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3.1.2回归分析的应用


第三章

统计案例

3.1 回归分析的基本思想及其初步应用

3.1.2 回归分析的应用

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1.通过实例进一步了解与非线性回归模型有关
的统计思想. 2.了解判断刻画模型拟合效果的方法——相关 指数

和残差分析.
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基 础 梳 理 1.建立回归模型的基本步骤: (1)确定研究对象,明确哪个变量是________ 解释变量,哪个 变量是预报变量 ________. 散点图,观 (2)画出确定好的解释变量和预报变量的______ 察它们之间的关系. 类型 . (3)确定回归方程的________
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(4)按一定规则估计回归方程中的________ 参数 .
残差图 是否有异常. (5)分析________

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基 础 梳 理 2.残差分析. (1)残差:样本值与回归值的差叫做残差,即 e=y -^ y ____________ .
i i

残差 来判断模型拟合的效果, (2)残差分析:通过________ 判断原始数据中是否存在可疑数据,这方面的分析工作称 为残差分析 ________. 残差 为纵坐标,以__________ (3)残差图:以________ 样本编号 或 ________ ,或________________ 等为横坐标,作出的图形 身高数据 体重估计值 称为残差图.观察残差图,

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基 础 梳 理

如果残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明

选用的模型比较合适,这样的带状区域的宽度越窄,模型
拟合精度越高,回归方程的预报精度越高.一般情况下, 比较两个模型的残差比较困难(某些样本点上一个模型的残

差的绝对值比另一个模型的小,而另一些样本点的情况则
相反),故通过比较两个模型的残差的平方和的大小来判断 残差平方和 越小的模型,拟合的效果 模型的拟合效果.____________

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越好.
例如:分别用指数函数模型和二次函数模型来拟合两 个变量,残差平方和分别为1 450.673和15 448.432,故选用 指数函数 二次函数 模型. ______模型的拟合效果远远优于_________ www.gzjxw.net

自 测 自 评

1.有下列说法: ①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线贴近 这些样本点的数学方法; ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量是否 具有线性关系;
③通过回归方程^ y =^ bx+^ a 及其回归系数^ b,可以估计变 量的取值和变化趋势;
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④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线 方程,所以没有必要进行相关性检验. 其中正确命题的个数是( C )

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个 www.gzjxw.net

自 测 自 评

2.有下列说法:
①在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状

区域内,说明选用的模型比较合适;
②用相关指数R2来刻画回归的效果,R2值越大,说
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明模型的拟合效果越好;
③比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和 的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好. 其中正确命题的个数是( D ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

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自 测 自 评
3.(2013· 广东佛山模拟)某考察团对全国 10 个城市进行 职工人均工资水平 x(千元)与居民人均消费水平 y(千元)统计 调查,y 与 x 具有相关关系,回归方程为^ y =0.66x+1.562. 若某城市居民人均消费水平为 7.675(千元), 估计该城市人均 消费额占人均工资收入的百分比约为( )
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A.83% B.72% C.67% D.66%

解析:由已知^ y =7.675,代入方程^ y =0.66x+1.562, 7.675 得 x≈9.262 1,所以百分比为 =83%.故选 A. 9.262 1 www.gzjxw.net 答案:A

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题型一 线性回归分析的应用 例1 以下是某地搜集到的新房屋的销售价格
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y(万元)和房屋的面积x(m2)的数据:
房屋面积x/m2 115 110 80 135 105

销售价格y/万元

24.8

21.6

18.4

29.2

22

(1)画出数据对应的散点图; (2)求线性回归方程, 并在散点图中加上回归直线; (3)据(2)的结果估计当房屋面积为150 m2时的销售价 格.

解析:(1)数据对应的散点图如图所示:

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5 5 1 (2)- x = ?xi=109, lxy= ? (xi-- x )2=1 570, 5 i= 1 i= 1

- y =23.2,lxx= ? (xi-- x )( yi-- y )=308.
i= 1

5

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^ ^ 设所求回归直线方程为 ^ = b x + a, y 308 lxx ^ 则b = l = ≈0.196 2,^ a =- y -^ b - x =1.816 6. 1 570 xy 故所求回归直线方程为^ y =0.196 2x+1.816 6. (3)据(2),当 x=150 m2 时,销售价格的估计值为^ y =0.196 2×150+1.816 6=31.246 6(万元).
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点评:已知x与y呈线性相关关系,就无需进行相关性 检验,否则要进行相关性检验.如果两个变量不具备相关关 系,或者相关关系不显著,

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即使求出回归方程也是毫无意义的,用其估计和预测也 是不可信的.进行线性相关的判断,可通过散点图直观
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判断,散点图不明显的可进行相关性检验.

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变 式 迁 移 1.某农场对单位面积化肥用量x(kg)和水稻相应 产量y(kg)的关系作了统计,得到数据如下:
x
y

15
330

20
345

25
365

30
405

35
445

40
450

45
455

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如果x与y之间具有线性相关关系,求出回归直线方程,
并预测当单位面积化肥用量为32 kg时水稻的产量大约是 多少(精确到0.01 kg).

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变 式 迁 移 解析:列表如下:
序号 1 x 15 y 330 x2 225 xy 4 950

2
3 4 5 6 7 ∑

20
25 30 35 40 45 210

345
365 405 445 450 455 2 795

400
625 900 1 225 1 600 2 025 7 000

6 900
9 125 12 150 15 575 18 000 20 475 87 175

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变 式 迁 移
1 1 x = ×210=30, y = ×2 795≈399.3, 7 7 87 175-7×30×399.3 ^ b= ≈4.746, 2 7 000-7×30 ^ y =399.3-4.746×30=256.92. y 对 x 的回归直线方程为^ y =256.92+4.746x. 当 x=32 时,^ y =256.92+4.746×32≈408.79. 即回归直线方程为 ^ y = 256.92 + 4.746x. 当单位面积化肥 用量为 32 kg 时,水稻的产量约为 408.79 kg.

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题型二

相关分析项

例2 某同学6次考试的数学、语文成绩在班中的排
名如下表:
数学 名次x 语文 名次y 7 13 6 11 5 9 3 6 2 4 1 2
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对上述数据分别用^ y =^ bx+^ a 与^ y =^ c x2+^ d来拟合 y 与 x 之间的关系,并用残差分析两者的拟合效果.

解析:首先用^ y =^ bx+^ a 来拟合 y 与 x 之间的关系. 因为- x =4,- y =7.5, ? (xi-- x )(yi-- y )=50,
i= 1 6

x )2=28, ? (xi--
i= 1

6

x ??yi-- y? ? ?xi-- 所以^ b=
i= 1

6

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x ?2 ? ?xi--
i= 1

6

50 = ≈1.786,^ a =- y -^ b- x =0.356. 28

所以^ y =1.786x+0.356, 此时的残差平方和为 ? (yi-^ y i)2≈0.214.
i= 1

6

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再用^ y =^ c x2+^ d来拟合 y 与 x 之间的关系. 令 t=x2, 则对 应表中数据为
t 49 36 25 9 4 1

y

13

11

9

6
6

4

2
6

因为 - t = 20.667 , - y = 7.5 , ? (ti - - t )(yi - - y ) = 400 , ? (ti -
i= 1 i= 1

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t ??yi-- y? ? ?ti-- - t )2≈1 857.333,所以^ c=
i= 1

6

= t ?2 ? ?ti--
i= 1 6

400 ≈0.215,^ d= 1 857.333

- y -^ c- t ≈3.057.

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所以^ y = 0.215x + 3.057 , 此 时 的 残 差 平 方 和 为 ? (yi - ^ y
i= 1 i) 2

6

≈3.355. 因为 3.355>0.214, 所以用^ y =^ bx+^ a 来拟合 y 与 x 之间的关系效果较好. 点评:(1)残差平方和越小,预报精确度越高.
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(2)相关指数 R2 取得越大,说明模型的拟合效果越好

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变 式 训 练

2.(2013· 山东济宁高二检测)已知某校5个学生的
数学和物理成绩如下:
学生的编号 数学成绩x 1 80 2 75 3 70 4 65 5 60
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物理成绩y

70

66

68

64

62

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变 式 训 练 (1)通过大量事实证明发现,一个学生的数学成绩和物

理成绩是具有很强的线性相关关系的,在上述表格中,用x
表示数学成绩,用y表示物理成绩,求y关于x的回归方程. (2)利用残差分析回归方程的拟合效果,若残差和在 (-0.1,0.1)范围内,则称回归方程为“优拟方程”,问:该 回归方程是否为“优拟方程”.
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变 式 训 练
解析:(1)由已知数据得,- x =70,- y =66, 代入公式, ^ 可求得^ b=0.36, a =40.8, 故回归直线方程为^ y =0.36x+40.8. (2)由^ y =0.36x+40.8 可知^ y 1=0.36×80+40.8=69.6, 同理可 得^ y 2=67.8,^ y 3=66,^ y 4=64.2,^ y 5=62.4,所以 ? (yi-^ y i)
i= 1 5

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=0∈(-0.1,0.1),故该回归方程是“优拟方程”.

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