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上海市华师大二附中高三数学综合练习6


上海市华师大二附中高三综合练习[6]
一、填空题 (本大题满分 48 分) 1、已知集合 A={x|y=lg(x–3)},B={x|y= 5 ? x },则 A∩B= 。 2、定义在 R 上的函数 f(x)是奇函数,则 f(0)的值为。 3、设函数 f(x)=lgx,则它的反函数 f–1(x)=。 4、函数 y=sinxcosx 的最小正周期 T=。 5、若复数 z1=3–i,z2=7+2i,(i 为虚数单位),则|z2–z1|=。 6、Δ ABC 中,若∠B=30o,AB=2 3 ,AC= 3 ,则 BC=。 7、无穷等比数列{an}满足:a1=2,并且 lim (a1+a2+…+an)=
n??

8、关于 x 的方程 2x= 2 ? a 只有正实数的解,则 a 的取值范围是。 9、如果直线 y = x+a 与圆 x2+y2=1 有公共点,则实数 a 的取值范围是。 10、袋中有相同的小球 15 只,其中 9 只涂白色,其余 6 个涂红色,从袋内任取 2 只球,则 取出的 2 球恰好是一白一红的概率是。 11、函数 f ( n) =
n2 ? a ( n ? N*)为增函数,则 a 的范围为。 n

a ?1

8 ,则公比 q=。 3

12.设函数 f ? x ? 的定义域是 D, 任意的a, b ? D ,有 f ? a ? ? f ? b ? ? f ? 1+ab ? , f ? x ? 的反 ? ? 函数为 H ? x ? ,已知 H ?a ? , H ? b? ,则 H ? a ? b? =___________。 (用 H ? a ? , H ? b? 表示) ; 二、选择题 (本大题满分 16 分) 13.已知数列{an}的通项公式是 an=2n–49 (n?N),那么数列{an}的前 n 项和 Sn 达到最小值时 的 n 的值是 ( ) (A)23 (B) 24 (C) 25 (D) 26 14.在△ ABC 中,若 (A) 直角三角形

? a+b ?

a b c ? ? ,则 ?ABC 是( cos A cos B cos C
(B) 等边三角形

) (D) 等腰直角三角形 )

15.设 x=sin?,且?? [? , ] ,则 arccosx 的取值范围是 ( (A) [0, ?] (C) [0,

? 6 ? (B) [ 3

5? 6 2? , ] 3

(C) 钝角三角形

2? ] 3

(D)[

2? ,?] 3
)

16.设非零实常数 a、b、c 满足 a、b 同号,b、c 异号,则关于 x 的方程 a .4x+b.2x+c=0( (A)无实根 (B)有两个共轭的虚根 (C)有两个异号的实根 (D)仅有一个实根 三.解答题(本大题满分 86 分) 17.(本题满分 12 分) 某中学,由于不断深化教育改革,办学质量逐年提高。2006 年 至 2009 年高考考入一流大学人数如下: 年 份 200 6 高考上线人数 116 200 7 172 200 8 220 200 9 260
人数

30 250 0 20 15 0 10 0 5 0 0

1

2

3

4

年份

(2006) (2007) (2008)(2009)

以年份为横坐标, 当年高考上线人数为纵坐标建立直角坐标系,

由所给数据描点作图 (如图所示) , 从图中可清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近, 因此,用一次函数 y ? ax ? b 来模拟高考上线人数与年份的函数关系,并以此来预测 2010 年高考一本上线人数.如下表: 年 份 2006 1 116
y1 ? a ? b

2007 2 172
y2 ? 2a ? b

2008 3 220
y3 ? 3a ? b

2009 4 260
y4 ? 4a ? b

年份代码 x 实际上线人数 模拟上线人数

为使模拟更逼近原始数据,用下列方法来确定模拟函数。
/ 设 S ? y1 ? y1

?

? ? ?y
2

2

/ ? y2

? ? ?y
2

3

? y 3/

? ? ?y
2

4

/ / / / ? y4 , y1/ 、 y 2 、 y3 、 y4 表示各年实际

?

2

上线人数, y1 、 y 2 、 y3 、 y 4 表示模拟上线人数,当 S 最小时,模拟函数最为理想。试根 据所给数据,预测 2010 年高考上线人数。

18.(本题满分 12 分) 在复数范围内解方程 z
2

? ( z ? z )i ?

3?i (i 为虚数单位) 2?i

19.(本题满分 14 分) 已知不等式 x2–3x+t<0 的解集为{x|1<x<m, m?R} (1)求 t, m 的值; (2)若 f(x)= –x2+ax+4 在(–∞,1)上递增,求不等式 log a (–mx2+3x+2–t)<0 的解集。

20.(本题满分 14 分) 某企业准备在 2006 年对员工增加奖金 200 元,其中有 120 元是基本奖金。预计在今后 的若干年内, 该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长 8%。 另外, 每年新增加的奖金中, 基本奖金均比上一年增加 30 元。那么,到哪一年底, (1)该企业历年所增加的奖金中基本奖金累计(以 2006 年为累计的第一年)将首次不少于

750 元? (2)当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于 85%?

21.(本题满分 16 分) 已知 Sn 是正数数列{an}的前 n 项和,S12,S22、……、Sn2 ……,是以 3 为首项,以 1 为 公差的等差数列;数列{bn}为无穷等比数列,其前四项之和为 120,第二项与第四项之和为 90。 (1)求 an、bn; (2)从数列{

1 1 }中能否挑出唯一的无穷等比数列,使它的各项和等于 2 。若能的话,请 bn S6

写出这个数列的第一项和公比?若不能的话,请说明理由。

22.(本题满分 18 分) 函数 f(x)=

x (a,b 是非零实常数),满足 f(2)=1,且方程 f(x)=x 有且仅有一个解。 ax ? b

(1)求 a、b 的值; (2)是否存在实常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立?为什么? (3)在直角坐标系中,求定点 A(–3,1)到此函数图象上任意一点 P 的距离|AP|的最小值。

上海市华师大二附中高三年级数学综合练习[6] 参考答案
1、{x|3<x≤5} 2、0 9、– 2 ≤a≤ 2 3、y=10x, x?R 10、 4、? 5、5 6、3

18 35

11、2

12、 H ? a+b ? ?

1? H ?a ? ? H ? b?

1 1 8、 <a<2 4 2 H ? a ? ? H ? b?
7、

13、B 14、B 15、C 16、D

2 2 2 2 17、解: S ? ?a ? b ? 116? ? ?2a ? b ? 172? ? ?3a ? b ? 220? ? ?4a ? b ? 260?

? 4b 2 ? 2?10a ? 768?b ? ?a ? 116?2 ? ?2a ? 172?2 ? ?3a ? 220?2 ? ?4a ? 260?2

当b ?

2?768 ? 10a ? 8

即 5a ? 2b ? 384

① 时 ,S 有最小值,其中最小值为:

M= ?a ? 116?2 ? ?2a ? 172?2 ? ?3a ? 220?2 ? ?4a ? 260?2 ?

?10a ? 768?2
4

? 30a 2 ? 2 ? 2160a ? 116 2 ? 172 2 ? 220 2 ? 260 2 ? 25a 2 ? 3840a ? 384 2

? 5a 2 ? 480a ? 11584

当且仅当 a ? 48 时,M 有最小值。∴ a ? 48 代入①得 b ? 72 。∴ 18、原方程化简为 z
2

y5 ? 5 ? 48 ? 72 ? 312



? ( z ? z )i ? 1 ? i ,设 z=x+yi(x、y∈R),代入上述方程得 x2+y2+2xi=1–i,所

1 1 3 3 ,y=± ,所以原方程的解是 z=– ± i。 2 2 2 2 ?m ? 2 ?1 ? m ? 3 19、(1) 由条件得: ? ,所以 ? , ?t ? 2 ?1 ? m ? t a 2 a a2 (2)因为 f(x)= –(x– ) +4+ 在(–∞,1)上递增,所以 ≥1,a≥2 ,log a (–mx2+3x+2–t)= log a 2 2 4
以 x2+y2=1 且 2x=–1,解得 x=–

3 ? 2 0 ? x ? ? 1 3 2 x ? 3 x ? 0 ? ? 2 (–2x2+3x)<0=log a 1,所以 ? ,所以 ? ,所以 0<x< 或 1<x< 。 ? 2 2 2 ? ?2 x ? 3 x ? 1 ? 0 ? x ? 1或x ? 1 ? 2 ?
20、 (1)设基本奖金形成数列{an}, 由题意可知{an}是等差数列, (或 a1=120,, d=30, 或 an =120+30 (n–1)),Sn=a1n+

1 n(n–1)d ,则 Sn=120n+15n(n–1) =15n2+105n=15(n2+7n), 2

令 15n2+105n

≥750,即 n2+7n–50≥0,而 n 是正整数, ∴n≥5。到 2010 年底该企业历年所增加的工资中基 本工资累计将首次不少于 750 元。6 分 (2) 设新增加的奖金形成数列 {bn} ,由题意可知 {bn} 是等比数列, ( 或 b1=200 , q=1.08 ,或 bn=bn–1q) , 则 bn=200· (1.08)n–1 , 由题意可知 an>0.85 bn, 有 120+30 (n–1)>200· (1.08)n–1· 0.85。 由计箅器解得满足上述不等式的最小正整数 n=5,到 2010 年底,当年增加的基本奖金占该 年增加奖金的比例首次大于 85% 。 21、(1){Sn}是以 3 为首项,以 1 为公差的等差数列;所以 Sn2=3+(n–1)=n+2 因为 an>0, 所以 Sn= n ? 2 (n?N), 当 n≥2 时, an=Sn–Sn–1= n ? 2 – n ? 1 , 又 a1=S1= 3 , 所 以 an= ?

? n ?1 ? 3 (n?N) , 设 {bn} 的 首 项 为 b1 , 公 比 为 q , 则 有 ? n ? 2 ? n ? 1 n ? 1 ?

3 ? ?b1 ? 3 ?b1 q ? b1 q ? 90 ,所以 ? ,所以 bn=3n(n?N), ? 2 q ? 3 ? ? ?b1 ? b1 q ? 30 1 1 1 1 n (2) =( ) ,设可以挑出一个无穷等比数列{cn},首项为 c1=( )p,公比为( )k,(p、k?N), 3 3 bn 3 1 ( )p 1 1 1 1 1 1 它的各项和等于 2 = , 则有 3 所以( )p= [1–( )k], 当 p≥k 时 3p–3p–k=8, ? , 1 3 8 3 8 S6 8 1 ? ( )k 3

即 3p–k(3k–1)=8, 因为 p、k?N,所以只有 p–k=0,k=2 时,即 p=k=2 时,数列{cn}的各项和

1 。当 p<k 时,3k–1=8.3k–p,因为 k>p 右边含有 3 的因数,而左边非 3 的倍数,不存在 2 S6 1 1 1 p、k?N,所以唯一存在等比数列{cn},首项为 ,公比为 ,使它的各项和等于 2 。 9 9 S6 x 22、(1)由 f(2)=1 得 2a+b=2,又 x=0 一定是方程 =x 的解, ax ? b 1 所以 =1 无解或有解为 0,若无解,则 ax+b=1 无解,得 a=0,矛盾,若有解为 0,则 ax ? b


b=1,所以 a= (2)f(x)=

1 。 2

2x ,设存在常数 m,使得对定义域中任意的 x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立, x?2 2m 取 x=0 ,则 f(0)+f(m–0)=4 ,即 =4 , m= –4( 必要性 ) ,又 m= –4 时, f(x)+f(–4–x)= m?2 2x 2(?4 ? x) ? =……=4 成立(充分性) ,所以存在常数 m= –4,使得对定义域中任意的 x?2 ?4? x?2
x,f(x)+f(m–x)=4 恒成立, (3)|AP|2=(x+3)2+(

x?2 2 ) ,设 x+2=t,t≠0, x?2 t?4 2 2 8 16 16 4 4 4 则|AP|2=(t+1)2+( ) =t +2t+2– + 2 =(t2+ 2 )+2(t– )+2=(t– )2+2(t– )+10 t t t t t t t 4 4 ? 1 ? 17 ? 5 ? 17 =( t– +1)2+9, 所以当 t– +1=0 时即 t= ,也就是 x= 时,|AP| min = 3 。 t t 2 2


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