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高二数学平面向量数量积的物理背景及其含义


2.4.1 平面向量的数量积的 物理背景及其含义
目标导学:
1、能运用数量积表示两个向量的夹角, 计算向量的长度; 2、会用数量积判断两个平面向量的垂 直关系。

向量的夹角:
??? ? ? ??? ? ? ? ? 已知两个非零向量 a 和 b ,作 OA ? a , OB ? b , ? ? 则∠AOB= θ(0?≤θ≤180?)叫做向量 与 . a 的夹角 b ? ? B 当θ= 0? 时, a 与 b同向;
? a ? b

? ? 当θ= 180? 时, a 与 b反向;
? a ? b

? b
θ
O

? ? ? ? 当θ= 90? 时, a与 b 垂直,记作 a ? b 。
? a ? b

? a

A

问题 一个物体在力F 的作用下产生的位移 s,那么力F 所做的功应当怎样计算?

F θ
s

W ?| F || s |cos?

? 是F 与s 的夹角,而功是数量. 其中力F 和位移s 是向量,

平面向量的数量积:
? ? ? ? ? ? 已知非零向量 a 与 b ,我们把数量 | a || b | cos? 叫作 a 与 b 的 ? ? 数量积(或内积),记作 a ? b ,即规定

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos?
? ? ? ? ? ? 其中θ 是 a 与 b 的夹角,| b | cos? (| a | cos? ) 叫做向量 b 在 a ? ? 方向上( a 在 b 方向上)的投影.并且规定,零向量与任一向量 ? ? 的数量积为零,即 a ? 0 ? 0 。 B

???? ? ? | OB1 |?| b | cos?

? b
O θ B1

? a

A

数量积的几何意义:
? ? ? ? ? ? 数量积 a ? b 等于 a 的长度| a | 与 b 在 a 的方向上的 ? 投影 | b | cos ? 的乘积。
B

? b
O θ B1

? a

A

思考:向量的数量积是一个数量,那么它什么时候为正, 什么时候为负呢?

由向量数量积的定义,试完成下面问题:

? ? ? ? 0 (1)a ? b ? a ? b ? _______ . ? ? ? ? ? ? | a || b | ; (2)若 a 与 b 同向,a ? b ? _______ ? ? ? ? ? ? ? | a || b | ; 若 a 与 b 反向,a ? b ? _______ ?2 ? ? ? ? ? | a | . | a |? a ? a a ? a ? _____ ? ? ? ? (3) | a ? b | ____ ≤ | a || b | .( 填 ? 或 ?)
? ? ?2 注:常记 a ? a 为 a 。 ? 2 ? 2 (a ) ?| a |

证明向量 垂直的依据

? ? ? ? 例1.已知 | a |? 5,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角θ =120? ,
? ? 求 a ?b 。

解:

? ? ? ? a ? b ?| a || b | cos ?
=5 ? 4 ? cos120?

1 ? 5 ? 4 ? (? ) 2 ? ?10

数量积的运算规律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.

如图可知: ???? ? ??? ?

???? ? ???? ???? ? ?| OB1 |?| OA1 | ? | A1 B1 | ? ? ? ? ?| a ? b | cos ? ?| a | cos ?1 ? | b | cos ? 2

? ? | OB1 |?| OB | cos? ?| a ? b | cos? ???? ? | OA1 |?| a | cos?1 ???? ? ???? ? ? | A1B1 |?| AB2 |?| b | cos?2

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

A

a
?1

b

?2

B2

B

? ? ? ? ? ? ? O A c ? (a ? b) ?| c || a ? b | cos ? 1 c B1 C ? ? ? ? ?| c || a | cos ?1 ? | c || b | cos ? 2 ? ? ? ? ? c ?a ? c ?b

? ? ? ? ? ? ? (a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c

数量积的运算规律:

? ? ? ? (1)a ? b ? b ? a; ? ? ? ? ? ? (2)(? a) ? b ? ? (a ? b) ? a ? (? b); ? ? ? ? ? ? ? (3)(a ? b) ? c ? a ? c ? b ? c.
? ?? ? ? ? 思考:等式 (a ? b)c ? a(b ? c) 是否成立?

不成立

要注意的是: 1、两个向量的数量积是一个实数,不是向 量,符号由cosθ的符号确定; 2、两个向量的数量积称为内积,写成a· b;与 代数中的数a· b不同,书写时要严格区分; 3、在实数中,若a≠0,且a· b=0,则b=0;但在 数量积中,若a≠0,且a· b=0,不能推出b=0。 因为其中cosθ有可能为0 4、已知实数a、b、c(b≠0),则有ab=bc 得a=c.但是有a· b=b· c不能得a=c 5、在实数中(a· b)c=a(b· c), 但(a· b)c ≠ a(b· c),

例2.我们知道,对任意 a, b ? R ,恒有

(a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ,(a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 . ? ? 对任意向量 a, b, 是否也有下面类似的结论? ? ? 2 ?2 ? ? ?2 (1)(a ? b) ? a ? 2a ? b ? b ; ? ? ? ? ? 2 ?2 (2)(a ? b)(a ? b) ? a ? b .

? ? 3 ? 3 ? 2 ? ? ? 2 ? 3 (3) (a ? b) ? (a) ? 3(a) ?b ? 3a? (b) ? (b)

? ? ? ? 例3.已知 | a |? 6,| b |? 4 ,a 与 b 的夹角60? , ? ? ? ? ? ? 求 (a ? 2b) ? (a ? 3b),| a ? b |。

? ? ? ? 例4.已知 | a |? 3,| b |? 4 ,且 a 与 b 不共线,k为何值时, ? ? ? ? 向量 a ? kb 与 a ? kb 互相垂直。

小结

向量数量积计算时, 一要算准向量的模, 二要找准两个向量的夹角。

练习: P 117

1、2、3

建议课后练习: P 119 1~ 4、6、7、8



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错了,把眼镜取下来,从口袋里拿出另外一副眼镜戴上,然后,再从口袋里掏出一副放大镜,对着发票看。他当时吓瘫了、吃 惊地盯着发票说道:“你??你一顿吃了8800元,倒是个吉利数,几乎吃掉了老朽一年薪水。”牛主任就像他姓一样:牛。他 毫不客气地说:“区区几千元有什么可为难的,以前厂里没有多少钱,现在厂里有的是钱,我偶尔潇洒享受一下有什么不行?” 财务总监几乎被雷倒,一时不知如何应对,考虑了很久才艰难地在发票上写道:同意报销。实际上,老牛吃饭只花了880元, 他给发票舔了个“0”,简单至极。其二:人浮于事,闲杂人多。单位虽然撤了一部分科室,却增加了工程队。厂内常年驻扎 着三个外包工程组和两个瓦工组。每天只要一上班,各个部门、车间办公室,首先来报道的是外包工程组和瓦工组的头儿。他 们傻笑着,先是发烟,后是倒茶,然后询问今天有什么活要他们干,真像生产队派活一样,热闹异常,领到任务后立刻大张旗 鼓、轰轰烈烈地干起来。与此同时,单位内部维修班的维修人员手里捧着茶杯站在旁边看,还悠然自得地说:“赶紧干,要不 然,我们要抢你们的饭碗了。”令人莞尔。其三:采购设备没有整体规划。化验室要购一台全自动分析仪,结果来了2台一模 一样的进口全自动分析仪,说是采购竞标,结果到最后,两台仪器都耐着不走了。中国啤酒界就这么大,一家有什么怪事,大 家都晓得了。一次,马启明到某地参加全国啤酒界会议,在吃饭时,大家正在议论怎么用小木桶盛米饭,有人大笑:“饭桶!” 正说着,又端上来炒鸡蛋,我们又大笑:“炒蛋。”一个同行又揶揄道:“你们厂真有钱,每台十几万美元的全自动分析仪你 们连眼睛都不眨一下,一下子就买了两台,厉害!厉害!真厉害!”这还不是最厉害的,最厉害的是,采购的进口糖化压滤设 备、进口酵母压榨机、进口桶啤设备买回来以后,与现有设备不配套,或有的根本就没必要买,结果放在单位院子那儿当作免 费展览品。时间长了,又像废品一样长时间地丢在露天风吹日晒,变成一堆破铜烂铁。后来有人看见,在废品收购站有不少进 口设备的零部件。花开啤酒单位就如同一头飞不起来的老鹰,被几个穷凶极恶的豺狼虎豹连血带肉地吞食着,老鹰在无力的挣 扎着??很快外方投入的资金被消耗殆尽。随着啤酒市场竞争加剧和花开啤酒经营日渐衰落,花开啤酒单位又走向了下坡路, 开始出现亏损了,双方矛盾也逐渐增大。这叫马启明想起了“强弩之末”这个成语。就在这个时候,谷仕昊马上就要退休了, 总经理人选摆到了花开啤酒单位的议事日程上。外方要派总经理,中方坚持说,董事长永远是外方的,总经理永远是中方的, 是合资时就确定下来的大事,按照既定方针办,不能董事长和总经理都由外


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