kl800.com省心范文网

正弦定理和余弦定理专题讲义


正弦定理和余弦定理专题讲义
一、高考要求
1、掌握正、余弦定理的基本形式和变形式; 2、能够完成三角形中边、角和面积的计算。 3、掌握边、角的范围探究问题和正、余弦定理的实际应用。

二、知识回顾
设△ABC 的三边为 a、b、c,对应的三个角为 A、B、C. 1.角与角关系:A+B+C = π, 2.边与边关系:a + b > c,b + c > a,c + a > b, a-b < c,b-c < a,c-a > b. 3.边与角关系: 1)正弦定理

a b c ? ? ? 2R (R 为外接圆半径) sin sin sin A B C

变式 1:a = 2R sinA,b= 2R sinB,c= 2R sinC 变式 2:
a?b?c a b c ? ? ? ? 2R sin A ? sin B ? sin C sin A sin B sin C
sin B b
sin C c sin C c

变式 3: sin A ? a , sin A ? a , sin B ? b 2)余弦定理 c2 = a2+b2-2bccosC,b2 = a2+c2-2accosB,a2 = b2+c2-2bccosA. 变式 1: cos A ?
b2 ? c2 ? a2 ; cosC ? 2bc

.; cosB ?

..

4. 三角形面积公式: S ? ?

( a ? b ? c) r 1 1 ah ? ab sin C ? ? s(s ? a)(s ? b)(s ? c) 2 2 2

(其中 r 为内切圆半径,R 为外接圆半径,s 为半周长) 5、关于三角形内角的常用三角恒等式:三角形内角定理的变形 ①由 A+B+C=π ,知 A=π -(B+C)可得出: sinA=sin(B+C) ,cosA=-cos(B+C) . ②而 A ? ? ? B ? C .有: sin A ? cos B ? C , cos A ? sin B ? C .
2 2 2

2

2

2

2

三 互动探究 探究一 正弦定理的应用
考点分析:①知两角及一边、解三角形. ②知两边及一边对角、解三角形. 方法点拨:针对考法②涉及到三角形解的判定、一般有三种情况:无解、一解、两解;判定方法: 方法 1【代数法】:大边对大角、内角和为 180 、三角函数值不能大于 1; 方法 2【几何法】:当 A 为锐角时、① a ? b sin A 或 a ? b 时、一解;② b sin A ? a ? b 时、两解; ③ a ? b sin A 时、无解.当 A 为直角或钝角时、① a ? b 时、一解;② a ? b 时、无解. 例如 1:在 ?ABC 中、 a ? 2, A ?
?
3
0

,B ?

?
4

, 求其余的边和角.

1

例如 2: 在△ABC 中,已知 a= 3 ,b= 2 ,B=45°,求 A、C 和 c.

变式训练 1:(2009· 广东高考)已知△ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别为 a,b,c.若 a=c= 6+ 2,且∠A=75° ,则 b= ( ) A.2 B.4+2 3 C.4-2 3 D. 6- 2 AC 变式训练 2: 在锐角△ABC 中, BC=1, B=2A, 则 的值等于______, 的取值范围为________. AC cosA 变式训练 3:3.下列判断中不正确的结论的序号是 . ①△ABC 中,a=7,b=14,A=30°,有两解;②△ABC 中,a=30,b=25,A=150°,有一解 ③△ABC 中,a=6,b=9,A=45°,有两解;④△ABC 中,b=9,c=10,B=60°,无解 答案:例 1: C ? 750 , b ? C=15°,c=
2 6 3 2? 6 6? 2 ;例 2:A=60°,C=75°,c= 或 A=120°, ,c ? 2 3 3

6? 2 ;变式 1:A;变式 2: , ( 2, 3);变式 3:①③④; :2 2

探究二

余弦定理应用


考点分析:①知三边、解三角形. ②知两边及夹角、解三角形. 例如 3: (1)在三角形 ABC 中, AB ? 5, AC ? 3, BC ? 7 ,则 ?BAC 的大小为( A.

2? 3

B.

5? 6

C.

3? 4

D.

? 3
.

(2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 所对的边,已知 a ? 3, b ? 3, c ? 30?, 则 A= 变式训练 4:△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 b +c -a +bc=0. (1)求角 A 的大小; (2)若 a= 3 ,求 bc 的最大值;
2 2 2

答案:例 3:A、 30 ;变式 4: A ? 1200 ,1。

0

探究三 考点一

正、余弦定理的综合应用 判定三角形形状

方法点拨:①知识要求:灵活应用正、余弦定理及和、差、半角公式;②能力要求:统一成边的思 想、或统一成角的思想和方程组思想. 例如 4:在△ABC 中,a、b、c 分别表示三个内角 A、B、C 的对边,如果(a +b )sin(A-B)=
2
2 2

(a -b )sin(A+B) ,判断三角形的形状.

2

2

变式训练 5:在△ABC 中, a ? b cos c ,则这个三角形一定是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形 变式训练 6: .在△ABC 中, 若(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且 sinC=2sinAcosB,则△ABC 是 三角形. 答案:例 4:△ABC 为等腰或直角三角形.变式 5:B;变式 6:等边三角形;

考点二

三角形面积(注重方程组思想)

A 2 5 例如 5:(2009· 浙江高考)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 cos = , 2 5

? ??? ??? ? AC AB · =3.
(1) 求△ABC 的面积; (2)若 c=1,求 a 的值.

π 变式训练 7:.在△ABC 中,AB= 3,AC=1,B= ,则△ABC 的面积等于 6 A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D. 3 3 或 2 4

(

)

答案:例 5:S△ABC=2. a=2 5. 变式 7:D

考点三

角或边的范围

方法点拨:主要是函数思想、基本不等式、三角函数有界性的应用。 a 例如 6: (1)锐角△ABC 中,若 A=2B,则 的取值范围是 ( ) b A.(1,2) B.(1, 3) C.( 2,2) D.( 2, 3)

(2) 在△ABC 中, sin c ? 3 , c ? 10 ,则边 b 的取值范围是 ( ) 4 A. ( 15 ,?? ) 2 B. (10,??)
0

C. (0,10)

D. (0, 40 3

?
) )

变式训练 8: 在△ABC 中, a ? 2, A ? 45 ,若三角形有两解,则边 b 的范围是( 若三角形有一解,则边 b 的范围是( A. b ? 2 B. 0 ? b ? 2或b ? 2 2 C. 2 ? b ? 2 2

D. 2 ? b ? 2 2

变式训练 9: 在△ABC 中, ? 1, b ? 2 a A. (0, ? ) 6

①则角 A 的取值范围是 ( ) ; ( S ?ABC ) max ? -------. ② C. (0, ? ) 3 D. ( ? , ? ) 6 2

? B. (0, ? ) ? ( 56 , ? ) 6

答案:例 6: D, B; 变式 8:D,B;;变式 9:A , 1.
3

探究四

正、余弦定理的实际应用

例如 7:为了竖一块广告牌,要制造三角形支架.三角形支架,如图所示,要求∠ ACB=60°,BC 的长度大于 1 米,且 AC 比 AB 长 0.5 米.为了使广告牌稳固,要求 AC 的长度越短越好,求 AC 最短为多少米?且当 AC 最短时,BC 长度为多少米?

答案: AC 最短为(2+ 3 )米,此时,BC 长为(1+

3 )米. 2

变式训练 10:如图所示,扇形 AOB,圆心角 AOB 等于 60°,半径为 2,在弧 AB 上有一动点 P,过 P 引平行于 OB 的直线和 OA 交于点 C,设∠AOP= ? ,求△POC 面积的最大值及此时 ? 的值.

答案: ? =

3 ? 时,S( ? )取得最大值为 . 3 6



思维训练与能力提高

1.(2010 上海)18.若△ ABC 的三个内角满足 sin A : sin B : sin C ? 5:11:13 ,则△ ABC (A)一定是锐角三角形. (C)一定是钝角三角形. (B)一定是直角三角形. (D)可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形.

2.(2010 湖南)6、在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c,若∠C=120°, c ? A、a>b B、a<b C、a=b D、a 与 b 的大小关系不能确定

2a ,则

3、定义在 R 上的偶函数 f (x) 满足 f ( x ? 2) ? f ( x) ,且在区间 [?3,?2] 上是减函数,若 A、B 是锐角 三角形的两个内角,则 A、 f (sin A) ? f (cos B) B、 f (sin A) ? f (cos B) C、 f (sin A) ? f (sin B) D、 f (cos A) ? f (cos B) 4. 2010 广东理) ( 11.已知 a,b,c 分别是△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边, a=1,b= 3 , A+C=2B, 若 则 sinC= .
cos B b =. cos C 2a ? c

5. 在△ABC 中,a、b、c 分别是角 A,B,C 的对边,且 (1)求角 B 的大小; (2)若 b= 13 ,a+c=4,求△ABC 的面积.

4


正弦定理和余弦定理讲义

正弦定理和余弦定理讲义_高二数学_数学_高中教育_教育专区。秦源教育 高中数学 ...3 许老师 秦源教育 高中数学 解三角形 B 一、选择题 b 1.△ABC 的三个...

专题+正弦定理和余弦定理应用举例--讲义

专题+正弦定理和余弦定理应用举例--讲义_数学_高中教育_教育专区。主要考点梳理正弦定理和余弦定理在实际生活中有许多应用,尤其是测量方面的应用。重点是测量距 离、...

正弦定理、余弦定理讲义

正弦定理、余弦定理讲义_数学_高中教育_教育专区。此为三角函数最为基础的知识,...第1讲 正弦定理与余弦定... 4页 免费 正弦定理和余弦定理专题... 暂无评价...

2015届高三数学第一轮复习《正弦定理和余弦定理》讲义

2015届高三数学第一轮复习《正弦定理和余弦定理讲义_数学_高中教育_教育专区。...3 3 二、填空题 π 1 6.在△ABC 中,若 b=5,∠B= ,sin A= ,则 a...

专题 正弦定理和余弦定理-讲义

简单学习网课程讲义学科:数学 专题:正弦定理和余弦定理 主讲教师:熊丹 北京五中学数学教师 http://www.jiandan100.cn 北京市海淀区上地东路 1 号盈创动力大厦 E ...

正弦定理和余弦定理讲义_图文

正弦定理和余弦定理讲义_高一数学_数学_高中教育_教育专区。正弦定理和余弦定理...= 2 , AB2+AC2-BC2 1 【解析】 :选 B 由题意得 cos A= =,∴sin A...

正弦定理和余弦定理讲义

正弦定理和余弦定理讲义_数学_高中教育_教育专区。学科教师讲义 讲义编号: ___...应届生求职季宝典 英文个人简历模板 创意简历模板汇集 推理型题分析与总结文档...

专题 正弦定理与余弦定理的正确选择-讲义

专题 正弦定理与余弦定理的正确选择-讲义_数学_高中教育_教育专区。正弦定理与余弦定理的正确选择主讲教师:王春辉 数学高级教师 开篇语你听过拿破仑测量河宽的故事吗...

讲义1-1-正弦定理,余弦定理--

讲义1-1-正弦定理,余弦定理姓名:正弦定理:1、 班级 时间: a : b : c ?...8、(本题满分 12 分) 在中 ,角 。求此三角形的面积; 的对边分别为 ,且...

专题04+三角函数+4.5 正弦定理、余弦定理讲义及其应用(...

专题04+三角函数+4.5 正弦定理余弦定理讲义及其应用(无解析)_数学_高中教育_教育专区。4.7 正弦定理余弦定理讲义 在△ABC 中,若角 A,B,C 所对的边分别是...