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高二数学椭圆知识点整理


第1讲
课 型:复习巩固

课题:椭圆
上课时间:2013 年 10 月 3 日

教学目标:
(1)了解圆锥曲线的来历; (2)理解椭圆的定义; (3)理解椭圆的两种标准方程; (4)掌握椭圆离心率的计算方法; (5)掌握有关椭圆的参数取值范围的问题;

教学重点:椭圆方程、离心率; 教学

难点:与椭圆有关的参数取值问题;
?知识清单
一、椭圆的定义:
(1) 椭圆的第一定义:平面内与两定点 F、F2 的距离和等于常数 1

?2a ? (大于 F 1F2 )的点的轨迹叫做椭圆.
说明:两个定点叫做椭圆的焦点; 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距 ?2c ? . (2) 椭圆的第二定义:平面上到定点的距离与到定直线的距离之 比为常数 e ,当 0 ? e ? 1 时,点的轨迹是椭圆. 椭圆上一点到 焦点的距离可以转化为到准线的距离.

二、椭圆的数学表达式:
PF1 ? PF2 ? 2a?2a ? F1 F2 ? 0?;
M ? P PF1 ? PF2 ? 2a, ?2a ? F1 F2 ? 0 ? .

?

?

三、椭圆的标准方程:
焦点在 x 轴: 焦点在 y 轴:
x2 y2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? ; a2 b2 y2 x2 ? ? 1?a ? b ? 0 ? . a2 b2

说明: a 是长半轴长,b 是短半轴长,焦点始终在长轴所在的数轴上, 且满足 a 2 ? b2 ? c 2 .

四、二元二次方程表示椭圆的充要条件
方程 Ax2 ? By 2 ? C ?A、B、C均不为零,且A ? B ? 表示椭圆的条件: 上式化为
x2 y2 Ax 2 By 2 ? ? 1, ? ? 1 .所以,只有 A、B、C 同号, C C C C A B
C C ? 时,椭圆的焦点在 x 轴上; A B

且 A ? B 时,方程表示椭圆;当 当

C C ? 时,椭圆的焦点在 y 轴上. A B

x2 y2 五、椭圆的几何性质(以 2 ? 2 ? 1?a ? b ? 0? 为例) a b

1. 范围: 由标准方程可知,椭圆上点的坐标 ?x, y ? 都适合不等式
x2 y2 ? 1, 2 ? 1 , x ? a, y ? b 说明椭圆位于直线 x ? ?a 和 y ? ?b 所围 即 a2 b

成的矩形里(封闭曲线).该性质主要用于求最值、轨迹检验等 问题. 2.对称性:关于原点、 x 轴、 y 轴对称,坐标轴是椭圆的对称轴, 原点是椭圆的对称中心。 3.顶点(椭圆和它的对称轴的交点) 有四个:
A1 ?? a,0?、A2 ?a,0?、B1 ?0,?b?、B2 ?0, b?.

4. 长轴、 短轴:A1 A2 叫椭圆的长轴,A1 A2 ? 2a, a 是长半轴长;B1 B2 叫椭圆的短轴, B1B2 ? 2b, b 是短半轴长. 5.离心率 (1)椭圆焦距与长轴的比 e ? , ?? a ? c ? 0,? 0 ? e ? 1? (2)
c a
Rt?OB2 F2 , B2 F2 ? OB2 ? OF2 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 .这是椭圆
2 2 2

的特征三角形,并且 cos ?OF2 B2 的值是椭圆的离心率. (3)椭圆的圆扁程度由离心率的大小确定,与焦点所 在的坐标轴无关.当 e 接近于 1 时, c 越接近于 a ,从而
b ? a 2 ? c 2 越小,椭圆越扁;当 e 接近于 0 时, c 越接

近于 0,从而 b ? a 2 ? c 2 越大,椭圆越接近圆;当 e ? 0 时, c ? 0, a ? b ,两焦点重合,图形是圆. 6.通径(过椭圆的焦点且垂直于长轴的弦) ,通径长为
2b 2 . a

7.设 F、F2 为椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点,当 P、F1、F2 三 1 点不在同一直线上时, P、F1、F2 构成了一个三角形——焦点 三角形. 依椭圆的定义知: PF1 ? PF2 ? 2a, F1F2 ? 2c .

?例题选讲?
一、选择题
1.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 1 的离心率为( A.
3 2


2 2

B.

3 4

C.

D.

2 3

x2 y 2 2.设 p 是椭圆 ? ? 1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点, 25 16

则 PF1 ? PF2 等于(



A. 4

B.5

C. 8

D.10

3.若焦点在 x 轴上的椭圆 则 m=( A. 3 ) B.
3 2

x2 y2 1 ? ? 1 的离心率为 , 2 m 2
8 3

C.

D.

2 3

4.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆

x2
3

+y2=1 上,顶点 A 是

椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△

ABC 的周长是(
A.2 3

) B.6 C.4 3 D.12 ) D.
2 5 5

5.如图,直线 l : x ? 2 y ? 2 ? 0 过椭圆的左焦点 F1 和 一个顶点 B,该椭圆的离心率为( A.
1 5

B.

2 5

C.

5 5

6.已知 F1、F2 是椭圆的两个焦点,过 F1 且与椭圆长轴垂直 的直线交椭圆于 A、B 两点,若△ABF2 是正三角形,则这 个椭圆的离心率是( A.
2 3


3 3

B.

C.

2 2

D.

3 2

7. 已知以 F(-2,0) F(2,0) ,2 为焦点的椭圆与直线 x ? 3 y ? 4 ? 0 1 有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为( A. 3
2

) D. 4
2

B. 2

6

C. 2

7

二、填空题:
8. 在 △ABC 中, ?A ? 90? , tan B ? .若以 A,B 为焦点的椭圆 经过点 C ,则该椭圆的离心率 e ? 轴长是短轴长的 2 倍,则该椭圆的标准方程 是 . .
3 4

9. 已知椭圆中心在原点,一个焦点为 F(-2 3 ,0) ,且长

10. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和 C(4,0) , 顶点 B 在椭圆
x2 y2 sin A ? sin C ? ? 1 上,则 ? 25 9 sin B

.

11.椭圆 x 2 ? 4 y 2 ? 4 长轴上一个顶点为 A,以 A 为直角顶点作 一个内接于椭圆的等腰直角三角形,该三角形的面积是 _______________.

三、解答题
12.已知椭圆 mx 2 ? 3 y 2 ? 6m ? 0 的一个焦点为(0,2)求 m 的值. 13.已知椭圆的中心在原点,且经过点 P?3,? , a ? 3b ,求椭圆 0 的标准方程. 14.已知方程
x2 y2 ? ? ?1表示椭圆,求 k 的取值范围. k ?5 3? k

15.已知 x 2 sin? ? y 2 cos? ? 1 (0 ? ? ? ? ) 表示焦点在 y 轴上的椭圆, 求 ? 的取值范围. 16. 求 中 心 在 原 点 , 对 称 轴 为 坐 标 轴 , 且 经 过 A( 3 , ? 2) 和
B(?2 3 , 1) 两点的椭圆方程.


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