kl800.com省心范文网

学案3 空间点、平面、直线之间的位置关系


名师伴你行

学案3 空间点、直线、平面

之间的位置关系

名师伴你行

考纲解读 考向预测

填填知学情
课内考点突破 规律探究

? ? ? ? ? ? ? ? ?

考点1

考点2
考点3<

br />
名师伴你行

考 纲 解 读 (1)了解空间点、线、面的位置关系, 能用数学语言规范地表述空间点、线、 面的位置关系. (2)了解可以作为推理依据的公理和 定理. (3)能运用公理、定理和已获得的结 论证明一些空间图形的位置关系的简 单命题.

空间点、 直线、平 面之间的 位置关系

返回目录

名师伴你行

考 向 预 测
空间点、线、面的位置关系的判断与证明几乎每 年高考都要考查,题型以填空题和解答题为主,难度 不大,同时还要注意异面直线的概念,异面直线所成 角及异面直线的判定.

返回目录

名师伴你行

1.三个公理

公理1

如果一条直线上的

两点 在一个平面内,

那么这条直线在此平面内. 公理2 过不在一条直线上的三点 ,有且只有一个

平面,也可简单地说成,不共线的三点确定一个平面. 返回目录

名师伴你行

公理3 如果两个不重合的平面 有一个公共点 , 一条过该点的公共直线 那么它们有且只有 .
2.符号语言与数学语言的关系 数学符号语言 A∈a A?a ∈ A∈a A?a ∈ a?α ? a∩b=A α∩β=a 数学表达语言 点A在直线a上 点A在直线a外 点A在平面α内 点A在平面α外 直线a在平面α内 直线a,b相交于点A 平面α,β相交于直线a 返回目录

名师伴你行

3.空间两条直线的位置关系有三种:相交、平行、异面 (1)相交直线: 在同一平面内,有且只有一个公共点 ; (2)平行直线:

在同一平面内,没有公共点

;

不同在任何一个平面内(或者说,异面直线既

(3)异面直线: 不相交又不平行的两条直线),没有公共点. 4.判定异面直线的方法 (1)利用定理:过平面外一点与平面内一点的直线和平 面内不经过该点的直线是异面直线. 返回目录

名师伴你行

(2)利用反证法:假设两条直线不是异面直线,推导出矛

盾.
5.公理4

平行于同一条直线的两条直线互相平行
行线的传递性. 6.等角定理

——空间平

空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个 角 相等或互补 .

返回目录

名师伴你行

7.异面直线所成的角 设a,b是异面直线,经过空间任一点O,分别作直线 锐角(或直角) a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的 叫做异面

直线a与b所成的角(或夹角).
8、空间直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有三种:
(1)直线在平面内: 有无数个公共点 ;

(2)直线与平面相交: 有且只有一个公共点 ;
(3)直线与平面平行: 没有公共点 , 返回目录

名师伴你行

直线与平面相交或平行的情况统称 直线在平面外
9、平面与平面的位置关系

.

两个平面之间的位置关系有且只有两种:
(1)两个平面平行: (2)两个平面相交:

没有公共点
有一条公共直线

; .

返回目录

名师伴你行

考点1

点共线问题

在正方体ABCD—A1B1C1D1中, 对角线A1C与平面BDC1交于点 O,AC,BD交于点M,求证:点 C1,O,M共线.

返回目录

名师伴你行

【分析】证明三点共线常用方法是取其中两点确定一 直线,再证明其余点也在该直线上. 【证明】如图,∵A1A∥C1C, ∴A1A,C1C确定平面A1C. ∵A1C?平面A1C,O∈A1C, ? ∴O∈平面A1C,而O=平面BDC1∩线A1C, ∴O∈平面BDC1, ∴O在平面BDC1与平面A1C的交线上.

∵AC∩BD=M,∴M∈平面BDC1且M∈平面A1C,∴平面 BDC1∩平面A1C=C1M,
∴O∈CM,即M,O,C1三点共线. 返回目录

名师伴你行

证明若干点共线也可用基本性质3为依据,找出两个 平面的交线,然后证明各个点都是这两平面的公共点.

返回目录

名师伴你行

如图所示,已知△ABC在 平面α外,AB,BC,AC的 延长线分别交平面α于

P,Q,R三点.求证:P,Q,R
三点共线. 证明:设△ABC所在平面为β,因为AP∩α=P,AP?β,所以 ? β与α相交于过点P的直线l,即P∈l.因为BQ∩α=Q,BQ? β,所以Q∈β,Q∈α.所以Q∈l.同理可证R∈l.所以P,Q,R ? 三点共线. 返回目录

考点2

共面问题

名师伴你行

如图,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,
∠BAD=∠FAB=90°,BC 为FA,FD的中点.
1 2

AD,BE

1 2

FA,G,H分别

(1)证明:四边形BCHG是平行四边形;
(2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?

【分析】(1)只需证BC

GH.

(2)先证四边形BEFG为平行四边形,再证明EF∥CH即得. 返回目录

名师伴你行

【解析】如图,(1)证明:由已知FG=GA,FH=HD,可得

GH

1

2

AD.又BC

1 2

AD,∴EH

BC,

∴四边形BCHG为平行四边形.

(2)C,D,F,E四点共面,证明如下:
由BE
1 2

AF,G为FA中点知,

BE

FG,∴四边形BEFG为平行四边形,

∴EF∥BG. 由(1)知BG∥CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面. 又D∈FH,∴C,D,F,E四点共面. 返回目录

名师伴你行

证明点线共面的常用方法: (1)纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、线在 此平面内.

(2)辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再
证明其余元素确定平面β,最后证明平面α,β重合.

名师伴你行

如图所示,已知空间四边形ABCD,E,F分别是AB,

AD的中点,G,H分别是BC,CD上的点.且CG= 1 BC,
CH= DC.求证:
3 1
3

(1)E,F,G,H 四点共面; (2)三直线FH,EG,

AC共点.

返回目录

名师伴你行

(1)连接EF,GH.
由E,F分别为AB,AD中点, ∥ ∴EF= 2 BD,由CG= CH=
1 3
1

1 3

BC

DC,
3

∥ 1 BD, ∴HG = ∴EF∥HG且EF≠HG. ∵EF,HG可确定平面α, ∴E,F,G,H四点共面. 返回目录

名师伴你行

(2)由(1)知,EFHG为平面图形,且EF∥HG,

EF≠HG.
∴四边形EFHG为梯形,设直线FH∩直线EG=O, ∵点O∈直线FH,直线FH ? ?面ACD, ∴点O∈平面ACD.同理点O∈平面ABC. 又面ACD∩面ABC=AC,∴点O∈直线AC(公理2). ∴三直线FH,EG,AC共点.

返回目录

名师伴你行

考点3

空间中两直线位置关系的判定与证明

如图所示,在正方体AC1中,E是CD的中点,连结AE并 延长与BC的延长线交于点F,连结BE并延长交AD的延 长线于点G,连结FG.

求证:直线FG?平面ABCD且直线FG∥直线A1B1. ?
【分析】 先由公理1判定FG?平面ABCD,再由平 ? 行公理证明线线平行.

返回目录

名师伴你行

【证明】由已知得E是CD的中点,在正方体中,有A∈面 ABCD,E∈面ABCD,

所以AE?面ABCD.又AE∩BC=F, ?
所以F∈AE,从而F∈面ABCD.

? 同理,G∈面ABCD,所以FG?面ABCD.
因为EC
1 2

AB,故在Rt△FBA中,CF=BC, AD,所以CF DG.

同理,DG=AD.又在正方形ABCD中,BC 所以四边形CFGD是平行四边形. 所以FG∥CD.又CD∥AB,AB∥A1B1, 所以直线FG∥直线A1B1.

返回目录

名师伴你行

判断空间中直线的位置关系主要依据平面的基本性 质及几何体内线面之间的位置关系.将公理1,2,3与平面几 何知识相结合,解答一些常规题目.

返回目录

名师伴你行

已知E和F分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AA1和

棱CC1上的点,且AE=C1F,求证:四边形EBFD1是平行四
边形. 【证明】如图所示,在DD1上取 一点G,使D1G=A1E,则易知 A1E D1G, ∴四边形A1EGD1为平行四边形,

∴EG

A1D1,

∴四边形A1EGD1为平行四边形, ∴EG A1D1. 返回目录

名师伴你行

又∵A1D1 B1C1,B1C1

BC,

∴EG

BC(公理4),

∴四边形GEBC是平行四边形,

∴EB

GC.又∵D1G

FC,

∴四边形D1GCF是平行四边形,

∴GC

D1F,∴EB

D1F(公理4),

∴四边形EBFD1是平行四边形.

返回目录

名师伴你行

(1)点共线问题
证明空间点共线问题,一般转化为证明这些点是某 两个平面的公共点,再根据公理2证明这些点都在这两 个平面的交线上. (2)线共点问题

证明空间三线共点问题,先证两条直线交于一点,
再证明第三条直线经过这点,把问题转化为证明点在

直线上.
返回目录

名师伴你行

(3)证明点线共面的常用方法 ①纳入平面法:先确定一个平面,再证明有关点、 线在此平面内.

②辅助平面法:先证明有关的点、线确定平面α,再
证明其余元素确定平面β,最后确定证明平面α,β重合.

返回目录

名师伴你行


必修2 2.1.1 空间点、直线、平面之间的位置关系导学案3个课时

必修2 2.1.1 空间点直线平面之间的位置关系导学案3个课时_数学_高中教育...? , ? 重合 2.下列结论中,错误的是( ) A.经过三点确定一个平面 C.经过...

2.1.3空间中直线与平面的位置关系2.1.4平面与平面之间的位置关系教学案

2.1.3空间直线平面的位置关系2.1.4平面平面之间的位置关系学案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。2.1.3空间直线平面的位置关系,2.1.4平面...

2.1.3空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系学案

2.1.3空间直线平面平面平面之间的位置关系学案_数学_高中教育_教育专区...④若直线 l 与平面 ? 平行,则 l 与平面 ? 内的任意一条直线都没有公共点...

2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系教学设计

2.1.3 空间直线平面之间的位置关系教学设计_数学_高中教育_教育专区。2.1.3 空间直线平面之间的位置关系一、课程标准中的相关内容 1.了解空间中点、线...

数学必修二第二章点直线 平面之间的位置关系 导学案

数学必修二第二章点直线 平面之间的位置关系 导学案_政史地_高中教育_教育专区...的表示法及水平放置的直观图; 3 掌握平面的基本性质及作用;培养学生的空间想象...

空间点、直线、平面之间的位置关系 教案

空间点直线平面之间的位置关系 教案_数学_高中教育_教育专区。个性化学案 空间...β 符号表示为:P∈α∩β =>α∩β=L,且 P∈L 公理 3 作用:判定两个...

2015-2016学年人教A版必修二 空间直线、平面之间的位置关系 学案设计

2015-2016学年人教A版必修二 空间直线平面之间的位置关系 学案设计_数学_高中...平行的直线 【例 3】 求证:如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的...

2.1.3空间中直线与平面之间的位置关系导学案

2.1.3空间直线平面之间的位置关系导学案编写人: 班级: 审核:高二数学组 组别: 编写时间:2015 组名: 姓名: 2.1.3 空间直线平面之间的位置关系...

《空间点、直线、平面之间的位置关系》导学案

空间点直线平面之间的位置关系导学案_高二数学_数学_高中教育_教育专区...内,记作 2.三个公理 公理 1: 用数学符号表示为: 公理 2: 公理 3: 用...

直线与平面的位置关系 | 空间直线与平面的交点 | 直线和平面的位置关系 | 直线与平面位置关系 | 空间直线与平面的夹角 | 点直线平面的位置关系 | 空间直线与平面 | 空间直线与平面交点 |