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专题复习双曲线的标准方程及其性质


高三专题复习双曲线的标准方程及其性质教案
适用学科 适用区域 知识点 教学目标 教学重点 教学难点
高中数学 全国 双曲线的标准方程及其性质。 理解并掌握双曲线的标准方程及其性质。 双曲线的标准方程及其性质。 双曲线的性质的应用。

适用年级 课时时长(分钟)

高中三年级 60

1

r /> 教学过程
一、 课堂导入

2

二、 复习预习
1、点的轨迹的求法; 2、两点之间的距离公式; 3、椭圆的标准方程及其性质。

3

三、 知识讲解
考点 1 双曲线的定义。 平面内与两定点 F1、F2 的距离的差的绝对值等于常数 2a(2a<|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线。定 点 F1、F2 叫做焦点,定点间的距离(通常令|F1F2|=2c)叫焦距。 定义式:||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|).

4

考点 2 双曲线的标准方程。 根据定义,如图建立直角坐标系,则点 F1(-c,0) 、F2(c,0) ,设双曲线上一点 P(x,y), 那么由||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|),得到:
y

( x + c) + y 2-
化简方法一: 或

2

( x - c) + y 2 = 2a
2

2

P

( x + c)
2 2

+ y 2 = 2a +

( x - c)
+ y2

2

+ y2
F1 O F2 x

( x - c)

+ y 2 = 2a +

( x + c)

2

两边平方: ( x + c) + y 2 = 4a 2 + 4a

( x - c) ( x + c)

2

+ y 2 +( x - c) + y 2 + y 2 +( x + c) + y 2
2

2

( x - c)

2

+ y 2 = 4a 2 + 4a

2

c骣 a2 2 2 琪 , x c + y = x ( ) a琪 桫 c

c骣 a2 2 2 琪 x + c + y = - x (双曲线第二定义的由来,选讲) ( ) a琪 桫 c

再次平方,化简:

x2 y2 x2 y 2 2 2 2 = 1 b = c a =1 ,令 ,得: a2 c2 - a2 a 2 b2

5

轾x + c 2 + y 2 - 轾x - c 2 + y 2 ( ) ( ) 犏 犏 臌 = 2a 化简方法二: 臌 2 2 2 2 x + c + y + x c + y ( ) ( )

( x + c)
将其与 得:

2

+ y2 +

( x - c)
2

2

+ y2 = ?

2c x, a

( x + c)

2

+ y 2-

( x - c)

+ y 2 = 2a 联立

c骣 a2 2 2 琪 , x c + y = x ( ) a琪 桫 c

c骣 a2 2 2 琪 x + c + y = -x ( ) a琪 桫 c

以下与方法一相同。

6

考点 3 双曲线简单的几何性质。
标准方程

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y

y 2 x2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? a 2 b2
y

F1
b

a
a F2 x

图形

F1

-a O -b

-b

O -a F2

b

x

范围 焦点 性 对称轴 顶点 质 渐近线 离心率

x ? ( ? , a] ? [ a, ノ) , y R

x挝 R, y

( -? , a] ? [ a, ( 0, ± c)
坐标轴

?

)

( ± c,0)
坐标轴

(± a,0)
y =? b x a

( 0,± a)
y =? a x b

e=

c a
7

四、 例题精析
考点一双曲线的定义。
y2 ? 1 ,那么它的焦点到渐近线的距离为( 例 1 已知双曲线 x ? 3
2



A.1

B. 3

C.3

D.4

8

【规范解答】 解:依题意: c 2 = 1 + 3 = 4 ,∴焦点坐标( ± 2, 0 ) 其渐近线方程为 ? 3x y = 0 点到直线的距离为:

2 3 +0 1+

( 3)

2

= 3

答案选 C。

【总结与反思】做题中要熟练掌握双曲线的相关定义及各个参数之间的关系。

9

考点二双曲线的标准方程。

x2 y2 例 2 已知双曲线 C: 2 - 2 =1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程为() b a
A.

x2 y2 - =1 20 5

B.

x2 y2 - =1 20 5 x2 y2 - =1 80 20

C.

x2 y2 D. - =1 20 80

10

【规范解答】 解:依题意: 2c = 10, 2 =
b a

根据 c2 = a 2 + b2 ,得 a2 = 20 , b2 = 5 ∴答案为:A

【总结与反思】做题时要熟练掌握双曲线的标准方程及各个参数之间的关系。

11

考点三双曲线的简单的几何性质。 例3 已知 F1 , F2 为双曲线 C : x2 ? y 2 ? 2 的左右焦点,点 P 在 C 上, | PF1 |? 2 | PF2 | ,则 cos ?F1PF2 ? () A.
1 4

B.

3 5

C.

3 4

D.

4 5

12

【规范解答】 解:
x2 y 2 =1 2 2

y

b

P

设 PF1 = m, PF2 = n ,
ì ì ? m = 2n ?m=4 2 依题意: í 解得: í ? ? ? m- n =2 2 ?n=2 2
F1 -a O -b
2

a

F2

x

根据余弦定理: cos ? F1PF2 ∴答案为 C。

( 4 2 ) +( 2 2 )
2

- 42

2创 4 2 2 2

=

3 4

【总结与反思】在解题中要灵活运用双曲线的几何性质,同时这类题目常常与解三角形结合。

13

x2 y2 例 4[2014· 福建卷] 已知双曲线 E:a2-b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=-2x. (1)求双曲线 E 的离心率. (2)如下图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、四象限),且△OAB 的 面积恒为 8.试探究: 是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E?若存在, 求出双曲线 E 的方程; 若不存在,说明理由.

14

【规范解答】 解:(1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 y=2x,y=-2x,所以a=2,
所以 c2-a2 =2,故 c= 5a, a b

c 从而双曲线 E 的离心率 e= = 5. a x2 y2 (2)由(1)知,双曲线 E 的方程为 2- 2=1. a 4a 设直线 l 与 x 轴相交于点 C. 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a.又因为△OAB 的面积为 8, 1 1 所以 |OC|· |AB|=8,因此 a· 4a=8,解得 a=2, 2 2 x2 y2 此时双曲线 E 的方程为 - =1. 4 16 x2 y2 若存在满足条件的双曲线 E,则 E 的方程只能为 - =1. 4 16 x2 y2 以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E: - =1 也满足条件. 4 16 m ? 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<-2,则 C? ?- k ,0?.记 A(x1,y1),B(x2,y2).
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? ?y=kx+m, 2m 2m 由? 得 y1= ,同理得 y2= . 2-k 2+k ?y=2x ?
m ? 2m - 2m ? 1 1 - ?· 由 S△OAB= |OC|· |y1-y2|,得: ? ?=8, 2 2? k ? ? ?2-k 2+k?
2 即 m2=4 4-k =4(k2-4).

|

|

? ?y=kx+m, 由?x2 y2 得(4-k2)x2-2kmx-m2-16=0. ? ? 4 -16=1
因为 4-k2<0,所以 Δ=4k2m2+4(4-k2)(m2+16)=-16(4k2-m2-16). 又因为 m2=4(k2-4),所以 Δ=0,即 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. x2 y2 因此,存在总与 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 - =1. 4 16

【反思与总结】熟练掌握双曲线的定义,标准方程的表示以及其简单的几何性质。

16

五、

课程小结

1、双曲线的定义; 2、双曲线的标准方程; 3、双曲线的简单的几何性质。

17


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