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广东省广州市增城市新塘中学2014-2015学年高一上学期期中数学试卷


广东省广州市增城市新塘中学 2014-2015 学年高一上学期期中数 学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},则?UA=() A.? B.{2,4,6} C.{1,3,6,7} D.{1,3,5,7} 2.函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域是() A.(2,+∞) B.(1,+∞)

C.[1,+∞) 3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是() A.y=﹣x
2

D.[2,+∞)

B.
x

C.

D.y=log2x

4.已知指数函数 y=a 的图象过点(2,9) ,则 a 的值为() A.3
2

B.﹣3

C.log29

D.

5.函数 y=x +x (﹣1≤x≤3 )的值域是() A.[0,12] B.[﹣ ,12] C.[﹣ ,12] D.[ ,12]

6.函数 A.y 轴对称
3

的图象关于() B.直线 y=﹣x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称

7.方程 x ﹣x﹣3=0 的实数解落在的区间是() A.[﹣1,0] B.[0,1] C.[1,2] 8.三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2 之间的大小关系是() A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c 9.若 A. ,则 a 的取值范围是() B. D.
2 0.3

D.[2,3]

D.b<c<a

C.

10.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时 f(x)是增函数,则 f(﹣2) ,f(π) , f(﹣3)的大小关系是()

A.f(π)>f(﹣3)>f(﹣2) (π)<f(﹣3)<f(﹣2) 3)

B.f(π)>f(﹣2)>f(﹣3) C. f D. f (π) <f (﹣2) <f (﹣

二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 11.幂函数 f(x)的图象过点
2

,则 f(x)的解析式是.

12.已知不等式 x +px﹣6<0 的解集为{x|﹣3<x<2},则 p=.

13.已知函数

,若 f(x0)=8,则 x0=.

14.已知集合 A={x|x =1},B={x|ax=1},若 B?A,则实数 a 构成的集合为.

2

三、解答题(满分 80 分,共 6 题) 15.计算下列各式: (1) ;

(2)



16.已知集合 A={x|(x﹣3) (x﹣7)<0},B={x|(x﹣2) (x﹣10)<0},求 (1)?R(A∩B) ; (2)A∪(?RB) . 17.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x. (1)求出 f(x)的解析式; (2)现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数 f(x)的图象, 并根据图象写出函数 f(x)的增区间和值域.
2

18.已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=3 (1)求 a 的值; (2)判断函数 f(x)在 上是增函数还是减函数?并证明.

19.商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价越高,购买人数 越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格,已知无效价格为每件 300 元.现在这种 羊毛衫的成本价是 100 元/件,商场以高于成本价的价格(标价)出售.问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的 75%, 那么羊毛衫的标价为每件多少元? 20.函数 f(x)=2 和 g(x)=x 的图象的示意图如图所示,设两函数的图象交于点 A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,且 x1<x2. (1)请指出示意图中曲线 C1,C2 分别对应哪一个函数? (2)证明:x1∈[1,2],且 x2∈[9,10]; (3)结合函数图象的示意图,判断 f(6) ,g(6) ,f(100) ,g(100)的大小,并按从小到 大的顺序排列.
x 3

广东省广州市增城市新塘中学 2014-2015 学年高一上学 期期中数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分) 1.已知全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},则?UA=() A.? B.{2,4,6} C.{1,3,6,7} D.{1,3,5,7} 考点: 专题: 分析: 解答: 补集及其运算. 计算题. 由全集 U,以及 A,求出 A 的补集即可. 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},

∴?UA={1,3,6,7}, 故选 C 点评: 此题考查了补集及其运算,熟练掌握补集的定义是解本题的关键. 2.函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域是() A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,+∞) 考点: 对数函数的定义域. 专题: 计算题.

D.[2,+∞)

分析: 根据函数定义域的定义,我们易列出关于 x 的不等式,解不等式即可得到答案. 解答: 解:要使函数的解析式有意义, 自变量 x 须满足: x﹣1>0 即 x>1 故函数 f(x)=lg(x﹣1)的定义域是(1,+∞) 故选 B 点评: 本题考查的知识点是对数函数的定义域, 当函数是由解析式给出时, 其定义域是使 解析式有意义的自变量的取值集合. 3.下列函数中,在区间(0,+∞)上是增函数的是() A.y=﹣x
2

B.

C.

D.y=log2x

考点: 函数单调性的判断与证明. 专题: 阅读型. 分析: 由函数的性质可知:函数 y=﹣x ,
2



在区间(0,+∞)为减函数,

函数 y=log2x 在区间(0,+∞)上是增函数,从而得出正确选项. 解答: 解:由函数的性质可知: 函数 y=﹣x ,
2



在区间(0,+∞)为减函数,

函数 y=log2x 在区间(0,+∞)上是增函数 故选 D 点评: 本题考查了函数的单调性, 以及基本初等函数的性质, 解答的关键是理解一些初等 函数的性质,是个基础题. 4.已知指数函数 y=a 的图象过点(2,9) ,则 a 的值为() A.3 B.﹣3 C.log29 D.
x

考点: 指数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. x 分析: 根据指数函数 y=a 的图象过点(2,9) ,代入解析式求出 a 的值. x 解答: 解:∵指数函数 y=a 的图象过点(2,9) , 2 ∴a =9, 解得 a=±3; 又∵a>0 且 a≠1, ∴a 的值应为 3. 故选:A. 点评: 本题考查了指数函数的图象与性质的应用问题,是基础题目. 5.函数 y=x +x (﹣1≤x≤3 )的值域是()
2

A.[0,12]

B.[﹣ ,12]

C.[﹣ ,12]

D.[ ,12]

考点: 二次函数在闭区间上的最值. 专题: 计算题. 分析: 先将二次函数配方,确定函数在指定区间上的单调性,从而可求函数的值域. 解答: 解:由 y=x +x 得 ∴函数的对称轴为直线 ∵﹣1≤x≤3, ∴函数在 ∴x= 上为减函数,在 时,函数的最小值为 上为增函数
2



x=3 时,函数的最大值为 12 ∴ ≤y≤12. ,12]

故值域是[

故选 B. 点评: 本题重点考查二次函数在指定区间上的值域, 解题的关键是配方, 确定函数的单调 性,属于基础题.

6.函数 A.y 轴对称

的图象关于() B.直线 y=﹣x 对称 C.坐标原点对称 D.直线 y=x 对称

考点: 奇偶函数图象的对称性. 分析: 根据函数 f(x)的奇偶性即可得到答案. 解答: 解:∵f(﹣x)=﹣ +x=﹣f(x) ∴ 是奇函数,所以 f(x)的图象关于原点对称

故选 C. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的性质,是 2015 届高考必考题型. 7.方程 x ﹣x﹣3=0 的实数解落在的区间是() A.[﹣1,0] B.[0,1] C.[1,2]
3

D.[2,3]

考点: 二分法求方程的近似解. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 3 3 分析: 令 f(x)=x ﹣x﹣3,易知函数 f(x)=x ﹣x﹣3 在 R 上连续,从而由函数的零点 的判定定理判断即可.

解答: 解:令 f(x)=x ﹣x﹣3, 3 易知函数 f(x)=x ﹣x﹣3 在 R 上连续, f(1)=﹣3<0,f(2)=8﹣2﹣3=3>0; 故 f(1)?f(2)<0, x 故函数 f(x)=2 ﹣3 的零点所在的区间为[1,2]; 故选 C. 点评: 本题考查了函数的零点的判定定理的应用,属于基础题. 8.三个数 a=0.3 ,b=log20.3,c=2 之间的大小关系是() A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c
2 0.3

3

D.b<c<a

考点: 指数函数单调性的应用. 专题: 计算题. 2 0.3 x x 分析: 将 a=0.3 ,c=2 分别抽象为指数函数 y=0.3 ,y=2 之间所对应的函数值,利用它 们的图象和性质比较,将 b=log20.3,抽象为对数函数 y=log2x,利用其图象可知小于零.最 后三者得到结论. 解答: 解:由对数函数的性质可知:b=log20.3<0, 由指数函数的性质可知:0<a<1,c>1 ∴b<a<c 故选 C 点评: 本题主要通过数的比较,来考查指数函数,对数函数的图象和性质.

9.若 A.

,则 a 的取值范围是() B. D. C.

考点: 对数函数的单调性与特殊点. 专题: 计算题. 分析: 分 a>1 和 1>a>0 两种情况,利用函数 y=logax 在它的定义域上的单调性,结合 条件求得 a 的取值范围,再取并集 即得所求. 解答: 解:当 a>1 时,函数 y=logax 在它的定义域(0,+∞)上是增函数, 由于 =logaa,故可得 a>1.

当 1>a>0 时,函数 y=logax 在它的定义域(0,+∞)上是减函数, 由于 =logaa,故可得 >a>0. ,

综上可得 a 的取值范围是 故选 C.

点评: 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点, 体现了分类讨论的数学思想, 属于中档 题. 10.设偶函数 f(x)的定义域为 R,当 x∈[0,+∞)时 f(x)是增函数,则 f(﹣2) ,f(π) , f(﹣3)的大小关系是() A.f(π)>f(﹣3)>f(﹣2) B.f(π)>f(﹣2)>f(﹣3) C. f (π)<f(﹣3)<f(﹣2) D. f (π) <f (﹣2) <f (﹣ 3) 考点: 偶函数;函数单调性的性质. 专题: 计算题. 分析: 由偶函数的性质,知若 x∈[0,+∞)时 f(x)是增函数则 x∈(﹣∞,0)时 f(x) 是减函数,此函数的几何特征是自变量的绝对值越小,则其函数值越小,故比较三式大小的 问题,转化成比较三式中自变量﹣2,﹣3,π 的绝对值大小的问题. 解答: 解:由偶函数与单调性的关系知,若 x∈[0,+∞)时 f(x)是增函数则 x∈(﹣∞, 0)时 f(x)是减函数, 故其图象的几何特征是自变量的绝对值越小,则其函数值越小, ∵|﹣2|<|﹣3|<π ∴f(π)>f(﹣3)>f(﹣2) 故选 A. 点评: 本题考点是奇偶性与单调性的综合,对于偶函数,在对称的区间上其单调性相反, 且自变量相反时函数值相同, 将问题转化为比较自变量的绝对值的大小, 做题时要注意此题 转化的技巧. 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分) 11.幂函数 f(x)的图象过点 ,则 f(x)的解析式是 .

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 计算题. n 分析: 先由待定系数法设出函数的解析式,令 f(x)=x ,再由幂函数 f(x)的图象过点 ,将点的坐标代入求出参数,即可得到函数的解析式 n 解答: 解:由题意令 f(x)=x ,将点 代入, 得 ,解得 n=

所以 故答案为 点评: 本题考查幂函数的概念、解析式、定义域,解答本题,关键是掌握住幂函数的解析 式的形式,用待定系数法设出函数的解析式,再由题设条件求出参数得到解析式,待定系数 法是求函数解析式的常用方法,其前提是函数的性质已知,如本题函数是一个幂函数. 12.已知不等式 x +px﹣6<0 的解集为{x|﹣3<x<2},则 p=1. 考点: 一元二次不等式的解法. 专题: 计算题.
2

分析: 先利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系得到一元二次方 程的两个根,利用韦达定理得到不等式,求出 p 的值. 解答: 解:因为不等式 x +px﹣6<0 的解集为{x|﹣3<x<2}, 2 所以﹣3,2 是方程 x +px﹣6=0 的两个根 所以﹣3+2=﹣p 所以 p=1 故答案为 1 点评: 一元二次不等式的解集的端点是相应方程的两个根; 一元二次方程的根与系数的关 系.
2

13.已知函数

,若 f(x0)=8,则 x0=4.

考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 当 0≤x0≤2 时,由 综合可得结论. 解答: 解:∵函数 ,f(x0)=8,当 0≤x0≤2 时,由 ﹣4=8 ﹣4=8 求得 x0 无解. x0 >2 时,由 2x0=8,求得 x0=4,

求得 x0 无解. 当 x0 >2 时,由 2x0=8,求得 x0=4. 综上,x0=4, 故答案为 4. 点评: 本题主要考查根据分段函数的解析式求函数的值, 体现了分类讨论的数学思想, 属 于基础题. 14.已知集合 A={x|x =1},B={x|ax=1},若 B?A,则实数 a 构成的集合为{﹣1,0,1}. 考点: 子集与真子集. 专题: 计算题. 分析: 由集合 A={x|x =1}={﹣1,1},B={x|ax=1}={ }, B?A,B=?,或 B={﹣1},或 B={1}.由此能求出实数 a 构成的集合. 解答: 解:∵集合 A={x|x =1}={﹣1,1},B={x|ax=1}={ },B?A, ∴B=?,或 B={﹣1},或 B={1}. 当 B=?时, 不存在,∴a=0. 当 B={﹣1}时, =﹣1,∴a=﹣1.
2 2 2

当 B={1}时, =1,∴a=1. ∴实数 a 构成的集合为{﹣1,0,1}. 故答案为:{﹣1,0,1}. 点评: 本题考查子集与真子集的应用,是基础题.解题时要认真审题,易错点是容易忽视 B 为空集的情况. 三、解答题(满分 80 分,共 6 题) 15.计算下列各式: (1) ;

(2)



考点: 有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: (1)将各项的底数化为幂的形式,利用指数的运算法则求解即可. (2)将 化为 3 的分数指数幂形式,将 lg25+lg4 利用对数的运算法则化为 lg100=2,

由对数的意义知为 2,结果可求出.

解答: 解: (1)原式=

= = =

(2)原式=

= = 点评: 本题考查指数和对数的运算法则、根式和分数指数幂的互化、对数恒等式等知识, 考查运算能力.

16.已知集合 A={x|(x﹣3) (x﹣7)<0},B={x|(x﹣2) (x﹣10)<0},求 (1)?R(A∩B) ; (2)A∪(?RB) . 考点: 交、并、补集的混合运算. 专题: 集合. 分析: 首先化简集合 A,B,然后根据集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解:∵集合 A={x|(x﹣3) (x﹣7)<0},B={x|(x﹣2) (x﹣10)<0},所以 A={x|3 <x<7},B={x|2<x<10} 所以(1)A∩B={x|3<x<7},所以?R(A∩B)={x|x≤3 或 x≥7}; (2) (?RB={x|x≤2 或 x≥10},所以 A∪(?RB)={x|x≤2,或 3<x<7 或 x≥10}. 点评: 本题考查了集合的化简与运算;属于基础题. 17.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x +2x. (1)求出 f(x)的解析式; (2)现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请补出完整函数 f(x)的图象, 并根据图象写出函数 f(x)的增区间和值域.
2

考点: 函数奇偶性的性质;函数解析式的求解及常用方法;函数奇偶性的判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)先根据奇偶性求出 x>0 时的解析式,注意偶函数性质的应用; (2) 根据偶函数的图象关于 y 轴对称, 结合二次函数的图象的特征做出所求的函数的图象. 解答: 解: (1)由题意设 x>0,则﹣x<0, 2 2 所以 f(x)=(﹣x) ﹣2x=x ﹣2x, 所以 .

(2)由题意做出函数图象如下:

据图可知,单调增区间为: (﹣1,0)和(1,+∞) ;值域为:[﹣1,+∞) . 点评: 本题考查了利用函数奇偶性求函数的解析式,研究函数图象的方法,属于基础题.

18.已知函数 f(x)=x+ ,且 f(1)=3 (1)求 a 的值; (2)判断函数 f(x)在 上是增函数还是减函数?并证明.

考点: 函数单调性的判断与证明;函数解析式的求解及常用方法. 专题: 函数的性质及应用;导数的综合应用. 分析: (1)根据 f(1)=1+a=3,即可求得 a=2; (2)写出 f(x) ,并求 f′(x) ,判断 f′(x)在 x∈ 在( ,+∞)上的单调性. 解答: 解: (1)∵f(1)=3; ∴1+a=3; ∴a=2; (2)f(x)=x+ ,f′(x)= ; 上的符号,即可判断 f(x)

∴x 时,f′(x)>0; ∴f(x)在 上是增函数. 点评: 考查已知函数求函数值,根据函数导数的符号判断并证明函数单调性的方法. 19.商场销售某一品牌的羊毛衫,购买人数是羊毛衫标价的一次函数,标价越高,购买人数 越少.把购买人数为零时的最低标价称为无效价格,已知无效价格为每件 300 元.现在这种 羊毛衫的成本价是 100 元/件,商场以高于成本价的价格(标价)出售.问: (1)商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件多少元? (2)通常情况下,获取最大利润只是一种“理想结果”,如果商场要获得最大利润的 75%, 那么羊毛衫的标价为每件多少元? 考点: 函数模型的选择与应用;一元二次不等式的应用. 专题: 应用题. 分析: (1)先设购买人数为 n 人,羊毛衫的标价为每件 x 元,利润为 y 元,列出函数 y 的解析式, 最后利用二次函数的最值即可求得商场要获取最大利润, 羊毛衫的标价应定为每 件多少元即可; (2)由题意得出关于 x 的方程式,解得 x 值,从而即可解决商场要获取最大利润的 75%, 每件标价为多少元. 解答: 解: (1)设购买人数为 n 人,羊毛衫的标价为每件 x 元,利润为 y 元, 则 x∈(100,300]n=kx+b(k<0) , ∵0=300k+b,即 b=﹣300k, ∴n=k(x﹣300) y=(x﹣100)k(x﹣300) 2 =k(x﹣200) ﹣10000k(x∈(100,300]) ∵k<0,

∴x=200 时,ymax=﹣10000k, 即商场要获取最大利润,羊毛衫的标价应定为每件 200 元. (2)解:由题意得,k(x﹣100) (x﹣300)=﹣10000k?75% 2 x ﹣400x+37500=0 解得 x=250 或 x=150 所以,商场要获取最大利润的 75%,每件标价为 250 元或 150 元(16 分) 点评: 本小题主要考查函数模型的选择与应用、 二次函数的性质及函数的最值, 考查运算 求解能力与转化思想.属于基础题. 20.函数 f(x)=2 和 g(x)=x 的图象的示意图如图所示,设两函数的图象交于点 A(x1, y1) ,B(x2,y2) ,且 x1<x2. (1)请指出示意图中曲线 C1,C2 分别对应哪一个函数? (2)证明:x1∈[1,2],且 x2∈[9,10]; (3)结合函数图象的示意图,判断 f(6) ,g(6) ,f(100) ,g(100)的大小,并按从小到 大的顺序排列. 考点: 函数单调性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 3 x 分析: (1)C1 对应的函数为 g(x)=x ,C2 对应的函数为 f(x)=2 . x 3 (2)令?(x)=f(x)﹣g(x)=2 ﹣x ,则 x1,x2 为函数?(x)的零点,根据?(1) 、? (2) 、?(9) 、?(10)的符号,利用函数零点的判定定理可得 x1∈[1,2],且 x2∈[9,10]. (3)从图象上可以看出,分当 x1<x2 时和当 x1>x2 时两种情况,结合函数的单调性可得 f (6) ,g(6) ,f(100) ,g(100)的大小. 3 x 解答: 解: (1)C1 对应的函数为 g(x)=x ,C2 对应的函数为 f(x)=2 .… x 3 (2)证明:令?(x)=f(x)﹣g(x)=2 ﹣x ,则 x1,x2 为函数?(x)的零点, 9 3 10 3 由于?(1)=1>0,?(2)=﹣4<0,?(9)=2 ﹣9 <0,?(10)=2 ﹣10 >0, 所以方程?(x)=f(x)﹣g(x)的两个零点 x1∈(1,2) ,x2∈(9,10) , x1∈[1,2],且 x2∈[9,10]. … (3)从图象上可以看出,当 x1<x2 时,f(x)<g(x) , ∴f(6)<g(6) .… 当 x1>x2 时,f(x)>g(x) ,∴g(100)<f(100) ,∵g(6)<g(100) , ∴f(6)<g(6)<g(100)<f(100) .… 点评: 本题主要考查函数的零点与方程根的关系,函数的单调性的应用,属于中档题.
x 3


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