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2012年北京朝阳区高三一模数学试题答案(理)


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参考答案 数学试卷(理工类) 一、选择题: (1) 题号 答案 A 二、填空题: 题 (9) 号 答 案

2012.3

(2) C

(3) B

(4) B

(5) C

(6) D

(7) D

(8) B

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

2 3 3

1

3 2

3 4

2

3 ( ,1) 4

2 4

9

三、解答题: (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 f (? ) ? cos(? ? ) ?

π 4

7 2 , 10

所以

2 7 2 , (cos ? ? sin ? ) ? 2 10
7 . 5
2

所以 cos ? ? sin ? ?
2

平方得, sin ? ? 2sin ? cos ? ? cos ? = 所以

49 , 25
……………6 分

sin 2? ?

24 . 25

(II)因为 g ( x) ? f ? x ? ? f ? x ?

? ?

π π π? ? = cos( x ? 4 ) ? cos( x ? 4 ) 2?

=

2 2 (cos x ? sin x) ? (cos x ? sin x) 2 2

1 (cos 2 x ? sin 2 x) 2 1 = cos 2 x . 2
= 当 x ? ??

……………10 分

? π π? ? π 2π ? , ? 时, 2 x ? ? ? , ? . ? 6 3? ? 3 3?
1 ; 2
……………13 分

所以,当 x ? 0 时, g ( x) 的最大值为 当x?

π 1 时, g ( x) 的最小值为 ? . 3 4

(16) 本小题满分 13 分) (

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解: (Ⅰ)依题意, a ? 0.04 ? 5 ?1000 ? 200, b ? 0.02 ? 5? 1000 ? 100 . ……………4 分 (Ⅱ)设其中成绩为优秀的学生人数为 x,则 即其中成绩为优秀的学生人数为 30 名. (Ⅲ)依题意,X 的取值为 0,1,2,

x 350 ? 300 ? 100 ,解得:x=30, ? 40 1000
……………7 分

P( X ? 0) ?

2 C10 3 C1 C1 C 2 29 5 , P( X ? 2) ? 30 ? , ? , P( X ? 1) ? 10 2 30 ? 2 2 C40 52 C40 13 C40 52

所以 X 的分布列为 X P 0 1 2

29 52 3 5 29 3 3 EX ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? ,所以 X 的数学期望为 . 52 13 52 2 2
(17) (本小题满分 14 分) 证明: (Ⅰ)取 AD 的中点 N ,连接 MN,NF .

3 52

5 13

……………13 分

在△ DAB 中, M 是 BD 的中点, N 是 AD 的中点,所以 MN//AB,MN = 又因为 EF//AB,EF =

1 AB , 2

F

E

1 AB , 2

所以 MN//EF 且 MN = EF . 所以四边形 MNFE 为平行四边形, 所以 EM//FN . 又因为 FN ? 平面 ADF , EM ? 平面 ADF , A

D N B M

C

故 EM// 平面 ADF . …………… 4 分 解法二:因为 EB ? 平面 ABD , AB ? BD ,故以 B 为原点,建立如图所示的空间 直角坐标 系 B - xyz . ……………1 分 由已知可得 B(0,0,0), A(0, 2,0), D(3,0,0),

3 C(3,-2,0), E(0,0, 3), F (0,1, 3), M ( ,0,0) 2 ???? 3 ??? ? ??? ? F (Ⅰ) EM = ( ,0,- 3) ,AD= (3,-2,0) , AF = ( 0 , - 1 , . 3 ) 2 设平面 ADF 的一个法向量是 n ? ( x, y,z ) . ??? ? ?n ? AD ? 0, ? 3x - 2 y = 0, ? ? 由 ? ??? 得? ? ? n ? AF ? 0, ?-y + 3z = 0. ? ?
y 令 y = 3 ,则 n ? (2,3, 3) . A

z E ……………2 分 x D M B ……………3 分 C

又因为 EM ? n ? ( ,0,- 3) ? (2,3, 3) = 3 + 0 - 3 = 0 ,

????

3 2

???? 所以 EM ? n ,又 EM ? 平面 ADF ,所以 EM // 平面 ADF .

……………4 分

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(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面 ADF 的一个法向量是 n ? (2,3, 3) . 因为 EB ? 平面 ABD ,所以 EB ? BD. 又因为 AB ? BD ,所以 BD ? 平面 EBAF . 故 BD ? (3,0,0) 是平面 EBAF 的一个法向量.

??? ?

??? ? ??? ? BD ? n 1 = ,又二面角 D- AF - B 为锐角, 所以 cos < BD,n ?? ??? ? BD ? n 2
故二面角 D- AF - B 的大小为 60? . (Ⅲ)假设在线段 EB 上存在一点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30? . 不妨设 P(0,0, t) ( 0 ? t ? 3 ) ,则 PC = (3,-2,-t ), AF = (0,-1, 3) . ……………10 分

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? PC ? AF 2 - 3t ??? ??? ? ? 所以 cos < PC, AF ?? ??? ??? ? , ? ? PC ? AF 2 t 2 +13
由题意得

2 - 3t 2 t +13
2

?

3 , 2

化简得 ?4 3t ? 35 ,

? 0. 4 3 所以在线段 EB 上不存在点 P ,使得 CP 与 AF 所成的角为 30? .…………14 分 (18) (本小题满分 13 分)
解:因为 f ( x) ?

解得 t ? ?

35

e ax eax (ax 2 ? 2 x ? a) , 所以 f ?( x) ? . x2 ? 1 ( x 2 ? 1)2

e x ( x 2 ? 2 x ? 1) ex (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ( x) ? 2 , f ?( x) ? , x ?1 ( x 2 ? 1)2
所以 f (0) ? 1,

f ?(0) ? 1 .
……………4 分

所以曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 x ? y ? 1 ? 0 . (Ⅱ)因为 f ?( x) ?

eax (ax 2 ? 2 x ? a) eax ? 2 (ax2 ? 2 x ? a) , ( x 2 ? 1)2 ( x ? 1)2

……………5 分

(1)当 a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 ;由 f ?( x) ? 0 得 x ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在区间 (??, 0) 单调递增, 在区间 (0, ??) 单调递减. ……………6 分
2 2 (2)当 a ? 0 时, 设 g ( x) ? ax ? 2 x ? a ,方程 g ( x) ? ax ? 2 x ? a ? 0 的判别式

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? ? 4 ? 4a2 ? 4(1 ? a)(1 ? a),
①当 0 ? a ? 1 时,此时 ? ? 0 .

……………7 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ,或 x ? ; a a
由 f ?( x) ? 0 得

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 . ?x? a a 1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
……………9 分

所以函数 f ( x ) 单调递增区间是 (??,

单调递减区间 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). a a

②当 a ? 1 时,此时 ? ? 0 .所以 f ?( x) ? 0 , 所以函数 f ( x ) 单调递增区间是 (??, ??) . ③当 ?1 ? a ? 0 时,此时 ? ? 0 . 由 f ?( x) ? 0 得 ……………10 分

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ; ?x? a a

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 由 f ?( x) ? 0 得 x ? ,或 x ? . a a
所以当 ?1 ? a ? 0 时,函数 f ( x ) 单调递减区间是 (??,

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 ) 和( , ??) , a a
……………12 分

单调递增区间 (

1 ? 1 ? a2 1 ? 1 ? a2 , ). a a

④当 a ? ?1 时, 此时 ? ? 0 , f ?( x) ? 0 ,所以函数 f ( x ) 单调递减区间是 (??, ??) . …………13 分 (19) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)依题意, c ?
2 2

2 , b ? 1,

所以 a ? b ? c ? 3 .

x2 ? y 2 ? 1. 故椭圆 C 的方程为 3

……………4 分

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? x ? 1, 6 ? (Ⅱ)①当直线 l 的斜率不存在时,由 ? x 2 解得 x ? 1, y ? ? . 3 ? y2 ? 1 ? ?3
不妨设 A(1,

6 6 ) , B(1, ? ), 3 3
2? 6 6 2? 3 ? 3 ? 2 ,又 k ? k ? 2k ,所以 k ? 1 , 2 1 3 2 2 2
n?2 ? 1 ,即 m ? n ? 1 ? 0 . m?3
………7 分

因为 k1 ? k3 ?

所以 m, n 的关系式为

②当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) . 将 y ? k ( x ? 1) 代入

x2 ? y 2 ? 1整理化简得, (3k 2 ? 1) x2 ? 6k 2 x ? 3k 2 ? 3 ? 0 . 3 6k 2 3k 2 ? 3 , x1 x2 ? . 3k 2 ? 1 3k 2 ? 1
………9 分

设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 又 y1 ? k ( x1 ?1) , y2 ? k ( x2 ?1) . 所以 k1 ? k3 ?

2 ? y1 2 ? y2 (2 ? y1 )(3 ? x2 ) ? (2 ? y2 )(3 ? x1 ) ? ? 3 ? x1 3 ? x2 (3 ? x1 )(3 ? x2 )

?

[2 ? k ( x1 ? 1)](3 ? x2 ) ? [2 ? k ( x2 ? 1)](3 ? x1 ) x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9 2kx1 x2 ? (4k ? 2)( x1 ? x2 ) ? 6k ? 12 x1 x2 ? 3( x1 ? x2 ) ? 9

?

3k 2 ? 3 6k 2 2k ? 2 ? (4k ? 2) ? 2 ? 6k ? 12 3k ? 1 3k ? 1 ? 3k 2 ? 3 6k 2 ? 3? 2 ?9 3k 2 ? 1 3k ? 1
? 2(12k 2 ? 6) ? 2. 12k 2 ? 6
………12 分

所以 2k2 ? 2 ,所以 k2 ?

n?2 ? 1 ,所以 m, n 的关系式为 m ? n ? 1 ? 0 .………13 分 m?3
………14 分

综上所述, m, n 的关系式为 m ? n ? 1 ? 0 . (20) (本小题满分 13 分)

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解: (Ⅰ)若 A0 : 0,1,1,3,0,0 ,则 A :1,0,1,3,0,0 ; A2 : 2,1, 2,0,0,0 ; A3 : 3,0, 2,0,0,0 ; 1

A4 : 4 , 1 , 0 , 0 ; ,A5 : 5,0,0,0,0,0 . ,0 0
若 A4 : 4,0,0,0,0 , 则

A3 : 3,1,0,0,0 ;

A2 : 2,0, 2,0,0 ;

A1 :1,1, 2,0,0 ;
………4 分

A0 : 0,0,1,3,0 .

(Ⅱ)先证存在性,若数列 A0 : a0 , a1 ,?, an 满足 ak ? 0 及 ai ? 0(0 ? i ? k ?1) ,则定义变 换 T ?1 ,变换 T ?1 将数列 A0 变为数列 T ?1 ( A 0 ) : a0 ?1, a1 ?1,?, ak ?1 ?1, k , ak ?1 ,?, an . 易知 T ?1 和 T 是互逆变换. 对于数列 n,0,0,?,0 连续实施变换 T ?1 (一直不能再作 T ?1 变换为止)得
T T T ? ? ? n,0,0,?,0 ?? n ? 1,1, 0,?, 0 ?? n ? 2,0, 2,0,?,0 ?? n ? 3,1, 2, 0,?, 0 T T ?? ? ?? a0 , a1 ,?, an , ? ?
?1 ?1 ?1 ?1 ?1

………5 分

则必有 a0 ? 0 (若 a0 ? 0 ,则还可作变换 T ?1 ) .反过来对 a0 , a1 ,?, an 作有限次变换 T , 即可还原为数列 n,0,0,?,0 ,因此存在数列 A0 满足条件. 下用数学归纳法证唯一性: n ? 1, 2 是显然的, 当 假设唯一性对 n ? 1 成立, 考虑 n 的情形. 假设存在两个数列 a0 , a1 ,?, an 及 b0 , b1 ,?, bn 均可经过有限次 T 变换,变为 n, 0,? , 0 , 这里 a0 ? b0 ? 0 , a1 ? a2 ? ? ? an ? b1 ? b2 ? ? ? bn ? n 若 0 ? an ? n ,则由变换 T 的定义,不能变为 n, 0,? , 0 ;

? 若 an ? n ,则 a1 ? a2 ? ? ? an ? 0 ,经过一次 T 变换,有 0,0,?,0, n ?? 1,1,?,1,0
T

由于 n ? 3 ,可知 1,1,?,1, 0 (至少 3 个 1)不可能变为 n, 0,? , 0 .

? ? ? ? 所以 an ? 0 ,同理 bn ? 0 令 a0 , a1 ,?, an ?? 1, a1 , a2 ,?, an
T T ? ? ? b0 , b1 ,?, bn ?? 1, b1?, b2 ,?, bn





? ? ? ? ? ? ? ? 则 an ? bn ? 0 ,所以 a1 ? a2 ? ? ? an?1 ? n ?1 , b1 ? b2 ? ? ? bn?1 ? n ? 1.

? ? ? 因为 0, a1 ,?, an?1 ???? n-1, 0,? , 0 ,
有限次T

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有限次T ? ? 0, b1?,?, bn?1 ???? n-1, 0,?, 0 ,

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故由归纳假设,有 ai? ? bi? , i ? 1, 2,?, n ? 1 . 再由 T 与 T ?1 互逆,有
T ? ? ? a0 , a1 ,?, an ?? 1, a1 ,?, an?1 ,0 , T ? ? b0 , b1 ,?, bn ?? 1, b1?,?, bn?1 ,0 ,

所以 ai ? bi , i ? 1, 2,?, n ,从而唯一性得证.

………9 分

(Ⅲ) 显然 ai ? i (i ? 1, 2,?, n) , 这是由于若对某个 i0 ,ai0 ? i0 , 则由变换的定义可知,ai0 通过变换, 不能变为 0 . 由变换 T 的定义可知数列 A0 每经过一次变换,Sk 的值或者不变, 或 者 减 少 k , 由 于 数列 A0 经 有 限 次 变 换 T , 变 为 数列 n, 0,? , 0 时 , 有 Sm ? 0 ,

m ? 1, 2,?, n ,
所以 Sm ? mtm (tm 为整数 ) ,于是 Sm ? am ? Sm?1 ? am ? (m ? 1)tm?1 , 0 ? am ? m , 所以 am 为 Sm 除以 m ? 1 后所得的余数,即 am ? S m ? [

Sm ](m ? 1) .………13 分 m ?1


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