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双曲线基础知识点以及训练题


双曲线知识点
一.双曲线的定义及双曲线的标准方程:
1 双曲线定义:(1) 第一定义:到两个定点 F1 与 F2 的距离之差的绝对值等于定长 2a(<
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|F1F2|) 的点的轨迹 PF1 ? PF2 ? 2a ? F1 F2 ( a 为常数) 这两个定点叫双曲线的焦点. 注 ( )
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意:(1)距离之差的绝对值.(2)2a<|F1F2|,这两点与椭圆的定义有本质的不同.当|MF1| -|MF2|=2a 时,曲线仅表示焦点 F2 所对应的一支;当|MF1|-|MF2|=-2a 时,曲线仅表示焦点 F1 所对应的一支; 当 2a=|F1F2|时,轨迹是一直线上以 F1、F2 为端点向外的两条射线;当 2a >|F1F2|时,动点轨迹不存在. (2).第二定义: 动点到一定点 F 的距离与它到一条定直线 l 的距离之比是常数 e(e >1)时,这个动点的轨迹是双曲线 这定点叫做双曲线的焦点,定直线 l 叫做双曲线的准线 x2 y2 y2 x2 2.双曲线的标准方程: 2 ? 2 ? 1 和 2 ? 2 ? 1 (a>0, b>0) b 2 ? c 2 ? a 2 , F1 F2 |=2c.. . | a b a b 3.双曲线的标准方程判别方法是:如果 x 2 项的系数是正数,则焦点在 x 轴上;如果 y 2 项
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的系数是正数,则焦点在 y 轴上.对于双曲线,a 不一定大于 b,因此不能像椭圆那样, 通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程,应注意两个问题:⑴ 正确判断焦点的位置;⑵ 设出标准方程 后,运用待定系数法求解.

二.双曲线的内外部:
(1)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线 (2)点 P( x0 , y0 ) 在双曲线
x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的内部 ? 0 ? 0 ? 1 . a 2 b2 a2 b x2 y 2 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的外部 ? 0 ? 0 ? 1 . a 2 b2 a2 b
y
M1 M2

三.双曲线的简单几何性质
y2 x2 - 2 =1(a>0,b>0) a2 b ⑴范围:|x|≥a,y∈R;⑵对称性:关于 x、y 轴均对称,关于原点中心对称; ⑶顶点:轴端点 A1(-a,0) A2(a,0); , ⑷渐近线:

P

F1 A1 K1

o

K2

A2 F2

x

x2 y2 x2 y2 b ①若双曲线方程为 2 ? 2 ? 1 ? 渐近线方程 2 ? 2 ? 0 ? y ? ? x a a b a b 2 2 x y x y b ②若渐近线方程为 y ? ? x ? ? ? 0 ? 双曲线可设为 2 ? 2 ? ? a b a a b 2 2 2 2 x y x y ③若双曲线与 2 ? 2 ? 1 有公共渐近线,可设为 2 ? 2 ? ?( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, a b a b ? ? 0 ,焦点在 y 轴上)
1

x2 y2 x2 y2 ? 2 ? 1 共渐近线的双曲线系方程是 2 ? 2 ? ? (? ? 0) a2 b a b 2 2 2 x y2 x y ? 2 ?1 ⑤ 与双曲线 2 ? 2 ? 1 共焦点的双曲线系方程是 2 a ?k b ?k a b

④ 与双曲线

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四.双曲线 x 2
2

a

?

y2 ? 1(a, b ? 0) b2



y2 x2 ? ? 1(a, b ? 0) 的区别和联系 a2 b2 y2 x2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(0, c), (0,?c)

标准方程 焦点 性质 焦距 范围 顶点 对称性

x2 y2 ? ? 1(a, b ? 0) a2 b2
(c,0), (?c,0) ,

2c

| x |? a, y ? R
(a,0), (?a,0)

| y |? a, x ? R
(0,?a ), (0, a )

关于 x 轴、y 轴和原点对称

五.弦长公式:若直线 y ? kx ? b 与圆锥曲线相交于两点 A、B,且 x1 , x2 分别为 A、B 的
横坐标,则 AB ? k 2 ? 1 x1 ? x2 ? k 2 ? 1

? x1 ? x2 ?

2

? 4x1x 2 ? 1? k 2

? ,若 y1 , y2 分别为 |a|

A、B 的纵坐标,则 AB ?

1 1 ? 1 y1 ? y2 ? 2 ? 1 2 k k

? y1 ? y2 ?

2

? 4 y1 y2 。

2b 2 通径的定义:过焦点且垂直于实轴的直线与双曲线相交于 A、B 两点,则弦长 | AB |? 。 a

若弦 AB 所在直线方程设为 x ? ky ? b ,则 AB = 1 ? k 2 y1 ? y2 。 特别地,焦点弦的弦长的计算是将焦点弦转化为两条焦半径之和后,利用第二定义求解, x2 y2 ? ? 1相交于 A, B 两点,则 AB =_____________ 例:直线 y ? x ? 1 与双曲线 2 3 x2 y2 六、焦半径公式:双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)上有一动点 M ( x0 , y0 ) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时 | MF1 |? ?ex0 ? a , | MF2 |? ?ex0 ? a 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时 | MF1 |? ex0 ? a , | MF2 |? ex0 ? a 注:焦半径公式是关于 x0 的一次函数,具有单调性,当 M ( x0 , y0 ) 在左支端点时

| MF1 |? c ? a , | MF2 |? c ? a ,当 M ( x0 , y0 ) 在左支端点时 | MF1 |? c ? a , | MF2 |? c ? a

七、 等轴双曲线: 2 ?

x2 a

y2 ? 1(a>0, b>0) a ? b 时称双曲线为等轴双曲线; 当 则: a ? b ; 1. b2
2

2.离心率 e ? 2 ; 3.两渐近线互相垂直, 分别为 y= ? x ; 4.等轴双曲线的方程 x 2 ? y 2 ? ? ,

? ? 0;

5. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项。

八、共轭双曲线: 1.定义:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫
做原双曲线的共轭双曲线,通常称它们互为共轭双曲线. 2.方程; 3.性质:(1)共轭双曲线有共同的渐近线;(2) 共轭双曲线的四个 焦点共圆.(3)它们的离心率的倒数的平方和等于 1。

双曲线知识点扩充
1、 点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 2、 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角, 则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆,除去长轴的两个端点. 3、 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 4、 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切:P 在右支;外切:P 在左支) 5、 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0
x0 x y0 y ? 2 ? 1. a2 b

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线切 a 2 b2 xx y y 点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 ? 1 . a b 2 2 x y 7、 双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意一 a b ? 点 ?F1PF2 ? ? ,则双曲线的焦点角形的面积为 S?F1PF2 ? b 2 co t . 2

6、 若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

8、 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连 结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 9、 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶点, A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF. 10、 AB 是双曲线
x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴的弦,M ( x0 , y0 ) 为 AB 的 a 2 b2 b 2 x0 b2 x ,即 K AB ? 2 0 。 ? K AB ? 2 a y0 a y0 x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方 a 2 b2

中点,则 K OM 11、

若 P ( x0 , y0 ) 在双曲线 0

x0 x y0 y x0 2 y0 2 程是 2 ? 2 ? 2 ? 2 . a b a b
3

12、

x2 y2 (a>0;b>0) 的焦点为 F1 与 F2 , p 为曲线上任意一点 ?F1PF 2 ? 2? 。 且 - 2 ? 1 a2 b
?
1 2

则 ?PF1 F2 的面积 S ? b 2cot? ,焦点三角形面积公式: S ?F PF ? b 2 cot , (? ? ?F1 PF2 )
2

考点 1 双曲线的定义及标准方程 题型 1:运用双曲线的定义
y2 ? 1 上的一点 F1、F2 是该双曲线的两个焦点,若|PF1|:|PF2|=3:2, 1.设 P 为双曲线 x ? 12 则△PF1F2 的面积为 ( ) A. 6 3 B.12 C. 12 3 D.24 2 2 x y ? ? 1 的左 2.如图 2 所示, F 为双曲线 C : 9 16 焦点,双曲线 C 上的点 Pi 与 P7?i ?i ? 1,2,3? 关于 y 轴对称,
2

则 P F ? P2 F ? P3 F ? P4 F ? P5 F ? P6 F 的值是( ) 1 A.9 B.16 C.18 D.27

题型 2 求双曲线的标准方程
3.已知双曲线 C 与双曲线 程. 4.已知双曲线的渐近线方程是 y ? ? x ,焦点在坐标轴上且焦距是 10,则此双曲线的方程
2

y2 x2 - =1 有公共焦点,且过点(3 2 ,2).求双曲线 C 的方 16 4





5.以抛物线 y 2 ? 8 3x 的焦点 F 为右焦点,且两条渐近线是 x ? 3 y ? 0 的双曲线方程为 ___________________. 6.已知点 M (?3, 0) , N (3, 0) , B(1, 0) ,动圆 C 与直线 MN 切于点 B ,过 M 、 N 与圆 C 相 切的两直线相交于点 P ,则 P 点的轨迹方程为 A. x 2 ?
y2 ? 1 ( x ? ?1) 8 y2 ? 1 (x > 0) 8

B. x 2 ?

y2 ? 1 ( x ? 1) 8 y2 ? 1 ( x ? 1) 10

C. x 2 ?

D. x 2 ?

考点 2 双曲线的几何性质 题型 1 与渐近线有关的问题
1.焦点为(0,6) ,且与双曲线 x
2

2

? y 2 ? 1 有相同的渐近线的双曲线方程是





4

A. x

2

12

?

y2 ?1 24

B.

y2 x2 ? ?1 12 24

C.

y2 x2 ? ?1 24 12

D. x

2

24

?

y2 ?1 12

2. 以椭圆 是

x2 y2 x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为圆心, ? 1 的渐近线相切的圆的方程 且与双曲线 ? 169 144 9 16

(A) x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 (C) x2 ? y 2 ? 10x ? 9 ? 0

(B) x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0 (D) x2 ? y 2 ? 10 x ? 9 ? 0

综合练习
1.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 ? 2, 0 ? ,右顶点为 (Ⅰ)求双曲线 C 的方程

?

3, 0 .

?

??? ??? ? ? (Ⅱ) 若直线 l : y ? kx ? 2 与双曲线恒有两个不同的交点 A 和 B 且 OA ? OB ? 2 (其中 O 为
原点) ,求 k 的取值范围

2.已知直线 y ? ax ? 1 与双曲线 3x 2 ? y 2 ? 1交于 A 、 B 点。 (1)求 a 的取值范围; (2)若以 A B 为直径的圆过坐标原点,求实数 a 的值; 1 (3)是否存在这样的实数 a ,使 A 、 B 两点关于直线 y ? x 对称?若存在, 2 请求出 a 的值;若不存在,说明理由。
x 3.(1)椭圆 C: a 2 ?
2

y2 b2

? 1 (a>b>0)上的点 A(1, 3 )到两焦点的距离之和为 4, 2

求椭圆的方程; (2)设 K 是(1)中椭圆上的动点, F1 是左焦点, 求线段 F1K 的中点的轨迹方程; (3)已知椭圆具有性质:若 M、N 是椭圆 C 上关于原点对称的两点,P 是椭圆上任意一 点, 当直线 PM、PN 的斜率都存在并记为 kPM、kPN 时,那么 k PM ? k PN 是与点 P 位置无 关的定值。试对双曲线
x2 a2

?

y2 b2

? 1 写出具有类似特性的性质,并加以证明。

??? ? ??? ? 4.已知两定点 F1 (? 2,0), F2 ( 2,0), 满足条件 PF 2 ? PF 1 ? 2 的点 P 的轨迹是曲线 E, 直线

y=kx-1 与曲线 E 交于 A、B 两点。 (Ⅰ)求k的取值范围; ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? (Ⅱ) 如果 AB ? 6 3, 且曲线 E 上存在点 C, O O m ? 使A B O ? C , 求 m的值和?ABC的面积S 。 5. 已 知 P 为 双 曲 线
x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的 右 支 上 一 点 ?y p ? 0? , A、B 分 别 是 椭 圆 a 2 b2

5

x2 y2 ? ? 1 的长轴顶点,连接 AP 交椭圆于 D ,若 ?ACD 与 ?PCD 面积相等. a 2 b2

(1)求直线 PD 的斜率和直线 CD 的倾斜角; a (2)当 的值为多少时,直线 CD 恰好过椭圆的右焦点? b

6


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