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圆锥曲线的综合运用教案


卓越个性化教案
圆锥曲线的综合运用
【教学目标】
一、知识目标
1、正确理解椭圆、双曲线和抛物线的定义,明确焦点、焦距的概念;能根据椭圆、双曲线和抛物线的定 义推导它们的标准方程; 2、记住椭圆、双曲线和抛物线的各种标准方程;能根据条件,求出椭圆、双曲线和抛物线的标准方程; 掌握椭圆、双曲线和抛物线的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率、准线(双曲线的渐近线)等,从而 能迅速、正确地画出椭圆、双曲线和抛物线;掌握 a、b、c、p、e 之间的关系及相应的几何意义; 3、利用椭圆、双曲线和抛物线的几何性质,确定椭圆、双曲线和抛物线的标准方程,并解决简单问题; 4、理解椭圆、双曲线和抛物线的参数方程,并掌握它的应用;掌握直线与椭圆、双曲线和抛物线位置关 系的判定方法。

二、能力目标
1、通过作图展示与操作,必须让学生认同:圆、椭圆、双曲线和抛物线都是圆锥曲线,是因它们都是 平面与圆锥曲面相截而得其名; 2、已知几何图形建立直角坐标系的两个原则,及引入参量 b ? 美学思维来体现数学的和谐美。
a ?c
2 2

的意义,培养学生用对称的

三、情感目标
1、会把几何问题化归成代数问题来分析,反过来会把代数问题转化为几何问题来思考,培养学生的数形 结合的思想方法; 2、 通过讨论圆锥曲线方程推导培养学生的会从特殊性问题引申到一般性来研究, 培养学生的辩证思维能 力。

【教学重点】
1、圆锥曲线的定义及圆锥曲线标准方程,用待定系数法和定义法求曲线方程; 2、圆锥曲线定义及焦点、准线等知识的灵活运用。

【教学难点】
1、 轨迹方程的求法 2、 直线与圆锥曲线的位置关系问题,点差法以及韦达定理的灵活运用。 1 / 35

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【知识梳理】
1、 三种圆锥曲线的定义
椭圆:平面内与两个定点 F1 , F 2 的距离之和等于常数(大于 F1 F 2 )的点的轨迹叫做椭圆。即:
PF 1 ? PF 2 ? 2 a ? 2 c ? F1 F 2 ( a ? 0 , c ? 0 , a , c 为常数) ,则 P 点的轨迹为以为 F1 、 F 2 焦点的椭

圆。 注意:若 2 a ? F1 F 2 时,点 P 的轨迹为线段。若 0 ? 2 a ? F1 F 2 时,点 P 的轨迹不存在。 双曲线:在平面内到两个定点 F1 , F 2 距离之差等于常数(小于 F1 F 2 )的点的轨迹叫做双曲线。即:
PF 1 ? PF
2

,则 P 点的轨迹为以 F1 、 F 2 为焦点的双 ? 2 a ? 2 c ? F1 F 2 ( a ? 0 , c ? 0 , a, c 为常数)

曲线。 注意:若 2 a ? F1 F 2 时,点 P 的轨迹为两条射线。若 2 a ? F1 F 2 时,点 P 的轨迹不存在。若 2 a ? 0 时, 点 P 的轨迹是 F1 F 2 线段垂直平分线。 抛物线:平面内到定点 F 与到定直线 l 距离相等的点的轨迹。 (其中 F ? l ) 注意:若 F ? l ,则 P 点的轨迹为垂直于直线 l 的一条直线。

2、三种圆锥曲线的标准方程:
椭圆:
x a y a
2 2

?

y b x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) ,焦点在 x 轴上;

2 2

2 2

?

? 1( a ? b ? 0 ) ,焦点在 y 轴上.

双曲线:

x a y a

2 2

?

y b x b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) ,焦点在 x 轴上;

2 2

2 2

?

? 1( a ? 0, b ? 0 ) ,焦点在 y 轴上.

抛物线: y

2

? 2 px , y
2

2

? ? 2 px , (其中 p ? 0 ) ,焦点在 x 轴上;
2

x

? 2 py , x

? ? 2 py , (其中 p ? 0 ) ,焦点在 y 轴上。

3、三种圆锥曲线的几何性质
2 / 35

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(1)椭圆的几何性质 标准方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a ? b ? 0)

y a

2 2

?

x b

2 2

?1

(a ? b ? 0)

图形

焦点 范围 对称性 顶点 性质 轴长、焦距 离心率 准线方程

F1 ( ? c , 0 ) , F 2 ( c , 0 )

F1 ( 0 , ? c ) , F 2 ( 0 , c )

x

? a,

y

? b

x

? b,

y

? a

关于 x 轴、 y 轴和原点对称
( ? a ,0 ) , ( 0 , ? b ) ( 0 , ? a ) , ( ? b ,0 )
? 2c

长轴长= 2 a ,短轴长= 2 b ,焦距 F1 F 2
e ?
a
2

c a

( 0 ? e ? 1)
a
2

x ? ?

y ? ?

c

c

(2)双曲线的几何性质 标准方程 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2









x≥a 或 x≤-a,y∈R 对称轴:坐标轴 A1(-a,0),A2(a,0) 对称中心:原点

x∈R,y≤-a 或 y≥a

对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率

A1(0,-a),A2(0,a)

b a y=± x y=± x a b c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲线

实虚轴

的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的 虚半轴长

a、b、c 的关系

c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0) 3 / 35

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(3)抛物线的几何性质 标准方程

y ? 2 px (p>0)
2

y ? ? 2 px (p>0)
2

图形

焦点

F(

p 2

,0 )

F (?

p 2

,0 )

范围 对称性 性质 顶点 离心率 准线方程

x ? 0, y ? R
关于 x 轴对称 原点 ( 0 , 0 )
e ?1

x ? 0, y ? R

x ? ?

p 2

x ?

p 2

4、参数的几何意义:
2 2 2 椭圆: a ? b ? 0 , a ? b ? c ,焦点总在长轴上.

2 2 2 双曲线: c ? a ? b ,焦点总在实轴上。当 a=b 时,为等轴双曲线。

抛物线:焦准距 p 是焦点到准线的距离,故 p 恒为正数。焦点的非零坐标为

p 2

5、离心率
椭圆: e ?
c a ? 1? b a
2 2

? ? 0 ,1 ? 。

离心率可以描述椭圆的形状。当 e 趋近于 1 时,椭圆越扁;当 e 趋近于 0 时,椭圆越圆. 双曲线: e ?
c a ? 1? b a
2 2

? ?1 ? ? ? 。

离心率可以描述双曲线开口的大小。e 越大,开口就越大。 抛物线: e ? 1 。抛物线的开口大小可以由焦参数 p 来描述。通径越长,开口越越扩。 4 / 35

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6、点与圆锥曲线的位置关系(以椭圆为例) :
点 P ( x 0 , y 0 ) 和椭圆
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 )的关系:

(1)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆外 ?

x a x a x a

2 2

?

y b y b y b

2 2

? 1;

2 2

2 2

(2)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆上 ?

?

?1 ;

2 2

2 2

(3)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆内 ?

?

?1

7、双曲线的渐近线
把标准方程
x a
b a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 中的“1”用 0 替换即可得出渐近线方程.

以y ? ?

x 为渐近线(即与双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 共渐近线)的双曲线方程为

x a

2 2

?

y b

2 2

? ?1 。

8、直线与圆锥曲线的位置关系:
(1)椭圆:方程联立消元。
? ? 0 ? 直线与椭圆相交; ? ? 0 ? 直线与椭圆相切; ? ? 0 ? 直线与椭圆相离。

(2)双曲线:方程联立消元。 ①二次项系数为 0 时,求出的直线斜率与渐近线斜率相同。此时直线与双曲线相交且只有一个交点。 ②当二次项系数不为 0 时,? ? 0 ? 直线与双曲线相交;? ? 0 ? 直线与双曲线相切;? ? 0 ? 直线 与双曲线相离。( ? ? 0 是直线与双曲线相交的充分不必要条件) (3)抛物线:以 y
2

? 2 px

?

p ? 0 ? 为例。方程联立消元。

①二次项系数为 0 时,求出的直线斜率为 0。此时直线与抛物线的对称轴平行,直线与抛物线相交且只 有一个交点。 ②当二次项系数不为 0 时,? ? 0 ? 直线与抛物线相交;? ? 0 ? 直线与抛物线相切;? ? 0 ? 直线 与抛物线相离。( ? ? 0 是直线与抛物线相交的充分不必要条件。)

5 / 35

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9、直线与圆锥曲线的问题:
(1)中点坐标公式: x ?
x1 ? x 2 2 ,y ? y1 ? y 2 2

,其中 x , y 是点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 的中点坐标。

(2)弦长公式:若点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) 在直线 y ? kx ? b ( k ? 0 ) 上, 则 y1 ? kx1 ? b, y 2 ? kx 2 ? b ,这是同点纵横坐标变换,是两大坐标变换技巧之一,
AB ? ? ( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2 2 2 2

?

( x1 ? x 2 ) ? ( kx1 ? kx 2 )
2

2

?

(1 ? k )( x1 ? x 2 )
2

2

(1 ? k )[( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ]
1 k 1 k 1 k
2

或者 A B ?

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 )
2

2

?

(

x1 ?

x 2 ) ? ( y1 ? y 2 )
2

2

?

(1 ?

)( y 1 ? y 2 )

2

?

(1 ?

1 k
2

)[( y 1 ? y 2 ) ? 4 y 1 y 2 ] 。
2

(3)两条直线 l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 垂直:则 k 1 k 2 ? ? 1 两条直线垂直,则直线所在的向量 v1 ?v 2 ? 0 (4) 韦达定理:若一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0 ( a ? 0 ) 有两个不同的根 x1 , x 2 ,则 x1+ x2=-b/a ,
2

? ?

x1·2=c/a x

6 / 35

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【典型例题】
题型一、圆锥曲线的定义

例 1 、已知

F1, F 2 为 椭 圆

x

2

?

y

2

25

9

? 1 的 两 个 焦 点 , 过 F1 的 直 线 交 椭 圆 于 A, B 两 点 , 若

F 2 A ? F 2 B ? 1 2 ,则 A B ?

【解析】8。 ∵

x

2

?

y

2

?1

∴a2=25

∴a=5

25

9

∵|A F2|+|B F2|=12,|A F1|+|B F1|=|AB|,相加; 得|AB|+12= |AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=20 所以|AB|=8

例 2、如果双曲线
A.8

x

2

?

y

2

? 1 上一点 P 到它的右焦点的距离是 4,那么 P 到左焦点距离是(



4

32

B.0

C. 4

D. 8 或 0

【解析】A

利用双曲线的定义知 P 到左焦点距离是 8

题型一变式 1、圆锥曲线定义的运用

例 3 、已知 P 为椭圆

x

2

?

y

2

45

20

? 1 上的点, F1, F 2 为左右焦点, PF 1 ? PF 2 , S ? F PF
1 2

=

【解析】∵点 P 在椭圆上 ∴|P F1|+|P F2|=2a 又∵ PF 1 ? PF 2 , ∴|P F1|2+|P F2|2=4c2 ∴2|P F1|| P F2|=4c2 - 4c2=80 ∴ S ? F PF =20
1 2

7 / 35

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例 4、 已知双曲线 求 ? F1 PF 2 的大小。
x
2

?

y

2

9

16

? 1 的左、 F 点 右焦点分别为 F 1 、 2 , P 在双曲线的右支上, PF 1 PF 2 ? 32 , 且

【解析】∵点 P 在双曲线的右支上 ∴ PF 1 ? PF 2 ? 6 ∴ PF 1 ? PF 2 ∴ PF 1 ? PF 2 ∵ F1 F 2
2 2 2 2

? 2 PF 1 PF 2 ? 36 ? 100

2

? 4c

2

? 4 a

?

2

? b

2

? ? 100
PF 1
2


? PF
2 2

由余弦定理得 cos ? F 1 PF 2 ? ∴ ? F1 PF 2 ? 90
?

? F1 F 2
2

2

=0

2 PF 1 PF

题型一变式 2、利用圆锥曲线的定义求轨迹方程

例 5、若点 P 到点 F(4,0)的距离比它到定直线 x+5=0 的距离小 1,则 P 点的轨迹方程是(
A.y2=-16x B.y2=-32x C.y2=16x D.y2=32x

)

【解析】B 这个轨迹是一个抛物线,点 F(4,0)是焦点,利用抛物线上的点到准线的距离等于到准线
的距离可得点 P 到点 F(4,0)的距离比它到定直线 x+5=0 的距离小 1。所以抛物线的轨迹方程为 y =16x。
2

例 6、平面内两定点的距离是 8,写出到这两定点的距离的和是 10 的点的轨迹的方程.

【解析】 这个轨迹是一个椭圆,两个定点是焦点,用 F1、F2 表示.取过点 F1 和 F2 的直线为 x 轴,
线段 F1F2 的垂直平分线为 y 轴,建立直角坐标系. ∵2a=10,2c=8. ∴a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9.∴b=3 因此,这个椭圆的标准方程是

8 / 35

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例 7、已知两圆 C 1 : ( x ? 4 ) ? y ? 2, C 2 : ( x ? 4 ) ? y ? 2, 动圆 M 与两圆 C 1 , C 2 都相切,求动圆 M 圆
2 2 2 2

心的轨迹方程。 【解析】动圆 M 与两圆 C 1 , C 2 都要相切,有四种情况: (1) 动圆 M 与两圆都外切 (3)动圆 M 与 C 1内 切 , 与 C 2 外 切 (2) 动圆 M 与两圆都内切 (4)动圆 M 与 C 1 外 切 , 与 C 2内 切

在 情 况 (1)(2) 下 , 动 圆 圆 心 M 的 轨 迹 方 程 为 x ? 0 , 在 情 况 (3) 下 , 设 动 圆 M 的 半 径 为 r, 则
M C1 ? r ? 2, MC2 ? r ? 2 , 故 得 M C 2 ? M C1 ? 2 2

, 在 情 况 (4) 下 , 同 理 可 得

M C 1 ? M C 2 ? 2 2 ,从而 M C 1 ? M C 2 ? ? 2 2 ,根据双曲线定义,可知点 M 的轨迹方程为:
x
2

?

y

2

? 1。

2

14

点评:若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹(如圆、椭圆、双曲线、抛物线)的定义,则可以直接根据定 义求出动点的轨迹方程。

题型二、圆锥曲线的性质
例 1、讨论
x
2

k ?2

?

y

2

3?k

? 1 表示何种圆锥曲线。

【解析】当 k<2 和 k>3 时,方程表示的是双曲线; 当 k=5/2 时,方程表示的是圆; 当 2<k<5/2 和 5/2<k<3 方程表示的是椭圆。

例 2 、动点 P 到定点 F1(1, 0)的距离比它到定点 F2(3, 0)的距离小 2,则点 P 的轨迹是 ( A.双曲线 【解析】C 9 / 35 B.双曲线的一支 C.一条射线 D.两条射线

)

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例 3、设椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左右焦点分别为 F1 、 F 2 ,线段 F 1 F 2 被点(

b 2

, 0 )分成 5 : 3 的两

段,则此椭圆的离心率为(
A. 16 17

)
4 17 17
C. 4 5

B.

D.

2 5

5

【解析】C

例 4、已知双曲线
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) 的一条渐近线方程是 y=

3 x ,它的一个焦点在抛物线

y ? 2 4 x 的准线上,则双曲线的方程为(


x
2

A.

x

2

?
2

y

2

?1
2

B.

?
2

y

2

?1
2

36

108 ? y ?1

9

27 ? y ?1

C.

x

D.

x

108

36

27

9

【解析】本题主要考查双曲线与抛物线的几何性质及标准方程,属于容易题。
?b ?a ? 3 2 2 ? x y 2 2 ? ?1 依题意知 ? c ? 6 ? a ? 9 , b ? 27 ,所以双曲线的方程为 9 27 ? 2 2 2 c ? a ? b ? ?

例 6 求适合条件的椭圆的标准方程.
? (1)长轴长是短轴长的 2 倍,且过点 ? 2, 6 ? ;

(2)在 x 轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且焦距为 6. 10 / 35

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2 2 2 2 2 2 2 2

【解析】 (1)设椭圆的标准方程为 由已知 a ? 2 b .
? 又过点 ? 2, 6 ? ,因此有
2 2

x a

?

y b

? 1或

y a

?

x b

?1.



2 a

?

? ? 6 ?2
b
2

?1或

? ? 6 ?2
a
2

?

2 b
2

2 2

? 1.



由①、②,得 a ? 148 , b ? 37 或 a ? 52 , b ? 13 .故所求的方程为
2 2 2

x

2

?

y

2

?1或

y

2

?

x

2

?1.

148

37 x a

52
2 2

13 y b
2 2

(2)设方程为

?

? 1 .由已知, c ? 3 , b ? c ? 3 ,所以 a ? 18 .故所求方程为
2

x

2

?

y

2

?1.

18

9

说明:根据条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数” .关键在于焦点的位置是否确定,若不 能确定,应设方程
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1或

y a

2 2

?

x b

2 2

?1.

题型四、求曲线轨迹问题
例 1、设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( m x , y ? 1) ,向量 b ? ( x , y ? 1) , a ? b ,动点
M ( x , y ) 的轨迹为 E.求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
? ?

?

?

2 2 【解析】 因为 a ? b , a ? ( m x , y ? 1) , b ? ( x , y ? 1) , 所以 a ·b = m x ? y ? 1 ? 0 , 即

?

?

?

?

mx ? y ? 1 .
2 2

当 m=0 时,方程表示两条直线: y ? ? 1 ; 当 m ? 1 时,方程表示的是圆: x ? y ? 1 ;
2 2

当 m>0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m<0 时,方程表示的是双曲线. 点评:这是直接法求轨迹方程,利用了动点满足的明确的等量关系,获得动点轨迹方程。直接法求轨迹 方程。给出某种条件:平面几何、三角函数、解析几何、向量形式等。求解程序:①设动点 P 的坐标为 P(x, 11 / 35

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y);②按题目的条件写出关系式;③整合关系式;④注明范围.
2 2

例 2、过椭圆

x

?

y

? 1 上一点 P(-8,0)作直线交椭圆于 Q 点,求 PQ 中点的轨迹方程。

64

36

【解析】解法一:设弦 PQ 中点 M( x , y ) ,弦端点 P( x 1 , y 1 ) ,Q( x 2 , y 2 ) ,
? 9 x 1 2 ? 16 y 1 2 ? 576 2 2 2 2 则有 ? ,两式相减得 9 ( x 1 ? x 2 ) ? 16 ( y 1 ? y 2 ) ? 0 , 2 2 ? 9 x 2 ? 16 y 2 ? 576

又因为 x 1 ? x 2 ? 2 x , y 1 ? y 2 ? 2 y ,所以 9 ? 2 x ( x 1 ? x 2 ) ? 16 ? 2 y ( y 1 ? y 2 ) ? 0 ,
y1 ? y 2 x1 ? x 2
y ?0 x ? (?8)

所以

?

9x 16 y

,而 k PQ ?

,故

9x 16 y

?

y x ?8



化简可得 9 x ? 72 x ? 16 y ? 0 ( x ? ? 8 ) 。
2 2

解法二:设弦中点 M( x , y ) ,Q( x 1 , y 1 ) ,由 x ?

x1 ? 8 2

,y ?

y1 2

可得 x 1 ? 2 x ? 8 , y 1 ? 2 y ,

又因为 Q 在椭圆上,所以

x1

2

?

y1

2

? 1 ,即

4( x ? 4) 64

2

?

4y 36

2

?1,

64

36

所以 PQ 中点 M 的轨迹方程为

( x ? 4) 16

2

?

y

2

? 1 ( x ? ?8 ) 。

9

点评:相关点法适合的题型特征是题设中存在两个或两个以上相互联系的动点,一个或一个以上的动点 在已知轨迹上运动,求另一个动点的轨迹方程。

例 3、已知抛物线 y

2

? 2 x ,过点 Q ( 2 ,1) 作一条直线交抛物线于 A,B 两点,试求弦 AB 的中点轨迹方

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程。

【解析】如图,设弦 AB 的中点为 M,并设 A、B、M 点坐标分别为 ( x 1 , y 1 ) , ( x 2 , y 2 ) , ( x , y ) ,根据 题意设有 y 1 ? 2 x 1 ,
y2
2 2

① ② ③ ④

? 2x2 ,

x1 ? x 2 ? 2 x , y1 ? y 2 ? 2 y ,
y1 ? y 2 x1 ? x 2 y ?1 x?2

?





④代入①-②得, 2 y ( y 1 ? y 2 ) ? 2 ( x 1 ? x 2 ) , ∵ x 1 ? x 2 ,∴
y1 ? y 2 x1 ? x 2
2

?

1 y




1 2 7 4

⑥代入⑤得, y ? y ? x ? 2 ,即 ( y ?

)

2

? x?



【总结】 求曲线的轨迹方程一般用直接法、定义法、待定系数法、相关点(代入)法、参数法。求曲线方 : 程的基本步骤是: 1、 建系设点,建立恰当的平面直角坐标系,设出轨迹上任意一点的坐标。 2、 找等量关系,找到动点与已知点、线满足的关系。 3、 代点,用动点和相关点的坐标表示以上关系。 4、 化简,把以上关系式化简。 5、 证明,证明所得方程为所求曲线的轨迹方程。

题型四、直线与圆锥曲线

例 1:设 C 为椭圆

x

2

?

y

2

? 1 上一点,求点 C 到直线 AB: x ? y ? 1 ? 0 的最大距离

5

4

13 / 35

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【解析】法 1:设直线 l:y=x+m 与椭圆相切,联立直线 l 与椭圆的方程,得到:
?

?y ? x ? m 2 2 ,则 4 x ? 5 ( x ? m ) ? 20 ? 2 2 ? 4 x ? 5 y ? 20
2 2

即 9 x ? 10 mx ? 5 m ? 20 ? 0 有:
? ? 100 m
2

? 4 ? 9 ? (5 m

2

? 20 ) ? 0 ,即 m

2

? 9 ,解得 m= ? 3 ,

算得:当 m=3 时,直线 l 与直线 AB 距离 d 有最大值, d max ?
5 4 , ). 3 3

4 2

= 2 2 ,此时椭圆上的点 C 的坐标为

(?

法 2:设点 C ( x 0 , y 0 ) 到直线 AB 的距离为 d,则 d=
? x0 ? 5 cos ?

| x0 ? y0 ? 1 | 2

,

因为点 C 在椭圆上,设 ?

? y 0 ? 2 sin ?

,代入上式,得到:

d=

|

5 cos ? ? 2 sin ? ? 1 | 2
5 3
2 3

| 3(

5 3

cos ? ? 2

2 3

sin ? ) ? 1 |

=

令 sin ? =

, cos ? =

,则 d=

| 3 sin( ? ? ? ) ? 1 | 2

,当 sin( ? ? ? ) =-1, cos ? =-

5 3

, sin ? =

2 3

,即 C ( ?

5 4 , ) 3 3

时,d 有最大值, d max ?

4 2

=2 2 。

【点评】本题考查椭圆的性质与方程,直线与椭圆的位置关系,点到直线的距离,函数与不等式的知 识,以及解决综合问题的能力。

例 2、已知椭圆

x

2

?

y

2

? 1 ,弦 AB 的中点是 P(1,1),求弦 AB 所在直线的方程.
3

4

2

2

【解析】目标问题: “求直线的方程” ? “过一点,确定斜
1

A P
O

率(包括斜率是否存在,存在时是多少) ” 几何条件:直线 AB 与椭圆交于 A,B;弦 AB 的中点
-4 -2

B

2

4

-1

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-2

-3

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代数关系: ?
? y ? 1 ? k ( x ? 1) ?x ? 2 y
2 2

? 4

;?

? x1 ? x 2 ? 2 ? y1 ? y 2 ? 2

.

由此建立关于斜率的方程求解.

【解 1】 直线 AB 垂直 x 轴时, 直线 AB 中点在 x 轴上, 所以直线 AB 的斜率存在.设直线 AB: y-1=k(x-1), 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组: ? 得: (1 ?
? ? ? 16 ( k ? ? ? ?
2

? y ? kx ? k ? 1 ?x
2

? 2y
2

2

? 4



2k

2

)x
2

2

? 4(k

2

? k )x ? 2k
2 2

? 4k ? 2 ? 0

有:

? k ) ? 4 (1 ? 2 k )( 2 k x1 ? x 2 ?
2

? 4k ? 2) ? 0

4(k

2

? k)
2



1 ? 2k

? x 1 ? x 2 ? 2 ,则

4(k

? k)
2

1 ? 2k

? 2 ,得到 k ? ?

1 2

,把 k ? ?

1 2

代入判别式验证 ? ? 6 ? 0 成立(其实我

们还能判断出点 P 必在椭圆内). 则 AB 的方程为: y ? 1 ? ?
1 2 ( x ? 1 ) ,即 x ? 2 y ? 3 ? 0
2 2

【解 2】设 A(x1,y1),B(x2,y2), x 1 ? x 2 )因为点 A、B 在椭圆 (

x

?

y

? 1 上,

4

2

2 ? x1 2 y1 2 2 2 2 ? ?1 ? x y x y ? 2 所以, ? 42 ,得到: ( 1 ? 1 ) ? ( 2 ? 2 ) ? 0 , 2 4 2 4 2 ? x2 ? y2 ? 1 ? 4 2 ?

x1 4

2

?

x2 4

2

?

y2 2

2

?

y1 2

2

, ( x 1 ? x 2 )( x 1 ? x 2 ) ? ? 2 ( y 1 ? y 2 )( y 1 ? y 2 ) ,

因为线段 AB 的中点是 P(1,1) ,所以 x 1 ? x 2 ? 2 , y 1 ? y 2 ? 2 ,得到:
2 ( x 1 ? x 2 ) ? ? 2 ? 2 ( y 1 ? y 2 ) ,? x 1 ? x 2
y1 ? y 2 x1 ? x 2
1 2
1 2 ( x ? 1 ) ,即 x ? 2 y ? 3 ? 0 .

所以 k ?

=?



所以 AB 的方程为: y ? 1 ? ?

15 / 35

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题型五、圆锥曲线的定点、定值问题

例 1、已知椭圆 C :

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的离心率为 e ?

3 3

,以原点为圆心,椭圆短半轴长为半径

的圆与直线 x ? y ? 2 ? 0 相切, A , B 分别是椭圆的左右两个顶点, P 为椭圆 C 上的动点. (Ⅰ)求椭圆的标准方程; (Ⅱ)若 P 与 A , B 均不重合,设直线 P A 与 P B 的斜率分别为 k 1 , k 2 ,证明: k 1 ? k 2 为定值;

【解析】 (Ⅰ)由题意可得圆的方程为 x ? y ? b ,∵直线 x ? y ? 2 ? 0 与圆相切,∴ d ?
2 2 2

2 2

? b,

即b ?
x
2

2 ,
y
2

又e ?

c a

?

3 3

,即 a ?

3c , a ? b ? c , 解 得 a ?
2 2 2

3 , c ? 1 , 所以椭圆方程为

?

? 1.
2 2

3

2

(Ⅱ)设 P ( x 0 , y 0 ) ( y 0 ? 0 ) , A ( ? 3 , 0 ) , B ( 3 , 0 ) ,则
2? ?
2

x0 3

?

y0 2

? 1 ,即 y 0 ? 2 ?
2

2 3

x0 ,

2

2

则 k1 ?

y0 x0 ? 3

,k2 ?
2 3

y0 x0 ? 3



即 k1 ? k 2 ?

y0
2

2

x0 ? 3

3 x0 ? 3

x0

2

2 ? 3

(3 ? x 0 )
2

x0 ? 3
2

? ?

2 3



∴ k 1 ? k 2 为定值 ?



例 2、在直角坐标系 xOy 中,已知中心在原点,离心率为 的圆心。[中国教育出%版网^@*&] (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设 P 是椭圆 E 上一点,过 P 作两条斜率之积为 P 的坐标。
1 2

1 2

的椭圆 E 的一个焦点为圆 C:x2+y2-4x+2=0

的直线 l1,l2.当直线 l1,l2 都与圆 C 相切时,求

【解析】 (Ⅰ)由 x ? y ? 4 x ? 2 ? 0 ,得 ( x ? 2 ) ? y ? 2 .故圆C的圆心为点 ( 2, 0 ), 从而可设椭圆E的
2 2 2 2

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方程为
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ), 其焦距为 2 c ,由题设知
c a 1 2

c ? 2, e ?
2 2

?

,? a ? 2 c ? 4 , b ? a ? c ? 1 2 . 故椭圆E的方程为:
2 2 2

x

?

y

? 1.

16

12

( Ⅱ ) 设 点 p 的 坐 标 为 ( x 0 , y 0 ) , l1 , l 2 的 斜 分 率 分 别 为 k 1 , k 2 . 则 l1 , l 2 的 方 程 分 别 为
l1 : y ? y 0 ? k 1 ( x ? x 0 ), l 2 : y ? y 0 ? k 2 ( x ? x 0 ), 且 k 1 k 2 ?
1 2 . 由 l1 与圆 c : ( x ? 2 ) ? y ? 2 相切,得
2 2

2 k1 ?

y 0? k1 ? 1
2

k1 x 0 ? 2 ,

即 同理可得

? ( 2 ? x 0 ) ? 2 ? k1 ? 2 ( 2 ? x 0 ) y 0 k 2 ? y 0 ? 2 ? 0 . ? ?
2 2 2

? ( 2 x0 ? ?

2

) ?
0

? 2 2? ? k
2 2

? ( x2 2 0

y 0 k 2 ? y? ?) 0
2 2

.

2

0

从而 k 1 , k 2 是方程 ? ( 2 ? x 0 ) ? 2 ? k ? 2 ( 2 ? x 0 ) y 0 k ? y 0 ? 2 ? 0 的两个实根,于是 ? ?
? (2 ? x0 ) ? 2 ? 0, ? ? 2 2 ? ? ? 8 ? (2 ? x0 ) ? y0 ? 2 ? ? 0, ? ? ?
2



且 k1k 2 ?
2

y0 ? 2
2

(2 ? x2 ) ? 2
2

? 2.

? x0 y ? 0 ? 1, ? 10 ? 16 12 2 . 由? 得 5 x 0 ? 8 x 0 ? 3 6 ? 0 . 解得 x 0 ? 2 , 或 x 0 ? 2 5 y0 ? 2 1 ? ? ? ( 2 ? x0 ) 2 ? 2 2 ?
2

由 x 0 ? ? 2 得 y 0 ? ? 3; 由 x 0 ?

18 5

得 y0 ? ?

57 5

, 它们满足①式,故点P的坐标为

( ? 2, 3) ,或 ( ? 2, ? 3) ,或 (

18 5

,

57 5

) ,或 (

18 5

,?

57 5

).

例 3、已知,椭圆 C 以过点 A(1, (1)求椭圆 C 的方程;

3 2

) ,两个焦点为(-1,0) (1,0) 。

(2)E,F 是椭圆 C 上的两个动点,如果直线 AE 的斜率与 AF 的斜率互为相反数,证明直线 EF 的斜率为 17 / 35

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定值,并求出这个定值。 【解析】 (Ⅰ)由题意,c=1,可设椭圆方程为
1 1? b
2

x

2 2

1? b

?

y

2 2

? 1。
3 4

4b
2

因为 A 在椭圆上,所以
x
2

?

9 4b
2

? 1 ,解得 b =3, b = ?
2

(舍去) 。

所以椭圆方程为

?

y

2

? 1.

... 分 ...4

4

3

(Ⅱ)设直线AE方程:得 y ? k ( x ? 1) ?
3 2

3 2

,代入

x

2

?

y

2

? 1得

4

3

( 3 + 4 k ) x + 4 k (3 ? 2 k ) x ? 4 (
2 2

? k ) ? 12 ? 0
2

设E( x E , y E ) ,F( x F , y F ) .因为点A(1,
4( xE ? 3 ? k ) ? 12
2

3 2

)在椭圆上,所以

2 2 3 ? 4k
3 2 ?k 。

, ....8 分 ...

y E ? kxE ?

又直线 AF 的斜率与 AE 的斜率互为相反数,在上式中以 ? k 代 k ,可得
4( xF ? 3 ? k ) ? 12 2 , 2 3 ? 4k
2

y F ? ? kxF ?

3 2

?k 。

所以直线 EF 的斜率 k E F ?

yF ? yE xF ? xE
1 2

?

? k ( xF ? xE ) ? 2k xF ? xE

?

1 2



即直线 EF 的斜率为定值,其值为



例 4、在抛物线 x2=4y 上有两点 A(x1,y1)和 B(x2,y2)且满足|AB|=y1+y2+2,求证:
(1)A、B 和这抛物线的焦点三点共线;(2)
1 AF ? 1 BF

为定值.

【解析】 (1)∵抛物线的焦点为 F(0,1),准线方程为 y=-1.
∴ A、B 到准线的距离分别 d1=y1+1,d2=y2+1(如图 2-46 所示). 18 / 35

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由抛物线的定义:|AF|=d1=y1+1,|BF|=d2=y2+1. ∴|AF|+|BF|=y1+y2+2=|AB| 即 A、B、F 三点共线. (2)如图 2-46,设∠AFK=θ . ∵|AF|=|AA1|=|AK|+2=|AF|sinθ+2 又|BF|=|BB1|=2-|BF|sinθ ∴ BF ? ∴ AF ?
2 1 ? sin ? 2 1 ? sin ?

例 5 、 已 知 椭 圆 的 中 心 为 坐 标 原 点 O , 椭 圆 短 半 轴 长 为 1 , 动 点 M ( 2, t )
x ? a
2

(t ? 0 )

在直线

( a为 长 半 轴 , c 为 半 焦 距 ) 上。

c

(1)求椭圆的标准方程; (2)求以 OM 为直径且被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 的圆的方程; (3)设 F 是椭圆的右焦点,过点 F 作 OM 的垂线与以 OM 为直径的圆交于点 N,求证:线段 ON 的长 为定值,并求出这个定值。

【解析】 (1)又由点 M 在 x ?

a

2

( a为 长 半 轴 , c 为 半 焦 距 ) 上,得

a

2

? 2 故

1? c c

2

? 2 ,? c ? 1 从

c x
2

c y
2

而a ?

2 所以椭圆方程为

? y ?1 或
2

? x ?1
2

2

2 t 2 t
2

(2)以 OM 为直径的圆的方程为 x ( x ? 2 ) ? y ( y ? t ) ? 0 即 ( x ? 1) ? ( y ?
2

) ?
2

?1

4

其圆心为 (1, ) ,半径 r ?
2

t

t

2

?1

因为以 OM 为直径的圆被直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 截得的弦长为 2 所以圆心
3 ? 2t ? 5 5

4
t 2

到直线 3 x ? 4 y ? 5 ? 0 的距离 d ?

r ?1
2

?

所以

?

t 2

,解得 t ? 4 所求圆的方程为

( x ? 1) ? ( y ? 2 ) ? 5
2 2

19 / 35

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(3)方法一:由平几知: O N
2

? OK OM

直线 OM: y ?

t 2

x ,直线 FN: y ? ?

2 t

( x ? 1)

t ? y ? x ? 4 ? 2 由? 得 xK ? 2 t ?4 ? y ? ? 2 ( x ? 1) ? t ?

? ON ? (1 ? t

2

? )?

(1 ? 4

t

2

4
2 2

) xK ?

(1 ?

t

2

4

) xM

所以线段 ON 的长为定值 2 。

4

t ?4

?2 ? 2
???? ???? ? F N ? ( x 0 ? 1, y 0 ), O M ? ( 2 , t ) ???? ? ???? M N ? ( x 0 ? 2 , y 0 ? t ), O N ? ( x 0 , y 0 )

方法二、设 N ( x 0 , y 0 ) ,则

???? ???? ? ? F N ? O M ,? 2 ( x 0 ? 1) ? ty 0 ? 0,? 2 x 0 ? ty 0 ? 2 ???? ? ????
2
2

……………12 分

又? M N ? O N ,? x 0 ( x 0 ? 2 ) ? y 0 ( y 0 ? t ) ? 0,? x 0 ? y 0 ? 2 x 0 ? ty 0 ? 2 所以, O N ?
???? x0 ? y0
2 2

?

2 为定值

题型六、圆锥曲线的范围问题

例 1、 设拋物线 y2 = 8x 的准线与 x 轴交点 Q,若过点 Q 的直线 l 与拋物线有公共点,则直线 l 的斜率的取
值范围是 A. [-
1 2

( ,
1 2

)

]

B. [-2 , 2 ]

C. [-1 , 1 ]

D. [-4 , 4 ]

【解析】C

例 2、已知 F1、F2 是椭圆 是 .

x

2

+y2=1 的两个焦点, P 是该椭圆上的一个动点, 则|PF1|·|PF2|的最大值

4

【解析】4

例 3、 已知椭圆 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一 20 / 35

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个面积为 8 的正方形(记为 Q). (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设点 P 的坐标 ( ? 4 , 0 ) ,过点 P 的直线 l 与椭圆 C 相交于 M,N 两点,当线段 MN 的中点落在正方 形 Q 内(包括边界)时,求直线 l 的斜率的取值范围。 【解析】 (Ⅰ)依题意,设椭圆 C 的方程为
x a
2 2

?

y b
2

2 2

? 1( a ? b ? 0 ), 焦距为 2 c ,
1 2

2 由题设条件知, a ? 8, b ? c , 所以 b ?

a ? 4.
2

故椭圆 C 的方程为

x

2

?

y

2

?1

.

8

4

(Ⅱ)点 P 的坐标 ( ? 4 , 0 ) , 显然直线 l 的斜率 k 存在,所以直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 4 ) 。 如图,设点 M,N 的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ), 线段 MN 的中点为 G ( x 0 , y 0 ) ,
? y ? k ( x ? 4 ), ? 2 2 2 2 由? x2 y2 得 (1 ? 2 k ) x ? 1 6 k x ? 3 2 k ? 8 ? 0 . ? ?1 ? 4 ? 8
2 2 2 2

??①

由 ? ? (1 6 k ) ? 4 (1 ? 2 k )(3 2 k ? 8) ? 0 解得 ?
2 2 2 2

? k ?

.

??②

因为 x1 , x 2 是方程①的两根,所以 x1 ? x 2 ? ?
x1 ? x 2 2
8k
2 2 2 2

16k

2 2

1 ? 2k

,于是

x0 ?

=?

8k

1 ? 2k

, y0 ? k ( x0 ? 4 ) ?

4k 1 ? 2k
2
.

因为 x 0 ? ?

1 ? 2k

? 0 ,所以点 G 不可能在 y 轴的右边,

又直线 F1 B 2 , F1 B1 方程分别为 y ? x ? 2, y ? ? x ? 2, 所以点 G 在正方形 Q 内(包括边界)的充要条件为
? 4k ? y0 ? x0 ? 2, 即 ?1 ? 2k 2 ? ? ? ? y0 ? x0 ? 2 . 4k 8k
2 2 2

? ?

1 ? 2k 8k

? 2,

亦即 ?

? 2 k ? 2 k ? 1 ? 0, ?
2

? ? ? 2, ?1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 ?

?2k ? 2k ? 1 ? 0. ?
2

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卓越个性化教案
解得 ?
3 ?1 2 ? k ? 3 ?1 2 3 ?1 2 3 ?1 2

,此时②也成立.

w.w.w. k. s.5.u.c.o.m

故直线 l 斜率的取值范围是 [ ?

,

].

题型七、圆锥曲线的存在性问题

例 1、设 m ? R ,在平面直角坐标系中,已知向量 a ? ( m x , y ? 1) ,向量 b ? ( x , y ? 1) , a ? b ,动点 M ( x , y ) 的轨迹为 E. (1)求轨迹 E 的方程,并说明该方程所表示曲线的形状;
k.s .5.u.c.o.m w.w.w.

?

?

?

?

(2)已知 m ?

1 4

,证明:存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B,且

O A ? O B (O 为坐标原点),并求出该圆的方程;

(3) 已知 m ?

1 4

,设直线 l 与圆 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1,且 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,当 R
2 2 2

为何值时,|A1B1|取得最大值?并求最大值。

【解析】 (1)因为 a ? b , a ? ( m x , y ? 1) , b ? ( x , y ? 1) , 所以 a ? b ? m x ? y ? 1 ? 0 ,
2 2

?

? ?

?

? ?

即mx ? y ? 1 .
2 2

w.w. w. k. s.5.u.c.o.m

当 m=0 时,方程表示两直线,方程为 y ? ? 1 ; 当 m ? 1 时, 方程表示的是圆 当 m ? 0 且 m ? 1 时,方程表示的是椭圆; 当 m ? 0 时,方程表示的是双曲线. (2)当 m ?
1 4

时, 轨迹 E 的方程为

x

2

? y ? 1 ,设圆心在原点的圆的一条切线为 y ? k x ? t ,解方程组
2

4

? y ? kx ? t ? 2 2 2 2 2 2 得 x ? 4 ( k x ? t ) ? 4 ,即 (1 ? 4 k ) x ? 8 ktx ? 4 t ? 4 ? 0 , ?x 2 ? y ?1 ? ? 4

要使切线与轨迹 E 恒有两个交点 A,B, 则使△= 6 4 k t ? 1 6 (1 ? 4 k )( t ? 1) ? 1 6 ( 4 k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

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8 kt ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 4k 且? 2 ? x x ? 4t ? 4 1 2 2 ? 1 ? 4k ?
2

即 4 k ? t ? 1 ? 0 ,即 t ? 4 k ? 1 ,
2 2 2 2

y 1 y 2 ? ( k x1 ? t )( k x 2 ? t ) ? k x 1 x 2 ? k t ( x 1 ? x 2 ) ? t ?
2

k (4t ? 4)
2 2

1 ? 4k
2

2

?

8k t

2 2 2

1 ? 4k
2

?t ?
2

t ? 4k
2

2 2

1 ? 4k

,

??? ? ??? ? 要使 O A ? O B ,

需使 x1 x 2 ? y 1 y 2 ? 0 ,即
2 2

4t ? 4
2

1 ? 4k
2

2

?

t ? 4k 1 ? 4k
2

2

2

?

5t ? 4 k ? 4
2

1 ? 4k
2

2

? 0,

所以 5 t ? 4 k ? 4 ? 0 ,
2 2

即 5t ? 4 k ? 4 且 t ? 4 k ? 1 ,

即 4 k ? 4 ? 2 0 k ? 5 恒成立.
2

所以又因为直线 y ? kx ? t 为圆心在原点的圆的一条切线,
4

所以圆的半径为 r ?

t 1? k
2

,r ?
2

t

2 2

(1 ? k )
2

1? k

? 5

1? k
2

2

?

4 5

, 所求的圆为 x ? y ?
2 2

4 5

.

当切线的斜率不存在时,切线为 x ? ? 满足 O A ? O B .

2 5

5 ,与

x

? y ? 1 交于点 (
2

2 5

5 ,?

2 5

5 ) 或 (?

2 5

5 ,?

2 5

5) 也

4

综上, 存在圆心在原点的圆 x ? y ?
2 2

4 5

,使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且

??? ? ??? ? OA ? OB .
1 4

(3) 当 m ?

时,轨迹 E 的方程为

x

2

? y ? 1 , 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? t , 因 为 直 线 l 与 圆
2

4
t 1? k
2

2 2 2 C: x ? y ? R (1<R<2)相切于 A1, 由(2)知 R ?

,

即 t ? R (1 ? k )
2 2 2

①,

因为 l 与轨迹 E 只有一个公共点 B1,
? y ? kx ? t ? 2 2 由(2)知 ? x 2 得 x ? 4(kx ? t ) ? 4 , 2 ? y ?1 ? ? 4

即 (1 ? 4 k ) x ? 8 ktx ? 4 t ? 4 ? 0 有唯一解
2 2 2

则△= 6 4 k t ? 1 6 (1 ? 4 k )( t ? 1) ? 1 6 ( 4 k ? t ? 1) ? 0 ,
2 2 2 2 2 2

即 4k ? t ? 1 ? 0 ,
2 2



23 / 35

卓越个性化教案
? 2 3R ?t ? 2 ? 4?R 由①②得 ? , 2 ?k 2 ? R ? 1 2 ? ? 4?R
2

此时 A,B 重合为 B1(x1,y1)点,

w. w.w. k.s.5. u.c.o.m

8 kt ? x ? x2 ? ? 2 ? 1 ? 1 ? 4k 由? 2 ? x x ? 4t ? 4 1 2 2 ? 1 ? 4k ?

中 x 1 ? x 2 ,所以, x1 ?
2

4t ? 4
2

1 ? 4k

2

?

16 R ? 16
2

3R

2

,

B1(x1,y1)点在椭圆上,所以 y 1 ? 1 ?
2

1 4

x1 ?
2

4?R 3R
2
2

2

,所以 | O B 1 | ? x1 ? y 1 ? 5 ?
2 2 2
2

4 R
2

,
4 R
2

在直角三角形 OA1B1 中, | A1 B 1 | ? | O B 1 | ? | O A1 | ? 5 ?
2

4 R
2

?R

2

? 5?(

4 R
2

? R ) 因为
2

? R

2

? 4当

且仅当 R ? 即当 R ?

2 ? (1, 2 ) 时取等号,所以 | A1 B1 | ? 5 ? 4 ? 1 ,
2

2 ? (1, 2 ) 时|A1B1|取得最大值,最大值为 1。

【巩固练习】
1.已知椭圆 A. 2.
2

x

2

?

y

2

? 1 上的一点 P 到椭圆一个焦点的距离为 3 ,则 P 到另一焦点距离为(



25

16

B.

3

C.

5

D.

7

若椭圆的对称轴为坐标轴,长轴长与短轴长的和为 1 8 ,一个焦点的坐标是(3,0) ,则椭圆的标准方程 )
x
2

为(

A.

?

y

2

?1

B.

x

2

?

y

2

?1

C.

x

2

?

y

2

?1

D.

x

2

?

y

2

?1

9

16

25

16

16

25

16

9

3.

动点 P 到点 M (1, 0 ) 及点 N ( 3 , 0 ) 的距离之差为 2 ,则点 P 的轨迹是( A. 双曲线 B. 双曲线的一支 C. 两条射线 D. 一条射线



4.

2 过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,则 AB 的最小值为(



A.

p 2

B.

p

C.

2p

D. 无法确定

二.填空(每题 6 分)

24 / 35

卓越个性化教案
5. 椭 圆
x
2

?

y

2

49

24

? 1 上 一 点 P 与 椭 圆 的 两 个 焦 点 F 1 、 F 2 的 连 线 互 相 垂 直 , 则 △ PF 1 F 2 的 面 积 为

________________________.
2 2 6.已知双曲线 x ? y =1,点 F1,F2 为其两个焦点,点 P 为双曲线上一点,若 P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2

∣的值为___________________. 7. 抛物线 y ? 4 x 的焦点为 F , 准线为 l , 经过 F 且斜率为 3 的直线与抛物线在 x 轴上方的部分相交于点 A ,
2

A K ⊥ l ,垂足为 K ,则 △ A K F 的面积是________________.

8. 已知椭圆

x

2

k ?8

?

y

2

? 1 的离心率 e ?

1 2

,求 k 的值.

9

【课后作业】
1.椭圆 x ? my
2 2

? 1 的焦点在 y 轴上,长轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为(



A.

1 4
2

B.

1 2

C.2

D.4

2. 过抛物线 y ? 4 x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A、 两点, B 若线段 AB 中点的横坐标为 3, | AB | 等于 则 ( ) A.10 B.8
2 2

C.6

D.4

3.若直线 y=kx+2 与双曲线 x ? y ? 6 的右支交于不同的两点,则 k 的取值范围是( )
15 3
2

A. ( ?



15 3

)

B. ( 0 ,

15 3

)

C. ( ?

15 3

,0)

D. ( ?

15 3

, ? 1)

4.过抛物线 y ? 2 px ( p ? 0 ) 的焦点作直线交抛物线于 P ( x 1 , y 1 ) 、 Q ( x 2 , y 2 ) 两点,若 x1 ? x 2 ? 3 p , 则 | PQ | 等于( ) A.4p
5

B.5p
5 4

C.6p

D.8p
2

5.已知两点 M (1, ), N ( ? 4 , ?
4
x
2

) ,给出下列曲线方程:① 4 x ? 2 y ? 1 ? 0 ;② x

? y

2

? 3 ;③

x

2

? y

2

?1;

2



? y

2

? 1 .在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是(



2

(A)①③

(B)②④

(C)①②③ 25 / 35

(D)②③④

卓越个性化教案
6.已知双曲线
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F 1 、 F 2 ,点 A 在双曲线第一象限的图象上,若△
1 2
2

AF 1 F 2 的面积为 1,且 tan ? AF 1 F 2 ?
12 x 5
2

, tan ? AF 2 F1 ? ? 2 ,则双曲线方程为( )
?1

2

A.

? 3y

2

?1

B.

5x 12

2

?

y

C. 3 x ?
2

12 y 5

2

?1

D.

x

2

?

5y 12

2

?1

3

3

7.圆心在抛物线 y ? 2 x ( y ? 0 ) 上,并且与抛物线的准线及 x 轴都相切的圆的方程是( ) A. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 4

? 0

B. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

C. x ? y ? x ? 2 y ? 1 ? 0
2 2

D. x ? y ? x ? 2 y ?
2 2

1 4

? 0

8.双曲线的虚轴长为 4,离心率 e ?

6 2

, F 1 、 F 2 分别是它的左、右焦点,若过 F 1 的直线与双曲线的右支 )

交于 A、B 两点,且 | AB | 是 | AF 2 | 的等差中项,则 | AB | 等于( A. 8 2
2

B. 4 2

C. 2 2

D.8. )

9. 抛物线 ( x ? 2 ) ? 2 ( y ? m ? 2 ) 的焦点在 x 轴上,则实数 m 的值为( A.0 B.
3 2

C.2

D.3

10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F ( 7 , 0 ) ,直线 y ? x ? 1 与其相交于 M , N 两点, MN 中点横坐 标为 ?
x
2 3
2

,则此双曲线的方程是(
y
2

)
y
2

(A)

?

?1

3

4
2

(B)

x

2

?

?1

4

3

(C)

x

2

?

y

2

?1

5
0

2

(D)

x

2

?

y

2

?1

2

5

11.将抛物线 y ? x ? 4 x ? 3 绕其顶点顺时针旋转 90 ,则抛物线方程为( (A) ( y ? 1) ? 2 ? x (B) ( y ? 1) ? x ? 2
2 2



(C) ( y ? 1) ? 2 ? x (D) ( y ? 1) ? x ? 2
2 2

12.若直线 mx ? ny ? 4 和⊙O∶ x ? y ? 4 没有交点,则过 ( m , n ) 的直线与椭圆
2 2

x

2

?

y

2

? 1 的交点个数

9

4



) A.至多一个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 26 / 35

卓越个性化教案
二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13.椭圆
x log
2

?
a

y

2

? 1 的离心率为

1 2

,则 a=________.

8

9
2

14.已知直线 y ? x ? 1 与椭圆 mx ? ny
1 3
x x m
2 2 2

2

? 1 ( m ? n ? 0 ) 相交于 A,B 两点,若弦 AB 的中点的横坐标等于

?

,则双曲线

?

y n

2 2

? 1 的两条渐近线的夹角的正切值等于________.

15. 若双曲线

?

y

2

? 1 的渐近线方程为 y ? ?

3 2

x ,则双曲线的焦点坐标是_________.

4

m

16.长为 l ( 0<l<1 ) 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y ? x 上滑动,则线段 AB 中点 M 到 x 轴距离的最小
2

值是________.

[来源:学科网]

三、解答题(共 44 分) 17. (本小题 10 分)已知椭圆的一个顶点为 A(0,-1) ,焦点在 x 轴上.若右焦点到直线 x ? y ? 2 2 ? 0 的 距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y ? kx ? m ( k ? 0 ) 相交于不同的两点 M、N.当 AM ? AN 时,求 m 的取值范围.

18. (本小题 10 分)设 F1 , F 2 分别为椭圆 C :
?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 ( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点,过 F 2 的直线 l 与椭圆

C 相交于 A , B 两点,直线 l 的倾斜角为 6 0 , F1 到直线 l 的距离为 2 3 .

(Ⅰ)求椭圆 C 的焦距;
[来源:学科网]

(Ⅱ)如果 A F 2 ? 2 F 2 B ,求椭圆 C 的方程.

???? ?

???? ?

27 / 35

卓越个性化教案

19.(本小题 12 分)如图,直线 l 与抛物线 y 2 ? x 交于 A ( x 1 , y 1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 两点,与 x 轴相交于点 M , 且 y1 y 2 ? ?1 . (1)求证: M 点的坐标为 (1, 0 ) ; (2)求证: OA ? OB ; (3)求 ? AOB 的面积的最小值.
[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

y A O B M

x

20. (本小题 12 分)已知椭圆方程为 x ?
2

y

2

? 1 ,射线 y ? 2 2 x (x≥0)与椭圆的交点为 M,过 M 作倾

8

斜角互补的两条直线,分别与椭圆交于 A、B 两点(异于 M) . (1)求证直线 AB 的斜率为定值; (2)求△ AMB 面积的最大值 .

28 / 35

卓越个性化教案

【拓展训练】
1.【2012 高考新课标文 4】设 F1 F 2 是椭圆 E :
x a
2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点, P 为直线 x ?

3a 2

上一

点, ? F 2 PF 1 是底角为 3 0 ? 的等腰三角形,则 E 的离心率为(
( A)


(D )

1 2

(B)

2 3

(C )

? ?

? ?

| 2、 【2012 高考全国文 10】 已知 F1 、F 2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、 右焦点, P 在 C 上, P F1 | ? 2 | P F 2 | , 点
2 2

则 co s ? F1 P F 2 ? (A)
1 4



) (B)
3 5
2 2 2

(C)

3 4

(D)

4 5

3、 【2012 高考四川文 15】椭圆

x a

?

y

? 1( a 为定值,且 a ?

5 ) 的的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交

5

于点 A 、 B , ? F A B 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是______。

4、 【2012 高考广东文 20】 (本小题满分 14 分) 在平面直角坐标系 x O y 中, 已知椭圆 C 1 : 在 C 1 上. (1)求椭圆 C 1 的方程; (2)设直线 l 同时与椭圆 C 1 和抛物线 C 2 : y ? 4 x 相切,求直线 l 的方程.
2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左焦点为 F1 ( ? 1, 0 ) , 且点 P (0,1)

29 / 35

卓越个性化教案

5、 【2012 高考江苏 19】 (16 分)如图,在平面直角坐标系 x o y 中,椭圆
? 3 ?

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左、右焦点分别

为 F1 ( ? c ,0 ) , F 2 ( c ,0 ) .已知 (1 ,e ) 和 ? e , ? 都在椭圆上,其中 e 为椭圆的离心率. ? 2 ? ? ? (1)求椭圆的方程; (2)设 A , B 是椭圆上位于 x 轴上方的两点,且直线 A F1 与直线 B F2 平行, A F 2 与 B F1 交于点 P. (i)若 A F1 ? B F 2 ?
6 2

,求直线 A F1 的斜率;

(ii)求证: P F1 ? P F 2 是定值.

30 / 35

卓越个性化教案

【巩固练习】
1、D 5、 2 2、B 6、 2 3 3、C 7、 4 3
1 2

4、C

2 2 2 8、解:当椭圆的焦点在 x 轴上时, a ? k ? 8 , b ? 9 ,得 c ? k ? 1 .由 e ?

,得 k ? 4 .

当椭圆的焦点在 y 轴上时, a ? 9 , b ? k ? 8 ,得 c ? 1 ? k .
2 2 2

由e ?

1 2

,得

1? k 9

?

1 4

,即 k ? ?
5 4

5 4



∴满足条件的 k ? 4 或 k ? ?



【课后作业】
1. A 2.B 3 D 4 A 5 D 6 A 7 D 8A 9 B 10 D 11 B 12 B 13. 4 2 或 9 6 14.
4 3

15.(-√7,0)

16.

l

2

4 x a
2 2

17.(1)依题意可设椭圆方程为

? y

2

? 1 ,则右焦点 F(

a

2

? 1 , 0 )由题设

a

2

?1 ? 2 2

2 ? 3

解得 a ? 3
2

故所求椭圆的方程为

x

2

? y

2

?1.

3

x

2

? y

2

? 1 ??????????????????4 分.
? y ? kx ? m ? y ? ? 3
2

3

(2)设 P 为弦 MN 的中点,由 ? x 2 ?

得 ( 3 k ? 1) x ? 6 mkx ? 3 ( m ? 1) ? 0
2 2 2

?1
2 2

由于直线与椭圆有两个交点,? ? ? 0 , 即 m ? 3 k ? 1
? xp ? xM ? xN 2
yp ?1 xp ? ?

①??????6 分

? ?

3 mk 3k
2

?1
2

从而 y p ? kx p ? m ?
?1

m 3k
2

?1

? k Ap ?

m ? 3k

又 AM ? AN

,? AP ? MN ,则

3 mk

31 / 35

卓越个性化教案
? m ? 3k
2

?1

? ?

1 k

即 2 m ? 3k ? 1
2 2

②???????? ??8 分 由②得
k
2

3 mk

把②代入①得 2 m ? m 的取范围是(
1 2

解得 0 ? m ? 2

?

2m ? 1 3

? 0 解得 m ?

1 2

.故所求 m

, 2 )??????????????10 分

18.解: (Ⅰ)设焦距为 2 c ,由已知可得 F1 到直线 l 的距离 3 c ? 2 3 , 故 c ? 2 . 所以椭圆 C 的焦距为 4. (Ⅱ)设 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ),由 题 意 知 y1 ? 0, y 2 ? 0, 直线 l 的方程为 y ?
? y ? 3 ( x ? 2 ), ? 2 2 2 2 4 2 得 (3 a ? b ) y ? 4 3 b y ? 3 b ? 0 . 联立 ? x 2 y ? 2 ? 2 ?1 b ?a
? 3b ( 2 ? 2 a )
2

3 ( x ? 2 ).

解得 y 1 ?
???? ?

3a ? b
2

2

, y2 ?

?

3b ( 2 ? 2 a )
2

3a ? b
2

2

.

因为 A F 2 ? 2 F 2 B , 所 以 ? y 1 ? 2 y 2 .
3b ( 2 ? 2 a )
2

???? ?



3a ? b
2

2

? 2?

?

3b ( 2 ? 2 a )
2

3a ? b
2

2

.

得 a ? 3 .而 a 2 ? b 2 ? 4 , 所 以 b ?
x
2

5.

故椭圆 C 的方程为

?

y

2

? 1.

9

5

19.

(1) 设 M 点的坐标为 ( x 0 , 0 ) , 直线 l 方程为 x ? my ? x 0 , 代入 y 2 ? x 得
y
2

? my ? x 0 ? 0



y 1 , y 2 是此方程的两根,

∴ x 0 ? ? y 1 y 2 ? 1 ,即 M 点的坐标为(1, 0). (2) ∵ y 1 y 2 ? ? 1 ∴ x 1 x 2 ? y 1 y 2 ? y 1 y 2 ? y 1 y 2 ? y 1 y 2 ( y 1 y 2 ? 1) ? 0 ∴
OA ? OB .
2 2

(3)由方程①, y 1 ? y 2 ? m , y 1 y 2 ? ? 1 , 且 | OM |? x 0 ? 1 , 于是 S ? AOB ?
1 2 | OM || y 1 ? y 2 | ?
1 2 ( y1 ? y 2 ) 2 ? 4 y1 y 2 = 1 2 m 2 ? 4 ≥1,

∴ 当 m ? 0 时, ? AOB 的面积取最小值 1. 32 / 35

卓越个性化教案
20.解析: (1)∵ 斜率 k 存在,不妨设 k>0,求出 M (
2 2 2 2

,2) .直线 MA 方程为 y ? 2 ? k ( x ?

2 2

),

直线 AB 方程为 y ? 2 ? ? k ( x ?

).
2k ? 4k
2

分别与椭圆方程联立,可解出 x A ∴
yA ? yB xA ? xB ? k(xA ? xB ) xA ? xB ? 2

?

k ?8
2

?

2 2

, xB ?

2k
2

2

? 4k

k ?8

?

2 2



2





k AB ? 2

2 (定值) .

(2)设直线 AB 方程为 y ? 2 2 x ? m ,与 x ?
2

y

2

? 1 联 立,消去 y 得 16 x ? 4
2

2 mx

8

? (m ? 8) ? 0 .
2

由 ? ? 0 得 ? 4 ? m ? 4 ,且 m ? 0 ,点 M 到 AB 的距离为 d ? 设 ? AMB 的面积为 S . ∴
S
2

|m | 3



?

1 4

| AB | d

2

2

?

1 32

m (16 ? m ) ?
2 2

1 32

?(

16 2

)

2

? 2.

当 m ? ? 2 2 时,得 S max ?

2 .

【拓展训练】
1、C 2、C 3、
2 3



4、解: (1)因为椭圆 C 1 的左焦点为 F1 ( ? 1, 0 ) ,所以 c ? 1 ,
x a
2 2 2

2 2

点 P (0,1) 代入椭圆

?

y b

2 2

? 1 ,得

1 b
2

? 1 ,即 b ? 1 ,

所以 a ? b ? c ? 2 ,
x
2

所以椭圆 C 1 的方程为

? y ? 1.
2

2

(2)直线 l 的斜率显然存在,设直线 l 的方程为 y ? k x ? m ,
?x 2 ? y ?1 ? 2 2 2 ,消去 y 并整理得 (1 ? 2 k ) x ? 4 km x ? 2 m ? 2 ? 0 , ? 2 ? y ? kx ? m ?
2

33 / 35

卓越个性化教案
因为直线 l 与椭圆 C 1 相切,所以 ? ? 1 6 k m ? 4 (1 ? 2 k )( 2 m ? 2 ) ? 0 ,
2 2 2 2

整理得 2 k ? m ? 1 ? 0
2 2



? y ? 4x 2 2 2 ,消去 y 并整理得 k x ? ( 2 km ? 4 ) x ? m ? 0 。 ? ? y ? kx ? m
2

因为直线 l 与抛物线 C 2 相切,所以 ? ? ( 2 km ? 4 ) ? 4 k m ? 0 ,
2 2 2

整理得 km ? 1



? ? 2 2 ?k ? ?k ? ? 综合①②,解得 ? 2 或? 2 。 ? ? ?m ? 2 ?m ? ? 2
2 2 2 2
c a
1 a
2 2

所以直线 l 的方程为 y ?

x?

2 或y ? ?

x?

2 。

5、解: (1)由题设知, a 2 = b 2 ? c 2, e =
e b
2 2

,由点 (1 ,e ) 在椭圆上,得

?

?1?

1 a
2

?

c
2

2 2

=1 ? b ? c = a b ? a = a b ? b =1 ,∴ c = a ? 1 。
2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

a b

由点 ? e , ?
?

?

3 ? ? 在椭圆上,得 2 ? ?
2

e a

2 2

?

? 3 ? ? ? ? 2 ? b
2

?1?
2

c a

2 4

?

? 3 ? ? ? ? 2 ? 1

2

?1?

a

2

?1
4

?

3 4

?1? a

4

? 4a

2

? 4=0 ? a = 2

2

a

∴椭圆的方程为

x

? y ?1
2



2

(2)由(1)得 F1 ( ? 1 ,0) , F 2 (1 ,0 ) ,又∵ A F1 ∥ B F2 ,
y 1 ∴ 设 A F1 、 B F2 的 方 程 分 别 为 m = ?x ,
?x 2 2 1 ? y1 ? 1 ? ? ∴? 2 ?my =x ? 1 1 1 ?

m =y ?

x1 , A ? x1, y1 ? , B ? x 2, y 2 ? , y1 > 0, y 2 > 0 。

?

m

2

? 2 y 1 ? 2 m y 1 ? 1= 0 ? y 1 =

?

2

m ? m

2m
2

2

? 2

? 2



∴ A F1 = ? x1 ? 1 ? ? ? y 1 ? 0 ? = ? m y 1 ? ? y 1 = m ? 1 ?
2 2 2 2 2

m?

2m ? 2
2

m ?2
2

?

2 ? m ? 1? ? m m ? 1
2 2

m ?2
2

。①

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卓越个性化教案
同理, B F 2 =
2 ? m ? 1? ? m
2

m ?1
2

m ? 2
2

。②

(i)由①②得, A F1 ? B F 2 ? ∵注意到 m > 0 ,∴ m = 2 。 ∴直线 A F1 的斜率为
1 m = 2 2

2m
2

m ?1
2

m ? 2

。解

2m
2

m ?1
2

m ? 2

=

6 2

得 m 2 =2。


PB P F1 ? B F2 A F1

(ii)证明:∵ A F1 ∥ B F2 ,∴

,即

PB P F1

?1?

B F2 A F1

?1?

P B ? P F1 P F1

?

B F 2 ? A F1 A F1



∴ P F1 =

A F1 A F1 ? B F 2

B F1



由点 B 在椭圆上知, B F1 ? B F 2 ? 2 2 ,∴ P F1 =

A F1 A F1 ? B F 2

?2

2 ? B F2

?。

同理。 P F 2 =

B F2 A F1 ? B F 2

?2 ?2
2

2 ? A F1

?。 ?
B F2 A F1 ? B F 2

∴ P F1 + P F 2 =

A F1 A F1 ? B F 2

2 ? B F2 ?

?2
m
2 2

2 ? A F1 ? 2

?

2 ?

2 A F ?B F 2 A F1 ? B F 2

由①②得, A F1 ? B F = ∴ P F1 + P F 2 = 2 2 ?
2 2

2 m m
2

?

2

?1

?

? 2

, A F ?B F =

?1 ? 2



m

=

3 2

2



∴ P F1 ? P F 2 是定值。

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