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近代教案1


引言
近世代数是以讨论代数体系的性质与构造为中心的一门学科。 它是现代科学 各个分支的基础,而且随着科学技术的不断进步,特别是计算机的发展与推广近 世代数的思想、理论与方法的应用日臻广泛,现已渗透到科学领域的各个方面与 实际应用的各个部门。目前,在高等学校相关系科都开设了近世代数这门课程, 作为师范类高等学校数学系本科生,近世代数是必修课程。 在普通代数里,我们计算的对象是数,随着数学的渐渐进步,采用类似于数 的计算方法来计算较为复杂的代数运算,如高等代数中向量、矩阵、线性变换。 近世代数的主要内容是研究所谓的代数系统。 (给定一个集合,赋于结构后成为 空间)即带有运算的集合,它在数学的其它分支和自然科学的许多间门都有重要 的作用。 本课程主要介绍群、 环、 域三个代数系统。 因为它是抽象代数学的基础, 而“抽象”正是学习抽象代数学的主要难点。为学好代数学,必须逐步培养抽象 思维能力,对概念理解透彻,多做练习。 主要内容:群、环理论,域的扩张。其中群、环的理论是重点。 本课程总学时 50,其中讲授 42 学时,习作 8 学时。 参考书:1 《近世代数》吴品山编著,人民教育出版社; 2 3 《近世代数》辛林编; 《近世代数》朱平天、李伯葓、邹园编

第一章 基本概念
集合 映射 代数运 算结合律 交换律 分配律
一、集合、子集、真子集、并集、交集、差集、密集、卡氏集。 二、映射 定义: f : A1 × L × An → D 检验一个法则是否是映射 1、集合 A1 , L , An , D 中可能有几个相同; 2、一般 A1 , L , An 的次序不能调换; 3、映射 f 一定要替每一个元规定像; 4、一个元只能有唯一的像; 5、所有的像必须在 D 中。 设 f 是 A 到 B 的映射,若 S 是 A 的子集,称 B 的子集:{ f ( x) | x ∈ A} 为 S f ( x1 , L , x n ) = d 称为 A1 × L × An 到 D 的映射。

1

在 f 之下的像, 记作 f (S ) , 特别地, S=A 时称 f (A)为映射 f 的像, 当 记作 Im f 。 若 T 为 B 的子集,称 A 的子集: {x | x ∈ A, f ( x) ∈ T } 为 T 在 f 之下的逆像,记 f
?1

(T ) ,特别当 T 为单元集时, f

?1

({b}) 也可记作 f

?1

(b) 。

例 1 设 A={a,b,c},B={1,2,3,4},则 f : a a 1, b a 2, c a 3 和 g : a a 2, b a 2, c a 2 都是 A 到 B 的映射,设 S={a,b},T={2,3,4}则 f (S)={1,2}; f f
?1 ?1

(T ) = {b, c} ;g(S)={2}; g ?1 (T ) = {a, b, c} ;Im f = f (A)={1,2,3};Img={2} (4) = φ ; g ?1 (2) = {a, b, c} 一般地,若映射 f 是 A1 , L , An 到 D 的映射,则称 A1 , L , An 为映射的定义域,

D 称为映射的值域。 若 ?(a1 , L , a n ) ∈ A1 × L × An 有f (a1 , L , a n ) = g (a1 , L , a n ) ,则称映射 f ,g 相
等。 单射、满射、一一映射、逆映射 f : A → A 1、 ?x1 , x 2 ∈ A, x1 ≠ x 2 则有f ( x1 ) = f ( x 2 ) 2、 f ( A) = A 3、即单且满 4、 f 是一一映射,存在 f ?1且当f (a ) = b时,f 三、代数运算、二元运算 1、代数运算: A × B 到 D 的一个映射 f 称为 A × B 到 D 的一个代数运算。
?(a, b) ∈ A × B, f : A × B → D, f (a, b) = d 记a o b = d , A × B 到 D 的代数运算通
?1

单射 满射 一一映射 (b) = a 逆映射

特别地,当 A = A 时,称映射为变换 、满变换、单变换、一一变换。

常用符号 o 表示。 例 4

A=Z,B=Z*,D=Q,定义 (a, b) a

a = a o b ,则 o 是普通的除法运算。 b

(a, b) a a (b + 1) = a o b 也是 Z 中的一个代数运算。
例5

X 是非空集合,A=2X,则集合的交、并、差是 A 的代数运算;高等

代数中向量空间的加法运算是 V 的代数运算。 数乘运算是 F × V 到 V 的代数运算。 当 A, 是有限集时, B 代数运算学用一个矩形表给出, 通常称此表为运算表。 如设 A = {a1 , L , a n }, B = {b1 , L , bm } 则 A, 到 D 的一个代数运算 a o b = d ij 可表为 B o b1 b2 L bm

a1 d11 d12 L d 1m a 2 d 21 d 22 L d 2 m LLL LL L a n d n1 d n 2 L d nm
2、二元运算:当 A=B=D 时,代数运算 o 称为二元运算。
上例 5 是 A 的二元运算,普通数的减法运算也是二元运算。
2

四、结合律 一个集合 A 的代数运算 o , A 里任取三个元素 a,b,c, 在 如果写下符号 a o b o c 那么这个符号没有什么意义,因为代数运算只能对两个元进行运算。但是我们可 以先对 a 和 b 进行运算, 而得到 a o b,因为 o 是 A 的代数运算, 所以 a o b 属于 A, 所以我们又可以把这个元同 c 来进行运算。这样得到的结果,普通用加括号的方 法表示,所用的步骤也就是加括号的步骤。由上面所描写的步骤得来的结果,用 加括号的方法写出来就是(a o b) o c。但是我们还有另一种加括号的方法,它的结 果用加括号的方法写出来是 a o (b o c)。在一般情况下,由这两个不同的步骤所得 的结果也未必相同。 如 Z 中普通的减法运算有 (a ? b) ? c ≠ a ? (b ? c) 定义:一个集合 A 的代数运算 o 适合结合律,如对于 A 的任意三个元来说都 有(a o b) o c=a o (b o c) (a,b,c 不一定是不同的元) 当代数运算满足结合律时, a1 o a 2 o L o a n 可以任意添加括号,所得到的结果 一样,因此用 a1 o a 2 o L o a n 表示最后所得的结果。 通常情况下代数运算、二元运算一般不满足结合律。 五、交换律 一个代数运算常适合的另一规律就是交换律。我们知道,在一个代数运算 o 下,a o b 未必等于 b o a,但是有时也可能 a o b=b o a. 定义: 一个集合 A 的代数运算 o 适合交换律, 如对于 A 的任两个元 a,b 来说, 都有 a o b=b o a 定理:如果一个集合 A 的代数运算 o 同时适合结合律和交换律,那么在 a1 o a 2 o L o a n 里,元的次序可以调换。 满足结合律时,记 a o a o L o a = a n 同时满足结合律和交换律时 (a o b) n = a n o b n ,一般地 (a o b) n ≠ a n o b n 六、分配律 结合律和交换律都只同一种代数运算发生关系。 现在要讨论同两种代数运算 发生关系的一种规律,就是分配律,我们看两种代数运算 ⊕ 和 o :

o 是 B × A 到 A 的代数运算,⊕ 是 A 的代数运算, 那么 ?a1 , a 2 ∈ A ,?b ∈ B 来
说, b o (a1 ⊕ a 2 )和(b o a1 ) ⊕ (b o a 2 ) 都有意义,都是 A 的元。但这两个元未必相 等。 定义 1:代数运算适合第一分配律,如果 b o (a1 ⊕ a 2 ) = (b o a1 ) ⊕ (b o a 2 ) 。 定理 1:如果 ⊕ 适合结合律,而 o, ⊕ 适合第一分配律,那么对于 ?b ∈ B
?a1 , L , a n ∈ A ,都有 b o (a1 ⊕ L ⊕ a n ) = (b o a1 ) ⊕ L ⊕ (b o a n )

类似地,我们可以定义两个代数运算的第二律

3

o 是 A × B 到 A 的代数运算, ⊕ 是 A 的代数运算,那么 ?a1 , a 2 ∈ A , ?b ∈ B
来说, (a1 ⊕ a 2 ) o b和(a1 o b) ⊕ (a 2 o b) 都有意义,都是 A 的元。 定义:代数运算适合第二分配律,如果 (a1 ⊕ a 2 ) o b = (a1 o b) ⊕ (a 2 o b) 定理 2:如果 ⊕ 适合结合律,而 o, ⊕ 适合第二分配律,那么对于 ?b ∈ B ?a1 , L , a n ∈ A ,都有 (a1 ⊕ L ⊕ a n ) o b = (a1 o b) ⊕ L ⊕ (a n o b) 练习:
1、 设 m 是一个正整数, ?n ∈ Z ,作带余除法: n = mq + r , 0 ≤ r < m ,规

定 f : n a r ,问: f 是否为 Z 到 Z 的映射?单射?满射?
2、判断下列有理数集 Q 的代数运算是否适合结合律?交换律? (1) a o b = a + b + ab ; (2) a o b = (a + b) 2 ; (3) a o b = a ; (4) a o b = b 3 。 3、 "o" 适合结合律和交换律,完成下列表中的计算:

o

a b c

a
b

a b c a c

c
作业:P9
1,2,P12 2

同态 等价关系与集合的分类
一、同态映射 同构映射 自同构 设 ( A,o) 表示给定集合 A,且 o 是 A 的代数运算。 定义: f 是 ( A, o) 到 ( B, o) 的映射,且 f (a o b) = f (a )o f (b) ,则称 f 是 A 到 B 的同态映射。 例1
A=C,C 中的运算为普通的加法运算, B = R × R 为实平面,B 的二元

运算为普通二维向量空间的加法运算。 f : a + bi a (a, b) ,即 f (a + bi ) = (a, b) , 则 f 是 A 到 B 同态映射。 例2 高等代数中向量空间的同构映射对加法运算是同态映射,对数乘运算 也是同态映射 定义:同态映射 f 为满(单)射时,称 f 为同态满射(单一同态)。若 A 与 B 存 在一个同态满射,则称 A 与 B 同态,记 A ~B。 若 ( A, o) ~ ( B, o) ? f 是 A 到 B 的同态满射 若 ( A, o) 与 ( B, o) 满同态,当 o 适合结合律( 交换律)时,o 也适合结合律(交换 律)。 定义:若 f 是 A 到 B 的同态满射,且 f 是一一映射,则称 f 是 A 到 B 的同

4

构映射。也称 A 与 B 同构,记 A ? B 当 A=B, o = o 时,A 到 A 的同构映射称为自同构映射。或者说对运算 o 来 说 A 是自同构。 例3 A=Q,A 的代数运算是普通数的加法。B=Q*,B 的代数运算是普通数 乘法。证明对给定的代数运算来说,A 与 B 间没有同构映射存在。 证明:设存在一个 A 到 B 的同构映射 f ,且 f (0)=a ∈ Q * ,而 f (0)= f (0+0)= f (0)+ f (0)=a2=a,所以 a(a-1)=0,因为 a ≠ 0 ,所以 a=1,即 f (0)=1, 又 ? 1 ∈ Q * , f 是同构映射,所以存在 a ∈ Q 使 f (a ) = ?1 , f (2a ) = f (a ) f (a ) = 1 由 f 是单射,所以 2a=0,即 a=0,所以 f (0) = ?1 与 f 是映射矛盾。 二、关系 定义: R ? A × B ,R 叫做 A,B 间的一个二元关系。若 (a, b) ∈ R ,就说 a, b 具有关系 R,记 aRb ,若 (a, b) ? R ,则说 a, b 不具有关系 R,记 aRb 。 / 由于 ?a ∈ A, b ∈ B, (a, b) 或者在 R 中, 或者不在 R 中, aRb, aRb 二者有且 故 / 仅有一种情形成立。 设 R ? A × B ,则 R = A × B ? R ? A × B ,故 R 也是 A,B 间的一个二元关系, 且 a 与 b 不具有关系 R 时必有关系 R 。当 R= φ 时,称关系 R 为空关系。 例1 例 2 例3
A = {1,2,3,4} R = {(1, 1) (2, 2) (3, 3) (4, 4) (1, 2) (2, 1)} ,则 iRi, i = 1,2,3,4

1R2,2R1,但 1R3L / A=Z, R = {( a, b) | a, b ∈ A, a | b} , Rn = {(a, b) | a, b ∈ A, n | (a ? b)} ,由 A=R, R1 = {( a, b) | (a, b) ∈ R 2 , a = b} ; R2 = {(a, b) | (a, b) ∈ R 2 , a ≤ b} ;

关系的定义 a | b ? aRb , a ? b = nt ? aRn b
R3 = {( a, b) | (a, b) ∈ R 2 , a = 2b} ; R4 = {(a, b) | (a, b) ∈ R 2 , a 2 + b 2 = 1} 。则 R1 是 R

中元相等的关系;R2 是 R 中元小于等于关系;R3 是直线 x=2y 上的点;R4 是单 位圆周上的点。 三、等价关系 定义:A 的元间的一个关系 R 叫做等价关系。如果 R 满足以下规律:
1、aRa;2、若 aRb,则 bRa;3、若 aRb, bRc,则 aRc

即等价关系是满足自反、对称、传递性的一个关系。等价关系通常记~。 例4 例5 价关系。 设~是 A 上的一个等价关系, ?a ∈ A ,记 {x | x ∈ A, x~ a} = [a ] ,则:
1、[a] ≠ φ ;2、 b, c ∈ [a ] 有 b~c;3、 b ∈ [a ], x~ b,则 x ∈ [a ] 。

上述例 1;例 2 中的 Rn,例 3 中的 R1 是等价关系。 设 f : A → B , ?a, b ∈ A ,规定 a ~ b ? f (a ) = f (b) ,则~是一个等

称[a]为 A 的一个等价类,称 a 为[a]的一个代表。当 b ∈ [a ] 时,[a]=[b],即

5

等价类的表示可以有许多不同的方法,与代表的选择无关。 例6 上述例 1 中[1]={1,2}=[2];例 2 中的 Rn,[0]= {nk | k ∈ Z } ;
[1]= {nk + 1 | k ∈ Z }; L 。例 3 中 R1,[a]={a}

四、等价关系类 定义:若把一个集合 A 分成若干个叫做类的子集,使得 A 的每个元属于而 且只属于一个类,那么这些类的全体叫做集合 A 的一个分类。 ? Aα ≠ φ ; A = U Aα ; x, y ∈ A, 有Ax I Ay = φ 或Ax = Ay 之一成立。则
α ∈I

{ Aα | α ∈ I } 为 A 的一个分类。

例7

A={06 数学与应用数学的全体同学}, 班级分类{06 数应(1),06 数应(2)},

由等价关系的定义,我们有 定理 1 一个等价关系决定一个分类;一个分类决定一个等价关系。 证明:由等价类的 3 个性质 a ∈ [a ] ,所以 A = U [a] ,若 [a ] I [b] = φ ,则结 论成立,若 [a ] I [b] ≠ φ ,?x ∈ [a ] I [b] ,所以 x~a, 即[a]=[b],所以 {[a ] | a ∈ A} 是 A 的一个分类。 规定 a ~ b ? a, b同在一个类 ,显然~是一个等价关系。 证明二、设 Aα (α ∈ I ) 是集合 A 的一个分类,令 R = U Aα × Aα ,可证 R 是集 合的一个等价关系。 例8 例 2 中 Rn : a ≡ b(mod n) 是 Z 的一个等价关系。 一般地,由等价关系 R 决定的等价类的全体记 A 关于 R 的商集。 如例 2 中 Rn=R, A 的剩余类。例 7 中 A 例9 商集。 例 10 在 Mn(C)中,下列规定的关系 Ri 是不是等价关系?为什么?若 Ri 是等 价关系,写出各个等价类的代表元。
1、AR1B ? 存在 n 阶矩阵 P 使 P-1AP=B。 2、AR2B ? 秩 A=秩 B。 3、AR3B ? |A|=|B|
R
a∈ A

x~b,所以 a~b,所以 b ∈ [a ] ,

~ = {[a ] | a ∈ A} 。称为 A

= {[a ] | a ∈ A} ={ [0], [1], L , [n ? 1] }=Zn 通常称为模 n

~ = {[a ] | a ∈ A} ={04 数应(1),04 数应(2)}。

设 M={1,2,3,4},在 2M 规定二元关系 R1,R 为 SR1T ?| S |=| T | ,

SRT ? S ? T ,问:R1,R 是不是 2M 上的一个等价关系,为什么?若是,写出

作业:P23

2,P26 1, P30 2,3,

6

第二章 群
群的定义 单位元、逆元、消去律 单位元、逆元、
近世代数的主要研究对象是各种各样的代数系,即具有一些代数运算的集 合。群是具有一种代数运算的代数系,它是近世代数中一个比较古老,且内容丰 富的重要分支,在数学、物理、化学、计算机等自然科学的许多领域都有广泛的 应用。 因为群只有一种代数运算,那么一个代数运算用什么符号可由我们自己决 定,为了方便我们把 a o b 记为 ab,一个群的代数运算通常叫做乘法运算,当然 一个群的乘法一般不是普通的乘法。 定义:设 S 是一个非空集合,若在 S 中存在一个叫做乘法的代数运算;对 这个代数运算来说满足结合律。则称 S 对这个运算构成一个半群。记 ( S ,?) 若半群 S 的运算还满足交换律,则称 S 是一个交换半群。交换半群的代数 运算常称为加法运算,记“+” 。 例 1 对自然数集 N,由数的加法、乘法都是 N 上适合结合律与交换律的代 数运算,所以(N, × )(N,+)都是交换半群。 , 类似地,2Z、Z、Q+、Q、R+、R、C 关于数的加法与乘法分别作成加法与 乘法交换半群。 Z ? 关于数的加法也是交换半群,但关于数的乘法不是半群。Z* 关于数乘法是交换半群,但关于数的加法不是半群。
(2 A ,U); (2 A ,I); ( R[ x],+ ); ( R[ x],×); ( M n ( F ),+ ); 都是交换半群。 ( M n ( F ),×) 是 但

不可交换半群。 定义:设 G 是一个非空集合,若在 G 中存在一个叫做乘法的代数运算(1、G 对乘法运算封闭),2、对这个代数运算来说满足结合律;3、对 G 的任意元 a,b 来说方程 ya=b 与 ax=b 都在 G 中有解。则称 G 对这个运算构成一个群。同样记 为 ( S ,?) 若群 G 对所给的代数运算满足交换律,则称 G 是一个交换群。 例3
Z、Q、R、C 关于数的加法分别作成加法交换群;N,Z 对数的乘法

都不构成群。Q*、R*、C*关于数的乘法分别作成乘法交换群 ,Q*、R*、C*关于 数的加法不构成群。 例4 单元集 G={ e }对如下规定的代数运算 e o e = e 作成一个群,这个群称 为单位元群。 例 5 证明:商集 Zn={ [0], [1], L , [n ? 1] }关于加法运算 :[a]+[b]=[a+b]作成 一个交换群。 定义 G 里的一个元 e ,对 G 的任一元 a都有ea = a (ae = a ) 。这个 e 叫做 G 的

7

一个左(右)单位元。 e 是 G 的一个左(右)单位元, ?a ∈ G ,若在 G 里存在一个元
a ?1 ,使 a ?1 a = e(aa ?1 = e) 。这个元 a ?1 叫作 a 的一个关于左(右)单位元 e 左(右)逆

元。G 里的一个元 e ,对 G 的任一元 a都有ea = ae = a 。这个 e 叫做 G 的一个单 位元。 ?a ∈ G ,若在 G 里存在一个元 a ?1 ,使 a ?1 a = aa ?1 = e 。这个元 a ?1 叫作 a 的一个关于单位元 e 逆元。 例6 有理数集对加法运算构成的群的单位元是 0,元 a 的逆元是-a;非零 有理数集对数的乘法运算构成的群的单位元是 1,元 a 的逆元是 a 的倒数。 例 7

?? a b ? ? ?1 0? G = ?? ? 0 0 ? a, b ∈ Q ? 对矩阵的乘法运算, ? 0 0 ? 是左单位元,但不 ? ? ? ? ? ? ?? ? 0? ? a b? ? 是? ? 的右逆元,但不是左逆元。 0? ? 0 0? ? ? ?

? a ?1 是右单位元; ? ? 0 ?
定理 1

一个群一定存在左、 右单位元; 对任一个元也一定存在左、 右逆元。

证明 设 b 是群 G 的一个固定的元, bx = b 在 G 中有解, 则 设解为 e , be = b , 即
?a ∈ G ,方程 yb = a 在 G 中有解,设解为 c, 即 cb = a ,则 ae = (cb)e = cb = a ,所

以 e 是一个右单位元;同理可证明存在左单位元。 设 e 是一个左单位元,由方程 ax = e, ya = e 在 G 中有解,所以对 G 中的元 a 存在左、右单位元。 定理 2 证明 若 G 是一个群, G 中的左单位元与右单位元相等; 则 对任一个元 a 设 e1 , e2 分别是 G 的左单位元与右单位元, e1 = e1e2 = e2 ; b1 , b2 分 则 设 的左逆元与右逆元相等。 别是 a 的左逆元与右逆元,则 b1 = b1e = b1 (ab2 ) = (b1 a)b2 = eb2 = b2 。 由定理 1,2 可得群的第二定义 定义 若 (G , o) 是半群,且存在单位元 e ,对任一个元 a 都存在逆元,则称 G 是一个群。 定义:若一个群 G 的元的个数是一个有限整数 n,则称 G 是一个有限群, ; 若 G 的元的个数有无限多个,则称 G 是一个无限群。一个群的元素个数称为群 的阶记为|G|,若 G 是有限群。则|G|==n,若 G 是无限群,则|G|= ∞ 。 例 5 中的 G 是一个无限群;例 6 中的 Zn 是一个有限群,|Zn|=n。 定理 1 在一个群 G 里存在唯一的单位元 e 。 证明:设 e, e ' 均为 G 的单位元,则 ?a ∈ G , 有ea = ae = a, e ' a = ae ' = a ,所以 有 e = ee ' = e ' 。 定理 2 对于群 G 的每一个元 a 的逆元是唯一的。 记 a ?1 证明:设 a ?1 , a ' 都是 a 的逆元,则满足 aa ?1 = a ?1 a = e ; aa ' = a ' a = e ,所以 有 a ?1 = a ' aa ?1 = a ' 。
8

例8

(Q * ,?) 的单位元为 1, a 的逆无为 a ?1 ; ( Z ,+ ) 的单位元为 0, a 的逆元

为- a ; 上节例 6 中的单位元为[0], -1=[5], -1=[4], -1=[3], -1=[2], -1=[1], [1] [2] [3] [4] [5] 即[j]-1=[6-j] ;单位元群的单位和逆元都是 e 。 在一个群里结合律成立,所以 a1 L a m 有意义,是 G 中的一个元,记为 a m 。 称 a m 为元 a 的 m 次乘方。 由唯一的单位元和逆元,我们可规定: a 0 = e, a ? n = (a ?1 ) n 。 ? 在群中, (a ?1 ) ?1 = a, a m a n = a m + n , (a m ) n = a mn 定义:群 G 的元 a ,存在 m 使 a m = e ,则称满足 a m = e 的最小正整数为 a 的 阶,若 m 不存在,则称 a 是无限阶的。元的阶记为| a |。 例2
G = {x | x 4 = 1} = {1,?1, i,?i} 对数的乘法构成的群中,1 的阶为 1,-1 的

阶为 2, i与 ? i 的阶为 4;(Z, +)中每个元的阶都是无限的;(Z6, +)中[0]的阶为 1,
[1]与[5]的阶为 6,[2]与[4]的阶为 3,[3]的阶为 2;

定理 3 一个群的乘法适合消去律(左,右)。 证明: ab = ac ,由 G 是一个群, 设 所以存在 a ?1 使a ?1 a = e, 所以a ?1 ab = a ?1ac , 即 b=c。 例 3 (P381,3) 证明: (ab) 2 = abab = e ,又 (ab)(ba ) = ab 2 a == a 2 = e ,即 abab = abba ,由 消去律有 ab = ba 。 设 G= {a1 , L , a 2 k +1 , e} ,由习题 2,阶大于 2 的元的个数一定是一个偶数,而 阶为 1 的元只有 e 1 个,所以阶等于 2 的元的个数为奇数。 作业:P38 是一个交换群。
2 、4

补充:1、在整数集 Z 中,规定一个代数运算:a o b = a + b ? 2 ,证明:( Z ,o)

有限群的另一定义 群同态 变换群
定理 1 一个有乘法的有限集 G 是群 ? 1、 关于乘法是半群; 、 2 消去律成立。 证明: ? ”设 G= {a1 , L , a n } , ?a, b ∈ G ,构造 G ' = (aa1 , L , aa n } ,由半群 “ 的定义可知 G ' ? G ,由消去律,当 i ≠ j时aa i ≠ aa j ,所以 G = G ' ,即 b ∈ G ' ,所
以 b = aa k ,即方程 ax = b 在 G 里有解,同理方程 ya = b 在 G 里有解,所以 G 是 一个群。 因此也可用半群和消去律来定义有限群。 由有限集 A 的代数运算可用一个运算表给出:

9

o a1 a 2 L a m a1 d11 d12 L d 1m a 2 d 21 d 22 L d 2 m LLL LL L a n d n1 d n 2 L d nm
从表上可看出代数运算的许多性质,如 1、 o 是代数运算 ? 表中所有 d ij ∈ A ; 2、 o 适合交换律 ? 表中关于主对角线对称的元相等; 3、 o 适合左(右)消去律 ? A 中每个元在表的各行(列)都出现且只出现一次; 4、 a i 是 A 的左(右)单位元 ? a i 所在的行(列)与顶行(左列)一致; 5、 a j 是ai 的左(右)逆元 ? a j 所在的行与 a i 所在的列相交处是单位元。
因此利用运算表可以帮助我们判断一个有限集合是否构成群, 但结合律的检 验比较麻烦,不能从表中看出。 在第一章中,我们讨论了集合的同态映射,这里我们要在两个群中讨论同态 映射。 定义:若 G,G1 是两个群,若存在一个 G 到 G1 的同态满射,则称 G 与 G1 同态。 定理 2

G 是一个群,群 G 与 G1 对它们的乘法运算同态,则 G1 也是群。

证明:设 ? 是 G 到 G1 的同态满射,则 ? y1 , y 2 , y 3 ∈ G1 , ? x1 , x 2 , x3 ∈ G 使

? ( x1 ) = y1 , ? ( x 2 ) = y 2 , ? ( x3 ) = y 3 ,所以 y1 y 2 = ? ( x1 )? ( x 2 ) = ? ( x1 x 2 ) ∈ G1 ;又有
y1 ( y 2 y 3 ) = ? ( x1 )(? ( x 2 )? ( x3 )) = ? ( x1 )? ( x 2 x3 ) = ? ( x1 ( x 2 x3 )) = L = ( y1 y 2 ) y 3 ; 由 G
是一个群, ? e ∈ G 使? x ∈ G 都有xe = ex = x ,设 ? (e) = e ' ∈ G1 ,则 ?y ∈ G1 有

ye ' = ? ( x)? (e) = ? ( xe) = ? ( x) = y , e ' y = ? (e)? ( x) = ? (ex) = ? ( x) = y ,所以 G1 有
单位元; ?y ∈ G1 , ? x ∈ G 使 ? ( x) = y, ? x ?1 ∈ G 使? ( x ?1 ) = y ' ∈ G1 ,使 yy ' = e ' , 同理 y ' y = e ' ,所以 G1 中每一个元都有逆元。所以 G1 是一个群。 注:定理 2 的逆命题不成立,即若 ? 是 G 到 G1 的满同态,G1 是群,则 G 不 一定是群。如零映射。但如果映射 ? 是同构映射,则只要其中一个是群,那么另 一个也是群。 定理 3 设 G,G1 是两个群,在 G 到 G1 的同态映射之下,G 的单位元的象 是 G1 的单位元;G 的元 a 的逆元的象是象的逆元;即 e ? e ' , a ?1 ? (? (a )) ?1 ,

| a | 有限, 则 | ? (a ) | 有限。
若 G, 1 是两个群, G 存在 G 到 G1 的同构映射, 则称群 G 与 G1 同构, G ? G1 。 记
*

例4

设 Un 是所有 n 次单位根按普通的乘法作成的群,ε 是 n 次单位原根,

令 ? : ε k a [k ] ,则 ? 是 Un 到模 n 的剩余类加群 Zn 的同构映射。 到目前为止,我们讨论的群都是比较简单的或一般的群,这一节,下面我们
10

要讨论一个具体的群,这个群一方面本身非常重要,另一方面它也给了一个非交 换群的例子。 定义 设 A 是一个非空集合,A 到 A 的映射称为 A 的变换,A 到 A 的满射 称为 A 的满变换, 到 A 的单射称为 A 的单变换, 到 A 的双射称为 A 的一一 A A 变换。 定理 4 设 G 是 A 的若干个变换组成的集合,且 ε ∈ G ,若 G 对于变换的乘 积作成群,那么 G 只包含 A 的一一变换。 证明:?σ ∈ G , 因为 G 是群, 所以存在 σ ?1 ∈ G 使σσ ?1 = σ ?1σ = ε ,?a ∈ A ? σ ?1 (a ) ∈ A 使 σ (σ ?1 (a )) = a ,所以 σ 是满射;若 ?a, b ∈ A, 且σ (a ) = σ (b) ,则
a = σ ?1 (σ (a )) = σ ?1 (σ (b)) = b ,所以 σ 是单射。从而是一一变换。 定义:A 的若干个一一变换构成的群 G 称为变换群。 定理 5 一个集合 A 的所有一一变换构成一个变换群,记 E(A)。 例 1(P48 例 4) 设 A 是一个平面上所有点构成的集合,那么平面的一个绕一 个定点的旋转可以看成 A 的一一变换,设 G 是包含所有绕一个定点的旋转,那 么 G 是一个变换群。 设 τ θ 表示转 θ 角的旋转,则有 τ θ1τ θ 2 = τ θ1 +θ 2 ; 结合律显然成立; ε = τ 0 ∈ G ; 结合律显然成立; ε = τ 0 ∈ G ;τ θ?1 = τ ?θ 。所以 G 是一个变换群。但 G 不包含 A 的全部一一变换。 所以给了一个集合 A,除了最大的变换群 E(A)外,A 的确还有别的较小的 变换群。变换群显然不是交换群,因为变换不满足交换律。变换群还告诉我们非 交换群的存在。 定理 6 任何一个群都同一个变换群同构。 证明:设 G1= {τ a | τ a ( x) = ax, ?x ∈ G} ,则 G1 是 G 的一些变换组成的集合, 建立一个 G 到 G1 的映射 ? : a a τ a ,下面证明 ? 是 G 到 G1 的同构映射。

?x ∈ G 有 τ a ? τ b ( x) = τ a (bx) = (ab) x = τ ab ( x), 所以 ? (ab) = τ ab = τ a ? τ b = ? (a )? (b) ,

? 是同态映射; ?σ ∈ G1 , ? a ∈ G ,使, σ = τ a ,即? (a) = σ ,所以 ? 是一个满射;
若 ? (a ) = ? (b) ,则 τ a = τ b ,所以 ?x ∈ G 有 τ a ( x) = ax = bx = τ b ( x) ,由 G 是一个 群,满足消去律,即 a = b ,所以 ? 是单射。因此 G 与 G1 同构,因为 G 是一个 群,所以 G1 也是群。又因 G 是群,所以存在单位元 e ,且 τ e ( x) = ex = x ,所以

τ e = ε ∈ G1 ,由定理 2,G1 是一个变换群。
例2 P505 证明一:设 V 是 R 上的一个 n 维向量空间,由定理 4,E(V)是一个变换群, 取 V 的一个基,则 E(V)的每一个变换与一个 n 阶可逆矩阵一一对应,若设 G 是 R 上所有 n 阶可逆矩阵构成的集合,则 E (V ) ? G ,所以 G 是一个群。

11

证明二:由群的定义证明满足封闭性;结合律;单位元;逆元。所以构成群。 作业:P50 1,4, P441,

置换群
上一节讨论了变换群,即集合 A 到 A 的所有一一变换构成的群 E(A)及它的 非空子集构成的群,当 A 是有限集时,通常记 A={ a1 , L , a n }。 定义:一个包含 n 个元的有限集的一一变换称为(n 次)置换;一个包含 n 个 元的有限集 A 的若干个一一变换构成的群称为 n 次置换群;一个包含 n 个元的 有限集 A 的所有置换构成的群称为 n 次对称群,记 Sn。 设 π 是 A 的一个置换, ai ∈ A在π之下的像是a ki ,则 π 可记作

π =? ? ak ?
常将置 π 记作

? a1
1

a2 ak2

L an ? ? L a kn ? ?

而将 ai ∈ A在π之下变为a ki 与 a i 和 a ki 具体表示的内容无关,只与 i和k i 有关,因此

?1 ? ?k ? 1

2 L n? ? k2 L kn ? ?

这里确定 π 的是 A 的每一个元的像,与第一行的 n 个元的排列次序无关,如下 列置换 ? 1 2 3? ? 1 3 2 ? ? ? 2 3 1 ?, ? 2 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? 是同一个置换。 由对称群与排列的定义可得: 定理 1 n 次对称群的阶是 n ! 。 例 1 二次对称群 S2 的阶是 2,其元为 ?1 2 ? ? 1 2 ? ? ?1 2 ? , ? 2 1 ? ; ? ? ? ? ? ? ? 三次对称群 S3 的阶是 6,其元为 ?1 2 3 ? ?1 2 3 ? ? 1 2 3 ? ? 1 2 3 ? ? 1 2 3 ? ? 1 2 3 ? ? ?1 2 3 ? , ?1 3 2 ? , ? 2 1 3 ? , ? 2 3 1 ? , ? 3 2 1 ? , ? 3 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 而且 ?1 2 3 ? ? 1 2 3 ? ? 1 2 3 ? ? 1 2 3 ? ? ?1 3 2 ? ? 2 1 3 ? = ? 3 1 2 ? , ? 2 1 3 ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 所以 S3 是一个非交换群。
12

?1 2 3 ? ? 1 2 3 ? ? ?1 3 2 ? = ? 2 3 1 ? ? ? ? ? ? ? ?

为了表示上方便,置换还可以用另外一种方法表示,先引进一个新的符号。 定义:设在 n 次置换 π 下, k1的像是k 2 , k 2的像是k 3 , L , k r ?1的像是k r ,

k r 的像是k1 ,其余的数字(如果还有的话)保持不变,则称 π 是一个 r —循环置换,
记作

π = (k1 ,L, k r ) = (k 2 ,L, k r , k1 ) = L = (k r , k1 ,L, k r ?1 )
1—循环置( j )是恒等置换,2—循环置换 (k1 , k 2 ) 又称为对换。 例2 ? 1 2 3 4 5? ?1 2 3 4 ? ? ? 2 3 1 4 5 ? = (1 2 3) = (2 3 1) = (3 1 2) ; ?1 3 2 4 ? = (2 3) ; ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4 5? ?1 2 3 4 5 ? ? ? 2 3 4 5 1 ? = (1 2 3 4 5) ; ?1 2 3 4 5 ? = (1) = (2) = (3) = (4) = (5) 。 ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 3 4? ? 1 2 3 4? 一个置换不一定是循环置换,如 ? ? 2 1 4 3 ? ,但 ? 2 1 4 3 ? =(1 2)(3 4)。 ? ? ? ? ? ? ? 定理 2 每一个 n 元置换 π 都可以写成若干个互相没有共同数字的(不相连 的)循环置换的乘积。 证明:对 π 变动的个数 t 作归纳法证明。若 t=0,则 π 是一个恒等变换,定 理成立。 设 0<t<s 时定理成立。 当 t=s 时,任取被 π 变动的数字 k1 ,并设 k1的像是k 2 ,k 2的像是k 3 , L , 由于总 共变动 s 个数字,从而一定存在 r,使 k r 的像是k1 ,L, k r 中的某一个,由假设

k r 的像只能是k1 , 这样我们就得到了一个循环置换 τ 1 = (k1 ,L , k r ) 。 r=s,则 π = τ 1 若
是一个循环置换,若 r<s,则
r π =? 1 ?k L k 1 ? 2

?k

L k

k r +1 L k s k r' +1 L k s' k r +1 L k s k r' +1 L k s' k r +1 L k s k r +1 L k s

k s +1 L k n ? ? k s +1 L k n ? ? k s +1 L k n ? ? k s +1 L k n ? ? k s +1 L k n ? ? = π 1τ 1 k s +1 L k n ? ?

? k L kr =? 1 ?k L k r ? 1 ? k1 L k r ? ?k L k 1 ? 2

其中 π 1 使 s-r 个数字变动, 而且这些变动的数字不同于 k1 ,L, k r , 由归纳法假设 π 1 可以表为互不相交的循环置换的乘积。 如 6 次置换

π =? ?1 5 6 2 4 3 ? = (2 5 4)(3 6) 。 ? ? ?
13

?1 2 3 4 5 6 ?

由定理 2 可得:每一个 n(n ≥ 2) 次置换都可表成对换的乘积。 证明 由定理 2,每一个置换可以写成不相连的循环置换的乘积,因此只要 证明循环置换可分解。设 π =( k1 ,L, k r )是一个循环置换, 当 r = 1 时, (1) = (1 2)(21) ;当 r = 2 时,已是一个对换;当 r > 2 时,

(k1 L k r ) = (k1 k r )(k1 k r ?1 ) L (k1 k 2 ) 。
P56 5 证明:若 1 在 π 中出现,则:

π = (1, k1 ,L, k r ?1 ) = (1, k r ?1 )(1, k r ?2 ) L (1, k1 ) ;
若 1 不在 π 中出现,则:

π =( k1 ,L, k r )= (1, k1 )(1, k1 ,L, k r ) = (1, k1 )(1, k r ) L (1, k 2 )(1, k1 ) 。
如 (234)=(24)(23)=(24)(13)(12)(13)=(14)(12)(14)(13)(12)(13), 此例表明一个置 换的乘积的方法不是唯一的,但有下面的结论: 定理 3 循环置换具有下列性质:
1、( k1 ,L, k r )的阶是 r;(留作习题) 2、( k1 ,L, k r )-1=( k r ,L, k1 ); 3、奇—循环置换是偶置换,偶—循环置换是奇置换; 4、两个不相交的循环置换的乘积可以交换。

定理 6 每一个有限群都与一个置换群同构。 作业:P56 1,2,4

循环群
如 Z 对普通的加法, n ∈ Z 有 n = 1 + 1 + L + 1 , ? n = (?1) + (?1) + L + (?1) ; ? 或 又如 G= {x | x n = 1} 数的乘法,有 ?a ∈ G, 有a = ε j ,下面讨论具有此性质的群。 定义:设 G 是一个群, a ∈ G ,若 ?b ∈ G , ? n ∈ Z , 使 b = a n ,则称 G 是循环 群,也说 G 是由 a 生成的。记 G = (a ) , a 叫做 G 的一个生成元。 例1
G=(10);Z=(1);Zn=([1]);G= {x | x n = 1} ;其中 Z=(1)与 Zn=([1])是两

个非常重要的群。 下面讨论循环群的构造( a 0 = e ) 定理 1 设 G = (a ) 是一个循环群,则 G 的构造完全由 a 的阶来决定。 当| a |=n 时,那么 G 与(Zn ,+)同构; 当| a |= ∞ 时,那么 G 与(Z, +)同构。 证明:当| a |=n 时,有 a n = e(0 < r < n, a r ≠ e) ,则 a k = a h ? n | (k ? h) ,令

? : a k a [a ] ,易证 ? 是 G 到(Zn, +)同构映射。( G = (a ) = {a 0 , a,L , a n?1 } )
当| a |= ∞ 时,有 ?m ∈ N , a m ≠ e ,则 a k = a h ? k = h ,令 ? : a k a k ,易证 ?

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是 G 到(Z, +)的同构映射。 结论: | G |=| a | 以上给出了循环群的定义及结构,那么循环群的生成元是否唯一?若不唯 一,有多少个? 定理 2 例2 若 G = (a ) 是一个 n 阶循环群,则 a r 是 G 的生成元 ?| a r |= n 。 设 | a |= n, 则 | a r |= n / d , 其中d是r , n 的最大公因数。

证明: a r 的阶为 k , (a r ) k = e, ∴ a rk = e, Q a的阶为, ∴ n | rk , r = r1 d , 设 则 设

n = n1 d ,则 n1 | r1 k ,因为Q (n1 , r1 ) = 1, ∴ n1 | k ,即 n1 ≤ k ,又 (a r ) n1 = e, 所以 k | n1 , ∴ k ≤ n1 ,即 k = n1 。
? 设 G = (a ) 是一个循环群,
10 20 30

若| a |=n,则 G 中有 ? (n) 个生成元: a r , (r , n) = 1 ; 设 p 是素数,则 p 阶循环群 G = (a ) 有 p-1 个生成元 a, L , a p ?1 。 若| a |= ∞ , ,则 G 只有两个生成元: a, a ?1 。 设 b 是 G = (a ) 的生成元, ?m, s 使得 a = b m , b = a s , 则 所以有 a = a ms ,

证明

由削去律得 a ms ?1 = e ,由| a |= ∞ 得 ms ? 1 = 0 ,即 m = s = ±1 。 例 2 求出模 12 的剩余类加群 Z12 的每一个元的阶与所有的生成元。 解:由元素阶的定义,容易求出模 12 的剩余类加群 Z12 的 12 个元[0],[1],
[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9],[10],[11]的阶分别为 1,12,6,4,3, 12,2,12,3,4,6,12。由 Z12 是由[1]生成的 12 阶循环群,所以由推论 1 可

知 Z12 的生成元为:[1],[5],[7],[11]。
6、设 G 是 m 阶群,则 G 是循环群 ? G 有 m 阶元。

证明:若 G 是由 a 生成的 m 阶循环群: G = (a ) ,则| a |=m。反之,若 G 中 存 在 m 阶 元 a , 则 ?r ∈ Z , a r ∈ G 且 e, a, a 2 , L , a m?1 两 两 不 相 等 , 因 此
G={ e, a, a 2 , L , a m?1 }=( a )。

例4

P615

证明:设 G = (a ) ,G = (b) ,定义 ? : a m a b m ,由 G 是无限阶的,所以 a 的 阶也是无限,?g ∈ G, g = a m 在 ? 之下的像 b m 是唯一确定的, b m ∈ G ,所以 ? 是 且
G 到 G 的映射。?h ∈ G , ? n ∈ Z 使h = b n , ∴ ? a n ∈ G 使? (a n ) = h ,? 是 G 到 G 的 满射。 ?g 1 , g 2 ∈ G , g 1 = a m , g 2 = a n , g1 g 2 = a m + n ,即 ? ( g 1 g 2 ) = b m + n = ? ( g 1 )? ( g 2 ) 。 所以 ? 是 G 到 G 的同态满射。 作业:P61 1,4

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子群
与向量空间的子空间一样,对一群 G 我们也可定义子群的概念。 定义:一个群 G 的非空子集 H,如果 H 对 G 的运算也构成群,则称 H 是 G 的子群。记 H ≤ G 任意群 G,至少有两个子群:G,{e} ,这两个群称为平凡子群,若 H ≤ G 且
H ≠ G , H ≠ {e} ,则称 H 是 G 的非平凡子群。若 H ≤ G 且 H ≠ G ,称 H 是 G 的

真子群,记 H<G。 例
(2Z,+)<(Z,+)<(Q,+)<(R,+)<(C,+); *, × )<(R*, × )<(C*, × );Um, × ) *, × ); (Q ( <(C

但 (Q*, × ) 不 是 (R,+) 的 子 群 , 因 为 运 算 不 一 致 。 (F[2x],+) 是 (F[x],+) 的 子 群 ;
H={(1),(2)}是 S3 的子群。

若 H 是 G 的子群,则 H 必须满足:封闭、结合、单位元、逆元。因 H ? G , 显然结合律成立,若封闭和逆元存在,则 aa ?1 = e ∈ G ,所以有单位元。 定理 1 对于一个群 G 的非空子集 H,有下列命题等价
1、H 作成 G 的子群。 2、 ?a, b ∈ H , 有ab ∈ H , a ?1 ∈ H 。 3、 ?a, b ∈ H , 有ab ?1 ∈ H

证明 由子群的定义直接可得若 1 成立则 2 成立。若 2 成立,易证 3 成立。 ?a, b ∈ H ,由 3 得 bb ?1 = e ∈ H ,所以 eb ?1 = b ?1 ∈ H ,因此有 ab = a (b ?1 ) ?1 ∈ H , 所以 H 对 G 的运算封闭;由 H 是 G 的子集,所以 H 对运算满足结合律;由上 面的证明可知 G 的单位元也是 H 的单位元; 的任一个元 b 在 H 中都存在逆元。 H 根据群的定义,H 是一个群因此 H 是 G 的一个子群。即若 3 成立,则 1 成立。 例1 推论 1 推论 2
推论 3 定理 2
G=(Z,+), H={ nk | n ∈ Z },n 是取定的自然数,则 H 是 G 的子群。

可证两个子群的交也是子群,但两个子群的并不一定是子群。 H ≤ K, K ≤ G ? H ≤ G 。
? ? H ≤ G , a ∈ H , 则e H = eG , a H1 = a G1 。

H 是有限子集,则 H 是子群的充要条件是 ?a, b ∈ H , 有ab ∈ H 。 设 φ ≠ S ? G , a i ∈ S , i = 1,2, L ,令
e e T = {x | x = a1e1 a 22 L a nn , a i ∈ S , ei = ±1, n = 1, L} ,则 S ≤ T

由已知 T 是包含 S 的子群,设 H 是包含 S 的子群,则 T ? H 。即 T 是包含 S 的最小子群,称 T 为 S 生成的子群,记(S)=T。特别地,当 S=(a)时,(S)=(a), 所以循环群可看成是生成子群。 例2 (P64 3)

S3={(1), (12), (13), (23), (123), (132)}, S={(12), (123)}, (13)(123)=(23),

16

(12)(123)=(13), (123)-1=(132), (12)-1=(21), (S)={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}=S3, 当 S1={(13), (123)}时有(S)=(S1)=S3,即不同的子集可能生成相的子群。 例3 (P65 4) 证明:设 G= (a ) ,H 是 G 的子群, ?b ∈ H , 有b ∈ G , ?m ∈ Z使b = a m ,令 S = {| m || a m ∈ H , m ≠ 0} ,则 S ? N 。若 S = φ ,则 H = {e} = (e) ;若 S ≠ φ ,由最
小 数 原 理 , S 中 存 在 最 小 数 k > 0 , 则 可 证 H = (a k ) 。 因 为
?b ∈ H有b = a m , 设m = kq + r , 0 ≤ r < k , 因 a k ∈ H , 所以a ? kq ∈ H , 从 而 可 得 a m a ? kq = a r ∈ H ,由 k 的最小性有 r = 0 , 即 b = a m = (a k ) q ,从而 H ? (a k ) ,易

知 (a k ) ? H ,所以 H = (a k ) 。

? 10 元限阶的循环群 G 的子群除单位元群外都是无限循环群, G 的子群 且
的个数是无限的。 G 的所有子群为: (a n ), n ∈ Z 。
20

m 阶循环群 G 的子群的阶是 m 的正因数,反之,若 n | m ,则 G 恰好有

一个 n 阶子群,从而 G 的子群的个数等于 m 的正因数的个数。 作业:P64 2,5

子群的陪集
这一节要用一个子群的陪集来作一个群的分类, 然后由这个分类推出几个重 要定理。 设 G=(Z,+) H= {nk | k ∈ Z } 则 H 是 G 的一个子群,G 的分类为: ,
a, b ∈ [a ] ? a ? b = nk ? n | (a ? b) ,即 a, b ∈ [a ] ? a ? b ∈ H 。G 的剩余类是利用

子群 H 来分的,利用一个子群把一个群分类是以上特殊情形的推广。 我们看一个群 G 和 G 的一个子群 H,规定一个 G 的元间的一个关系~:

a ~ b ? ab ?1 ∈ H 。
给了 a, b ,我们唯一确定 ab ?1 ∈ H 。所以~是一个关系。且 aa ?1 = e ∈ H , a~ a ; 若 a ~ b, ab ?1 ∈ H ,ba ?1 ∈ H , b ~ a ;若 a ~ b, b ~ c, ab ?1 , bc ?1 ∈ H , ∴ ac ?1 ∈ H ,

a ~ c 。所以~是 G 的一个等价关系.
按上述确定的等价关系分类:[ a ]= {x | x ∈ G , x ~ a ], 记 Ha = {ha | h ∈ H } , 设 b ∈ [a ], 有b ~ a, ∴ ba ?1 ∈ H , ba ?1 = h ,即 b = ha ∈ Ha ;设 b ∈ Ha, b = ha ,所 以 ba ?1 = h ∈ H , ∴ b ~ a, ∴ b ∈ [a ] 。即 [a ] = Ha 定义:由上面的等价关系~所决定的类叫做子群 H 的右陪集。包含元 a 的 右陪集用符号 Ha 表示。 例1 设 G=(Z,+) H= {nk | k ∈ Z } ,H0=H; H 1 = {1 + nk | k ∈ Z } = [1] ; ,

H 2 = {2 + nk | k ∈ Z } = [2] ; L ; H n?1 = {n ? 1 + nk | k ∈ Z } = [n ? 1] 所以 H 把 G 分

17

成 n 个不同的右陪集。 例 2 G=S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}, H={(1),(12)},H(1)={(1),(12)}=H(12); H(13)={(13),(123)}=H(123);H(23)={(23),(132)}=H(132)。H 把 S3 分成三个不同的右陪 集。 例 3 设非零有理数乘群(Q*,· H={1, ), -1}是 Q*的子群, a ∈ Q*, Ha = {a,? a} ? 上述例 1 中 G 是可交换的,所以 H 的右陪集和左陪集一致。而例 2 中
(1)H={(1),(12)};(13)H={(13),(132)}; (23)H={(23),(123)}。即右陪集和左陪集不同。

一般情况下,一个集合的左陪集和右陪集不同,但有一个共同点: 定理 1 一个子群的左陪集与右陪集的个数相等。 证明:设 S r = {Ha | a ∈ G} , S l = {aH | a ∈ G} ,令 ? : Ha a a ?1 H , ?a ∈ G ,

?Ha, Hb ∈ S r , Ha = Hb ? ab ?1 ∈ H ? (a ?1 ) ?1 b ?1 ∈ H ? a ?1 H = b ?1 H ,所以 ? 是映
射 ; ?aH ∈ S l , 有Ha ?1 ∈ S r , 而 ? ( Ha ?1 ) = (a ?1 ) ?1 H = aH , 所 以 ? 是 满 射 ;

?Hb, Ha ∈ S r , ? ( Ha ) = ? ( Hb) ? a ?1 H = b ?1 H ? (a ?1 ) ?1 ∈ H ? ab ?1 ∈ H ?
Ha = Hb ,所以 ? 是单射。因此是双射。

定义:一个群 G 的子群 H 的左(右)陪集的个数称为 H 在群 G 的指数,记: [G:H]。 如例 1 中的指数为 n,例 2 中的指数为 3。例 3 中的指数为无限。 引理 在 Ha 与 H 与 aH 之间存在一个双射。 证明 令 ? : ha a h ,容易证明 ?是Ha 与 H 之间的一个一一映射。 定理 3 (拉格朗日定理) 设 H 是有限群 G 的一个子群, 那么|H|=m 和[G: H]=k 都能整除|G|=N,且 N=m k。 证明:因 N 是有限的,所以 m, k 出是有限的,因 G 的 N 个元被分成 k 个右 陪集,而由定理 1 可知每个右陪集都是 m 个元,且不同的右陪集的交是空集, 所以 N=m k。 推论 1 一个有限群 G 的每一个元的阶都是|G|的因数。 证明:设 a ∈ G 。| a |= m ,则 H = (a ) 是 G 的 m 阶子群,于是由定理 3 得证。 例 4P70 1 阶是素数的群一定是循环群。 证明 设 G 的阶是素数 P, e ≠ a 是 G 的元,则由推论,G 的每个元的阶是 P 的正因数,即 a 的阶是 P 的因数,而 P 是素数,所以 a 的阶也是 P,从而 a 是 G 的生成元,所以 G 是循环群。 作业:P70 2,3

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不变子空间、商群 不变子空间、
由上一节已知,一个群的子群的左陪集和右陪集不一定相等,但有时它是相 等的,这一节就讨论这种特殊的子群。 定义: N 是群 G 的子群, ?a ∈ G 都有 aN = Na , 设 若 则称 N 是 G 的不变(正 规)子群。记 N < G 。 对于不变子群来说,它的左陪集和右陪集是相同的,统称为陪集。 任一个群 G 都有两个不变子群:G 和{e}。这两个不变子群称为平凡不变子 群。若 N < G , N ≠ G , N ≠ {e} ,则称 N 是 G 的非平凡子群。交换群的子群都是不 变子群。 例 1 N = {n | na = an, ?a ∈ G} ,则 N 是群 G 的不变子群。 证明: ∈ N , N ≠ φ , a ∈ G, n1 , n 2 ∈ N , 有 an1 = n1 a, an2 = n 2 a , 1 n2 a = an1 n2 e ? n

n1n2 ∈ N ,由 an1 = n1 a ,左、右同乘 n1?1 , n1?1 (an1 )n1?1 = n1?1 (n1 a )n1?1 , an1?1 = n1?1 a ,
n1?1 ∈ N ,所以 N 是一个子群,且 ?a ∈ G有Na = {na | n ∈ N } = {an | n ∈ N } = aN , 即 N 是不变子群。 这个子群称为群 G 的中心,记 C(或 C(G))。 例2
G=S3,N={(1),(123),(132)},则 N 是 G 的不变子群。

解因为:N(1)=(1)N=N;N(12)={(12),(13),(23)}=(12)N。 例 3 P74 3 注: aN = Na 不是说 a 与 N 的每一个元可交换,而是说这两个集合相等。 定义:非空集合 A,B,令 AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} 称为 A,B 的乘积。 注:区别于笛卡尔积。 若 A,B,C 是群 G 的非空子集,则(AB)C=A(BC)。特别地,当 A 或 B 只 含一个元素且另一个为子群时,AB 即为左陪集或右陪集。 定理 1 设 N 是 G 的子群,则下列命题等价:
1、 N < G (aN = Na, ?a ∈ G ) ; 2、 ana ?1 ∈ N , ?a ∈ G, n ∈ N ; 3、 aNa ?1 ? N , ?a ∈ G ; 4、 aNa ?1 = N , ?a ∈ G ;

证明: an ∈ aN = Na , 由 所以 ?n1 ∈ N使an = n1 a , ana ?1 = n1 (aa ?1 ) = n1 ∈ N ; 即
2 到 3 显然成立;由 aNa ?1 ? N , ?a ∈ G ,所以 ?n ∈ N , n = a (a ?1 na )a ?1 ∈ aNa ?1 ,

从而 aNa ?1 = N , ?a ∈ G ;任取左陪集 aN ,则 ?n ∈ N , 有 ana ?1 ∈ aNa ?1 = N ,于是有 ana ?1 = n 2 ∈ N ,所以 an = (ana ?1 )a = n 2 a ∈ Na ,从而 aN ? Na ,同理 Na ? aN , 即 aN = Na ;由 aNa ?1 = N , ?a ∈ G ,在等式两边同时右乘 {a} ,则 aN = Na 。
19

例3

设 N < G , M < G ,证明: MN < G 。
? ? ? ? ? (h1 n1 )(h2 n 2 ) ?1 = h1 n1 n 2 1 h2 1 = (h1 h2 1 )h2 (n1 n 2 1 )h2 1 ,

证明:因 e = ee ∈ MN , 所以MN ≠ φ ,又 ? h1 , h2 ∈ M , n1 , n2 ∈ N 有
?1 ? ? 由 于 M < G , 所 以 h1 h2 ∈ M , 又 由 于 N < G , 从 而 h2 (n1 n 2 1 )h2 1 ∈ N , 于 是

(h1 n1 )(h2 n2 ) ?1 ∈ MN ,因此 MN ≤ G 。

因为 MN ≤ G ,又 ?m ∈ M , n ∈ N , a ∈ G 有 a (mn)a ?1 = ama ?1 ana ?1 ∈ MN ,所 以 MN < G 。 但不变子群的不变子群不一定是不变子群。(即 P75 5) 设 G=S3,N={(1), (12)(34), (12)(24), (14)(23)}, N1={(1), (12)(34)},容易证明

N 1 < N , N < G , 但 N1 不是 G 的不变子群.
由前面的讨论有 G=(Z,+)的子集 H= {nk | k ∈ Z } 是 G 的子群,因为 G 是交换 群,所以 H 是不变子群,H 的所有陪集(模 n 的剩余类)Zn 对于代数运算:
[a]+[b]=[a+b]作成群,且是交换群,通常把 Zn 称为剩余类加群。

同理,N 是 G 的不变子群,把 N 的所有陪集作成一个集合 S = {aN , bN , L} , 令 ( xN )( yN ) = ( xy ) N ,则它是 S 的一个代数运算。 证明 设 aN = a1 N , bN = b1 N , 则bb1?1 ∈ N , 设bb1?1 = n1 ∈ N , an1 ∈ aN = Na , 所以 an1 = n2 a, n2 ∈ N ,即 ab(a1b1 ) ?1 = abb1?1 a1?1 = an1a1?1 = n2 aa1?1 ∈ N ,所以有

abN = a1b1 N 。即规定的运算与代表的选择无关,因此是代数运算。
定理 2 群 G 的不变子群 N 的所有陪集对上述规定的运算来说作成一个群, 叫商群。记 G/N。 证明:封闭;结合;N 是单位; x ?1 N 为 xN 的逆元。 由 N 在 G 里的指数是 N 的陪集的个数,也是商群的元的个数,所以有
|G|=|N||G/N|。

定义:若一个群 G 的不变子群只有平凡子群,则称 G 为单群。 作业:P74 1,2,4 、同态与不变子群 上面考虑的群都是单一的,实际上,有时群与群之间有一定联系,如群与商 群之间就有某种联系,这种联系从代数角度来说,就是它们之间有某种相互联系 的代数性质,或者可以建立某种对应关系。 定理 1 一个群 G 同它的每一个商群同态。 证明:设 N 是群 G 的一个不变子群,令 ? : a a aN , ?a ∈ G ,显然 ? 是群 G 到商群 G N 的一个满射,且 ? (ab) = abN = aNbN = ? (a )? (b) 。即 G 与 G N 同态。

20

定义 定理证明中的同态映射 ? 称为群 G 到商群的自然同态;若 ? 是群 G 到 群 G1 的同态满射,G1 的单位元 e1 在 ? 之下的所有原像作成的集合称为同态满射

? 的核,记 Ker ? 。
推论 设 ? 是群到商群的自然同态,则 Ker ? =N。 N 的单位元是 N, 所以 Ker? = {a | a ∈ G , ? (a ) = N } = {a | a ∈ N } = N 。 G 证明:

定理 2(同态基本定理) 设 G 和 G1 是两个群,且 ? 是 G 到 G1 的满同态,则:

Ker? < G; 且 G

Ker?

? G1 = Im ? 。

证明: ∈ Ker? = N ,∴ N ≠ φ , ?a, b ∈ N , ? (a) = ? (b) = e1 , ? (ab ?1 ) = e1e1?1 = e1 , e ∴ ab ?1 ∈ N ,即 N 是 G 的子群。 ?a ∈ G , n ∈ N 有 ? (ana ?1 ) = ? (a )e1? (a ?1 ) = e1 ,所以
ana ?1 ∈ N ,即 N 是不变子群。

令 f : aN a ? (a) = a1 ,若 aN = bN , 则b ?1 a ∈ N , ∴ b1?1 a1 = e1 , 即a1 = b1 ,所以
f 是G N

到 G 的一个映射; ?a1 ∈ G1 , Q ? 是满射, ∴ ? a ∈ G 使 ? (a) = a1 即
N

? aN ∈ G

,使 f (aN ) = a1 , ∴ f 是满射;当 aN ≠ bN 时, b ?1 a ? N ,∴ b1?1 a1 ≠ e1 ,

即 a1 ≠ b1 , ∴ f 是单射; 所以 f 一一映射;f (aNbN ) = f (abN ) = ? (ab) = ? (a )? (b) ,
f (aN ) f (bN ) = ? (a )? (b) = f (aNbN ) ,所以 f 是同态映射,从而 f 是同构映射。

例 1 P79 3 证明 若 G=(a)与 G1=(b)同态, f 是同态满射, 设 由同态基本定理 G / Kerf ? G1 所以 | G / Kerf |=| G1 |= n = [G : Kerf ] ,由拉格朗日定理有 n | m 。 反之,若 n | m ,令 f : a k a b k ,易证 f 同态满射。 一个群与它的每一个商群同态(定理 1),它只能与它的商群同态(定理 2),而 在一个同态映射下,一个群的若干性质不变,若干性质会变。下面讨论在同态满 射之下,对于群与不变子群发生的影响如何? 设 ? : A → B(满射), 记 f ( S )是S的像 , f 定理 3
?1

( S1 )是S1 原像。

设 G,G1 是两个群,在同态满射下,子群(不变子群)的像是子群(不

变子群);子群(不变子群)的原像是子群(不变子群)。 证明:我们用 ? 表示所给的同态满射。设 H 是 G 的子群,H 在 ? 之下的像 是 H1 , 。那么 ?b1 , b2 ∈ H 1 ,由 H1 的定义, ?a1 , a 2 ∈ H , 使? (a1 ) = b1 , ? (a 2 ) = b2 ,
? ? ?1 ? 从而有 ? (a1a 2 1 ) = b1b2 1 ,由于 H 是子群,有 a1 a 2 ∈ H ,所以 b1b2 1 ∈ H 1 。即 H1

是 G1 的子群。 设 N 是 G 的不变子群,由前面的证明知 N 是 G 的子群,设 N1 是 N 在 ? 之 下的像集合,那么 ?b ∈ G1 , n1 ∈ N 1 , ?a ∈ G , n ∈ N 使 ? (ana ?1 ) = bn1b ?1 ,由于 N 是不变子群,有 ana ?1 ∈ N ,即 bn1b ?1 ∈ N 1 ,所以 N1 是 G1 的不变子群。
21

设 H1 是 G1 的子群, 1 在 ? 之下的原像是 H, a1 , a 2 ∈ H , 有? (a1 ) = b1 ∈ H 1 , H ?
? ? ? (a 2 ) = b2 ∈ H 1 ,因为 ? (a1a 2 1 ) = b1b2?1 ∈ H 1 ,所以 a1 a 2 1 ∈ H ,即 H 是 G 的子群。

设 N1 是 G1 的不变子群,N1 的原像是 N,那么 ?n ∈ N , a ∈ G 有 ? (a) = b ∈ N 1

? (n) = n1 ∈ N 1 ,又 ? (ana ?1 ) = bn1b ?1 ,所以 ana ?1 ∈ N ,即 N 是 G 的不变子群。
上述定理说明一个群的子群和不变子群在同态满射之下是不变的。 例 1(P792) 证明: ? 是群 G 到群 G1 的同态满映射, a ∈ G , ? (a ) = b , f : aN a bN 1 , 设 ? 令
?1 ? ? 若 a 2 N = a1 N , 则a1a 2 ∈ N , ? ( N ) = N 1 , ? (a1 a 2 1 ) = b1b2 1 ∈ N 1 , b1 N 1 = b2 N 2 , 又 有 即

所以 f 是 G

N



G1

N1

的映射。 bN 1 ∈ 设

G1

N1

,? a ∈ G 使? (a) = b , ?aN ∈ G 即

N

?1 ? ? 使 f (aN ) = bN 1 , 所以 f 满射。 a1 N ≠ a 2 N 时有 a1 a 2 ? N , (a1 a 2 1 ) = b1b2 1 ? N 1 , 当 ?

即 b1 N ≠ b2 N ,所以 f 是单射。由 a1 Na 2 N = a1 a 2 N ,因此有 b1b2 N 1 = b1 Nb2 N ,所 以 f 是同构映射。 证明二 由假设 f 是 G 到 G1 的同态映射, 是G1到G1 / N 1 的自然同态, ? f ? 则 是 G 到 G1/N1 的同态映射, 由同态基本定理, ? f < G, 且G / Ker? f ? G1 / N 1 。 Ker

Ker? f = {x | x ∈ G, ?f ( x) = N 1} = {x | x ∈ G, f ( x) N 1 = N 1 } = {x | x ∈ G, f ( x) ∈ N 1 } = N
其中 N = f
?1

( N 1 ) 。所以可得不学子群的逆象是不变子群,及习题 2 的结论。 4,补充:证明:每个循环群都同构于无限循环群的一个商群。

有 bN = a k N = (aN ) k 。即结论成立。 作业:P79

习题课
1、元素的阶与子群的关系。 (例 1,2, ) 2、子群与不变子群的证明(例 3, 4, 5) 3、同态理论(例 6, 7)

例 1 设 G 是一个 2n 阶交换群,证明:如果 n 是一个奇数,则 G 有且只有一 个 2 阶子群。 证明 只要证明 G 有且只有一个 2 阶元素。 由于阶数大于 2 的元素在 G 中是 成对出现的,而单位元 e 的阶是 1,又 | G |= 2n ,故 G 有 2 阶元 a ,且有奇数个 2 阶元。如果 G 有一另有一个 2 阶元 b ≠ a ,则 H = {e, a, b, ab} 是 G 的 4 阶子群, 与拉格朗日定理矛盾。 例2
10 阶交换群必为循环群。

证明 设 G 是一个 10 阶群,则 G 中元的阶为 10 的因数 1,2,5,10。由例
1,G 有且只有一个的二阶元 a 。所以 G 中必有阶数大于 2 的元素,若 | b |= 5 ,

22

由 G 是交换群及(2,5)=1 知 | ab |= 10 。所以 G 是循环群。 ? 阶是 2 p ( p是素数 ) 的交换群一定是循环群。 例 3 (P704) 证明:设 H = {x | x ∈ G, x ~ e} ,e~e, e ∈ H 所以 H 非空。 ?a, b ∈ H ,a~e,
e~b,由 b~e 有 a ?1 ab ~ a ?1 a ,由题设 ab~a~e,所以 ab ∈ H ,若 a~e,ae~ aa ?1 ,所

以 e~ a ?1 , a ?1 ∈ H ,所以 H 是子群。 例 4 设 H ≤ G且 | H |= n ,证明:若 G 中阶为 n 的子群只有一个,则 H < G 。
证明 由 H是G的n 阶子群,得 ?a ∈ G , aHa ?1 也是 G 的 n 阶子群。事实上
? ?x, y ∈ aHa ?1 , 则 ? h1 , h2 ∈ H 使x = ah1 a ?1 , y = ah2 a ?1 , xy ?1 = ah1 h2 1 a ?1 ∈ aHa ?1 。

因为 n 阶子群只有一个,所以 aHa ?1 = H ,即 aH = Ha 。所以 H < G 。 例 5 (P756) 1、e ∈ C , C ≠ φ , ? c1 , c 2 ∈ C ,因为 c1 , c 2 是有限个换位子的乘积,所以 c1c 2 也 是有限个换位子的乘积, c1?1 也是有限个换位子的乘积。所以 C 是一个子群。

?a ∈ G , c ∈ C , aca ?1 = (aca ?1c ?1 )c ∈ C ,所以 C 是 G 的不变子群。
2、 ?a, b ∈ G , 有 a ?1b ?1 ab = c ∈ C ,所以 ab = bac, abC = (bac)C = (ba )C ,即
aCbC = bCaC ,从而 G/C 是交换群。

3、G/C 是交换群,所以 ?a, b ∈ G , abN = aNbN = bNaN = baN , ab = ban ,
n = a ?1b ?1 ab ∈ C ,即 N 含有一切换位子,所以 C ? N 。

例 6 设 G 是群,证明: f : x a x ?1 是自同构 ? G 是交换群。 证明 " ?" ?x, y ∈ G , f ( xy ) = ( xy ) ?1 = f ( x) f ( y ) = x ?1 y ?1 = ( yx) ?1 ,即 xy = yx
" ?" 由定义 f ( xy ) = ( xy ) ?1 = y ?1 x ?1 = ( xy ) ?1 = ( yx) ?1 = x ?1 y ?1 = f ( x) f ( y ) , 易

证 f 是 G 到 G 的双射,所以 f 是自同构。 例 7 G = {2 m 3 n | m, n ∈ Q} 关于数的乘法作成一个群,规定: f : 2 m 3 n a 2 m , 证明: f 是 G 到 G 的同态映射,并求 Im f , Kerf 。 证明 易证 f 是同态映射, Im f = {2 m | m ∈ Q} , Kerf = {3 n | n ∈ Q} 作业:
1、设 G 是一个 n 阶循环群,证明:对于 n 的每一个因数 d ,G 中有且只有

一个 d 阶子群。
2、设 G 是半群,且满足左、右消去律,证明:G 是群 ? ?a, b, c ∈ G ,方程

xaxba = xbc, abxax = cbx 在 G 中有解。
3、将 S 8 中元素表示成不相连的循环置换的乘积

? 1 2 3 4 5 6 7 8? ? ? 2 1 5 3 7 8 4 6? ? ? ?
4、 H < G , H ≤ K ≤ G , ? H < K
23


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