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黑龙江省哈师大附中2013-2014学年高二上学期期末考试数学文试题


2013--2014 高二上学期期末考试

文科数学试题
一.选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.圆 O1:x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 和圆 O2:x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 的位置关系是( A.相离 B.相交 C.相切 ) )

D.不确定

2.命题: “存在 x 0 ? R, sin x o ? 2 ”的否定是( A. 不存在 x 0 ? R, sin x o ? 2 C.对任意 x ? R, sin x ? 2
2

B.存在 x 0 ? R, sin x o ? 2 D. 对任意 x ? R, sin x ? 2
2

3.直线 3 x ? y ? 2 3 ? 0 截圆 x ? y ? 4 得的劣弧所对圆心角为( A.



?

6 4 4. “ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的(

B.

?

C.

?
3

D.

?
2
开始

) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

S=0,k=1

5. 双曲线

x y ? ? 1 的焦距为( m ? 12 4 ? m 2
2

2

2



S?S?
A.4 B. 2 2 C.8 D.与 m 无关 ) k=k+1 A. 1011001(2) C. 1000011(2) B. 1001101(2) D. 1100001(2) 否

1 k (k ? 1)

6.将八进制数 131(8) 化为二进制数为(

7.椭圆

x2 y2 ? ? 1 上有两点 A、B 关于直线 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 16 4
) C. ( ,2)

是 输出 s

对称,则弦 AB 的中点坐标为( A. (?1, )

1 2

B. ( , ?1)

1 2

1 2

D. ( 2, )

1 2

结束
(第 8 题图)

8.某程序框图如图所示,若输出结果为 S ? 应为( ) A. k ? 6? B. k ? 7 ? C. k ? 8?

8 ,则判断框内 9
D. k ? 9?

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9.直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 2 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是( A. b ? ? 2 B. ?1 ? b ? 1或b ? ? 2 C. ?1 ? b ? 1



D. ?1 ? b ? 1

10.某校要从 1080 名学生中抽取 90 人做问卷调查,采取系统抽样的方法抽取.将他们随机 编号为1,2,3,?,1080,编号落入区间[1,330]的同学进行问卷Ⅰ的调查, 编号落入区 间 [331,846] 的 同学进行问卷Ⅱ的调查 ,编号落入区间 [847,1080] 的同学进行问卷Ⅲ的 调查.若分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到5号,则进行问卷Ⅲ的同学人数 为( ) A.19 B.20 C.21 D.22

x2 y2 11.椭圆 ? ? 1 上一点 M 到焦点 F1 的距离为 2,N 为 MF1 的中点,O 为坐标原点,则 25 9

ON ? (
A. 2

) B. 4 C.6 D.

3 2

开始

12.设 F1、F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a>0,b>0)的左右焦点, a2 b2

S=2,n=1

若双曲线的右支上存在一点 P, 使 PF1 ? PF2 ? 0 ,且 ?F1 PF2 的 三边长构成等差数列,则此双曲线的离心率为( A. 2 B. 3 C. 2 )

S?

1? S 1? S

n=n+1 D.5 否 n ? 100? 是 输出 s 二.填空题: (每小题 5 分,共 20 分) 13.以抛物线 y ? 12 x 的焦点为圆心,且与双曲线
2

x2 y2 ? ?1 16 9

的两条渐近线相切的圆的方程为_____________________. 14.某程序框图如图所示,则输出的结果是_______. 15.已知一组数据 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 的平均数是2,标准差是

1 , 5

结束 (14 题图)

则另一组数据 5 x1 ? 8,5 x2 ? 8,5 x3 ? 8,5 x4 ? 8,5 x5 ? 8,5 x6 ? 8 的标准差为_______. 16.已知抛物线 C: y ? 2 px( p ? 0) 上一动点 M,设 M 到抛物线 C 外一定点 A(6,12)的
2

距离为 d1 ,M 到定直线 l : x ? ? p 的距离为 d 2 ,若 d1 + d 2 的最小值为 14,则抛物线 C 的 方程为____________________. 三.解答题: (其中第 17 题 10 分,第 18-22 题每小题 12 分,共 70 分)

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17.设 p : 2 ? x x ? a ? 1 ; q :曲线 y ? x ? ? 2a ? 3? x ? 1 与 x 轴交于不同的两点.如果
2

?

?

p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

18.平面上动点P到点F(1,0)的距离等于它到直线 x ? ?1 的距离. (Ⅰ)求点P的轨迹方程; (Ⅱ)过点M(4,0)的直线与点P的轨迹交于A,B两点,求 OA ? OB 的值.

19.在直角坐标系中,直线 l 经过点 P (3,0) ;倾斜角 ? ? (Ⅰ)写出直线 l 的参数方程;

?
4



(Ⅱ)以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C : ? ? 4 cos ? 与直线 l 相交于 A、B 两点,求 AB 中点坐标及点 P 到 A、B 两点距离之积.

20.某名学生在连续五次考试中数学成绩与物理成绩如下: 数学( x ) 物理( y ) 70 60 75 65 80 70 85 75 90 80

(Ⅰ)用茎叶图表示数学成绩与物理成绩; (Ⅱ)数学成绩为 x ,物理成绩为 y ,求变量 x 与 y 之间的回归直线方程.

(注: b ?

?

? ( x ? x)( y ? y) ? x y ? nx y
i ?1 i i

n

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

i

i

?x
i ?1

2

i

? nx

2

,a ? y ?b x )

?

?

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21.直线 l 的参数方程为 ?

? x ? 1 ? 2t ? x ? 2 cos ? ,圆C: ? . (t 为参数) (? 为参数) ? y ? 1 ? 2t ? y ? 2sin ?

(Ⅰ)以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求圆C的极坐标方程; (Ⅱ)直线 l 交圆C于 A,B 两点,求 AB 弦长.

22.已知椭圆 C 的中心在原点,一个焦点为 F (0, 2 ) ,且长轴与短轴的比为 2 : 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程. (Ⅱ)若椭圆 C 在第一象限的一点 P 的横坐标为 1,过点 P 作倾斜角互补的两条不同的直线 PA,PB 分别交椭圆 C 于另外两点 A,B.求证:直线 AB 的斜率为定值.

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高二上学期期末考试文科数学答案
一、选择题 1 B 二、填空题 13. ? x ? 3? ? y 2 ?
2

2 C

3 C

4 A 14. ?

5 C

6 A

7 D

8 D

9 B

10 A

11 B

12 D

81 25

1 3

15.1

16. y 2 ? 4 x

三、解答题 17. (本题满分 10 分)

解:? 2 ? x x ? a ? 1 ? 2 ? a ? 1 ? p : a ? 3或a ? 1
2 曲线 y ? x ? ? 2a ? 3? x ? 1 与 x 轴交于不同的两点 ? ? ? 0 ? q:

?

?

……3 分

? q:a ?

由 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,可知 p, q 一真一假

1 5 或a ? 2 2

……6 分

?a ? 1或a ? 3 1 ? 当 p 为真 q 为假时 ? 1 5 得 ? a ?1 2 ?a? ? ?2 2

?1 ? a ? 3 5 ? 当 p 为假 q 为真时 ? 1 5 得 ?a?3 2 a ? 或a ? ? ? 2 2
综上: a ? ? ,1? 18. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,由已知点P满足抛物线定义,点P的轨迹为焦点在 x 轴正半轴的抛物 线,

?1 ? ? 5 ? ? ,3? . ?2 ? ? 2 ?

……10 分

p ? 2 ,方程为 y 2 ? 4 x .

……5分

(Ⅱ)若直线AB的斜率不存在,则AB直线方程为: x ? 4 , A(4, 4), B (4, ?4)

OA ? OB ? 4 ? 4 ? 4 ? 4 ? 0
若直线AB的斜率存在,设为 k ,则AB直线方程为: y ? k ( x ? 4)

? y ? k ( x ? 4) 2 2 2 2 得 k x ? (8k ? 4) x ? 16k ? 0 ? 2 ? y ? 4x
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8k 2 ? 4 , x1 ? x2 ? 16 k ? 0, ? ? 64k ? 16 ? 0 恒成立, x1 ? x2 ? k2
2

y1 ? y2 ? k ( x1 ? 4)k ( x2 ? 4) ? k 2 ? x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 16? ? ?16 ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 16 ? 16 ? 0
综上, OA ? OB ? 0 . ……12 分

19. (本题满分 12 分)

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 解: (1) ? (t为参数) ?y ? 2 t ? 2 ?
(2) ? C:? ? 4 cos ? ? x ? y ? 4 x
2 2

……4 分

……6 分

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 将? (t为参数) 代入 x 2 ? y 2 ? 4 x 得 t 2 ? 2t ? 3 ? 0 ?y ? 2 t ? 2 ?

……8 分

? ? ? 0 ? t1 ? t 2 ? ? 2

? 2 x ? 3? t ? t1 ? t 2 2 ? 2 代入 ? ? ?? (t为参数) 2 2 ?y ? 2 t ? 2 ?
……10 分

得 AB 中点坐标为 ?

?5 1? ,? ? . ?2 2?

P 到 A、B 两点距离之积为 t1 ? t 2 ? 3

……12 分

20. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 数学 6 50 7 物理 05 05

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50 0

8 9

0 ……6 分

(Ⅱ)

? xi 2 ? 32250 , ? xi yi ? 28250 , x ? 80, y ? 70, ( x)2 ? 6400, ( y)2 ? 5600
i ?1 i ?1

5

5

?b?

28250 ? 5 ? 5600 ? 1, a ? y ? bx ? ?10 32250 ? 5 ? 6400
…12 分

? 所求回归直线方程为 y ? x ? 10 .
21. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)圆 C 的普通方程为 x ? y ? 4 ,极坐标方程为 ? ? 2
2 2

……5分

? ?x ? 1? ? (Ⅱ)方法一:直线 l 的标准参数方程为 ? ? y ? 1? ? ?

2 / t 2 (t / 为 参 数 ) ,将其代入 2 / t 2

x2 ? y 2 ? 4 得
(1 ? 2 / 2 2 / 2 / ?? 2, t ) ? (1 ? t ) ? 4 ,解得 t1/ ? 2, t2 2 2
……12 分

/ 得 AB ? t1/ ? t2 ?2 2.

方法二:直线 l : y ? ? x ? 2 ,圆心到直线 l 的距离为 d ?

2 ? 2 2
……12 分

由垂径定理得

AB ? 4 ? 2 ? 2 ,故 AB ? 2 2 . 2

22. (本题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由已知可设椭圆 C 的方程为: 依题意:

y 2 x2 ? ? 1 (a ? b ? 0) a 2 b2
2

a ? 2 且 a 2 ? b2 ? 2 b

解得: a ? 4

b2 ? 2

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y 2 x2 故椭圆 C 的方程为: ? ?1 4 2
(Ⅱ)由(1)知:P (1, 2 )

……4 分

由已知知PA,PB的斜率必存在,设 PA: y ? 2 ? k ( x ? 1) 即: y ? kx ? (k ? 2) PB: y ? 2 ? ? k ( x ? 1) 即: y ? ? kx ? (k ? 2) 由? ……6 分

? ? y ? kx ? (k ? 2) ? ?2 x ? y ? 4
2 2

得: (k 2 ? 2) x 2 ? 2k (k ? 2) ? k 2 ? 2 2k ? 2 ? 0

2k 2 ? 2 2k 设 A( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) 则: x1 ? 1 ? k2 ? 2
故: x1 ?

k 2 ? 2 2k ? 2 k2 ? 2

同理: x2 ?

k 2 ? 2 2k ? 2 k2 ? 2

……10 分

直线 AB 的斜率 k AB ?

y1 ? y2 k ( x1 ? x2 ) ? 2k ? ? x1 ? x2 x1 ? x2

k

2k 2 ? 4 ? 2k k2 ? 2 ?4 2k k2 ? 2

?

?8k ? 2 ?4 2k
……12 分

所以:直线 AB 的斜率为定值.

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