kl800.com省心范文网

高一数学(平面向量数量积的物理背景及其含义)


学习目标:
1.理解数量积的含义及其物理意义; 2.体会数量积与向量投影的关系; 3.掌握数量积的性质和运算律,并能运 用性质和运算律进行相关的判断和运算.

热 点 提 示

向量的数量积是高考命题的热点,主 要考查数量积的运算、化简及向量平行、 垂直的条件的应用.一般以选择题填空题 的形式出现的考查不会太难,更多的是与 三角、解析几何综合在一起进行知识汇合 处考查.

情景引入

一个物体在力F的作用下产生位移s(如图)
F

θ
S

那么力F所做的功W为: W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从运算结果知,功的大小等于两向量的模 与其夹角余弦的乘积.

数量积的定义
已知两个非零向量 ?a 和 ? b ,它们的夹 角为? ,我们把数量 | a || b | cos? 叫做a 与 b 的数量积(或内积),记作a ·b ,即

? ? ? ? 思考:向量的数量积是 a ? b ?| a || b | cos? 一个数量,那么它什么 ? ? ? ? 规定: . a ? 0 ? 0 ? a ? 0时候为正,什么时候为
负呢? ( 1 )两向量的数量积是一个数量, 注

意 (2) a ·b不能写成a×b ,‘· ’不能省.

数量积的几何意义
a· b的几何意义:数量积a · b等于a的长度 |a|与b在a的方向上投影|b|cos?的乘积。 对非零向量a与b,定义| b | cosθ叫 B 向量b 在a 方向上的投影.
? b
O

θ
B1

? a

A

| a | cosθ叫 向量a在b 方向上的投影.

? b
O

投影 ? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?

b在a上的投影: | b | cos? ? ? ? a在b上的投影: | a | cos? ? ? ? ? 数量积a ? b等于 | a | 与投影 | b | cos?的乘积

? |? b | cos ? ? 0 ?

θ

? a

O

? | b | cos ? ? 0 ?

? b

? a

? b

? | b | cos? ? 0

O

θ

? a

? ? ? ? 例1.已知 | a |? 5,| b |? 4, , a 与 b 的夹角θ =120?

? ? 求 a ?b. ? ?

? ? 解: a ? b ?| a || b | cos ?
=5 ? 4 ? cos120
?

1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? ?10

变式:已知 a ? b

? 12 ,a ? 4 , b ? 3

求向量a 在向量 b上的投影

探究数量积的性质
由向量数量积的定义,试完成下面问题:
证明向量 垂直的依据

? ? ? ? (1)a ? b ? a ? b ? _______ . 0 ? ? ? ? ? ? | a || b | ; (2)若 a 与 b 同向,a ? b ? _______ ? ? ? ? ? ? ? | a || b | ; 若 a 与 b 反向,a ? b ? _______ ?2 ? ? ? ? ? a ? a ? _____ | a | . | a |? a ? a ? ? ? ? (3) | a ? b | ____ ≤ | a || b | .( 填 ? 或 ?)

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

探究数量积的运算规律

解疑
如图可知: ???? ? ??? ?

???? ? ???? ???? ? ?| OB1 |?| OA1 | ? | A1 B1 | ? ? ? ? ?| a ? b | cos ? ?| a | cos ?1 ? | b | cos ? 2

? ? | OB1 |?| OB | cos? ?| a ? b | cos? ???? ? | OA1 |?| a | cos?1 ???? ? ???? ? ? | A1B1 |?| AB2 |?| b | cos?2

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

A

a
?1

b

?2

B2

B

? ? ? ? ? ? ? O A c ? (a ? b) ?| c || a ? b | cos ? 1 c B1 C ? ? ? ? ?| c || a | cos ?1 ? | c || b | cos ? 2 ? ? ? ? ? c ?a ? c ?b

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

数量积的运算规律

例2.我们知道,对任意 a, b ? R ,恒有
2 2 2 2 2

(a ? b) ? a ? 2ab ? b ,(a ? b)(a ? b) ? a ? b . ?? 对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论?

? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ; ? ? ? ? ? 2 ?2 (2)(a ? b)(a ? b) ? a ? b .

? ? ? ? 例3.已知 | a |? 6,| b |? 4 , a 与 b 的夹角60? ? ? ? ? ? ? 求 (a ? 2b) ? (a ? 3b),| a ? b |。

? ? ? ? 例4.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 不共线,

? ? ? ? k为何值时向量 a ? kb与a ? kb互相垂直。

反思提高:
1、本节课你有什么收获? 2、必做作业:课本P108习题2.4A组 第1,2,3题 3、选做作业

当堂达标
1.判断正误,并说理由.
1.若a?b=0,则a、b中至少有一个为0.×

2. 若b≠0,a· b=c· b ,则a=c
3. (a· b)c=a(b· c) ×

×

?2 ? 2 4. 对任意向量 a 有 a ?| a | √ ? ? ? 5.??? ? 0时, (? a) ? b与b的方向相同.×

2.设|a|=5,|b|=4,a· b=-10,则 a 与 b 的夹角为 .

解析:设 a 与 b 的夹角为 θ, a· b 1 则 cosθ= =- . |a||b| 2 ∵θ∈[0° ,180° ], ∴θ=120°

3. 已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a· b <0, a· b =0时, △ ABC各是什么三 角形?
解析: 当a ·b<0时, cos?<0,
为钝角三角形

当a ·b=0时,为直角三角形

4.已知 a· b=0,|a|=2,|b|=3,若 3a+2b 与 ka-b 垂直,求实数 k 的值.

解:∵3a+2b 与 ka-b 垂直, ∴(3a+2b)· (ka-b)=0, 2 2 即 3ka +(2k-3)a· b-2b =0. ∴12k-18=0. 3 ∴k= . 2


2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义教学设计_高二数学_数学_高中教育_教育专区...2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义温溪高中 一、 背景分析 1、学习任务...

《平面向量数量积的物理背景及其含义》教案及说明

平面向量数量积的物理背景及其含义》教案及说明_数学_高中教育_教育专区。平面向量数量积的物理背景及其含义 一 .教学内容分析: 本课内容选自普通高中课程标准实验...

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义

人教版 A 高中数学必修 4 编写者:张冠文 审核:陈文旭 课题: 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义 学习目标: 1. 通过经历探究过程,掌握平面向量的数量积及其...

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)(b5)

2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义(二)(b5)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。鸡西市第十九中学高一数学组 鸡西市第十九中学学案 2015 年( )月( )日 ...

高一数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义》

高一数学《2.4.1平面向量数量积的物理背景及含义》_数学_高中教育_教育专区。2.4...二、讲解新课: 1.平面向量数量积(内积)的定义:已知两个非零向量a与b,它们的...

高中数学 (2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义)教...

2.4 2.4.1 平面向量的数量积 平面向量数量积的物理背景及其含义整体设计 教学分析 前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义 ,因此利用向量运算可以讨论一 ...

平面向量数量积的物理背景及其含义

平面向量数量积的物理背景及其含义_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 平面向量数量积的物理背景及其含义_数学_高中教育_教育专区。...

17、平面向量数量积的物理背景及其含义(2)教学案例

高中数学教学案例 设计获奖汇编 17、平面向量数量积的物理背景及其含义(2) 一、教学内容分析 以物体受力做功为背景引入数量积的概念, 使向量数量积运算与物理知 ...

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 导学案

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 导学案_数学_高中教育_教育专区。2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义 导学案高一数学必修四导学案 编制人:21 号 审核...

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(教、学案)

2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义(教、学案)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2.4.1 平面向量的数量积导学案学习目标:1.了解平面向量数量积的物理背景...