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武汉宏图艺考 二次函数、指数函数、对数函数、幂函数焦点专题(五)


武汉宏图艺考 武昌徐东大街岳家嘴 东湖春树里小区 4 栋 1 单元 2004 室 二次函数、指数函数、对数函数、幂函数焦点专题(五) 1. (2007 北京文、理,5 分)函数 f ( x) ? 3x (0 ? x ≤ 2) 的反函数的定 义域为( ) A. (0, ?) ? B. (1, 9] C. (0, 1) D. [9, ?) ?

B;[解析] 函数

f ( x) ? 3x (0 ? x ≤ 2) 的反函数的定义域为原函数的值 域,原函数的值域为 (1, 。 9] [考点透析]根据指数函数在对应区间的值域问题,结合原函数与 反函数的定义域与值域之间的关系处理对应反函数的定义域问题。

2 . 2007 山 东 文 、 理 , 5 分 ) 给 出 下 列 三 个 等 式 : (
f ( xy) ? f ( x) ? f ( y),f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) , f ( x ? y ) ?
f ( x) ? f ( y ) .下列函数 1 ? f ( x) f ( y )

中不满足其中任何一个等式的是( ) A. f ( x) ? 3x B. f ( x) ? sin x C. f ( x) ? log 2 x D. f ( x) ? tan x

B;[解析] 依据指、对数函数的性质可以发现 A 满足
f ( x? y ? )

, C f( x f( y ) )

满 足 f( x ? ) y

( )x f ?

, 而 ( ) f y

D

满 足

f ( x ? y) ?

f (x ? f y ( ) ) ,B 不满足其中任何一个等式。 1 ? f ( x) f ( y )

[考点透析]根据指数函数、对数函数,结合三角函数等其他相关 函数讨论分析对应的性质是高考中比较常见的考题之一,关键是掌握 对应函数的基本性质及其应用。 3. (2007 全国 2 理,5 分)以下四个数中的最大者是( )

武汉宏图艺考 武昌徐东大街岳家嘴 东湖春树里小区 4 栋 1 单元 2004 室 A. (ln2) 2 D.ln2 D ; [ 解 析 ] ∵ 0 ? ln 2 ? 1 , ∴ln ( ln2 ) <0 , ln2 ) 2<ln2 , 而 ( ln 2 = ln2<ln2,∴最大的数是 ln2。 [考点透析]根据对数函数的基本性质判断对应函数值的大小关 系,一般是通过介值(0,1 等一些特殊值)结合对数函数的特殊值来 加以判断。
1 2

B.ln(ln2)

C.ln 2

4. 2007 安徽理, 分) A= {x ? Z | 2 ? 22 ? x ? 8} , {x ? R || log2 x |? 1} , ( 5 若 B= 则 A ? (C R B) 的元素个数为( ) A.0 个 D.3 个 C ; [ 解 析 ] 由 于 B.1 个 C.2 个

A= {x ? Z | 2 ? 22 ? x ? 8} = {x ? Z | 1 ? 2 ? x ? 3} = {x ? Z | ?1 ? x ? 1} ={0,1} ,而 B= {x ? R || log2 x |? 1} = {x ? R | 0 ? x ? 或x ? 2} ,那么 A ? (C R B) ={0,1} , 则 A ? (C R B) 的元素个数为 2 个。 [考点透析] 从指数函数与对数函数的单调性入手,解答相关的不 等式,再根据集合的运算加以分析和判断,得出对应集合的元素个数 问题。
1 2

5. (2007 江苏, 分) f ( x) ? lg( 5 设

2 则使 f ( x) ? 0 的 ? a) 是奇函数, 1? x

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x 的取值范围是(

) B . (0,1) C . (??,0)

A . (?1,0) D. (??,0) ? (1, ??)

?1 ? x ?1 ? x ? 0 1? x ? A ; [ 解 析 ] 由 f (0) ? 0得a ? ?1 , f ( x) ? lg , ? 0 ,得 ? 1? x 1? x ? ?1 ?1 ? x ?

? ?1 ? x ? 0 。

[考点透析]根据对数函数中的奇偶性问题,结合对数函数的性质, 求解相关的不等式问题,要注意首要条件是对数函数的真数必须大于 零的前提条件。 6. (2007 全国 1 文、理,5 分)函数 y ? f ( x) 的图象与函数
y ? log3 x ( x ? 0) 的图象关于直线 y ? x 对称,则 f ( x) ? ____________。

[解析] 函数 y ? f ( x) 的图象与函数 y ? log3 x ( x ? 0) f ( x) ? 3x ( x ? R ) ; 的图象关于直线 y ? x 对称, f ( x) 与函数 y ? log3 x ( x ? 0) 互为反函数, 则
f ( x) ? 3x ( x ? R ) 。

[考点透析]对数函数与指数函数互为反函数,它们的图象关于直 线 y=x 对称,在实际应用中经常会碰到,要加以重视。 7. 2007 上海理, 分) ( 5 函数 f ? x ? ?
lg ? 4 ? x ? x?3

的定义域为_________。

? x x ? 4 且 x ? 3 ?;[解析]

?4 ? x ? 0 ? ? x x ? 4 且 x ? 3 ?。 ? ?x ? 3 ? 0

[考点透析] 考察对数函数中的定义域问题,关键是结合对数函数

武汉宏图艺考 武昌徐东大街岳家嘴 东湖春树里小区 4 栋 1 单元 2004 室 中的真数大于零的条件,结合其他相关条件来分析判断相关的定义域 问题。 8. (2007 江西理,5 分)设函数 y ? 4 ? log 2 ( x ? 1)( x ≥ 3) ,则其反函 数的定义域为_________。 [5,+∞) ;[解析] 反函数的定义即为原函数的值域,由 x≥3 得 x-1≥2,所以 log 2 ( x ? 1) ? 1 ,所以 y≥5,反函数的定义域为[5,+∞) , 填[5,+∞) 。 [考点透析]根据互为反函数的两个函数之间的性质:反函数的定 义即为原函数的值域,结合对应的对数函数的值域问题分析相应反函 数的定义域问题。 9. (2007 上海理,5 分)方程 9x ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 的解是_________。
x ? log3 7 ; [ 解 析 ] (3x )2 ? 6 ? 3x ? 7 ? 0 ? 3x ? 7或3x ? ?1 ( 舍 去 ) ,
? x ? log3 7 。

[考点透析]求解对应的指数方程,要根据相应的题目条件,转化 为对应的方程加以分析求解,同时要注意题目中对应的指数式的值大 于零的条件。 10. (2007 四川理,5 分)若函数 f ( x) ? e? ( x ? ? ) ( e 是自然对数的底
2

数)的最大值是 m ,且 f ( x) 是偶函数,则 m ? ? ? ________. 1 ; [ 解 析 ] f ( x) ? e
t

? ( x ? ? )2

?1? ?? ? ?e?

( x ? ? )2

, 设 t ? ? x ?? ?
0

2

?

t? ? ,此时 0

1 ?1? f ( x) ? ? ? 是减函数, 则最大值是 m ? ? ? ? 1 , f ( x) 是偶函数, ? ? 0 , 又 则 ? ? ?e? ?e?

武汉宏图艺考 武昌徐东大街岳家嘴 东湖春树里小区 4 栋 1 单元 2004 室 ∴ m ? ? ? 1. [考点透析] 根据函数的特征,结合指数函数的最值问题,函数的 奇偶性问题来解决有关的参数,进而解得对应的值。研究指数函数性 质的方法,强调数形结合,强调函数图象研究性质中的作用,注意从特 殊到一般的思想方法的应用,渗透概括能力的培养。 11. (2008 江苏苏州模拟,5 分)已知函数 y ? a x ( a ? 0 且 a ? 1 )
1 的图象如图,则函数 y ? ? ? 的图象可能是________。 ? ? ?a?
x

1 D; [解析] 根据函数 y ? a 的图象可知 a ? 1 , 那么对应函数 y ? ? ? ? ? ?a?
x

x

的图象是 D。 [考点透析]根据对应指数函数的图象特征,分析对应的底数 a ? 1 , 再根据指数函数的特征分析相应的图象问题。 12. (2008 江苏盐城模拟,12 分)已知函数 f ( x) ? 1 ? f ( ) ? log 2 x 。 (1) 求函数 f (x) 的解析式; 2) f (2) 的值; 3) ( 求 ( 解方程 f ( x) ? f (2) 。 [分析]通过代换,联立对应的方程组,通过消元达到求解函数解 析式的目的,从而求得对应的函数值及方程。 [解析] (1)由于 f ( x) ? 1 ? f ( ) ? log 2 x , 上 式 中 , 以
1 1 1 代 x 可 得 : f ( ) ? 1 ? f ( x) ? log 2 , 则 有 x x x 1 x 1 x

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1 f ( ) ? 1 ? f ( x) ? log 2 x , x 1 1 把 f ( ) ? 1 ? f ( x) ? log 2 x 代入 f ( x) ? 1 ? f ( ) ? log 2 x 可得: x x
f ( x) ? 1 ? [1 ? f ( x) ? log 2 x] ? log 2 x ,解得 f ( x) ?
1 ? log 2 x 1 ? log 2 x
2

1 ? log 2 x 1 ? log 2 x
2


?1;

(2)由(1)得 f ( x) ? (3)由(1)得 f ( x) ? 则有 f ( x) ?
1 ? log 2 x 1 ? log 2 x
2

,则 f (2) ?

1 ? log 2 2 1 ? log 2 2
2

1 ? log 2 x 1 ? log 2 x
2

,则(2)得 f (2) ? 1 ,
2

? f (2) ? 1 ,即 1 ? log 2 x ? 1 ? log 2 x ,

解得 log 2 x ? 0 或 log 2 x ? 1 ,所以原方程的解为: x ? 1或 x ? 2 。 [考点透析]对于给定抽象函数关系式求解对应的函数解析式,要 合理选取比较适合的方法加以分析处理,关键是要结合抽象函数关系 式的特征,这里用到的是以 代 x 的方式来达到求解函数解析式的目 的。 13. (2008 广东广州模拟理,12 分)已知函数 f ( x) ? log a (a ? a x ) ( a ? 1) 。 (1)求 f (x) 的定义域、值域; (2)判断 f (x) 的单调性; (3)解不等式 f ?1 ( x 2 ? 2) ? f ( x) 。 [分析]根据对数函数的特征,分析相应的定义域问题,同时结合 指数函数的特征,综合分析值域与单调性问题,综合反函数、不等式 等相关内容,考察相关的不等式问题。 [解析] (1)要使函数 f ( x) ? log a (a ? a x ) ( a ? 1 )有意义,则需要
1 x

武汉宏图艺考 武昌徐东大街岳家嘴 东湖春树里小区 4 栋 1 单元 2004 室 满足 a ? a x ? 0 , 即 ax ? a , a ? 1, 又 解得 x ? 1, 所以所求函数 f (x) 的定义域为 (??,1) ; 又 log a (a ? a x ) ? log a a ? 1 ,即 f ( x) ? 1 ,所以所求函数 f (x) 的值域为
(??,1) ;

(2)令 ? ? a ? a x ,由于 a ? 1 ,则 ? ? a ? a x 在 (??,1) 上是减函数, 又 y ? log a ? 是增函数, 所以函数 f ( x) ? log a (a ? a x ) 在 (??,1) 上是减函 数; ( 3 ) 设 y ? l o g(a ? a x ) , 则 a y ? a ? a x , 所 以 a x ? a ? a y , 即 a
x ? l o g(a ? a y ) , a

所以函数 f (x) 的反函数为 f ?1 ( x) ? log a (a ? a x ) , 由于 f ?1 ( x 2 ? 2) ? f ( x) ,得 log a (a ? a x ?2 ) ? log a (a ? a x ) ,
2

由于 a ? 1 ,则 a ? a x ?2 ? a ? a x ,即 a x ?2 ? a x ,
2 2

所以 x 2 ? 2 ? x ,解得 ? 1 ? x ? 2 , 而函数 f (x) 的定义域为 (??,1) ,故原不等式的解集为 {x | ?1 ? x ? 1} 。 [考点透析] 主要考查指数函数与对数函数相关的定义域、值域、 图象以及主要性质,应用指数函数与对数函数的性质比较两个数的大 小,以及解指数不等式与对数不等式等。