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绵阳市高中2012级数学(文)第一次诊断性考试(2014.10.31


绵阳 A 佳教育 2014.10.31 手动输入

保密*启用前 【考试时间:2014 年 10 月 31 日 15:00-17:00】

绵阳市高中 2012 级第一次诊断性考试

数 学(文史类)
第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.

在每小题给出的 4 个选项中,只有 一个符合题目要求的.
2 2 1、已知集合 A ? x ? Z x ? 1 ? 0 , B ? x x ? x ? 2 ? 0 , 则 A ? B ? (

?

?

?

?

)

A. ?

B. ?? 1?
x

C. ?0?

D. ?2? )
x0

2、命题 "?x ? (0,??),2 ? 1" 的否定是( A. " ?x0 ? (0,??),2
x

x0

? 1"

B. " ?x0 ? (0,??),2
x

? 1"

C. "?x ? (0,??),2 ? 1"

D. "?x ? (0,??),2 ? 1"

3、社各项均不为 0 的数列 ?an ?满足 an?1 ? 2an (n ? 1) , Sn 是其前 n 项和,若 a2 a4 ? 2a5 , 则 a3 ? ( A. 2 ) B.2 C. 2 2 D.4 )

4、如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 1,则 AD ? DB ? ( A. 3 B. ? 3 C.3 D.-3 )

5、已知 cos( A.

?
4

? x) ? 24 25

18 25

B. ?

3 ,那么 sin 2 x ? ( 5 7 7 C. ? D. 25 25

?x ? y ? 1 ? 0 ? 6、已知 x、 y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 2 x ? y 的最大值为( ?3 x ? y ? 3 ? 0 ?
A.1 B.2 C.3 D.4 ) 7、在 ?0,2? ? 内,使 sin x ? cos 成立的 x 取值范围是(

)

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A. ?

? ? 7? ? , ?4 4 ? ?

B. ?

? ? 5? ? , ?4 4 ? ?

C. ?0,

? 5? ? ? 4? ?

D. ?0,

? ? ? ? 7? ? ? ? ,2? ? ? ? 4? ? 4 ?

8 、 已 知 f ( x) 的 定 义 在 ?0,??? 的 函 数 , 对 任 意 两 个 不 相 等 的 正 数 x1 , x2 , 都 有

x 2 f ( x1 ) ? x1 f ( x2 ) x1 ? x2
A. a ? b ? c 9、记函数 f ( x) ?

? 0 ,记 a ?

f (20.2 ) f (0.22 ) f (log2 5) ,则( , b ? ,c ? 0.2 2 2 0.2 log2 5
C. c ? a ? b D. c ? b ? a

)

B. b ? a ? c

1 3 1 2 1 x ? x ? 在 ?0,??? 的值域 M , g ( x) ? ( x ? 1) 2 ? a 在 ?? ?,???的值 3 2 2 域为 N ,若 N ? M ,则实数 a 的取值范围是( ) 1 1 1 1 A. a ? B. a ? C. a ? D. a ? 2 2 3 3

? ? ?sin( x) ? 1, x ? 0 10、已知函数 f ( x) ? ? 的图象上关于 y 轴对称的点至少有 3 2 ? ?loga x(a ? 0, 且a ? 1),x ? 0
对,则实数 a 的取值范围是 A. ? 0,

? ? ?

5? ? 5 ? ?

B. ?

? 5 ? ? ? 5 ,1? ? ?

C. ?

? 3 ? ? ? 3 ,1? ? ?

D. ? 0,

? ? ?

3? ? 3 ? ?

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题:本大题 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11、若 tan ? ?

1 3 sin ? ? 2 cos ? ,则 = 3 2 sin ? ? cos ?

. . . .

12、已知向量 a ? (1,2),b ? (2,0) ,若 ? a ? b 与向量 c ? (1,?2) 共线,则实数 ? ? 13、 已知函数 f ' ( x) 是函数 f ( x) 的导函数, f ( x) ? sin x ? 2 xf ' (0) , 则 f '( ) ?

?

2

14、已知函数 f ( x ) ?

3x ? 2 1 2 3 10 ,则 f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? ? ? f ( ) ? 2x ?1 11 11 11 11

15 、定义:如果函数 y ? f ( x) 在定义域内给定区间 ?a, b? 上存在 x0 (a ? x0 ? b) ,满足

f ( x0 ) ?

f (b) ? f (a ) ,则称函数 y ? f ( x) 是 ?a, b? 上的“平均值函数” , x0 是它的一个均 b?a
2

值点.例如 y ? x 是 ?? 2,2? 上的平均值函数,0 就是它的均值点,若函数 f ( x) ? x ? mx ? 1 是 ?? 1,1? 上的“平均值函数” ,则实数 m 的取值范围是 .

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三、解答题:本大题共 6 小时,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤. 16、 (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin wx, coswx), n ? (coswx, coswx) , 其中 w ? 0 函 数 f ( x) ? 2m ? n ?1的最小正周期为 ? . (1)求 w 的值. (2)求函数 f ( x) 在 ?

?? ? ? 上的最大值. , ?6 4? ?

17、 (本小题满分 12 分)已知函数 f (t ) ? log2 (2 ? t ) ? t ?1 的定义域为 D (1)求 D; (2)若函数 g ( x) ? x ? 2mx? m 在 D 上存在最小值 2,求实数 m 的值.
2 2

18 、 ( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?A B C 中 , a, b, c 分 别 是 内 角 A, B, C 的 对 边 , AB=5, COS ?ABC ?

1 . 5

(1)若 BC=4,求 ?ABC 的面积 S ?ABC ; (2)若 D 是边 AC 的中点,且 BD ?

7 ,求边 BC 的长. 2

19、 (本小题满分 12 分) 记公差不为 0 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , S3 ? 9, a3 , a5 , a8 成 等比数列. (1)求数列 ?an ?的通项根式 an 和 Sn ; (2)若 cn ? n2 ? ?an , n ? 1,2,3?, 问是否存在实数 ? ,使得数列 ?cn ?为单调递增数列?若 存在,请求出 ? 的取值范围,若不存在,请说明理由. 20、 (本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? e x ? ax ? 1(e 为自然对数的底数) ,a ? 0 (1)若函数 f ( x) 恰有一个零点,证明: a ? e
a a ?1

(2)若 f ( x) ? 0 对任意 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值集合. 21、 (本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ?

a 2 x ? bx ? ln x(a, b ? R) . 2

(1)若 a ? b ? 1 ,求 f ( x) 点 ?1, f (1)? 处的切线方程; (2)设 a ? 0 ,求 f ( x) 的单调区间; (3)设 a ? 0 ,且对任意的 x ? 0, f ( x) ? f (2) ,试比较 ln(?a) 与 ? 2b 的大小

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数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. BBDDC BACCA 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ?

3 5

12.-1

13.-2

14.15

15.(0,2)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解析: (1) f ( x) ? 2m· n-1 ? 2 sin?x ? cos ?x ? 2 cos 2 ?x ? 1 = sin 2?x ? cos 2?x ? 2 sin(2?x ? 由题意知: T ? ? ,即

?
4

) . ???????????6 分

2? ? ? ,解得 ? ? 1 .?????????????7 分 2?

(2) 由(Ⅰ )知 f ( x) ? 2 sin(2 x ? ∵

?
4

),

7? ? 3? ≤ 2x ? ≤ , 12 4 6 4 4 7? 3? 又函数 y=sinx 在[ , ]上是减函数, 12 4

?

≤x≤

?

,得

∴ f ( x) max ?

2 sin

7? ? ? ? 2 sin( ? ) ??????????????10 分 12 4 3 ? ? ? ?
? 2 sin
=

4

cos

3

? 2 cos

4

sin

3

3 ?1 .???????????????????12 分 2

17.解析:

?2 ? t ? 0, 2) .????????3 分 (1) 由题知 ? 解得 1 ? t ? 2 ,即 D ? [1, ?t ? 1 ? 0,
(2) g (x)=x2+2mx-m2= ( x ? m)2 ? 2m2 ,此二次函数对称轴为 x ? ?m .??4 分 ① 若 ? m ≥2,即 m≤-2 时, g (x)在 [1 ,2) 上单调递减,不存在最小值;

? m) 上单调递减, (?m , 2] 上递增, ② 若 1 ? ? m ? 2 ,即 ? 2 ? m ? ?1 时, g (x)在 [1,
此时 g ( x) min ? g (?m) ? ?2m2 ? 2 ,此时 m 值不存在; ③? m ≤1 即 m≥-1 时, g (x)在 [1 ,2) 上单调递增, 此时 g ( x)min ? g (1) ? 1 ? 2m ? m2 ? 2 ,解得 m=1. ??????????11 分 综上: m ? 1 . ?????????????????????????12 分

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18.解析: (1) AB ? 5 , cos ?ABC ?

1 , BC ? 4 , 5
2 6 , 5
??????6 分

又 ?ABC ? (0, ? ) ,所以 sin ?ABC ? 1 ? cos 2 ?ABC ? ∴ S ?ABC ?

1 1 2 6 BA ? BC ? sin ?ABC ? ? 5 ? 4 ? ?4 6. 2 2 5

(2) 以 BA,BC 为邻边作如图所示的平行四边形 ABCE ,如图, 则 cos ?BCE ? ? cos ?ABC ? ? ,BE=2BD=7, CE=AB=5, 在△BCE 中,由余弦定理: A D B C E

1 5

BE 2 ? CB2 ? CE2 ? 2CB ? CE ? cos ?BCE .
即 49 ? CB2 ? 25 ? 2 ? 5 ? CB ? (? ) ,

1 5

解得: CB ? 4 . ????????????????????????10 分 19.解析: (1) 由 S3 ? 9,a5 ? a3 ? a8 ,
? 3a1 ? d ? 9, 得: ? 2 ? 3? 2
2

解得: a1 ? 2,d ? 1 .

?(a ? 4d ) 2 ? (a ? 2d ) ? ( a ? 7 d ), 1 1 ? 1

∴ an ? n ? 1 , S n ?

n(2 ? n ? 1) n 2 3 ? ? n . ?????????????5 分 2 2 2
??????????????????6 分

(2) 由题知 cn ? n2 ? ? (n ? 1) . 若使 {cn } 为单调递增数列,

则 cn ?1 ? cn ? (n ? 1)2 ? ? (n ? 2) ? [n2 ? ? (n ? 1)] = 2n ? 1 ? ? ? 0 对一切 n∈N*恒成立, 即: ? ? ?2n ? 1 对一切 n∈N*恒成立, 又 ? (n) ? ?2n ? 1 是单调递减的, ∴ 当 n ? 1 时, ? (n) max =-3, ∴ ? ? ?3 . 20.解析: (1)证明: 由 f ( x) ? e x ? ax ? 1,得 f ?( x) ? e x ? a .??????????1 分 由 f ?( x) >0,即 e x ? a >0,解得 x>lna,同理由 f ?( x) <0 解得 x<lna, ∴ f ( x) 在(-∞,lna)上是减函数,在(lna,+∞)上是增函数, 于是 f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值. 又∵ 函数 f ( x) 恰有一个零点,则 f ( x) min ? f (ln a) ? 0 , ??????? 4 分 即 eln a ? a ln a ? 1 ? 0 .?????????????????????? 5 分 化简得: a ? a ln a ?1 ? 0 , 即a ln a ? a ?1, 于是ln aa ? a ?1 , ?????????????????????????12 分 ????????????? 10 分

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. ????????????????????????? 6 分 (2)解:由(Ⅰ)知, f ( x) 在 x ? ln a 取得最小值 f (ln a ) , 由题意得 f (ln a ) ≥0,即 a ? a ln a ? 1 ≥0,??????????????8 分 令 h(a) ? a ? a ln a ? 1 ,则 h?(a) ? ? ln a , 由 h?(a) ? 0 可得 0<a<1,由 h?(a) ? 0 可得 a>1. ∴ h(a) 在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,即 h(a)max ? h(1) ? 0 , ∴ 当 0<a<1 或 a>1 时,h(a)<0, ∴ 要使得 f ( x) ≥0 对任意 x∈R 恒成立, a ? 1. ∴ a 的取值集合为 {1} ???13 分 21.解析: (1) a ? b ? 1 时, f ( x) ? ∴ f (1) ? ?

∴ a ?e
a

a ?1

1 2 1 x ? x ? ln x , f ?( x) ? x ? 1 ? , 2 x

1 , k ? f ?(1) ? 1 ,???????????????????2 分 2 故 f ( x) 点( 1, f (1) )处的切线方程是 2 x ? 2 y ? 3 ? 0 .????????3 分
(2)由 f ?x? ?

ax 2 ? bx ? 1 a 2 . x ? bx ? ln x ,x ? ?0 , ? ?? ,得 f ?( x) ? x 2 1 ? bx (1)当 a ? 0 时, f ?( x) ? . x
①若 b≤0,

? ? ) .?????5 分 由 x ? 0 知 f ?( x) ? 0 恒成立,即函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,
②若 b ? 0 ,

1 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 时, f ?( x) ? 0 . b b 1 1 即函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, ),单调递减区间是( ,+∞).????7 分 b b
当0 ? x ? (2) 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 ,得 ax2 ? bx ? 1 ? 0 , 由 ? ? b 2 ? 4a ? 0 得 x1 ? 显然, x1 ? 0 ,x2 ? 0 , 当 0 ? x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递增, 当 x ? x2 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 的单调递减, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间是(0, 单调递减区间是( 综上所述:

b ? b 2 ? 4a b ? b 2 ? 4a ,x2 ? . 2a 2a

b ? b 2 ? 4a ), 2a

b ? b 2 ? 4a ,+∞).??9 分 2a

? ?) ; 当 a=0,b≤0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是 (0,
当 a=0,b>0 时,函数 f ( x) 的单调递增区间是(0,

1 1 ),单调递减区间是( ,+∞); b b

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b ? b ? 4a b ? b 2 ? 4a ),单减区间是( ,+∞). 10 分 2a 2a (3)由题意知函数 f ( x) 在 x ? 2 处取得最大值.
当 a ? 0 时,函数 f ( x) 的单增区间是(0,
2

由(2I)知, 故

b ? b 2 ? 4a 是 f ( x) 的唯一的极大值点, 2a

b ? b 2 ? 4a =2,整理得 ? 2b ? ?1 ? 4a . 2a 于是 ln(?a) ? (?2b) ? ln(?a) ? (?1 ? 4a) ? ln(?a) ? 1 ? 4a
令 g ( x) ? ln x ? 1 ? 4 x( x ? 0) ,则 g ?( x) ? 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ?

1 ?4. x

1 1 ,当 x ? (0 , ) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递增; 4 4

当 x ? ( ,? ?) 时, g ?( x) ? 0 , g ( x) 单调递减.

1 4

1 1 ? 0 ,又 ? a ? 0 , 4 4 故 g (?a) ? 0 ,即 ln(?a) ? 1 ? 4a ? 0 ,即 ln(?a) ? ?1 ? 4a ? ?2b ,
因此对任意 x ? 0 , g ( x) ≤ g ( ) ? ln ∴ ln(?a) ? ?2b .???????????????????????14 分


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