?a ? 2 m ? 1 ? b ? m ?1

解得: ?

∴圆 C2 的方程为 ( x ? 2m ? 1) 2 ? ( y ? m ? 1) 2 ? 4m2 (2)由 ?
?a ? 2 m ? 1 消去 m 得 a-2b+1=0 ? b ? m ?1

即圆 C2 的圆心在定直线 x-2y+1=0 上。 设直线 y=kx+b 与圆系中的所有圆都相切,则
k (2m ? 1) ? (m ? 1) ? b 1? k 2 ? 2m

即 (?4k ? 3)m 2 ? 2(2k ? 1)(k ? b ? 1)m ? (k ? b ? 1) 2 ? 0 ∵ 直 线 y=kx+b 与 圆 系 中 的 所 有 圆 都 相 切 , 所 以 上 述 方 程 对 所 有 的 m 值 都 成 立 , 所 以 有 :
? ? 4k ? 3 ? 0       ? ? 2(2k ? 1)(k ? b ? 1) ? 0 ?(k ? b ? 1) 2 ? 0      ?

3 ? ?k ? ? 4 解之得: ? 7 ?b? 4 ?
3 4 7 4

所以 C 2 所表示的一系列圆的公切线方程为: y ? ? x ? 例 3 解:圆 C 化成标准方程为 ( x ? 1) 2 ? ( y ? 2) 2 ? 32

假设存在以 AB 为直径的圆 M,圆心 M 的坐标为(a,b) 由于 CM⊥l,∴kCM?kl= -1 ∴kCM=
b?2 ? ?1 , a ?1

y

O B C M

即 a+b+1=0,得 b= -a-1 ① 直线 l 的方程为 y-b=x-a, 即 x-y+b-a=0
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x

A

CM=

b?a?3 2

∵以 AB 为直径的圆 M 过原点,∴ MA ? MB ? OM
MB ? CB ? CM
2 2 2

?9?

(b ? a ? 3) 2 2 , OM ? a 2 ? b 2 2

∴9?

(b ? a ? 3) 2 ? a 2 ? b2 2


3 2

把①代入②得 当a ?

2a 2 ? a ? 3 ? 0 ,∴ a ? 或a ? ?1

3 5 , 时b ? ? 此时直线 l 的方程为 x-y-4=0; 2 2

当 a ? ?1,时b ? 0 此时直线 l 的方程为 x-y+1=0 故这样的直线 l 是存在的,方程为 x-y-4=0 或 x-y+1=0 例 4 解:∵过点 A、B 的直线方程为在 l:x-y+1 = 0, 作 OP 垂直 AB 于点 P,连结 OB. 由图象得:|m|<OP 或|m|>OB 时,线段 AB 与圆 x +y = m 无交点. (I)当|m|<OP 时,由点到直线的距离公式得:
| m |?
2 2 2

B P A O

2 2. |1 | 2 ,即 ? ?m? ?| m |? 2 2 2 2

(II)当 m >OB 时,

| m |? 32 ? 22 ?| m |? 13 ,
即 m ? ? 13或m ? 13 . ∴当 ?
2 2 ?m? 2 2

和 m ? ? 13与m ? 13且m ? 0 时,

圆 x2+y2 = m2 与线段 AB 无交点. 例 5 解:(1)连接 MB,MQ,设 P( x, y), Q(a,0), 由 | AB |? 4 2 , 3 可得 | MP |? | MA | 2 ?(| AB | ) 2 ? 12 ? ( 2 2 ) 2 ? 1 ,
2 3 3

由射影定理,得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ |, 得 | MQ |? 3, 在 Rt△MOQ 中,
| OQ |? | MQ | 2 ? | MO | 2 ? 3 2 ? 2 2 ? 5 ,
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故 a ? 5或a ? ? 5 ,所以直线 AB 方程是
2x ? 5 y ? 2 5 ? 0或2x ? 5 y ? 2 5 ? 0;

(2)由点 M,P,Q 在一直线上, 得 2 ? y ? 2 , (*) ?a x 由射影定理得 | MB |2 ?| MP | ? | MQ |, 即 x 2 ? ( y ? 2) 2 ? a 2 ? 4 ? 1, (**) 把(*)代入(**)消去 a, 并注意到 y ? 2 ,可得 x 2 ? ( y ? ) 2 ?
7 4 1 ( y ? 2). 16

例 6 解:以 AB 所在直线为 x 轴,线段 AB 的中点为原点建立直角坐标系, 则 A(-5,0),B(5,0). 设某地 P 的坐标为(x,y),且 P 地居民选择 A 地购买商品的费用较低,并设 A 地的运费为 3a 元 /km,则 B 地运费为 a 元/km. 由于 P 地居民购买商品的总费用满足条件:价格+A 地运费≤价格+B 地运费 , 即 3a ( x ? 5) 2 ? y 2 ? a ( x ? 5) 2 ? y 2 ,整理得 ( x ? 25) 2 ? y 2 ? (15) 2 .
4 4

所以,以点 C (? 25 ,0) 为圆心, 15 为半径的圆就是两地居民购货的分界线.
4

4

圆内的居民从 A 地购货费用较低; 圆外的居民从 B 地购货费用较低; 圆上的居民从 A、B 两地购货的总费用相等,因此可以随意从 A、B 两地之一购货. 例 7 解:(1)依题意,⊙ Pn 的半径 rn ? yn ? xn ,? ⊙ Pn 与⊙ Pn ?1 彼此外切,
2

? Pn Pn?1 ? rn ? rn?1 , ? ( x n ? x n ?1 ) 2 ? ( y n ? y n ?1 ) 2 ? y n ? y n ?1 ,
两边平方,化简得 ( x n ? x n?1 ) 2 ? 4 y n y n?1 , 即 ( xn ? xn?1 ) ? 4xn xn?1 .
2 2 2

? xn ? xn?1 ? 0 , ? xn ? xn?1 ? 2xn xn?1 , ?
?1? ? 是等差数列. ? xn ?

1 1 ? ? 2(n ? N ? ) . xn?1 xn

∴ 数列 ?

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(2) 由题设, x1 ? 1,∴

1 1 1 , ? ? (n ? 1) ? 2 ? x n ? x n x1 2n ? 1

S n ? ?rn

2

? ?y n

2

? ?xn

4

?

?
(2n ? 1) 4

,

? ? 1 1 Tn ? S1 ? S 2 ? ? ? ? ? S n ? ? ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ?1 ? 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? 2 2 2 ? (2n ? 3) ? (2n ? 1) ? 5 (2n ? 1) ? ? 1? 3 3 ? 5 ? 3

? 1 1 1 1 1 1 ?? = ? 1 1 ? 3 ? ? 3 ?. = ? ?1 ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )? ? ? ?1 ? (1 ? )? ? ? ? ? 2n ? 1 ? 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 ? ? 2 2(2n ? 1) 2 ? 2 ? 2?
例 8 解:(1)在直角梯形 ODCn?1C 中, AC=1- rn , CCn =1+ rn , CCn?1 =1+ rn ?1 , C n Cn?1 = rn + rn ?1 . Cn?1B = rn ?1 - rn . ∴有 ACn ?

?1 ? rn ? ? ?1 ? rn ?
2
2

2

, BCn ?
2

? rn?1 ? rn ? ? ? rn?1 ? rn ?
2

2

ECn?1 ?

?1 ? rn?1 ? ? ?1 ? rn?1 ?

, ECn?1 ? AB = ACn ? BCn
?

∴ ?1 ? rn ?2 ? ?1 ? rn ?2 ?
1 rn ? 1 rn ?1

?rn?1 ? rn ?2 ? ?rn?1 ? rn ?2

?1 ? rn?1 ?2 ? ?1 ? rn?1 ?2

∴ 4rn ? 4rn rn?1 ? 4rn?1 .即 rn?1 ? rn ? rn rn?1 . 由此可得 ∴{ ∴
1 rn
1 rn ? 1.

}成等差数列, r1 ? 1 .
? 1 r1 ? (n ? 1) ? 1 ? n ,∴ rn ?

1 n2
2.4 2.2

.

2

1.8

1.6

1.4

1.2

C

1

C1

0.8

0.6

0.4

-1

-0.5

E A O
0.2 -0.2 -0.4

0.5

Cn-1 Cn B D
1

1.5

2

2.5

3

2 1 ? 2. (n ? 1)n Cn 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ) = 2(1 ? ) . (3) ? 2 ? ? ? 2 ? 2(1 ? ) ? 2( ? ) ? ? ? 2( 2 2 2 3 n ?1 n n C2 C3 Cn 1 1 1 ∴ lim( 2 ? 2 ? ? ? 2 ) =2. n ?? C C3 Cn 2
(2)公切线长为 ln ?

? rn ? rn?1 ? ? ? rn?1 ? rn ?
2

2

? 2 rn ?1rn ?

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【圆参考答案】 ACAAC BC 8、2x+y=0 9、 2 2 ? 1 10、 y ? x ? 2或y ? ? x ? 2 11、(x-1)2+(y-2)2=13 或(x-3)2+(y-4)2=25 12、解:设圆心坐标为 P(a, b), 则圆的方程是(x-a)2+(y-b)2=25, ∵ (-2, 6)在圆上,∴ (a+2)2+(b-6)2=25, 又以 M(5, 4)为中点的弦长为 2 5 , ∴ |PM|2=r2- 5 2, 即(a-5)2+(b-4)2=20,
?(a ? 2) 2 ? (b ? 6) 2 ? 25 7a ? 3 ? 联立方程组 ? , 两式相减得 7a-2b=3, 将 b= 代入 2 ?(a ? 5) 2 ? (b ? 4) 2 ? 20 ?

得 53a2-194a+141=0, 解得 a=1 或 a=

141 414 , 相应的求得 b1=2, b2= , 53 53 141 2 414 2 ) +(y- ) =25 53 53

∴ 圆的方程是(x-1)2+(y-2)2=25 或(x-

13、解:由题设△APB 是等腰直角三角形,∴圆心到 y 轴的距离是圆半径的 将圆方程 x 2 ? y 2 ? 4 x ? 2 y ? m ? 0 配方得: ( x ? 2) 2 ? ( y ? 1) 2 ? 5 ? m 圆心是 P(2,-1),半径 r= 5 ? m ∴ 5?m ? 2 ?2
y

2 倍 2

解得 m= -3
P Q O A x

14、解:在△AOP 中,∵OQ 是?AOP 的平分线 ∴
AQ PQ ? OA OP ? 2 ?2 1

设 Q 点坐标为(x,y);P 点坐标为(x0,y0)
? ?x ? ∴? ?y ? ? 2 ? 2 x0 3x ? 2 ? x0 ? 1 ? 2    即? 2 ? 0 ? 2 y0 3 ? y0 ? y   2 ? 1? 2

∵ P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上运动,∴x02+y02=1 即?
? 3x ? 2 ? ?3 ? ? ? ? y? ? 1 ? 2 ? ?2 ?
2 2

∴ ? x ? ? ? y2 ?

? ?

2? 3?

2

4 9

此即 Q 点的轨迹方程。

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