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第三章 复数导学案


墨江一中 高二数学◆选修 2-2 数系的扩充与复数的概念

导学案

班级________-姓名_________________

§ 3.1.1 数系的扩充与复数的概念
学习目标
理解数系的扩充是与生活密切相关的,明白复数及 其相关概念.

探究任务二:复数的相等 若两个复数

a ? bi 与 c ? di 的实部与虚部分别 即: , .则说这两个复数相等. ; a ? bi = c ? di ? =0 . a ? bi ? 注意:两复数 比较大小.



学习过程
一、课前准备 (预习教材 P102~ P104,找出疑惑之处) 复习 1:实数系、数系的扩充脉络是: → → → 用集合符号表示为: ? ?

※ 典型例题 例 1 实数 m 取什么值时, 复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是 (1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?


?

复习 2:判断下列方程在实数集中的解的个数(引 导学生回顾根的个数与 ? 的关系) : 2 2 (1) x ? 3x ? 4 ? 0 (2) x ? 4x ? 5 ? 0 (3) x2 ? 2x ? 1 ? 0 (4) x2 ? 1 ? 0

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复数的定义 问题:方程 x2 ? 1 ? 0 的解是什么? 为了解决此问题,我们定义 i ? i ? i 2 ? ?1,把新数添 进实数集中去,得到一个新的数集,那么此方程在 这个数集中就有解为 .
新 知 : 形 如 a ? bi 的 数 叫 做 复 数 , 通 常 记 为 ,其中 i 叫虚数单位, z ? a ? bi (复数的代数形式) a 叫实部, b 叫虚部,数集 C ? ?a ? bi | a, b ? R? 叫 做复数集. 试试:下列数是否是复数,试找出它们各自的实部 和虚部。 2 ? 3i , 8 ? 4i , 8 ? 3i , 6 , i , ?2 ? 9i , 7i ,0

变式:已知复数 a 2 ? 7a ? 6 试求实数 a 分 z? ? (a 2 ? 5a ? 6)i(a ? R) , a2 ? 1 别取什么值时,分别为(1)实数?(2)虚数?(3) 纯虚数?

小结:数集的关系: ?实数 (b=0) ? 复数z ? ?一般虚数(b ? 0, a ? 0) ?虚数 (b ? 0) ?纯虚数(b ? 0, a ? 0) ? ? 例 2 已知复数 a ? bi 与 3 ? (4 ? k )i 相等,且 a ? bi 的

反思: 形如 的数叫做复数, 其中 和 都 是实数,其中 叫做复数 z 的实部, 叫做 复数 z 的虚部. 对于复数 a ? bi(a, b ? R) 当且仅当 时, 它是实 数;当 时,它是虚数;当 时,它 是纯虚数;

实部、 虚部分别是方程 x2 ? 4x ? 3 ? 0 的两根, 试求: a, b, k 的值.

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导学案

变式:设复数 z ? a ? bi(a, b ? R) ,则 z 为纯虚数的 必要不充分条件是( ) A. a ? 0 B. a ? 0 且 b ? 0 C. a ? 0 且 b ? 0 D. a ? 0 且 b ? 0

学习评价

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 实数 m 取什么数值时, 复数 z ? m ? 1 ? (m ? 1)i 是 ) 小结:复数、虚数、纯虚数的概念及它们之间的关 实数( A . 0 B. ?1 C. ?2 D. ?3 系及两复数相等的充要条件. 2. 如果复数 a ? bi 与 c ? di 的和是纯虚数,则有 ( ) ※ 动手试试 A . b ? d ? 0且a ?c ? 0 练 1. 若 (3x ? 2 y) ? (5x ? y)i ? 17 ? 2i ,求 x, y 的值. B. b ? d ? 0 且 a ? c ? 0 C. a ? d ? 0 且 b ? d ? 0 D. b ? c ? 0 且 b ? d ? 0 3. 如果 z ? a 2 ? a ? 2 ? (a2 ? 3a ? 2)i 为实数 , 那么实 数 a 的值为( ) A.1 或 ?2 B. ?1 或 2 C.1 或 2 D. ?1 或 ?2 4.若 ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? 3x ? 2)i 是纯虚数, 则实数 x 的值 是 练 2. 已知 i 是虚数单位,复数 5. 若 ( x ? y) ? ( y ? 1)i ? (2x ? 3 y) ? (2 y ? 1)i ,则实数 当 m 取何实数时, z ? m2 (1 ? i) ? m(2 ? 3i) ? 4(2 ? i) , ;y= . x= z 是: (1)实数; (2) 虚数; (3)纯虚数; (4)零.

课后作业
1. 求适合下列方程的实数与的值: (1) (3x ? 2 y) ? (5x ? y)i ? 17 ? 2i (2) ( x ? y ? 3) ? ( x ? 4)i ? 0

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 复数的有关概念; 2. 两复数相等的充要条件; 3. 数集的扩充.

2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在,请举 出例子;若不存在,请说明理由. (1)实部为 ? 2 的虚数 (2)虚部为 ? 2 的虚数 (3)虚部为 ? 2 的纯虚数

※ 知识拓展 复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩 充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾(数的 运算规则、方程求根)对数学发展的推动作用,同 时也体现了人类理性思维的作用.

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§ 3.1.2 复数的几何意义
学习目标
理解复数与复平面内的点、平面向量是一一对应 的, 能根据复数的代数形式描出其对应的点及向量.

2. 复数的几何意义: 一一对应 复数 z ? a ? bi ???? ? 复平面内的点 Z (a, b) ; ??? ? 一一对应 复数 z ? a ? bi ???? ? 平面向量 OZ ; ??? ? 一一对应 复平面内的点 Z (a, b) ???? ? 平面向量 OZ . ?? ? 注意:人们常将复数 z ? a ? bi 说成点 Z 或向量 OZ , 规定相等的向量表示同一复数. 3. 复数的模 ??? ? 向量 OZ 的模叫做复数 z ? a ? bi 的模,记作 | z | 或 | a ? bi | .如果 b ? 0 ,那么 z ? a ? bi 是一个实数 a ,它 的模等于 | a | (就是 a 的绝对值),由模的定义知:
| z |?| a ? bi |? r ? a 2 ? b 2 (r ? 0, r ? R)

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P104~ P105,找出疑惑之处) 复习 1:复数 z ? ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ,当 x, y 取何值时 z 为实数、虚数、纯虚数?

试试:复平面内的原点 (0,0) 表示 ,实轴 上的点 (2,0) 表示 , 虚轴上的点 (0, ?1) 表 示 ,点 (?2,3) 表示复数 复习 2:若 ( x ? 4) ?( y ?3) i ?2 ? i ,试求 x, y 的值, 反思: 复数集 C 和复平面内所有的点所成的集合是 ( ( x ? 4) ? ( y ? 3)i ? 2 呢?) 一一对应的.

※ 典型例题 例 1 在复平面内描出复数 2 ? 3i , 8 ? 4i , 8 ? 3i ,6 , i , ?2 ? 9i , 7i ,0 分别对应的点.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复平面 问题:我们知道,实数与数轴上的点一一对应,因 此, 实数可用数轴上的点来表示.类比实数的几何意 义,复数的几何意义是什么呢? 分析复数的代数形式, 因为它是由实部 a 和虚 部 b 同时确定,即有顺序的两实数,不难想到有序 实数对或点的坐标. 结论:复数与平面内的点或序实数一一对应.
新知: 1.复平面:以 x 轴为实轴, y 轴为虚轴建立直角坐 标系,得到的平面叫复平面. 复数与复平面内的点一一对应.

变式: 说出图中复平面内各点所表示的复数(每个小 正方格的边长为 1).

显然,实轴上的点都表示实数;除原点外,虚轴上 的点都表示纯虚数.
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小结: 一一对应 复数 z ? a ? bi ???? ? 复平面内的点 Z (a, b) .

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a ? 7a ? 6 ? (a 2 ? 5a ? 6)i(a ? R) , a2 ? 1 试求实数 a 分别取什么值时,对应的点(1)在实轴 上; (2) 位于复平面第一象限; (3) 在直线 x ? y ? 0 上; (4)在上半平面(含实轴)

例 2 已知复数 z ?

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学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 下列命题(1)复平面内,纵坐标轴上的单位是 i (2)任何两个复数都不能比较大小(3)任何数的 平方都不小于 0(4)虚轴上的点表示的都是纯虚数 (5)实数是复数(6)虚数是复数(7)实轴上的 点表示的数都是实数.其中正确的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 2. 对于实数 a, b ,下列结论正确的是( ) A. a ? bi 是实数 B. a ? bi 是虚数 C. a ? bi 是复数 D. a ? bi ? 0 3. 复平面上有点 A,B 其对应的复数分别为 ?3 ? i 和 ?1 ? 3i ,O 为原点,那么是 ?AOB 是( ) A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.正三角形 4. 若 z ? 1 ? 2i ,则 | z |? 5. 如果 P 是复平面内表示复数 a ? bi(a, b ? R) 的点, 分别指出下列条件下点 P 的位置: (1) a ? 0, b ? 0 (2) a ? 0, b ? 0 (3) a ? 0, b ? 0 (4) b ? 0

变式:若复数 z ? (m2 ? 3m ? 4) ? (m2 ? 5m ? 6)i 表 示的点(1)在虚轴上,求实数 m 的取值; (2)在 右半平面呢?

??? ? 一一对应 小结:复数 z ? a ? bi ???? ? 平面向量 OZ .

※ 动手试试 练 1. 在复平面内画出 2 ? 3i,4 ? 2i, ?1 ? 3i,4i, ?3 ? 0i 所对应的向量.

课后作业
1.实数取什么值时,复平面内表示复数 z ? (m2 ? 8m ? 15) ? (m2 ? 5m ? 14)i 的点(1)位于 第四象限?(2)位于第一、三象限?(3)位于直 线 y ? x 上?

练 2. 在 复 平 面 内 指 出 与 复 数 z1 ? 1 ? 2i ,
z2 ? 2 ? 3i , z3 ? 3 ? 2i , z4 ? ?2 ? i 对应的点

Z1 , Z 2 , Z 3 , Z 4 .试判断这 4 个点是否在同一个圆 上?并证明你的结论.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 复平面的定义; 2. 复数的几何意义; 3.复数的模. ※ 知识拓展

??? ? 2. 在复平面内,O 是原点,向量 OA 对应的复数是 2 ? i (1)如果点 A 关于实轴的对称点为点 B,求 ??? ? 向量 OB 对应的复数.(2)如果(1)中点 B 关于虚 轴的对称点为点 C,求点 C 对应的复数.

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§ 3.2.1 复数代数形式的加减运算 及其几何意义
学习目标
掌握复数的代数形式的加、减运算及其几何意义.





新知: 复数加法的几何意义:复数的加法可以按照向量的 加法来进行(满足平行四边形、三角形法则) 试试:计算 (1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) = (2) (7 ? 2i)+(1 ? 4i) = (3) [(3 ? 2i)+(?4 ? 3i)] ? (5 ? i) = (4) (3 ? 2i)+[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)] = 反思:复数的加法运算即是: 探究任务三:复数减法的几何意义 问题:复数是否有减法?如何理解复数的减法? 类比实数集中减法的意义,我们规定,复数的减法 是加法的逆运算. 新知:复数的减法法则为: (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i 由此可见,两个复数的差是一个确定的复数. 复数减法的几何意义:复数的减法运算也可以按向 量的减法来进行.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P107~ P108,找出疑惑之处) 复习 1:试判断下列复数 1 ? 4i,7 ? 2i,6, i, ?2 ? 0i,7i,0 ? 3i 在复平面中落在哪 象限?并画出其对应的向量.

复习 2:求复数 z ? log 2 2 ? 3i 的模

※ 典型例题 例 1 计算 (5 ? 6i) ? (?2 ? i) ? (3 ? 4i) 二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复数代数形式的加减运算 规定:复数的加法法则如下: 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,是任意两个复数,那么。 (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i 很明显,两个复数的和仍然是 . 问题:复数的加法满足交换律、结合律吗?
新知:对于任意 z 1 , z2 , z3 ? C ,有
z 1 ? z2 ? z2 ? z1 ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ?( z2 ? z) 3

变式:计算 (1) ?8 ? 4i ? ? 5 (2) ? 5 ? 4i ? ? 3i (3)
2 ? 3i 3 ? ? ?2 ? 9i ? ?

?

2 ?i

?

探究任务二:复数加法的几何意义 问题:复数与复平面内的向量有一一对应的关系 . 我们讨论过向量加法的几何意义,你能由此出发讨 论复数加法的几何意义吗?

小结: 两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减. 例 2 已知平行四边形 OABC 的三个顶点 O、 A、 C 对应的复数分别为 0, 3 ? 2i , ?2 ? 4i ,试求: ???? ??? ? (1) AO 表示的复数; (2) CA 表示的复数; (3)B 点对应的复数.

? ???? ? ??? ? ???? 由 平 面 向 量 的 坐 标 运 算 , 有 OZ = OZ1 ? OZ 2 =
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导学案

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 变式: ABCD 是复平面内的平行四边形,A,B,C 1. a ? 0 是复数 a ? bi(a, b ? R) 为纯虚数的( ) 三点对应的复数分别是 1 ? 3i, ?i, 2 ? i ,求点 D 对应 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 的复数. C. 充分必要条件 D. 既非充分也非必要条件 ??? ? ??? ? 2. 设 O 是原点,向量 OA , OB 对应的复数分别为 ??? ? 那么向量 BA 对应的复数是 ( ) 2 ? 3i ,?3 ? 2i , A.?5 ? 5i B.?5 ? 5i C.5 ? 5i D.5 ? 5i 2 3. 当 ? m ? 1 时, 复数 m(3 ? i) ? (2 ? i) 在复平面内 3 对应的点位于( ) 小结:减法运算的实质为终点复数减去起点复数, ??? ? A.第一象限 B.第二象限 即: AB ? z B ? z A C.第三象限 D.第四象限 2 4. i ? i 在复平面内表示的点在第 象限. ※ 动手试试 5. 已知 z1 ? 3 ? 4i , 点 z 2 和点 z1 关于实轴对称, 点 z3 练 1. 计算: (1)(2 ? 4i) ? (3 ? 4i) ; (2)5 ? (3 ? 2i) ; 和点 z 2 关于虚轴对称,点 z 4 和点 z 2 关于原点对称, (3) (?3 ? 4i) ? (2 ? i) ? (1 ? 5i) ; 则 z2 = ; z3 = ; z4 = (4) (2 ? i) ? (2 ? 3i) ? 4i

课后作业
1. 计算: (1) (6 ? 5i) ? (3 ? 2i) ; (2) 5i ? (2 ? 2i) ; 2 2 1 3 (3) ( ? i) ? (1 ? i) ? ( ? i) ; 3 3 2 4 (4) (0.5 ? 1.3i) ? (1.2 ? 0.7i) ? (1 ? 0.4i) 练 2. 在复平面内, 复数 6 ? 5i 与 ?3 ? 4i 对应的向量 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 分别是 OA 与 OB , 其中 O 是原点, 求向量 AB ,BA 对应的复数.

三、总结提升 ※ 学习小结 两复数相加减,结果是实部、虚部分别相加减,复 数的加减运算都可以按照向量的加减法进行. ※ 知识拓展 复数的四则运算类似于多项式的四则运算,此 时含有虚数单位的看作一类同类项,不含的看作另 一类同类项,分别合并即可.

??? ? 2. 如图的向量 OZ 对应的复数是 z ,试作出下列运 算的结果对应的向量: (1) z ? 1 ; (2) z ? i ; (3) z ? (2 ? i)

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§ 3.2.2 复数代数形式的乘除运算
学习目标
1. 理解共轭复数的概念; 2. 掌握复数的代数形式的乘、除运算.

新知:对于任意 z 1 , z2 , z3 ? C ,有
z 1? z2 ? z2 ? z1 ( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ?( z2 ? z) 3

z1 ( z2 ? z3 ) ? z1 z2 ? z1 z3 )

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P109~ P111,找出疑惑之处) 复习 1:计算(1) (1 ? 4i)+(7 ? 2i) (2) (5 ? 2i)+(?1 ? 4i) ? (2 ? 3i) (3) (3 ? 2i)-[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)]

反思:复数的四则运算类似于多项式的四则运算, 也满足其在实数集上的运算律. 探究任务二:共轭复数 新知: 当两个复数的实部相等, 虚部互为相反数时, 这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于 0 的两 个共轭复数也叫做共轭虚数. 试试: 3 ? 4i 的共轭复数为 a ? bi 的共轭复数为 bi 的共轭复数为 问:若 z1 , z2 是共轭复数,那么(1)在复平面内, 它们所对应的点的位置关系为: (2) z1 ? z2 是一个怎样的数?

复习 2:计算: (a ? b)2 = (3a ? 2b)(3a ? 2b) = (3a ? 2b)(?a ? 3b) =

探究任务三:复数的除法法则
(a ? bi) ? (c ? di) ? a ? bi (a ? bi)(c ? di) ac ? bd bc ? ad ? ? ? i c ? di (c ? di)(c ? di) c 2 ? d 2 c 2 ? d 2

(c ? di ? 0)

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务一:复数代数形式的乘法运算 规定,复数的乘法法则如下: 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di ,是任意两个复数,那么
(a ? bi)(c ? di) ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 = (ac ? bd ) ? (ad ? bc)i 即:两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要 在所得的结果中把 i 2 换成 ?1 , 并且把实部与虚部分 别合并即可.

※ 典型例题 例 1 计算: (1) (3 ? 4i)(3 ? 4i) ;

(2) (1 ? i)2

变式:计算: (1) ( 3 ? 2i)(? 3 ? 2i) ; (2) (1 ? i)2 ; (3) i(2 ? i)(1 ? 2i)

问题:复数的乘法是否满足交换律、结合律以及乘 法对加法的分配律? 试试:计算(1) (1 ? 4i) ? (7 ? 2i) (2) (7 ? 2i) ? (1 ? 4i) (3) [(3 ? 2i) ? (?4 ? 3i)] ? (5 ? i) (4) (3 ? 2i) ?[(?4 ? 3i) ? (5 ? i)]

小结: 复数的乘法运算类似于实数集上的乘法运算.
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选修 2-2 数系的扩充与复数的概念

导学案

例 2 计算(1) (1 ? 2i) ? (3 ? 4i) ; (2)
?2 3 ? i 2 1996 ?( ) 1? i 1 ? 2 3i

变式:计算(1)

3 ? 2i 3?i , (2) 2 (1 ? i )2 ? 1 (1 ? 2i )

※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 5 1. 复数 的共轭复数是( ) i?2 A. i ? 2 B. i ? 2 C. ?2 ? i D. 2 ? i 1 3 3 2. 复数 ( ? ) i) 的值是( 2 2 A. ?i B. i C. ?1 D.1 2 ? bi 3. 如果复数 的实部和虚部互为相反数,那么 1 ? 2i 实数 b 的值为( ) 2 2 A. 2 B. ? 2 C. ? D. 3 3 2 4.若 z ? 1 ? 2i ,则 z ? 2z 的值为 1? z 5. 若复数 z 满足 ? i ,则 | z ? 1| 的值为 1? z

课后作业
小结 :复数的除法运算类似于实数集上的除法运 算。 1. 计算: 1 3 3 1 1 3 (1) (? ? (2) ( i ? )(? ? i)(1 ? i) ; i) 2 2 2 2 2 2 5(4 ? i ) 2 2?i (3) ; (4) i (2 ? i ) 7 ? 4i

※ 动手试试 练 1. 计算: (1) (1 ? 2i)(3 ? 4i)(?2 ? i)

1? i 1? i (?1 ? i)(2 ? i) 练 2. 计算: (1) , (2) , (3) 1? i 1? i ?i

2. 已知 2i ? 3 是关于 x 的方程 2 x 2 ? px ? q ? 0 的一 个根,求实数 p, q 的值.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 复数的乘除运算; 2. 共轭复数的定义. ※ 知识拓展 即:i 4 n ? 1 ;i 4n?1 ? i ;i 4n? 2 ? i 2 ? ?1 ; i 具有周期性, i 4 n ?3 ? ?i ;

学习评价
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第三章 数系的扩充与复数的引入 (复习课)
学习目标
掌握复数的的概念,复数的几何意义以及复数的四则 运算.

※ 典型例题 例 1 已知 m ? R ,复数 m(m ? 2) z? ? (m2 ? 2m ? 3)i ,当 m 为何值时, m ?1 (1) z ? R ?(2) z 是纯虚数?(3) z 对应的点 位于复平面第二象限?(4) z 对应的点在直线 x ? y ? 3 ? 0 上?

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P115 找出疑惑之处) 复习 1:复数集 C、实数集 R、有理数集 Q、整数 集 Z 和自然数集 N 之间的关系为:
1 1 1 复习 2:已知 z1 ? 5 ? 10i , z2 ? 3 ? 4i , ? ? , z z1 z 2 求z.

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:复数这一章的知识结构 问题:数系是如何扩充的?本章知识结构是什么?
新知:

m ? 1 ? ni ,其中 m, n 是实数, i 是虚 1? i 数单位,则 m ? ni =

变式:已知

试试:若 z1 ? a ? 2i, z2 ? 3 ? 4i ,且 实数 a 的值.

z1 为纯虚数,求 z2

小结:掌握复数分类是解此题的关键.在计算时,切 不可忘记复数 a ? bi(a, b ? R) 为纯虚数的一个必要 条件是 b ? 0 ,计算中分母不为 0 也不可忽视. 例 2 设存在复数 z 同时满足下列条件: (1)在复平面内对应的点位于第二象限; (2) z z ? 2iz ? 8 ? ai(a ? R) ;试求 z 的取值范围

z 变式: (1) 1 对应的点在复平面的下方(不包括 z2 z 实轴) ,求 a 的取值范围.(2) 1 对应的点在直线 z2 x ? y ? 0 ,求实数 a 的值.

变式:已知复数 z 满足 z ? | z |? 2 ? 8i ,求复数 z

反思:若复数 a ? bi(a, b ? R) 是实数,则 是虚数,则 ;是纯虚数,则 其模为 ;其共轭复数为 若 a ? bi ? c ? di(a, b, c, d ? R) ,则

; . .

小结:复数问题实数化是解决复数问题的主要方 法,其转化的依据主要就是复数相等的充要条件. 基本思路是:设出复数的代数形式 z ? a ? bi(a, b ? R) ,由复数相等得到两个实数等式 所组成的方程组, 从而可以确定两个独立的基本量.
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选修 2-2 数系的扩充与复数的概念

导学案

例 3 在复平面内 (1)复数 z ? (a2 ? 2a ? 4) ? (a 2 ? 2a ? 2)i , (2)满 足 | z ? 1| ? | z ? 1|? 4 的复数 z , 对应的点的轨迹分别 是什么?

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 ( ) . A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 设 z1 ? 3 ? 4i ,z2 ? ?2 ? 3i , 则 z1 ? z2 在复平面内 对应的点( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2 2. (1 ? i ) ? i 等于( ) A. 2 ? 2i B. 2 ? 2i C. ?2 D.2 1 3. 复数 (1 ? ) 2 的值是( ) i A. 2i B. ?2i C. 2 D. ?2 2 4.复数 的实部是 ,虚部是 1? i 5. (15 ? 8i)(?1 ? 2i) 的值是

※ 动手试试
6m 当实数 ? 2(1 ? i) , 1? i (2)虚数; ( 3) m 取什么值时,复数是(1)零; 纯虚数; (4)复平面内第二、四象限角平分线上的 点对应的复数.

练 1. 已知复数 z ? (2 ? i)m2 ?

课后作业
1. 已知 (1 ? 2i) z ? 4 ? 3i ,求 z 及
z . z

练 2. 若 log2 ( x2 ? 3x ? 2) ? i log2 ( x2 ? 2 x ? 1) ? 1 ,则 实数的值(或范围)是 .

三、总结提升 ※ 学习小结 复数问题实数化是解决复数问题最基本的也是最 重要的思想方法,其转化的依据主要就是复数相等 的充要条件 . 基本思路是:设出复数的代数形式 z ? a ? bi(a, b ? R) ,由复数相等可以得到两个实数 等式所组成的方程组,从而可以确定两个独立的基 本量.根据复数相等一般可解决如下问题: (1)解复 数方程; (2)方程有解时系数的值; (3)求轨迹问 题. ※ 知识拓展

1 是实数,且 ?1 ? z2 ? 1 z1 (1)求 | z1 | 的值以及 z1 的实部的取值范围; 1 ? z1 (2)若 ? ? ,求证 ? 为纯虚数. 1 ? z1

2. 设 z1 是虚数, z2 ? z1 ?

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